×Í Ê Ç À ÄÇÀÀ Ä×ÀÍ ÈÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ» 17 «ÊÂÀÍÒÀ» Çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå. Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü íå ïîçäíåå 1 ñåíòÿáðÿ 2003 ãîäà ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå «Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹3 2003» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå, íàïðèìåð «Ì1861» èëè «Ô1868».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî.  ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).  íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü. Çàäà÷è Ì1861Ì1870, Ô1868Ô1877 Ì1865*. Äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà N = 46 ìîæíî óêàçàòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî Ì1861. Òî÷êè â êîëè÷åñòâå 2n + 1 ðàçäåëèëè îêðóæíîñòü íà 2n + 1 ðàâíûõ äóã, ãäå n > 1. Ñðåäè ýòèõ òî÷åê n + 1 êðàñíûå. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê ñ êðàñíûìè âåðøèíàìè. Ì = 460100021743857360295716, Â.Ïðîèçâîëîâ Ì1862. Áèññåêòðèñû AD, ÂÅ è ÑF òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå I. Äîêàæèòå, ÷òî à) åñëè ID = = IF = IE, òî òðåóãîëüíèê ÀÂÑ ïðàâèëüíûé; á) åñëè òðåóãîëüíèê DFE ïðàâèëüíûé, òî è òðåóãîëüíèê ÀÂÑ ïðàâèëüíûé. îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) ïåðâûå öèôðû ÷èñëà Ì ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷èñëî N; 2) åñëè ýòè ïåðâûå öèôðû ïåðåíåñòè â êîíåö ÷èñëà Ì, òî (îòáðîñèâ ïðè íåîáõîäèìîñòè ïåðâûå íóëè) ïîëó÷èì ÷èñëî M1 = 10002174385736029571646, êîòîðîå ðîâíî â N ðàç ìåíüøå ÷èñëà Ì. Äëÿ êàêèõ åùå íàòóðàëüíûõ N ñóùåñòâóåò ÷èñëî Ì, îáëàäàþùåå òàêèìè æå ñâîéñòâàìè? À.Çàñëàâñêèé, Â.Ñåíäåðîâ È.Àêóëè÷ Ì1863*. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ïåðâûå äâà ÷ëåíà êîòîðîé ðàâíû 1 è 2 ñîîòâåòñòâåííî, à êàæäûé ñëåäóþùèé ÷ëåí íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå åùå íå âñòðåòèëîñü K C â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è êîB òîðîå íå âçàèìíî ïðîñòî ñ M ïðåäûäóùèì ÷ëåíîì ïîñL ëåäîâàòåëüíîñòè. Äîêàæèòå, ÷òî êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âõîäèò â ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ì1866. Îñòðîâ ðàçäåëåí íà êíÿæåñòâà, êàæäîå èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íà êàðòå îñòðîâà ïàðàëëåëîãðàìì. Ïðè ýòîì ëþáûå äâà ïàðàëëåëîãðàììà ëèáî íå èìåþò îáùåãî ó÷àñòêà ãðàíèöû, ëèáî â êà÷åñòâå îáùåãî ó÷àñòêà ãðàíèöû èìåþò îáùóþ ñòîðîíó. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ïðàâèëüíîé ðàñêðàñêè êàðòû îñòðîâà äîñòàòî÷íî òðåõ êðàñîê. (Ðàñêðàñêà ïðàâèëüíàÿ, åñëè ëþáûå äâà êíÿæåñòâà, èìåþùèå îáùèé ó÷àñòîê ãðàíèöû, çàêðàøåíû â ðàçíûå öâåòà.) A N D Äæ.Ëàãàðèàñ, È.Ðåéíñ, Í.Ñëîàí Ì1864.  êâàäðàò ABCD âïèñàíà ëîìàíàÿ MKALN òàêàÿ, ÷òî ∠MKA = ∠KAL = ∠ALN = 45o (ðèñ.1). Äîêàæèòå, ÷òî Ðèñ.1 MK2 + AL2 = AK2 + NL2 . 2 Êâàíò ¹ 3 Â.Ïðîèçâîëîâ Â.Ïðîèçâîëîâ Ì1867*. Ïóñòü Ì ìíîæåñòâî ÷ëåíîâ íåêîòîðîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Êàêîâî íàèáîëüøåå âîçìîæíîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ïåðåñå÷åíèè ìíîæåñòâà Ì ñ n ìíîæåñòâîì à) 2n − 1 n ∈ Z ; á) 2 + 1 n ∈ Z ? { } { } À.Ãîëîâàíîâ, Â.Ñåíäåðîâ Ì1868*. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ êâàäðàòíûõ òàáëèö p × p êëåòîê (p > 1), çàïîëíåííûõ íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè 1, 2, ..., p2 . Íàçîâåì ïðàâèëüíîé òàáëèöó, â êîòîðîé â ïåðâîé ñòðîêå (ñòîëáöå) ñòîÿò ïî ïîðÿäêó