оптимизация химических процессов

Занятие 4
ОПТИМИЗАЦИЯ ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Одним из основных направлений использования математического описания
химического процесса является оптимизация на его основе.
Основным понятием оптимизации является критерий оптимальности –
количественная величина, характеризующая, как хорошо, с нашей точки зрения,
протекает процесс.
Целью оптимизации является нахождение условий, при которых критерий
оптимальности достигает своего экстремального значения.
Параметры, характеризующие условия процесса, изменение которых влияет на
величину критерия оптимальности, носят название оптимизирующих воздействий. В
результате оптимизации находятся оптимальные условия проведения процесса, т.е.
параметры процесса закрепляются при условии экстремального значения критерия
оптимальности.
1 Оптимальная температура процесса
Одной из задач оптимизации химических реакторов является задача отыскания
оптимальной температуры реакции, соответствующей максимальной скорости реакции
при данном составе реакционной смеси.
Наличие оптимальной температуры проведения реакции определяется обычно
тем, что в большинстве случаев (особенно для органических реакций) получение
целевого продукта сопровождается целым рядом побочных реакций и имеется какая-то
температура, при которой скорость основной реакции достаточно велика и в тоже время
не очень мешают побочные реакции.
Кроме того возможно три основных случая:
1) необратимая реакция, тогда все определяется константой скорости, которая
растет с ростом температуры. Чем выше температура, тем быстрее идет реакция.
Оптимальное распределение температуры тривиально: по всему аппарату необходимо
поддерживать максимально допустимую температуру (например, сжигание топлива –
процесс обычно оказывается наиболее экономичным, если в топке во всех точках
поддерживается максимально допустимая температура).
2) обратимая эндотермическая реакция, тогда с повышением температуры
растут и равновесный выход и константа скорости реакции. Оптимальное распределение
температур аналогичен первому случаю.
3) всерьез задача оптимизации встает при обратимой экзотермической реакции.
В этом случае с повышением температуры константа скорости прямой реакции растет,
но и растет константа скорости обратной реакции.
Так как энергия активации обратной реакции больше энергии активации прямой,
то скорость обратной реакции растет быстрее с ростом температуры, чем прямой, и, на
первый взгляд, желательно снизить температуру. Однако при слишком низкой
температуре скорость прямой реакции будет очень мала (хотя обратной еще ниже), и
целесообразно искать наилучшую температуру проведения реакции.
В данном случае в качестве критерия оптимальности можно взять скорость
образования целевого продукта и написать кинетическое уравнение реакции в виде:
1
ωrB = ωr1 − ωr 2 = k1CnA1 − k 2 CnB2 ,
где n1 и n2 – порядок соответственно прямой и обратной реакции.
Пользуясь классическим математическим методом поиска экстремума функции и
имея в виду, что константа скорости реакции зависит от температуры по уравнению
Аррениуса:
k1 =
− E1
A1e RT
,
−E2
e RT
,
k 2 = A2
тогда
ωrB = ωr1 − ωr 2 =
k1CnA1
− k 2 CnB2
=
− E1
A1e RT CnA1
−E2
− A 2 e RT CnB2 .
Значение оптимальной температуры можно определить, взяв производную от
скорости реакции по температуре и приравняв ее к нулю (условие максимума скорости
реакции):
dωr
= 0.
dT
Дифференцируем
−E
−E
dωrB A1E1 RT1 n 1 A 2 E 2 RT2 n 2
=
⋅ CA −
e
⋅ C B = 0,
e
dT
RT 2
RT 2
откуда
−E
−E
A1E1 RT1 n1 A 2 E 2 RT2 n 2
e ⋅ CA =
e
⋅ CB .
RT 2
RT 2
Деля обе части этого уравнения на правую и логарифмируя обе части уравнения
можно получить уравнение для расчета оптимальной температуры для такой реакции:
Tопт. =
где A1, A2
Е1, Е2
n1 и n2
R
–
–
–
–
E 2 − E1
,
A 2 E 2 C nB2
R ln
A1E1C nA1
предэкспоненты прямой и обратной реакций соответственно;
энергии активации прямой и обратной реакций соответственно;
порядок реакции по веществу А и В соответственно;
универсальная газовая постоянная.
Или через степень превращения
Tопт. =
E 2 − E1
.
A 2E 2 XA
R ln
A1E1 (1 − X A )
Значение оптимальной температуры проведения экзотермической реакции
зависит от концентраций реагирующих веществ: чем больше степень превращения
2
исходного вещества, тем меньшую температуру надо поддерживать для обеспечения
условий оптимальности.
Таким образом, для реактора идеального вытеснения, где степень превращения
непрерывно растет по длине реактора, для оптимального осуществления процесса
необходимо непрерывно понижать температуру от начала к концу реактора по закону,
определяемому уравнением.
В периодически действующем реакторе идеального смешения такое понижение
температуры необходимо проводить во времени, в проточном реакторе идеального
смешения, поддерживать постоянную температуру.
Аналогичным образом может быть рассчитана зависимость оптимальной
температуры от степени превращения для обратимой реакции второго и третьего
порядков.
Уравнение можно представить в виде
1
ln(D2 D3 )
=
,
Tопт.
D1
E 2 − E1
A E
; D 2 = 2 2 ; D 3 – некоторая функция, вид которой зависит от типа и
R
A1E1
порядка обратимой реакции.
где D1 =
– для реакции первого порядка вида А⇄R
D3 =
XA
;
1 − XA
– для реакции второго порядка вида A + B ⇄ R + S
X 2A
D3 =
;
(1 − X A )(M − X A )
– для реакции второго порядка вида A ⇄ R + S
C A 0 X 2A
D3 =
;
1 − XA
– для реакции второго порядка вида А + В ⇄ R
D3 =
где M =
XA
;
(1 − X A )(M − X A )C A 0
C B0
.
C A0
2 Оптимальное распределение потока по параллельно работающим
аппаратам
Это одна из задач, часто возникающих при оптимальном управлении.
Пусть необходимо оптимизировать поток, подаваемый в аппаратах по схеме,
представленной на рисунке 1.
3
v
v1
1
v2
2
v3
3
v
Рисунок 1 – Схема распределения потока по аппаратам
При оптимальном распределении потока концентрации на выходе из всех
аппаратов одинаковы. Тем самым регулирование осуществляется очень просто:
измеряется концентрация на выходе из каждого аппарата и все они поддерживаются
постоянными. Этот метод позволяет наилучшим образом организовать работу цеха, в
котором имеется ряд параллельных технологических ниток.
4