Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра высшей математики
Поверхности второго порядка
Методические указания для практических занятий
Новокузнецк
2014
УДК 517.518(08)
П421
Рецензент
доктор физико-математических наук, доцент
кафедры физики СибГИУ
Коваленко В.В.
П421 Поверхности второго порядка: метод. указ. / Сиб. гос.
индустр. ун-т; сост.: С.А.Лактионов. – Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2014. – 13 с.
В работе приведены краткие теоретические сведения по теме
«Поверхности второго порядка», разобраны примеры решения задач и
даны задания для самостоятельной работы по этой теме.
Предназначены для практических занятий по теме «Поверхности
второго порядка» для всех направлений подготовки, включающих
изучение дисциплины «Математика».
Печатается по решению Совета
института фундаментального образования
1. Теоретические сведения
Поверхностью второго порядка называется геометрическое
место точек пространства M x, y, z , координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
Ax 2 By 2 Cz 2 2Dxy 2Exz 2Fyz Gx Hy Lz M
0.
Сферой называется множество всех точек пространства, равноудаленных от данной фиксированной точки, называемой центром
сферы.
Если O a,b, c − центр сферы, а M x, y, z − произвольная
точка сферы, то уравнение сферы запишется в виде
2
2
2
x a
y b
z c
R2 ,
где R − расстояние, на которое точки сферы удалены от её центра.
Это расстояние называется радиусом сферы.
Эллипсоидом называется поверхность второго порядка, имеющая в некоторой декартовой системе координат уравнение (рис.1)
x 2 y2 z 2
1.
a 2 b2 c2
Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида, а уравнение
называется каноническим уравнением эллипсоида. Если две полуоси
эллипсоида равны, то эллипсоид является эллипсоидом вращения.
z
c
b
a
x
Рисунок 1 – Эллипсоид
y
Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, имеющая в некоторой декартовой системе координат
уравнение (рис.2)
x 2 y2 z 2
1.
a 2 b2 c2
z
y
x
Рисунок 2 – Однополостный гиперболоид
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, имеющая в некоторой декартовой системе координат
уравнение (рис. 3)
x 2 y2 z 2
1.
2
2
2
a
b
c
z
c
x
c
y
Рисунок 3 – Двуполостный гиперболоид
Эллиптическим параболоидом называется поверхность второго порядка, имеющая в некоторой декартовой системе координат
уравнение (рис. 4)
x 2 y2
2pz (p 0) .
a 2 b2
z
y
x
Рисунок 4 – Эллиптический параболоид
Гиперболическим параболоидом называется поверхность второго порядка, имеющая в некоторой декартовой системе координат
уравнение (рис. 5).
x 2 y2
2pz, (p 0) .
a 2 b2
z
x
y
Рисунок 5 – Гиперболический параболоид
Конической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми, проходящими через одну и ту же точку и пересекаю-
щими некоторую кривую. Точка, через которую проходят все прямые,
называется вершиной конуса. Прямые называются образующими конуса, а кривая, которую пересекают образующие, называется направляющей конуса.
Конусом второго порядка называется поверхность второго порядка, имеющая в некоторой декартовой системе координат уравнение (рис. 6)
x 2 y2 z 2
0.
2
2
2
a
b
c
z
y
x
Рисунок 6 – Конус второго порядка
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми, параллельными между собой и пересекающими
некоторую кривую. Прямые называются образующими, а кривая, которую пересекают образующие, называется направляющей.
x 2 y2
x 2 y2
Уравнения
2px на плоскости
1,
1, y2
a 2 b2
a 2 b2
Oxy определяют эллипс, гиперболу и параболу, а в пространстве −
эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры соответственно.
Эллиптический цилиндр. Направляющей цилиндра является
эллипс, а образующие параллельны оси Oz (рис. 7).
z
y
x
Рисунок 7 – Эллиптический цилиндр
x2
y2
2
2
1
a
b
Гиперболический цилиндр. Направляющей является гипербола, а образующие параллельны оси Oz (рис. 8)
z
y
x
Рисунок 8 – Гиперболический цилиндр
x2
y2
2
2
a
b
1
Параболический цилиндр. Направляющей цилиндра является парабола, а образующие параллельны оси Oz (рис. 9).
z
y
x
Рисунок 9 – Параболический цилиндр y 2
2px,
(p
0)
Уравнение второго порядка, распадающееся на линейные
множители. Если уравнение второй степени, определяющее поверхность второго порядка, распадается на два уравнения первой степени,
то оно будет определять пару, либо пересекающихся, либо параллельных, либо слившихся плоскостей.
2. Примеры.
Пример 1. Выяснить, какую поверхность определяет уравнение
4x 2 y 2 z 2
4.
Решение. Покажем, что уравнение 4x 2 y 2 z 2
4 соответствует
каноническому уравнению двуполостного гиперболоида
x 2 y2 z 2
1 . Для этого преобразуем его следующим образом
a 2 b2 c2
y2 z 2
y2 z 2
y2 z 2
2
2
x
1, x
1,
x2
1.
4
4
4
4
4
4
Таким образом, двуполостный гиперболоид имеет осью симметрии
ось Ox . Построим поверхность (рис. 10).
Рисунок 10 – Поверхность 4x 2 y 2 z 2
4
Пример 2. Выяснить, какую поверхность определяет уравнение
x2
y2
z . Построить поверхность
4
x2
Решение. Уравнение
y2
z совпадает с каноническим уравне4
x 2 y2
1
2z при p 2, q
нием гиперболического параболоида
p
q
2
(седловая поверхность). Построим поверхность (рис. 11).
x2
Рисунок 11 – Поверхность
p
y2
q
2z
Пример 3. Составить уравнение сферы с центром в точке
M 0 5;3;2 и касающейся плоскости 2x 2y z 4 0 .
Решение. Для составления уравнения сферы нужен радиус. В данном
случае R – расстояние от M 0 до плоскости
5
R
5
2
2 3
2
y
5
3
2
2
y
2
z
2
2
2
Искомое уравнение: x
Ответ: x
2
6.
1
3
2
4
2
2
Пример 4. Показать, что плоскость 2x
z
2
2
36 .
36 .
z 16 0 пересекает гиперболический параболоид 2z
x 2 4y 2 по прямолинейным
образующим. Составить уравнения этих прямых.
Решение. Линия пересечения плоскости и параболоида определяется
системой уравнений
2x 12y z 16 0,
2z
x2
12y
4y 2 .
Выразим из первого уравнения z и подставим во второе уравнение
z
2x 12y 16,
z
2x 12y 16,
2 2x
12y
16
x2
4y 2,
x2
4y 2
4x
24y
32
Второе уравнение можно разложить на множители
x 2 4y 2 4x 24y 32 0
x 2y 4 x 2y 8
Тогда система, задающая линию пересечения примет вид
2x 12y z 16
2x
x
12y z 16 0,
2y 4 x 2y 8
0,
x 2y 4 0,
2x 12y z 16
x 2y 8 0.
Таким образом, в пересечении получаются две прямые
0.
0.
0,
0,
2x
Ответ:
12y
z
16
x
2y
4
0,
2x
12y
z
16
x
2y
4
0,
0,
0,
и
2x
и
12y
z
16
x
2y
8
0.
2x
12y
z
16
x
2y
8
0,
0,
0.
3.Задачи для самостоятельного решения
1) Составить уравнение сферы, если точки A 4; 1; 3 и B 0;3; 1
являются концами одного из ее диаметров.
2) Выяснить, какие поверхности определяются следующими уравнениями, и построить эти поверхности
y2
2
2
2
2
2
2
1) x
3) 2z
;
x
y
z
4 ; 2) x
y
4z ;
2
2
4) x 2 y 2 z 2
x 2 y2 .
4 ; 5) z 1
3) Найти уравнения прямолинейных образующих поверхности
x 2 y2 z 2
1 , проходящих через точку M 1;1;1 .
4) Составить уравнение эллиптического параболоида, имеющего вершину в начале координат, осью которого является ось Oz если на
его поверхности заданы две точки M 1; 2;2 и N 1;1;1 .
5) Определить какие поверхности определяются следующими уравнениями, и построить их:
1) 9x 2 4y 2
36 ; 2) 9x 2 4z 2
0 ; 4) z 2
2y .
36 ; 3) x 2 y 2
6) Найти уравнение поверхности, полученной при вращении прямой
x 2y
4
вокруг оси Oy .
z
0
7) Составить уравнение поверхности, образованной вращением криy
x2
вой
вокруг оси Oy .
z
0
8) Составить уравнение конуса, вершина которого находится в начале
4x 2 9y 2
координат, а направляющая задана уравнениями
z
1.
36,
9) Составить уравнение цилиндра, если образующие параллельны
вектору q
3;2;1 , а направляющая задана уравнениями
y2
z
4x ,
0.
10) Установить при каком m плоскость my
полостный гиперболоид x 2
y2
z2
z
1 пересекает дву-
1 по гиперболе.
Ответы
2
1) x
2
3) x
1, y
2x 2
y
t
y2
1
2
1, z
z
t
2
2
1иx
9;
t
1, y
1, z
t
1; 4)
3z ;
6) x 2
4 y
9) y
2z
2
2
2
4x
z2
0 ; 7) y
3z ; 10) 1 | m |
x2
z 2 ; 8) 4x 2
9y 2
36z 2 ;
2.
Библиографический список
1. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1.
/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – Москва : М: ОНИКС,
2009. – 368 с.
2. Клетенник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии:
Учебное пособие. – СПб.: Лань, 2010. – 224 с.
3. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике – М.:
Физматлит, 2010. – 336 с.
4. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс /
К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. – 4-е изд. –
M. Айрис-пресс, 2005. – 576 с.
5. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической
геометрии. –34-е изд., –СПб.: Лань, 2009. – 336 с.
Учебное издание
Составитель
Лактионов Сергей Андреевич
Поверхности второго порядка
Методические указания для практических занятий
Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом
Подписано в печать 03.03.14
Формат бумаги 60  84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл.-печ.л.
Уч.-изд. л.
Тираж 50 экз. Заказ
Сибирский государственный индустриальный университет
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42
Издательский центр СибГИУ