Вопросы экзамены

Экзаменационные вопросы и задачи
(Каждый студент получит несколько номеров из этого списка)
(Жирными буквами, как обычно, обозначены векторы)
1. Материальная точка. Радиус-вектор r . Траектория. Скорость v . Как направлен вектор скорости v по отношению к
траектории? Ускорение w . Как направлен вектор ускорения w в случае плоской траектории?
2. Показать, что s(t ) = v(t ) . Здесь v(t ) º | v(t )| , а s(t ) – длина участка траектории, пройденного материальной точкой к
моменту времени t (предполагается, что длина участка траектории s(t ) отсчитывается от точки траектории,
соответствующей некоторому моменту времени t0 , t > t0 ).
3. Доказать (двумя способами) формулу a =
aa
, где a º | a | , a – вектор, зависящий от времени (аргумент t для
a
краткости всюду опущен). При помощи этой формулы:
1) Выяснить геометрический смысл величин r и v, где r º | r |, v º | v |, r – радиус-вектор, v º r – вектор
скорости.
2) Выяснить как направлены по отношению друг к другу в данный момент времени векторы скорости v и
ускорения w в случае убыстрения и замедления движения точки по (произвольной) траектории. Рассмотреть
случай равномерного движения.
4. Тангенциальная и нормальная компоненты вектора ускорения. Радиус кривизны траектории.
1
5. Секторная скорость – это вектор, определяемый равенством s = [ r ´ v ] . Показать, что модуль секторной скорости
2
s º | s | равен скорости возрастания площади S (t ) , «заметаемой» радиус-вектором в процессе движения
материальной точки по траектории, т.е. s =
dS
= S (предполагается, что «заметённая» радиус-вектором площадь
dt
S (t ) отсчитывается от точки траектории, соответствующей некоторому моменту времени t0 , t > t0 ).
6. Разложение r , v , w , s по декартовому базису { ex , ey , ez }.
7. Движение с постоянным вектором скорости (прямолинейное равномерное движение).
8. Движение с постоянным вектором ускорения (равноускоренное движение).
9. Движение по окружности. Равномерное вращение.
10. Задача. Колесо радиуса R равномерно вращается относительно своей оси, при этом задана величина скорости
вращения точек на ободе колеса v1. Центр колеса движется в плоскости колеса прямолинейно с постоянной
скоростью, по величине равной v2 . Изобразить (и объяснить) траекторию точки А на ободе колеса при разных
соотношениях между величинами скоростей v1 и v2 . Найти закон движения точки А на ободе колеса (то есть,
найти зависимость декартовых координат точки А от времени), считая, что ось колеса движется в положительном
направлении оси x , а колесо вращается по часовой стрелке; в начальный момент времени ( t0 = 0 ) точка А
1
находилась в начале координат. Для случая равенства v1 и v2 показать, что в точках соприкосновения траектории с
осью x касательная к траектории перпендикулярна к оси x . Для этого же случая вычислить путь, проходимый
точкой А между двумя последовательными моментами соприкосновения с осью x .
11. Инерциальная система отсчёта (ИСО). Первый закон Ньютона. Как должна двигаться система отсчёта относительно
ИСО чтобы тоже быть инерциальной?
12. Второй закон Ньютона. Уравнение Ньютона и переход между двумя ИСО. Третий закон Ньютона.
13. Закон изменения импульса системы материальных точек. Закон сохранения импульса.
14. Центр масс системы материальных точке. Независимость положения центра масс от начала отсчёта. Центр массы
системы из двух материальных точек. Закон движения центра масс системы материальных точек.
15. Законы изменения момента импульса системы материальных точек. Закон сохранения момента импульса.
16. Потенциальные силы (случай одной материальной точки). Связь элементарной работы и дифференциала
потенциальной функции.
17. Закон изменения энергии (для одной материальной точки). Закон сохранения энергии.
18. Потенциальные силы (случай системы материальных точек). Связь суммарной элементарной работы и
дифференциала потенциальной функции.
19. Закон изменения энергии для системы материальных точек. Закон сохранения энергии.
20 Сила всемирного тяготения. Потенциальная функция для двух материальных точек, взаимодействующих
посредством сил гравитации.
21. Сила притяжения материальной точки к шару со сферически симметричным распределением массы.
Потенциальная функция этой силы. Сила тяжести и её потенциальная функция.
22. Сила Кулона. Потенциальная функция для двух точечных зарядов, взаимодействующих посредством сил Кулона.
23. Сила Лоренца (сила, действующая на движущийся заряд в электромагнитном поле).
24. Сила сопротивления среды (газа или жидкости).
25. Сила реакции поверхности и сила трения.
26. Движение тела, брошенного под углом к горизонту и летящего под действием силы тяжести (без учёта
сопротивления воздуха).
Задача. Тело массой m брошено под углом a0 к горизонту с начальной скоростью, по величине равной v0 .
Найти закон движения тела в декартовых координатах. Сопротивление воздуха не учитывать. Показать, что
траектория является параболой. Определить высоту подъёма точки, дальность полёта и время полёта. Найти
механическую энергию как функцию времени и убедиться, что она сохраняется. Показать, что в двух симметрично
2
расположенных течках параболы модули скорости тела одинаковы (показать это двумя способами: не используя и
используя сохранение энергии).
27. Движение тела, брошенного под углом к горизонту и летящего под действием силы тяжести и сопротивления
воздуха.
Задача. Тело массы m , брошенное с начальной скоростью, по величине равной v0 , под углом a0 к горизонту,
движется под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха R = -k v, где k > 0. Найти закон движения
тела в декартовых координатах и уравнение траектории. Нарисовать примерный вид траектории. Показать, что если
бы тело могло неограниченно падать, то траектория приближалась бы к вертикальной асимптоте; определить на
каком расстоянии от начальной точки проходит асимптота. Определить вектор скорости, с которым тело двигалось
бы по истечении достаточно большого промежутка времени. Почему скорость стремится к постоянной величине?
Из найденного закона движения предельным переходом k  0 получить закон движения и уравнение траектории
при отсутствии сопротивления воздуха.
28. Движение заряда в постоянном однородном электрическом поле.
Задача. Заряженная частица с зарядом q и массой m движется в однородном постоянном электрическом поле
E. Задана величина электрического поля E º | E | , величина начальной скорости v0 º | v 0 | и угол a0 между v 0 и
E. Найти закон движения частицы в декартовых координатах (начало координат поместить в начальное положение
частицы, одну из осей направить по вектору E ). Показать, что траектория будет параболой, найти координаты
вершины параболы. Нарисовать траекторию положительного заряда q > 0 и отрицательного заряда q < 0. Найти
механическую энергию как функцию времени и убедиться, что она сохраняется.
29. Движения заряда в постоянном однородном магнитном поле.
Задача. Частица с зарядом q и массой m движется в однородном постоянном магнитном поле H, величина
H º | H | которого задана. Найти закон движения частицы в декартовых координатах (одну из осей направить по
вектору H ). Начальные условия считать заданными: x (t = 0) º x 0 , y(t = 0) º y 0 , z (t = 0) º z 0 , vx (t = 0) º vx 0 ,
vy (t = 0) º vy 0 , vz (t = 0) º vz 0 . Сформулировать, как движется положительно ( q > 0 ) и отрицательно ( q < 0 )
заряженная частица. Найти механическую энергию как функцию времени и убедиться, что она сохраняется.
30. Движения заряда в постоянном однородном электромагнитном поле.
Задача. Частица с зарядом q и массой m движется в однородном постоянном электромагнитном поле. Заданы
величины E и H напряжённостей электрического и магнитного поля и угол a между векторами E и H. Найти
закон движения частицы. Декартовы компоненты начального радиус-вектора r(t = 0) и начальной скорости
v(t = 0) считать заданными. Нарисовать проекцию траектории частицы на плоскость, перпендикулярную
магнитному полю H (изобразить все возможные типы траектории; рисовать отдельно для положительного и
отрицательного зарядов).
31. Задача. Тело начало соскальзывать под действием силы тяжести с вершины гладкой сферы без начальной скорости.
Определить угол между вертикалью и радиус-вектором тела относительно центра сферы, при котором тело
оторвётся от поверхности сферы.
3
32. Малые колебания математического маятника.
33. Полярные координаты r и j. Полярный базис {e r , ej }. Получить формулы e r = j ej , e j = -j er . Разложить
радиус-вектор r, вектор скорости v и вектор ускорения w по полярному базису {er , ej } при плоском движении
материальной точки.
a
34. Движение материальной точки под действием силы с потенциалом U = - .
r
Найти уравнение траектории и изобразить все возможные типы траекторий. Зависимость типа траектории от
начальных условий. Первая и вторая космические скорости для планеты Земля.
4