О рассеянии плоской звуковой волны упругим эллиптическим

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 157–164
Механика
УДК 539.3:534.26
О рассеянии плоской звуковой волны
упругим эллиптическим цилиндром
с несколькими полостями ∗
Л. А. Толоконников
Аннотация. Получено аналитическое решение задачи рассеяния
плоской звуковой волны упругим эллиптическим цилиндром с
несколькими полостями.
Ключевые слова: рассеяние, звуковые волны, упругий
эллиптический цилиндр, цилиндрические полости.
Исследованию дифракции звука на сплошных упругих однородных
эллиптических цилиндрах, находящихся в идеальной жидкости, посвящены
работы [1, 2]. Для решения дифракционной задачи в работе [1] использовался
метод T-матриц, а в работе [2] — метод граничных интегральных уравнений.
В работах [3, 4] рассмотрены задачи дифракции звуковых волн на упругих
эллиптических цилиндрах, помещенных в вязкую жидкость. В [3] получено
строгое решение задачи с использованием функции Матье для цилиндра
с произвольным эллиптическим сечением. В [4] методом возмущений
найдено приближенное аналитическое решение решение задачи в случае,
когда квадрат эксцентриситета эллиптического цилиндра является малой
величиной.
Дифракция звуковых волн на упругом однородном круговом цилиндре с
неконцентрической полостью рассмотрена в [5].
В настоящей работе находится аналитическое решение задачи рассеяния
плоской звуковой волны однородным упругим эллиптическим цилиндром с
несколькими цилиндрическими полостями кругового сечения.
Рассмотрим бесконечный однородный изотропный упругий эллиптический
цилиндр, имеющий N круговых цилиндрических полостей радиусов
R1 , R2 , . . . , RN , расположенных произвольным образом. При этом оси
полостей и тела являются параллельными. Будем считать, что окружающая
цилиндр жидкость является идеальной и имеет в невозмущенном состоянии
плотность ρ и скорость звука c.
*
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-97509-а).
158
Л. А. Толоконников
Свяжем с цилиндрическим телом прямоугольную систему координат
x, y, z таким образом, чтобы ось z совпадала с осью цилиндра, ось x
была направлена вдоль большой оси эллиптического сечения цилиндра,
ось y дополняла систему координат до правой. Кроме того, введем
прямоугольные системы координат xj , yj , zj
(j = 1, 2, . . . , N ), связанные
с полостями, так, чтобы соответствующие оси всех декартовых координат
были параллельными и одинаково ориентированными.
Пусть из внешнего пространства на цилиндр перпендикулярно оси
z падает плоская монохроматическая звуковая волна с временным
множителем e−iωt . Будем полагать, что волновой вектор k плоской волны
лежит в плоскости xOy и составляет угол θ0 с осью x. Тогда потенциал
скоростей падающей волны имеет вид
Ψ0 = A0 exp[i(k · r − iωt)],
где A0 — амплитуда; r — радиус-вектор; ω — круговая частота;
k · r = k(x cos θ0 + y sin θ0 ); k = ω/c — волновое число внешней среды.
Временной множитель exp(−iωt) в дальнейшем будем опускать.
Определим акустическое поле, рассеянное эллиптическим цилиндром, и
поле смещений в упругом теле.
Свяжем с основной системой координат x, y, z и локальными системами
координат xj , yj , zj цилиндрические системы координат r, θ, z и rj , θj , zj (j =
= 1, 2, . . . , N ).
В цилиндрической системе координат r, θ, z падающая волна
записывается в виде
Ψ0 = A0 exp[ikr cos(θ − θ0 )].
Плоская волна в системе координат r, θ, z может быть представлена
разложением [6]
Ψ0 = A0
∞
X
in Jn (kr)ein(θ−θ0 ) ,
(1)
n=−∞
где Jn (x) — цилиндрическая функция Бесселя порядка n.
Уравнение эллиптического цилиндра в цилиндрической системе
координат имеет вид
r(θ) = a(1 − e sin2 θ)−1/2 ,
¶1/2
µ
ε2
b2
; ε= 1− 2
— эксцентриситет эллиптического сечения
где e = 2
ε −1
a
цилиндра; a и b — большая и малая полуось эллиптического сечения
цилиндра соответственно.
В установившемся режиме колебаний потенциал скоростей отраженной
от эллиптического цилиндра звуковой волны Ψs является решением
О рассеянии плоской звуковой волны упругим эллиптическим цилиндром
159
уравнения Гельмгольца [7]
∆Ψs + k 2 Ψs = 0.
(2)
Потенциал скоростей Ψs должен удовлетворять условиям излучения на
бесконечности. Поэтому решение уравнения (2) будем искать в виде
Ψs =
∞
X
An Hn (k1 r)ein(θ−θ0 ) ,
(3)
n=−∞
где Hn (x) — цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка n.
В силу линейной постановки задачи потенциал скоростей полного
акустического поля Ψ равен
Ψ = Ψ0 + Ψs .
(4)
Скорость частиц и акустическое давление во внешней среде определяются
соответственно по формулам
v = gradΨ;
p = iρωΨ.
(5)
Распространение упругих волн в упругом эллиптическом цилиндре в
установившемся режиме движения описывается скалярным и векторным
уравнениями Гельмгольца [7]
∆Ψl + kl2 Ψl = 0;
(6)
∆Φ + kτ2 Φ = 0,
(7)
где Ψl и Φ — скалярный и векторный потенциалы смещения; kl = ω/cl
— волновое число продольных упругих волн; kτ = ω/cτ — волновое число
поперечных упругих волн.
При этом вектор смещения u определяется по формуле
u = gradΨl + rotΦ,
divΦ = 0,
(8)
а скорости продольных и поперечных волн соответственно равны
p
p
cl = (λ + 2µ)/ρ1 ; cτ = µ/ρ1 ,
где λ и µ — упругие коэффициенты Ламе; ρ1 — равновесная плотность
материала упругого цилиндра.
Волновые поля вне и внутри тела не зависят от координаты z. При этом
Ψl = Ψl (r, θ);
Φ = Φ(r, θ)ez ,
где ez — орт координатной оси z. Тогда векторное уравнение (7) приводится
к одному скалярному уравнению Гельмгольца относительно функции Φ(r, θ).
Будем иметь
∆Φ + kτ2 Φ = 0.
(9)
160
Л. А. Толоконников
Решение уравнения (6) будем искать в виде
N
X
Ψl =
Ψ(j) ,
(10)
j=0
где
Ψ(0) =
∞
X
Bn(0) Jn (kl r)ein(θ−θ0 ) ;
n=−∞
Ψ(j) =
∞
X
Bn(j) Hn (kl rj )ein(θj −θ0 )
(j = 1, 2, . . . , N ).
n=−∞
Решение уравнения (9) будем искать в виде
Φ=
N
X
Φ(j) ,
(11)
j=0
где
Φ(0) =
∞
X
Cn(0) Jn (kτ r)ein(θ−θ0 ) ;
n=−∞
Φ(j) =
∞
X
Cn(j) Hn (kτ rj )ein(θj −θ0 )
(j = 1, 2, . . . , N ).
n=−∞
(j)
(j)
Коэффициенты разложений An , Bn , Cn (j = 0, 1, . . . , N ) подлежат
определению из граничных условий.
Граничные условия на поверхности эллиптического цилиндра r = r(θ)
заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и
жидкости, равенстве нормального напряжения и акустического давления,
отсутствии касательных напряжений:
при r = r(θ)
−iωun = vn ; σnn = −p; σnτ = 0.
(12)
На границах полостей rj = Rj должны выполняться граничные условия,
заключающиеся в отсутствии нормальных и тангенциальных составляющих
тензора напряжений:
при rj = Rj (j = 1, 2, . . . , N )
(j)
σrr
= 0;
(j)
σrθ = 0.
(13)
Граничные условия (12) записаны в основной системе координат, а
условия (13) — в j – ой локальной системе.
Нормальные компоненты вектора скорости v и вектора смещения
u определяются через соответствующие компоненты векторов в
цилиндрической системе координат по формулам
vn = vr cos γ + vθ sin γ;
un = ur cos γ + uθ sin γ,
(14)
О рассеянии плоской звуковой волны упругим эллиптическим цилиндром
161
а нормальные и касательные компоненты тензора напряжений — по
формулам
σnn = σrr cos2 γ + 2σrθ sin γ cos γ + σθθ sin2 γ;
σnτ = (−σrr + σθθ ) sin γ cos γ + σrθ (cos2 γ − sin2 γ);
(15)
где γ — угол между внешней нормалью n к поверхности эллиптического
цилиндра и радиус-вектором r.
При этом
·
µ
¶ ¸−1/2
e sin θ cos θ 2
cos γ = 1 +
.
1 − e sin2 θ
С учетом выражений (5) и (8) получим следующие формулы для
компонент векторов v и u в цилиндрической системе координат:
vr =
ur =
∂Ψ
;
∂r
∂Ψl
1 ∂Φ
+
;
∂r
r ∂θ
vθ =
1 ∂Ψ
;
r ∂θ
uθ =
1 ∂Ψl
∂Φ
−
.
r ∂θ
∂r
(16)
Компоненты тензора напряжений в упругом теле в цилиндрической
системе координат записываются в виде [8]
σrr = λ div u + 2µ
µ
∂ur
;
∂r
¶
1 ∂uθ
ur
σθθ = λ div u + 2µ
+
;
r ∂θ
r
µ
¶
1 ∂ur
∂uθ
uθ
σrθ = µ
+
−
,
r ∂θ
∂r
r
Причем
(17)
div u = ∆Ψl = −kl2 Ψl .
В локальных цилиндрических системах координат rj , θj (j = 1, 2, . . . , N )
компоненты вектора смещений и компоненты тензора напряжений имеют
аналогичные (16) и (17) выражения (компоненты вектора смещений и
тензора напряжений должны быть записаны с индексом j).
Используя выражения (4), (5), (14) – (17), запишем граничные условия
(12) и (13) через искомые функции Ψs , Φ, а затем подставим в эти условия
разложения (1), (3), (10), (11).
В полученных уравнениях будут присутствовать функции координат
основной r, θ и локальных систем rj , θj (j = 1, 2, . . . , N ). На внешней границе
r = r(θ) необходимо все функции записать в основной цилиндрической
координатной системе, а на границах полостей rj = Rj (j = 1, 2, . . . , N ) — в
локальных цилиндрических координатах.
162
Л. А. Толоконников
Для этого воспользуемся теоремами сложения для цилиндрических
волновых функций, которые имеют следующий вид [6]:
∞
X
Hn (krj )einθj =
Hn−m (krjq )Jm (krq )ei(n−m)θjq +imθq ;
m=−∞
∞
X
Jn (krj )einθj =
Jn−m (krjq )Jm (krq )ei(n−m)θjq +imθq ;
m=−∞
j, q = 0, 1, . . . , N.
Здесь через rjq , θjq обозначаются цилиндрические координаты начала q
– ой системы координат Oq в j – ой системе с началом Oj .
Приведенные выше теоремы сложения позволяют функции, записанные
в j – ой системе координат, выразить в q – ой координатной системе. При
этом нулевой индекс относится к основной системе координат.
После подстановки в граничные условия (12) и (13) разложений функций
Ψ0 , Ψs , Ψ(j) , Φ(j) (j = 0, 1, . . . , N ) умножим полученные уравнения на e−isθj и
проинтегрируем по θj в пределах от 0 до 2π.
(j)
(j)
В результате для нахождения коэффициентов An , Bn , Cn (j = 0, 1, . . .
. . . , N ) получим бесконечную систему линейных уравнений
∞
X
[a(1)
ns An
n=−∞
∞
X
(0)
+ b(1)
ns Bn
(0)
+ c(1)
ns Cn
(2) (0)
(2) (0)
[a(2)
ns An + bns Bn + cns Cn +
n=−∞
(p)
(α1nms Bn(p)
p=1 m=−∞
N
∞
X
X
(0)
[b(3)
ns Bn
n=−∞
(j)
d1s Bs(j) + e1s Cs(j) +
=
+
(0)
c(3)
ns Cn
+
N
∞
X
X
(j)
d2s Bs(j) + e2s Cs(j) +
∞
X
(p)
(p)
∞
X
n=−∞
(p)
(p)
(α3nms Bn(p) + β3nms Cn(p) )] = 0;
p=1 m=−∞
∞
X
(0)
(0)
[γ1ns Bn(0) + η1ns Cn(0) +
∞
X
X
(p)
(p)
(p)
(p)
(γ1ns Bn(p) + η1ns Cn(p) )] = 0;
p6=j
(0)
(0)
[γ2ns Bn(0) + η2ns Cn(0) +
n=−∞
s = 0, ±1, ±2, . . . ;
X
(1)
gns
;
n=−∞
(α2nms Bn(p) + β2nms Cn(p) )] =
n=−∞
(j)
(p)
+ β1nms Cn(p) )]
p=1 m=−∞
∞
X
(j)
+
N
∞
X
X
(γ2ns Bn(p) + η2ns Cn(p) )] = 0;
p6=j
j = 1, 2, . . . , N.
Выражения для коэффициентов при неизвестных и правых частей
системы здесь не приводятся ввиду их громоздкости.
Решение бесконечной системы можно найти методом усечения [9].
(j)
(j)
Определив коэффициенты An , Bn , Cn (j = 0, 1, . . . , N ), получаем
аналитическое описание рассеянного акустического поля по формуле (3).
(2)
gns
;
О рассеянии плоской звуковой волны упругим эллиптическим цилиндром
163
Необходимо отметить, что представление рассеянного акустического
поля в виде разложения (3) возможно, если поверхность эллиптического
цилиндра удовлетворяет гипотезе Рэлея [10]. Тогда ряд по цилиндрическим
функциям Ханкеля будет сходящимися. В [11] показано, что для
1
эллиптического цилиндра гипотеза Рэлея справедлива при ε < √ .
2
Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Используя асимптотическую
формулу при kr >> 1 [12]
r
h ³
2
πn
π ´i
Hn (kr) ≈
exp i kr −
−
,
πkr
2
4
из (3) находим
r
Ψs =
где
h ³
a
π ´i
F (θ),
exp i kr −
2r
4
∞
X
2
F (θ) = √
(−in )An exp[in(θ − θ0 )].
πka n=−∞
С помощью выражения для амплитуды рассеяния в дальней зоне поля
| F (θ) | строится диаграмма направленности и частотная характеристика
рассеянного поля.
Список литературы
1. Pillai T.A.K., Varadan V.V., Varadan V.K. Sound scattering by rigid and elastic infinite elliptical cylinders in water // J.Acoust.Soc.Amer. 1982. V. 72, № 3.
P. 1032—1037.
2. Метсавээр Я.А., Векслер Н.Д., Стулов А.С. Дифракция акустических
импульсов на упругих телах. М.: Наука, 1979. 240 с.
3. Родионова Г.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн упругим
эллиптическим цилиндром, помещенным в вязкую жидкость. Деп. в ВИНИТИ,
1988. № 8296–В88. 15 с.
4. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом
эллиптическом цилиндре в вязкой среде // Прикладные задачи механики и
газодинамики. Тула: ТулГУ, 1997. С. 167—172.
5. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. О дифракции плоской звуковой волны на
упругом цилиндре с неконцентрической полостью // Изв. ТулГУ. Технические
науки, 2009. Вып. 1. Ч. 2. С. 11–17.
6. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука
и техника, 1968. 584 с.
7. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 c.
8. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
9. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.:
Физматгиз, 1962. 708 с.
10. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 302 с.
164
Л. А. Толоконников
11. Апельцын В.Ф. Метод неортогональных рядов и гипотеза Рэлея в теории
дифракции // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25. № 3. С. 329—347.
12. Справочник по специальным функциям / под ред. Абрамовица М., Стигана И.
М.: Наука, 1979. 832 с.
Толоконников Лев Алексеевич (tolokonnikovla@mail.ru), д.ф.-м.н.,
профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский
государственный университет.
Scattering of a plane sound wave by an elastic elliptical cylinder
with several cavities
L. A. Tolokonnikov
Abstract. The analytical decision of a problem scattering of a plane sound
wave by an elastic elliptical cylinder with several cavities is received.
Keywords: scattering, sound waves, elastic elliptical cylinder, cylindrical cavities.
Tolokonnikov Lev (tolokonnikovla@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer
science, Tula State University.
Поступила 06.06.2012