Теорема Хелли и вокруг нее
реклама
& ÊÂÀÍT 2009/¹3 Òåîðåìà Õåëëè è âîêðóã íåå Â.ÏÐÎÒÀÑΠÒðóäíî ñ òðåìÿ... Ïîòîì ÷èñëî óæå íå èìååò çíà÷åíèÿ. Â.×åðíûõ. Ìîñêâà ñëåçàì íå âåðèò Í ÅÊÎÒÎÐÛÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÁÚÅÊÒÛ ÈÌÅ- þò ñîáñòâåííûå èìåíà. Òåîðåìà Âèåòà, ïðÿìàÿ Ýéëåðà... Ëþáîé ñòóäåíò-ìàòåìàòèê ê ìîìåíòó îêîí÷àíèÿ óíèâåðñèòåòà çíàåò èõ ñòîëüêî, ÷òî âïîëíå ìîã áû ñäàâàòü ñïåöèàëüíûé ýêçàìåí: êàêîå èìÿ ÷òî îçíà÷àåò. Åñëè Éåíñåí òî íåðàâåíñòâî, åñëè Ôðåäãîëüì òî àëüòåðíàòèâà, à åñëè Ãð¸áíåð òî áàçèñ. Àâñòðèéñêèé ìàòåìàòèê Õåëëè îñòàâèë ïîñëå ñåáÿ òðè âåëèêèå òåîðåìû. Îäíà èç íèõ ÿâëÿåòñÿ òåïåðü íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ âûïóêëîé ãåîìåòðèè, äâå äðóãèå ïðî÷íî ëåãëè â ôóíäàìåíò òåîðèè ôóíêöèé. Âñå òðè îäèíàêîâî âàæíû è ïîëåçíû. Ïîýòîìó ìàòåìàòèêè, íå âäàâàÿñü â ïîäðîáíîñòè, òàê è íàçûâàþò èõ ïî íîìåðàì: ïåðâàÿ, âòîðàÿ è òðåòüÿ òåîðåìû Õåëëè. Ñëó÷àé, íàñêîëüêî íàì èçâåñòíî, óíèêàëüíûé. Îá óäèâèòåëüíîé ñóäüáå àâòîðà òðåõ òåîðåì ìû åùå ïîãîâîðèì, à ïîêà î ìàòåìàòè÷åñêîì ñîäåðæàíèè. Ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà ïåðâîé òåîðåìå Õåëëè. Ýòà òåîðåìà îòíîñèòñÿ ê êðàñèâåéøåé îáëàñòè ìàòåìàòèêè âûïóêëîé ãåîìåòðèè. Íåóæåëè âûïóêëûå ìíîæåñòâà òàê èíòåðåñíû, ÷òî äëÿ íèõ ñîçäàíî îòäåëüíîå íàïðàâëåíèå ìàòåìàòèêè? Äà, õîòÿ ïîíÿëè ýòî ëþäè íå ñðàçó. Îäèí èç ïåðâûõ ðåçóëüòàòîâ âûïóêëîé ãåîìåòðèè òåîðåìà Êîøè î æåñòêîñòè âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ, îòêðûòàÿ â 1813 ãîäó (î íåé ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â ñòàòüå Í.Äîëáèëèíà â «Êâàíòå» ¹ 56 çà 2001 ã.). Ê ñåðåäèíå XX âåêà áûëî óñòàíîâëåíî ìíîæåñòâî èíòåðåñíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ, ïðèñóùèõ òîëüêî âûïóêëûì ôèãóðàì. Ñâîéñòâà ýòè êàñàþòñÿ îáúåìîâ, ñå÷åíèé, îñîáûõ òî÷åê, îáùåé ñòðóêòóðû âûïóêëûõ òåë. Òàê óñèëèÿìè Ìèíêîâñêîãî, Ðàäîíà, Ôåíõåëÿ, Àëåêñàíäðîâà, Êðåéíà, Øíèðåëüìàíà, Áîëòÿíñêîãî, Ðîêàôåëëàðà, Ãðþíáàóìà è ìíîãèõ äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ âûïóêëàÿ ãåîìåòðèÿ îôîðìèëàñü â îòäåëüíóþ äèñöèïëèíó (ñì. îá ýòîì ñòàòüþ Â.Òèõîìèðîâà â «Êâàíòå» ¹ 4 çà 2003 ã.). È ïåðâàÿ òåîðåìà Õåëëè çàíÿëà â íåé äîñòîéíîå ìåñòî. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè äëÿ ëþáîé ïàðû åãî òî÷åê îíî öåëèêîì ñîäåðæèò îòðåçîê ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè (ðèñ.1). Ðèñ. 1 Âûïóêëûå ìíîæåñòâà ìû òàêæå áóäåì íàçûâàòü âûïóêëûìè ôèãóðàìè èëè âûïóêëûìè òåëàìè. Îäíà òî÷êà, êðóã, òðåóãîëüíèê, ïîëóÌîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò,e-mail: v-protassov@yandex.ru 01-24.p65 8 ïëîñêîñòü, âñÿ ïëîñêîñòü âûïóêëûå ôèãóðû. ×åòûðåõóãîëüíèê âûïóêëûé, åñëè âñå åãî âíóòðåííèå óãëû ìåíüøå 180° (ýòî, âïðî÷åì, âåðíî è äëÿ ëþáîãî ìíîãîóãîëüíèêà; ðèñ.2). Äîêàæèòå (ýòî ñîâñåì ëåãêîå óïðàæíåíèå), ÷òî ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî, äàæå áåñêîíå÷íîãî, ÷èñëà âûïóêëûõ ìíîæåñòâ âûïóêëî. Äëÿ ìíîæåñòâ â ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëåíèå âûïóêëîñòè îñòàåòñÿ òàêèì æå. Øàð, òåòðàýäð, ïîëóïðîñòðàíñòâî âûïóêëû. Íàäååìñÿ, ýòî íå î÷åíü óñëîæíèò âîñïðè- Ðèñ. 2 ÿòèå ñòàòüè, åñëè ìû áóäåì ôîðìóëèðîâàòü âñå ðåçóëüòàòû â îáùåì ñëó÷àå, äëÿ ïðîñòðàíñòâà ¡ d , ãäå d = 1, 2 èëè 3 åãî ðàçìåðíîñòü. Òàê, ¡1 ïðÿìàÿ, ¡ 2 ïëîñêîñòü, à ¡ 3 ïðîñòðàíñòâî. Ìû îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî ýòèìè ñëó÷àÿìè, õîòÿ ÷èòàòåëü, çíàêîìûé ñ ïîíÿòèåì d-ìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà (ýòî ìàòåðèàë ïåðâîãî êóðñà èíñòèòóòà), ëåãêî ïåðåíåñåò âñå äîêàçàòåëüñòâà è íà îáùèé ñëó÷àé. Ïåðâàÿ òåîðåìà Õåëëè Òåîðåìà 1 (Õåëëè, 1913).  ïðîñòðàíñòâå ¡ d äàíî êîíå÷íîå ñåìåéñòâî âûïóêëûõ ìíîæåñòâ. Èçâåñòíî, ÷òî ëþáûå d + 1 ìíîæåñòâ ïåðåñåêàþòñÿ. Òîãäà âñå îíè ïåðåñåêàþòñÿ. Èòàê, åñëè ëþáûå, êàêèå íè âçÿòü, d + 1 ìíîæåñòâ íàøåãî ñåìåéñòâà èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî è âñå ìíîæåñòâà èìåþò îáùóþ òî÷êó. Åñëè d = 1, òî ¡1 ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Ëþáîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî íà ïðÿìîé ýòî ÷èñëîâîé ïðîìåæóòîê, ëèáî êîíå÷íûé (îòðåçîê [a;b], èíòåðâàë (a;b) èëè ïîëóèíòåðâàë: [a;b) èëè (a;b]), ëèáî áåñêîíå÷íûé: ëó÷ èëè âñÿ ïðÿìàÿ. Òåîðåìà Õåëëè â ýòîì ñëó÷àå óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè íà ïðÿìîé äàíî êîíå÷íîå ñåìåéñòâî ïðîìåæóòêîâ, ïðè÷åì ëþáûå äâà ïåðåñåêàþòñÿ, òî è âñå îíè ïåðåñåêàþòñÿ. Äîêàçàòü ýòî íåñëîæíî. Ïóñòü, äëÿ ïðîñòîòû, âñå íàøè ïðîìåæóòêè îòðåçêè [ai; bi ] , i = 1, , n. Ñðåäè âñåõ ëåâûõ êîíöîâ ai ýòèõ îòðåçêîâ âîçüìåì íàèáîëüøèé, ïóñòü ýòî áóäåò ak . Ñðåäè âñåõ ïðàâûõ êîíöîâ âîçüìåì íàèìåíüøèé, ïóñòü ýòî áóäåò bm . Åñëè ak £ bm , òî êàæäûé èç äàííûõ îòðåçêîâ [ai ; bi ] ñîäåðæèò îòðåçîê [ ak; bm ] , è âñå äîêàçàíî. Íó à ñëó÷àé ak > bm íåâîçìîæåí: òîãäà îòðåçêè [ ak ; bk ] è [ am ; bm ] íå ïåðåñåêàþòñÿ. 29.05.09, 14:01 ÒÅÎÐÅÌÀ ÕÅËËÈ Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå òåîðåìó Õåëëè â ñëó÷àå d = 1 äëÿ ëþáûõ ïðîìåæóòêîâ. Ñëîæíîñòè íà÷èíàþòñÿ ñ ðàçìåðíîñòè d = 2.  ýòîì ñëó÷àå òåîðåìà Õåëëè óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè íà ïëîñêîñòè äàíî êîíå÷íîå ñåìåéñòâî âûïóêëûõ ìíîæåñòâ, ïðè÷åì ëþáûå òðè ïåðåñåêàþòñÿ, òîãäà è âñå îíè ïåðåñåêàþòñÿ. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Õåëëè ìû ïðîâåäåì äëÿ ñëó÷àÿ d = 2, à ñëó÷àé d = 3 îñòàâèì â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ. Èòàê, íà ïëîñêîñòè äàíû âûïóêëûå ìíîæåñòâà A1,K , A n , ëþáûå òðè èç íèõ ïåðåñåêàþòñÿ. Íàäî äîêàçàòü, ÷òî âñå îíè ïåðåñåêàþòñÿ. Ïðèìåíèì ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ïî ÷èñëó ìíîæåñòâ n. Åñëè n = 3, òî äîêàçûâàòü íå÷åãî. Ïóñòü n ³ 4 , è äàíî, ÷òî ëþáûå n 1 ìíîæåñòâ ïåðåñåêàþòñÿ (ýòî ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè, ïðèìåíåííîå ê ëþáûì n 1 ìíîæåñòâàì íàøåãî ñåìåéñòâà). Äîêàæåì, ÷òî ïåðåñåêàþòñÿ âñå n. Ïðåäïîëîæèì îáðàòíîå: îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Òîãäà äëÿ ëþáîãî i íàéäåòñÿ òî÷êà Mi , ïðèíàäëåæàùàÿ âñåì ìíîæåñòâàì A1,K , A n , êðîìå A i . Íàì ïîíàäîáÿòñÿ òîëüêî ïåðâûå ÷åòûðå èç ýòèõ òî÷åê: M1, M2, M3 è M4 . Åñëè ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà M1M2 M3 M4 , òî âîçüìåì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé M1M3 è M2 M4 è îáîçíà÷èì åå ÷åðåç M (ðèñ.3). Äëÿ êàæäîãî k, îòëè÷íîãî îò 1 è 3, òî÷êè M1 è M3 ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó A k , çíà÷èò (â ñèëó âûïóêëîñòè!), è âåñü îòðåçîê M1M3 ëåæèò â A k , ïîýòîìó M Î A k . Èòàê, M Î A k äëÿ âñåõ k, îòëè÷íûõ îò 1 è 3. Òàê æå ðàññìàòðèâàåì è âòîðóþ äèàãîíàëü M2 M4 , è ïîëó÷àåì, ÷òî M Î A k äëÿ âñåõ k, îòëè÷íûõ îò 2 è 4. Èòàê, òî÷êà M ïðèíàäëåæèò âñåì A k . Åñëè æå òî÷êè íå ÿâëÿþòñÿ âåðøèÐèñ. 3 íàìè âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, òî îäíà èç íèõ ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè â òðåõ äðóãèõ (ïî÷åìó?). Ïóñòü òî÷êà M4 ïðèíàäëåæèò òðåóãîëüíèêó M1M2 M3 (ðèñ.4). Ìíîæåñòâî A 4 ñîäåðæèò âñå òðè âåðøèíû M1M2 M3 , à çíà÷èò, ñîäåðæèò âåñü òðåóãîëüíèê (âíîâü ïîëüçóåìñÿ âûïóêëîñòüþ). Ñëåäîâàòåëüíî, M4 Î A 4 . Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ M4 Î A k ïðè âñåõ k ¹ 4 . Ïîòîìó M4 îáùàÿ òî÷êà âñåõ ìíîæåñòâ Ðèñ. 4 A1,K , A n . Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî èíäóêòèâíîãî ïåðåõîäà îò n 1 ê n, à çíà÷èò, è âñåé òåîðåìû ïðè d = 2. Óïðàæíåíèÿ 2. Ïðèìåíèòå òî æå ðàññóæäåíèå äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Õåëëè â ¡3 . 3. Ïðèâåäèòå ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî òåîðåìà Õåëëè íå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ íåâûïóêëûõ ìíîæåñòâ. Ýòà òåîðåìà âåðíà è äëÿ áåñêîíå÷íîãî ñåìåéñòâà âûïóêëûõ ìíîæåñòâ. Ïðàâäà, ñ îäíèì äîïîëíèòåëü- 01-24.p65 9 È ÂÎÊÐÓà ÍÅÅ ' íûì óñëîâèåì: âñå ìíîæåñòâà äîëæíû áûòü íå òîëüêî âûïóêëû, íî åùå è îãðàíè÷åíû è çàìêíóòû. Ñ îãðàíè÷åííîñòüþ âñå ïîíÿòíî: ìíîæåñòâî îãðàíè÷åíî, åñëè îíî ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì øàðå. À ÷òî çíà÷èò çàìêíóòîñòü? Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè îíî ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê xk , k Î ¥ , êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò A, ñòðåìèòñÿ (ò.å. íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàåòñÿ) ê íåêîòîðîé òî÷êå x, òî ïðåäåëüíàÿ òî÷êà x òàêæå ïðèíàäëåæèò A. Íàïðèìåð, îäíà òî÷êà çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Êðóã áåç ãðàíèöû (îòêðûòûé êðóã) íå çàìêíóò, à ñ ãðàíèöåé çàìêíóò. Íî åñëè âûêîëîòü èç êðóãà ëþáóþ òî÷êó, îí ïåðåñòàåò áûòü çàìêíóòûì. Äëÿ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ ìîæíî ñêàçàòü ïðîùå: çàìêíóòûå ýòî ìíîæåñòâà, âçÿòûå ñî ñâîåé ãðàíèöåé. Èòàê, Òåîðåìà Õåëëè âåðíà è äëÿ áåñêîíå÷íûõ ñåìåéñòâ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ, åñëè âñå ìíîæåñòâà îãðàíè÷åíû è çàìêíóòû. Äîêàçûâàòü ìû ýòîãî íå áóäåì, îòìåòèì òîëüêî, ÷òî è îãðàíè÷åííîñòü è çàìêíóòîñòü ñóùåñòâåííû. Íàïðèìåð, â ñåìåéñòâå ëó÷åé A k = [k; + ¥ ) , k Î ¥ , íà ïðÿìîé ¡1 âñå ìíîæåñòâà âûïóêëû è çàìêíóòû, è ëþáûå äâà ïåðåñåêàþòñÿ, íî âñå îíè íå èìåþò îáùåé òî÷êè. Çäåñü íå âûïîëíåíî óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè. À åñëè íå âûïîëíåíî óñëîâèå çàìêíóòîñòè, êîíòðïðèìåð äàåò æ 1ö ñåìåéñòâî èíòåðâàëîâ A k = ç 0; ÷ , k Î ¥ . è kø Êòî âû, ìèñòåð Õåëëè? Æèçíü Ýäâàðäà Õåëëè ñòîëü æå ÿðêàÿ è íåîáû÷íàÿ, êàê è åãî òåîðåìû. Êàçàëîñü áû, çëàÿ ñóäüáà äåëàëà âñå, ÷òîáû íå äàòü åìó çàíèìàòüñÿ íàóêîé. Õîòÿ íà÷àëî æèçíè îáåùàëî áëèñòàòåëüíóþ êàðüåðó. Çàùèòèâ â 1907 ãîäó äèññåðòàöèþ â Âåíñêîì óíèâåðñèòåòå, 23-ëåòíèé ó÷åíûé áûë íàïðàâëåí íà ãîäîâóþ ñòàæèðîâêó â Ãåðìàíèþ, â Ãåòòèíãåíñêèé óíèâåðñèòåò öåíòð ìèðîâîé ìàòåìàòèêè òîãî âðåìåíè. Åãî ó÷èòåëÿìè ñòàëè Ãèëüáåðò, Ìèíêîâñêèé, Êëåéí. Âåðíóâøèñü â Âåíó, îí çàíÿëñÿ íîâûì ïåðåäîâûì íàïðàâëåíèåì òåîðèåé ôóíêöèé.  1912 ãîäó Õåëëè ïóáëèêóåò ðàáîòó «Über lineare Funktionaloperationen» (Î ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ îïåðàòîðàõ), ãäå äîêàçûâàåò äâå ôóíäàìåíòàëüíûå òåîðåìû, êîòîðûå ñòàëè ïîòîì íàçûâàòüñÿ âòîðîé è òðåòüåé òåîðåìàìè Õåëëè, à êðîìå òîãî, äîêàçûâàåò îäèí èç îñíîâîïîëàãàþùèõ ðåçóëüòàòîâ òåîðèè ôóíêöèé òåîðåìó ÕàíàÁàíàõà (çà 15 ëåò äî Õàíà è çà 20 äî Áàíàõà!). Õåëëè îñîçíàåò èñêëþ÷èòåëüíóþ âàæíîñòü âûïóêëîé ãåîìåòðèè è ÷åðåç ãîä äîêàçûâàåò «ïåðâóþ òåîðåìó Õåëëè». Äà, äà, ïåðâàÿ òåîðåìà Õåëëè ïîÿâèëàñü íà ãîä ïîçæå âòîðîé è òðåòüåé! Íî îïóáëèêîâàòü îí åå íå óñïåë.  1914 ãîäó ãðÿíóëà ïåðâàÿ ìèðîâàÿ âîéíà, è ïîääàííûé ÀâñòðîÂåíãåðñêîé èìïåðèè Ýäâàðä Õåëëè áûë ïðèçâàí íà âîñòî÷íûé ôðîíò âîåâàòü ñ Ðîññèåé. Ïîñëå ãîäà òÿæåëûõ áîåâ ëåéòåíàíò Õåëëè ïîëó÷èë ñìåðòåëüíîå ðàíåíèå: ïóëÿ ïðîøëà ÷åðåç ëåãêîå. Îí ÷óäîì âûæèë, ïîïàë â ðóññêèé ïëåí, íåñêîëüêî ëåò ïðîâåë â ðóññêèõ ãîñïèòàëÿõ, à çàòåì â ëàãåðÿõ äëÿ âîåííîïëåííûõ â Ñèáèðè.  1918 ãîäó âîéíà çàêîí÷èëàñü. Äëÿ âñåõ, íî 29.05.09, 14:01 ÊÂÀÍT 2009/¹3 íå äëÿ ïëåííûõ íà òåððèòîðèè Ðîññèè. Ïîñêîëüêó, êàê ïèñàëè çàïàäíûå èñòîðèêè, «ðóññêèå àðìèè, âìåñòî òîãî ÷òîáû ñëîæèòü îðóæèå, íà÷àëè âîåâàòü äðóã ñ äðóãîì».  Ðîññèè íà÷àëàñü ãðàæäàíñêàÿ âîéíà, ãîëîä, íåðàçáåðèõà. Õåëëè äîáðàëñÿ äî Âëàäèâîñòîêà, îòòóäà â ßïîíèþ, ÷åðåç âñþ Àçèþ äîìîé. Ëèøü â 1920 ãîäó åìó óäàëîñü âåðíóòüñÿ â Âåíó, ãäå îí (ïîñëå øåñòèëåòíåãî ïåðåðûâà!) âîçâðàùàåòñÿ ê íàó÷íûì çàíÿòèÿì è ïîëó÷àåò ðÿä ñèëüíûõ ðåçóëüòàòîâ. Íåñìîòðÿ íà ýòî, óñòðîèòüñÿ íà ïðåïîäàâàòåëüñêóþ ðàáîòó îí íå ñìîã: âñå ìåñòà â óíèâåðñèòåòàõ áûëè çàíÿòû ìîëîäûìè, è òðèäöàòèñåìèëåòíèé èíâàëèä âîéíû îêàçàëñÿ íèêîìó íå íóæíûì. Íî Õåëëè íå ñäàåòñÿ: çàðàáàòûâàåò ðåïåòèòîðñòâîì, ïèøåò «ðåøåáíèêè», äàæå ðàáîòàåò â áàíêå, à ïîñëå â ñòðàõîâîé êîìïàíèè. Ïîñòåïåííî åãî æèçíü óñòðàèâàåòñÿ, ñëóæáà â ñòðàõîâîé êîìïàíèè ïðèíîñèò õîðîøèé äîõîä, îñòàâëÿÿ âðåìÿ äëÿ íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé, êîòîðûå îí íå ïðåêðàùàåò íè íà äåíü. Êàçàëîñü áû ÷åðíàÿ ïîëîñà â æèçíè ïðîøëà. Íî â 1938 ãîäó â Âåíó âõîäÿò íàöèñòû (ïå÷àëüíî èçâåñòíûé «àíøëþñ Àâñòðèè»), è åâðåÿ Õåëëè óâîëüíÿþò, ïîäâåðãàþò ïðåñëåäîâàíèÿì. Îí ïðèíèìàåò ðåøåíèå ýìèãðèðîâàòü ñ ñåìüåé â ÑØÀ. Åñëè áû îí ýòîãî íå ñäåëàë, òî, âåðîÿòíî, îêàçàëñÿ áû â ãàçîâîé êàìåðå. Æèçíü â Àìåðèêå ïîíà÷àëó áûëà íåëåãêîé: ñòðàíà ïåðåïîëíåíà ó÷åíûìè èç Åâðîïû, áåæàâøèìè îò ôàøèçìà. Ëèøü ïîääåðæêà è ïîìîùü Àëüáåðòà Ýéíøòåéíà ïîçâîëèëè Õåëëè ïîëó÷èòü ðàáîòó â óíèâåðñèòåòå, ãäå îí íàêîíåöòî ñìîã ïîëíîñòüþ ñêîíöåíòðèðîâàòüñÿ íà íàó÷íîé ðàáîòå. Ïðèëîæåíèÿ òåîðåìû Õåëëè Ìû íà÷íåì ñ ïðèìåíåíèé òåîðåìû Õåëëè ê çàäà÷àì ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè. Çàäà÷à 1. Íà ïëîñêîñòè äàíî ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî òî÷åê. Ëþáûå òðè èç íèõ ìîæíî íàêðûòü êðóãîì ðàäèóñà 1. Òîãäà 1 è âñå ìíîæåñòâî ìîæíî íàêðûòü êðóãîì ðàäèóñà 1. Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì òåîðåìó Õåëëè ê ñåìåéñòâó çàìêíóòûõ êðóãîâ åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ äàííîãî ìíîæåñòâà. Ëþáûå òðè êðóãà ïåðåñåêàþòñÿ (èõ îáùàÿ òî÷êà öåíòð åäèíè÷íîãî êðóãà, êîòîðûé ïîêðûâàåò òðè ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè). Çíà÷èò, âñå êðóãè èìåþò íåêîòîðóþ îáùóþ òî÷êó O. Òîãäà åäèíè÷íûé êðóã ñ öåíòðîì O ñîäåðæèò âñå òî÷êè íàøåãî ìíîæåñòâà. Ðåøåíèå çàäà÷è 1 ñ ïðèìåíåíèåì òåîðåìû Õåëëè ïîÿâèëîñü âïåðâûå â 1941 ãîäó â ðàáîòå Áëþìåíòàëÿ è Âàëèíà. Îäíàêî â òîì æå ãîäó åãî íåçàâèñèìî ïîëó÷èë ó÷åíèê 182 ìîñêîâñêîé øêîëû Ìèøà Áîíãàðä. Ñëó÷èëîñü ýòî òàê. Çàäà÷à 1 áûëà ïðåäëîæåíà íà ñåäüìîé Ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå øêîëüíèêîâ âåñíîé 1941 ãîäà. Åå àâòîðû ïðåäïîëàãàëè äðóãîå ðåøåíèå. Îäíàêî Ì.Áîíãàðä ñâåë çàäà÷ó ê òåîðåìå Õåëëè, êîòîðóþ, êîíå÷íî æå, íå çíàë, íî äîñòàòî÷íî áûñòðî äîêàçàë äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà âñå âûïóêëûå ôèãóðû îäèíàêîâûå êðóãè.  òîì æå ãîäó òàëàíòëèâûé 1  ôîðìóëèðîâêàõ çàäà÷ è óïðàæíåíèé ìû áóäåì îïóñêàòü ñëîâà «Äîêàæèòå, ÷òî...» 01-24.p65 10 øêîëüíèê ïîñòóïèë â óíèâåðñèòåò, íî íà÷àâøàÿñÿ âîéíà ïðåðâàëà âñå æèçíåííûå ïëàíû. Îí óøåë íà ôðîíò, áûë ðàíåí. Ïîñëå âîéíû Ìèõàèë Ìîèñååâè÷ Áîíãàðä ñòàë êðóïíåéøèì ìàòåìàòèêîì, îäíèì èç îñíîâîïîëîæíèêîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è òåîðèè ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ. Âîò åùå îäíî ïðèìåíåíèå òåîðåìû Õåëëè ê ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷å. Äàí ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé ñåìèóãîëüíèê. Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå âûïóêëûå ïÿòèóãîëüíèêè ñ âåðøèíàìè â âåðøèíàõ ñåìèóãîëüíèêà. Ñêîëüêî âñåãî òàêèõ ïÿòèóãîëüíèêîâ? Ðîâíî 21.  ñàìîì äåëå, êàæäîìó ïÿòèóãîëüíèêó ñîîòâåòñòâóåò ïàðà âåðøèí (ñåìèóãîëüíèêà), êîòîðûå îí íå ñîäåðæèò. Ïîýòîìó ïÿòèóãîëüíèêîâ ñòîëüêî, ñêîëüêî ïàð âåðøèí ó ñåìèóãîëüíèêà, ÷òî ðàâíî ÷èñëó ñî÷åòàíèé èç 7×6 7 ïî 2, à ýòî = 21 . Îêàçûâàåòñÿ, âñå ýòè ïÿòèóãîëü2 íèêè èìåþò îáùóþ òî÷êó! Çàäà÷à 2. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âûïóêëîãî ñåìèóãîëüíèêà âñå âûïóêëûå ïÿòèóãîëüíèêè ñ âåðøèíàìè â âåðøèíàõ ñåìèóãîëüíèêà èìåþò îáùóþ òî÷êó. Ðåøåíèå. Êàæäûé ïÿòèóãîëüíèê íå ñîäåðæèò ðîâíî äâå âåðøèíû ñåìèóãîëüíèêà, ïîýòîìó ëþáûå òðè ïÿòèóãîëüíèêà èìåþò îáùóþ âåðøèíó, à çíà÷èò ïåðåñåêàþòñÿ. Îñòàåòñÿ ïðèìåíèòü òåîðåìó Õåëëè. Ñëåäóþùèé ïðèìåð èç àëãåáðû. Íàïîìíèì, ÷òî ëèíåéíûì íåðàâåíñòâîì ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâî âèäà ax + by + c < 0 (ñòðîãîå íåðàâåíñòâî) èëè ax + by + c £ 0 (íåñòðîãîå). Çàäà÷à 3. Äàíà ñèñòåìà èç 100 ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ. Åñëè ëþáûå òðè èç íèõ èìåþò îáùåå ðåøåíèå, òî è âñÿ ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå. Ðåøåíèå. Ìíîæåñòâî òî÷åê (x; y), óäîâëåòâîðÿþùèõ ëèíåéíîìó íåðàâåíñòâó, ÿâëÿåòñÿ ïîëóïëîñêîñòüþ, ëèáî, â èñêëþ÷èòåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà a = b = = 0, c < 0 (èëè c £ 0 ), ïëîñêîñòüþ.  ëþáîì ñëó÷àå ýòî ìíîæåñòâî âûïóêëî. Òåïåðü ïðèìåíÿåì òåîðåìó Õåëëè. Çàäà÷à 4. Íà ïëîñêîñòè äàíû íåñêîëüêî ïàðàëëåëüíûõ îòðåçêîâ. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáûõ òðåõ îòðåçêîâ íàéäåòñÿ ïðÿìàÿ, èõ ïåðåñåêàþùàÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ âñå ýòè îòðåçêè. Ôîðìóëèðîâêà ýòîé çàäà÷è âïîëíå ýëåìåíòàðíà, à âîò ðåøåíèå íåò. Íóæíî áóäåò ðàññìîòðåòü âûïóêëûå ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå íå èç òî÷åê, à èç ïðÿìûõ. Ñ ýòèì ïðèåìîì ìû âñòðåòèìñÿ è â äàëüíåéøåì. Ðåøåíèå. Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàê, ÷òî îñü Oy ïàðàëëåëüíà äàííûì îòðåçêàì. Ëþáîé èç îòðåçêîâ ñîñòîèò èç òî÷åê (x;y), äëÿ êîòîðûõ x = x0 , y1 £ £ y £ y2 , ãäå x0 , y1, y2 íåêîòîðûå ÷èñëà. Ïðÿìàÿ y = kx + b ïåðåñåêàåò ýòîò îòðåçîê, åñëè y1 £ kx0 + + b £ y2 . Ïîñòàâèì ýòîé ïðÿìîé â ñîîòâåòñòâèå òî÷êó (k;b) Î ¡2 . Ìíîæåñòâî òî÷åê-ïðÿìûõ (k;b), ïåðåñåêàþùèõ äàííûé îòðåçîê, óäîâëåòâîðÿåò äâóì ëèíåéíûì íåðàâåíñòâàì, à çíà÷èò âûïóêëî. Ëþáûå òðè òàêèõ ìíîæåñòâà ïåðåñåêàþòñÿ, ïîñêîëüêó ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ òðè îòðåçêà. Ïîýòîìó âñå ìíîæåñòâà èìåþò îáùóþ òî÷êó, ò.å. ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ âñå îòðåçêè. 29.05.09, 14:01 ÒÅÎÐÅÌÀ ÕÅËËÈ È ÂÎÊÐÓà ÍÅÅ Óïðàæíåíèÿ 4. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîã çàäà÷è 1 â ïðîñòðàíñòâå ¡3 . 5. Íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè äàíî íåñêîëüêî âåðòèêàëüíûõ îòðåçêîâ. Åñëè äëÿ ëþáûõ òðåõ îòðåçêîâ ñóùåñòâóåò ïàðàáîëà y = x2 + px + q , êîòîðàÿ èõ ïåðåñåêàåò, òî íàéäåòñÿ òàêàÿ ïàðàáîëà, ïåðåñåêàþùàÿ ñðàçó âñå îòðåçêè. Òåîðåìà ÌèíêîâñêîãîÐàäîíà Òåïåðü ïåðåéäåì ê áîëåå çíà÷èìûì ïðèëîæåíèÿì òåîðåìû Õåëëè, ñîñòàâëÿþùèì âïîëíå ñàìîñòîÿòåëüíûå è âàæíûå òåîðåìû. Ïåðâàÿ èç íèõ áûëà äîêàçàíà â 1911 ãîäó âåëèêèì íåìåöêèì ìàòåìàòèêîì Ãåðìàíîì Ìèíêîâñêèì (18641909), îäíèì èç îñíîâàòåëåé âûïóêëîé ãåîìåòðèè è âûïóêëîãî àíàëèçà, à çàòåì óñèëåíà åãî ó÷åíèêîì Èîãàíåñîì Ðàäîíîì (18871956). Ýòà òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò îäíî îáùåå ãåîìåòðè÷åñêîå ñâîéñòâî âñåõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ. Òåîðåìà 2 (Ìèíêîâñêèé, 1911; Ðàäîí,1916). Âíóòðè ïðîèçâîëüíîãî îãðàíè÷åííîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâà â ïðîñòðàíñòâå ¡ d íàéäåòñÿ òî÷êà M, îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîé õîðäû AB, AM £d. ïðîõîäÿùåé ÷åðåç M, èìååì BM Äëÿ äàííîãî îãðàíè÷åííîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâà G íàèìåíüøåå ÷èñëî γ , äëÿ êîòîðîãî íàéäåòñÿ òî÷êà M AM £ γ äëÿ ëþáîé õîðäû AB, ïðîõîäÿùåé òàêàÿ, ÷òî BM ÷åðåç M, íàçûâàåòñÿ êîíñòàíòîé ÌèíêîâñêîãîÐàäîíà. Ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ýòó êîíñòàíòó γ (G ) . ßñíî, ÷òî âñåãäà γ (G ) ³ 1 .  ñàìîì äåëå, äëÿ ïðîèçâîëüíîé AM ³ 1 , èíà÷å ïîìåíÿåì õîðäû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî BM ìåñòàìè òî÷êè A è B. C äðóãîé ñòîðîíû, íàïðèìåð, äëÿ êðóãà íà ïëîñêîñòè γ (G ) = 1 , òî æå äëÿ øàðà â ïðîñòðàíñòâå ¡ 3 . Ýòî æå âåðíî äëÿ ëþáîé öåíòðàëüíîñèììåòðè÷íîé âûïóêëîé ôèãóðû, ïîñêîëüêó, ïîìåñòèâ AM = 1 äëÿ òî÷êó M â öåíòð ñèììåòðèè, ïîëó÷èì BM ëþáîé õîðäû. Ïîýòîìó äëÿ ïðÿìîóãîëüíèêà èëè äëÿ êóáà êîíñòàíòà ÌèíêîâñêîãîÐàäîíà ðàâíà 1. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè γ (G ) = 1 , òî ôèãóðà G èìååò öåíòð ñèììåòðèè (óïðàæíåíèå 6). Òàêèì îáðàçîì, êîíñòàíòà ÌèíêîâñêîãîÐàäîíà ýòî ñâîåãî ðîäà ìåðà íåñèììåòðè÷íîñòè ôèãóðû. Òåîðåìà 2 óòâåðæäàåò, ÷òî «ñëèøêîì íåñèììåòðè÷íûõ» âûïóêëûõ ôèãóð íå áûâàåò, äëÿ êàæäîé èç íèõ γ £ d . Òàê, ó ëþáîé ïëîñêîé ôèãóðû γ £ 2 , à ó ëþáîé ïðîñòðàíñòâåííîé γ £ 3 . Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ ïëîñêîñòè (d = 2). Äëÿ êàæäîé òî÷êè A Î G îáîçíà÷èì ÷åðåç G A ôèãó2 ðó, ãîìîòåòè÷íóþ G ñ êîýôôèöèåíòîì îòíîñèòåëüíî 3 òî÷êè A. Èíûìè ñëîâàìè, G A ïîëó÷àåòñÿ èç ôèãóðû 2 G ñæàòèåì îòíîñèòåëüíî òî÷êè A ñ êîýôôèöèåíòîì . 3 Äëÿ ëþáûõ òðåõ òî÷åê A1, A2, A3 Î G ôèãóðû G A1 , G A2 è G A3 èìåþò îáùóþ òî÷êó K òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí òðåóãîëüíèêà A1 A2 A3 (ðèñ.5).  ñàìîì äåëå, åñëè P ñåðåäèíà îòðåçêà A2 A3 , òî ïî ñâîéñòâó ìåäèàí A1K 2 = , à òàê êàê P Î G (âûïóêëîñòü!), òî K Î G A1 . A1P 3 01-24.p65 11 Ðèñ. 5 Ðèñ. 6 Àíàëîãè÷íî, K Î G A2 è K Î G A3 . Ïðèìåíèâ òåîðåìó Õåëëè, ïîëó÷àåì, ÷òî âñå ôèãóðû G A , A Î G , ïåðåñåêàþòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå M (ðèñ.6). Åñëè ïðîâåñòè AM 2 £ , ïî÷åðåç M ïðîèçâîëüíóþ õîðäó AB, òî AB 3 AM £ 2. ñêîëüêó M Î G A , à çíà÷èò, BM Êàêàÿ æå ôèãóðà ÿâëÿåòñÿ ñàìîé íåñèììåòðè÷íîé, ò.å. ó êàêîé ôèãóðû γ = d ? Îòâåò âïîëíå îæèäàåì: íà ïëîñêîñòè ýòî òðåóãîëüíèê, ïðè÷åì ëþáîé, à â ïðîñòðàíñòâå òåòðàýäð (óïðàæíåíèå 8). Óäèâèòåëüíî äðóãîå. Îêàçûâàåòñÿ, ýòî åäèíñòâåííûå ôèãóðû (â ðàçìåðíîñòÿõ 2 è 3), äëÿ êîòîðûõ êîíñòàíòà ÌèíêîâñêîãîÐàäîíà ðàâíà d, ó âñåõ îñòàëüíûõ ôèãóð îíà ìåíüøå! Óïðàæíåíèÿ 6. Åñëè êîíñòàíòà ÌèíêîâñêîãîÐàäîíà çàìêíóòîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâà ðàâíà 1, òî ìíîæåñòâî èìååò öåíòð ñèììåòðèè. 7. Äîêàæèòå òåîðåìó ÌèíêîâñêîãîÐàäîíà â ¡3 . 8. Äëÿ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà γ = 2 , à äëÿ ëþáîãî òåòðàýäðà γ = 3. 9. Âû÷èñëèòå êîíñòàíòó ÌèíêîâñêîãîÐàäîíà a) äëÿ òðàïåöèè ñî ñòîðîíàìè 1,1,1 è 2; á) äëÿ ïðÿìîãî êðóãîâîãî êîíóñà; â) äëÿ ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìû. 3 10. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ïëîñêîé ôèãóðû, ó êîòîðîé γ = . 2 11*. Åñëè äëÿ ïëîñêîé ôèãóðû γ = 2 , òî ýòî òðåóãîëüíèê. Åñëè äëÿ âûïóêëîãî òåëà â ¡3 γ = 3 , òî ýòî òåòðàýäð. (Ôèãóðó è òåëî ñ÷èòàåì çàìêíóòûìè.) Íåðàâåíñòâî Þíãà Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî íà ïëîñêîñòè, êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå, âûïóêëîå èëè íåò. Èçâåñòíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ åãî òî÷êàìè íå ïðåâîñõîäèò 1. Èíòåðåñíî, êðóãîì êàêîãî ðàäèóñà ìîæíî íàêðûòü ýòî ìíîæåñòâî? ×òîáû ñòðîãî ïîñòàâèòü çàäà÷ó, ìû îãðàíè÷èìñÿ çàìêíóòûìè ìíîæåñòâàìè (ýòî ñäåëàíî äëÿ óäîáñòâà è, âîîáùå ãîâîðÿ, íåñóùåñòâåííî) è ââåäåì äâà îáîçíà÷åíèÿ. Äèàìåòðîì îãðàíè÷åííîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ åãî òî÷êàìè. Äèàìåòð ìíîæåñòâà ìû áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâîé D, à íàèìåíüøèé ðàäèóñ êðóãà (â ¡ 3 øàðà), â êîòîðîì ïîìåùàåòñÿ ýòî ìíîæåñòâî, ÷åðåç R. ßñíî, ÷òî âñåãäà R £ D .  ñàìîì äåëå, êðóã (øàð) ðàäèóñà 29.05.09, 14:01 ÊÂÀÍT 2009/¹3 D ñ öåíòðîì â ëþáîé èç òî÷åê äàííîãî ìíîæåñòâà ñîäåðæèò âñå ìíîæåñòâî. Ìîæíî ëè îáîéòèñü ìåíüøèì ðàäèóñîì âîò âîïðîñ. Äëÿ íåêîòîðûõ ìíîæåñòâ äà. Íàïðèìåð, ïðÿìîóãîëüíèê äèàìåòðà D ìîæíî íàêðûòü êðóãîì ðàäèóñà D/2. Äåéñòâèòåëüíî, äèàìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâåí åãî äèàãîíàëè, à ðàäèóñ îïèñàííîãî êðóãà ðàâåí åå ïîëîâèíå. Òàê ÷òî äëÿ ïðÿìîóãîëüíèêà R = D/2. Íà ñàìîì äåëå ýòî âåðíî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà, èìåþùåãî öåíòð ñèììåòðèè (óïðàæíåíèå 12). À âîò äëÿ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ðàäèóñ 3 D . Îêàçûíàêðûâàþùåãî êðóãà ÷óòü áîëüøå: R = 3 âàåòñÿ, ÷òî òàêîãî ðàäèóñà õâàòèò íå òîëüêî äëÿ òðåóãîëüíèêà, íî è äëÿ ëþáîãî ïëîñêîãî ìíîæåñòâà. Ýòà òåîðåìà áûëà äîêàçàíà â 1901 ã. íåìåöêèì ìàòåìàòèêîì Ãåíðèõîì Þíãîì. Òåîðåìà 3 (Þíã, 1901). Ëþáîå îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî A Ì ¡ d äèàìåòðà D ìîæíî ïîìåñòèòü â øàð ðàäèóñà d D. 2 ( d + 1) d D . Ýòî íåðàâåíñòâî Þíãà 2 ( d + 1) ìåæäó äèàìåòðîì ìíîæåñòâà è ðàäèóñîì íàêðûâàþùåãî øàðà. Òàê, äëÿ ëþáîãî ïëîñêîãî ìíîæåñòâà 2 3 R£D D . Êàê ìû âèäåëè, ðàâåíñòâî = 2 (2 + 1) 3 äîñòèãàåòñÿ äëÿ ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà. À äëÿ Èòàê, R £ ëþáîãî ìíîæåñòâà â ¡ 3 ïîëó÷àåì R £ D 3 = 2 ( 3 + 1) 3 D , ÷òî â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò ïðàâèëüíîìó 8 òåòðàýäðó. Íåðàâåíñòâî Þíãà äîêàçàíî çà 12 ëåò äî ïîÿâëåíèÿ òåîðåìû Õåëëè. Íî ìàòåìàòèêà íå âñåãäà ïîä÷èíÿåòñÿ õðîíîëîãèè. È íåðàâåíñòâî Þíãà åñòåñòâåííîå ñëåäñòâèå òåîðåìû Õåëëè. À óâèäåòü ýòî íàì ïîìîæåò çàäà÷à 1 (ñì. âûøå). Ìû äîêàæåì òåîðåìó 3 ïîêà òîëüêî äëÿ ïëîñêèõ ìíîæåñòâ, ò.å. ïðè d = 2. 3 D Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3. Îáîçíà÷èì R2 = 3 è äîêàæåì, ÷òî ëþáûå òðè òî÷êè ìíîæåñòâà A ìîæíî íàêðûòü êðóãîì ðàäèóñà R2 . Âîñïîëüçîâàâøèñü çàäà÷åé 1, ïîëó÷èì, ÷òî ìíîæåñòâî A öåëèêîì íàêðûâàåòñÿ êðóãîì ðàäèóñà R2 , ÷òî è íóæíî. Âîçüìåì ëþáûå òðè òî÷êè ìíîæåñòâà A. Îíè ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà , , âñå ñòîðîíû êîòîðîãî íå ïðåâîñõîäÿò D. Åñëè , ïðÿìîóãîëüíûé èëè òóïîóãîëüíûé (âêëþ÷àÿ âûðîæäåííûé ñëó÷àé, êîãäà âåðøèíû ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé), òî êðóã, ïîñòðîåííûé íà åãî íàèáîëüøåé ñòîðîíå êàê íà äèàìåòðå, ñîäåðæèò , . Ðàäèóñ ýòîãî êðóãà íå ïðåâîñõîäèò D/2, ÷òî äàæå ìåíüøå, ÷åì íóæíî. Åñëè æå , îñòðîóãîëüíûé, òî íàèáîëüøèé èç åãî óãëîâ ³ 60° , è ïî òåîðåìå ñèíóñîâ ðàäèóñ åãî = 3 D = D. 2 sin 60° 3 Òåïåðü âïîëíå îæèäàåìî áûëî áû óïðàæíåíèå äëÿ ÷èòàòåëÿ «äîêàæèòå òåîðåìó 3 â ïðîñòðàíñòâå ¡ 3 ». îïèñàííîãî êðóãà íå ïðåâîñõîäèò 01-24.p65 12 Îäíàêî, â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùèõ ïðèìåðîâ, ñäåëàòü ýòî íå òàê ïðîñòî, òðåõìåðíûé ñëó÷àé çäåñü ñèëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ïëîñêîãî. Ïðè÷åì íà÷àëî äîêàçàòåëüñòâà ñîâïàäàåò ïî÷òè äîñëîâíî: ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Õåëëè òåîðåìà 3 ñâîäèòñÿ ê ÷åòûðåì òî÷êàì (óïðàæíåíèå 4), ò.å. ê ñëåäóþùåìó óòâåðæäåíèþ: Òåòðàýäð, âñå ðåáðà êîòîðîãî íå ïðåâîñõîäÿò D, 3 D. 8 Îñòàëîñü «âñåãî ëèøü» ýòî äîêàçàòü. Çäåñü, îäíàêî, íàñ ïîäñòåðåãàþò òðóäíîñòè. Íàøå ðàññóæäåíèå ñ òðåóãîëüíèêîì íåëüçÿ ïðÿìî ïåðåíåñòè íà òåòðàýäð. Íåÿñíî, ÷òî çíà÷èò «òóïîóãîëüíûé òåòðàýäð», è íåò òåîðåìû ñèíóñîâ, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìîæíî áûëî áû íàéòè ðàäèóñ îïèñàííîé ñôåðû ÷åðåç äëèíó ðåáðà. Ïðèäåòñÿ èäòè äðóãèì, áîëåå äëèííûì ïóòåì. ñîäåðæèòñÿ â êðóãå ðàäèóñà R3 = ×èòàòåëü ìîæåò ïðîïóñòèòü ýòî ðàññóæäåíèå è ñðàçó ïåðåéòè ê óïðàæíåíèÿì èëè ê ñëåäóþùåìó ðàçäåëó. À äëÿ òåõ, êòî âñå æå õî÷åò ðàçîáðàòüñÿ ñ òðåõìåðíûì íåðàâåíñòâîì Þíãà, ìû íàìåòèì êîíòóðû äîêàçàòåëüñòâà. 1) Âîçüìåì øàð íàèìåíüøåãî ðàäèóñà, ñîäåðæàùèé äàííûé òåòðàýäð , . Ýòî, íåâèííîå íà ïåðâûé âçãëÿä, ïðåäïîëîæåíèå âûçîâåò ïðîòåñò ó âñÿêîãî ìàòåìàòèêà. À ïî÷åìó òàêîé øàð ñóùåñòâóåò, ïî÷åìó íàèìåíüøèé ðàäèóñ äîñòèãàåòñÿ? Ýòîò ôàêò òðåáóåò îáúÿñíåíèÿ!  äàííîì ñëó÷àå íàèìåíüøèé øàð äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóåò, è ìàòåìàòèê ñêàæåò, ÷òî «ýòî ñëåäóåò èç ñîîáðàæåíèé êîìïàêòíîñòè». Ìû íå áóäåì ïðèâîäèòü ñòðîãîãî äîêàçàòåëüñòâà, ýòî çàâåëî áû íàñ ñëèøêîì äàëåêî â îáëàñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ïîâåðèì, ÷òî íàèìåíüøèé øàð ñóùåñòâóåò. 2) Èòàê, ó êàæäîãî òåòðàýäðà , åñòü øàð íàèìåíüøåãî ðàäèóñà, åãî ñîäåðæàùèé. Îáîçíà÷èì ðàäèóñ ýòîãî øàðà êàê R , . Ñðåäè âñåõ òåòðàýäðîâ, ó êîòîðûõ äëèíû ðåáåð íå ïðåâîñõîäÿò D, íàéäåòñÿ òåòðàýäð ñ íàèáîëüøèì çíà÷åíèåì R , . Ìû âíîâü îïóñòèì äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ýòîò òåòðàýäð ñóùåñòâóåò, ñêàæåì òîëüêî, ÷òî ýòî îïÿòü «ñëåäóåò èç ñîîáðàæåíèé êîìïàêòíîñòè». Íàçîâåì ýòîò òåòðàýäð A1 A2 A3 A4 . Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî R , £ R3 . 3) Åñëè íè îäíà èç âåðøèí òåòðàýäðà íå ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè íàèìåíüøåãî øàðà, òî ðàäèóñ øàðà ìîæíî óìåíüøèòü òàê, ÷òîáû îí ïî-ïðåæíåìó ñîäåðæàë òåòðàýäð. Çíà÷èò, øàð íå íàèìåíüøèé. Òî æå, åñëè òîëüêî îäíà âåðøèíà ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè øàðà. Åñëè ðîâíî äâå âåðøèíû, íàïðèìåð A1 è A2 , ëåæàò íà ïîâåðõíîñòè øàðà, òî A1 A2 åãî äèàìåòð, èíà÷å ðàäèóñ øàðà âíîâü ìîæíî óìåíüøèòü. Ñëåäîâàòåëüíî, 1 1 â ýòîì ñëó÷àå R , = A1 A2 £ D < R3 . Íàêîíåö, åñëè 2 2 ðîâíî òðè âåðøèíû, íàïðèìåð, A1, A2 è A3 , ëåæàò íà ïîâåðõíîñòè øàðà, òî åãî öåíòð ëåæèò â ïëîñêîñòè A1 A2 A3 , à ñå÷åíèå øàðà ýòîé ïëîñêîñòüþ åñòü êðóã íàèìåíüøåãî ðàäèóñà, ñîäåðæàùèé òðåóãîëüíèê A1 A2 A3 , â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îïÿòü ðàäèóñ øàðà ìîæíî óìåíüøèòü. Ñîãëàñíî äîêàçàííîìó íàìè íåðàâåíñòâó Þíãà äëÿ ïëîñêîñòè, ðàäèóñ êðóãà, à çíà÷èò è ðàâíûé åìó ðàäèóñ øàðà, íå ïðåâîñõîäèò R2 , ÷òî ìåíüøå R3 . Èòàê, îñòàëñÿ ïîñëåäíèé ñëó÷àé: âñå ÷åòûðå âåðøèíû òåòðàýäðà ëåæàò íà ïîâåðõíîñòè øàðà, ò.å. îí ÿâëÿåòñÿ îïèñàííûì øàðîì òåòðàýäðà. 4) Åñëè òåòðàýäð , ïðàâèëüíûé ñ äëèíîé ðåáðà D, òî ðàäèóñ åãî îïèñàííîãî øàðà êàê ðàç ðàâåí R3 . Åñëè æå òåòðàýäð íå ïðàâèëüíûé, òî îäíî èç åãî ðåáåð, íàïðèìåð A3 A4 , ìåíüøå D. Çàôèêñèðóåì ãðàíü A1 A2 A3 , à ãðàíü A1 A2 A4 áóäåì ïîâîðà÷èâàòü îòíîñèòåëüíî ðåáðà A1 A2 . Òàêèì îáðàçîì, ìû ìåíÿåì äâóãðàííûé óãîë ìåæäó ãðàíÿìè, à 29.05.09, 14:01 ÒÅÎÐÅÌÀ ÕÅËËÈ ñàìè ãðàíè íå èçìåíÿåì. Ïî êàêîé ëèíèè áóäåò äâèãàòüñÿ ïðè ýòîì öåíòð O îïèñàííîãî øàðà òåòðàýäðà? Ïî ïåðïåíäèêóëÿðó, âîññòàâëåííîìó ê ãðàíè A1 A2 A3 â öåíòðå åå îïèñàííîé îêðóæíîñòè (ðèñ.7). ×åì áëèæå òî÷êà O ê ïëîñêîñòè ãðàíè, òåì ìåíüøå ðàäèóñ îïèñàííîãî øàðà, à ÷åì äàëüøå òåì áîëüøå. Çíà÷èò, íåìíîãî èçìåíèâ äâóãðàííûé Ðèñ. 7 óãîë ëèáî óâåëè÷èâ, ëèáî óìåíüøèâ åãî, ìîæíî ïåðåìåñòèòü òî÷êó O äàëüøå îò ãðàíè, à çíà÷èò, óâåëè÷èòü ðàäèóñ îïèñàííîãî øàðà. Ïðè÷åì, òàê êàê äâóãðàííûé óãîë èçìåíèëñÿ ìàëî, ðåáðî A3 A4 êàê áûëî, òàê è îñòàíåòñÿ ìåíüøå D, à äëèíû îñòàëüíûõ ðåáåð íå ïîìåíÿëèñü âîâñå. Çíà÷èò, òåòðàýäðó , íå ñîîòâåòñòâîâàë íàèáîëüøèé ðàäèóñ øàðà. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå, ÷åì è çàâåðøàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî. Óïðàæíåíèÿ 12. Äëÿ ëþáîãî öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîãî ìíîæåñòâà R = = D/2. 13. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè R = D/2, òî ìíîæåñòâî èìååò öåíòð ñèììåòðèè? 14. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè äëÿ âûïóêëîãî ïëîñêîãî ìíîæåñòâà 3 R= D , òî ýòî ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê? 3 Çâåçäíûå ìíîæåñòâà è òåîðåìà Êðàñíîñåëüñêîãî Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ìû ïîïàëè â êîìíàòó âåñüìà ïðè÷óäëèâîé ôîðìû, íå ïðÿìîóãîëüíóþ è äàæå íå âûïóêëóþ. Èç êàæäîãî ìåñòà â êîìíàòå ìû ìîæåì ðàçãëÿäåòü ëèøü íåêîòîðóþ åå ÷àñòü. Åñëè æå íàì óäàëîñü íàéòè òî÷êó, èç êîòîðîé âèäíà âñÿ êîìíàòà, òî êîìíàòà íàçûâàåòñÿ çâåçäíîé îòíîñèòåëüíî ýòîé òî÷êè. Èòàê, îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî G íàçûâàåòñÿ çâåçäíûì, åñëè îíî ñîäåðæèò íåêîòîðóþ òî÷êó K, èç êîòîðîé âèäíî âñå ìíîæåñòâî (ðèñ.8). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè X Î G îòðåçîê KX ëåæèò â G. Ãîâîðÿò åùå, ÷òî G çâåçäíî îòíîñèòåëüíî òî÷êè K. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç íåñêîëüêèõ îòðåçêîâ, âûõîäÿùèõ èç îäíîé òî÷êè, çâåçäíî (îòíîñèÐèñ. 8 òåëüíî ýòîé òî÷êè), õîòÿ îíî íå âûïóêëî. À âûïóêëûå ìíîæåñòâà ýòî òå, êîòîðûå çâåçäíû îòíîñèòåëüíî êàæäîé ñâîåé òî÷êè. Çà÷åì íóæíû çâåçäíûå ìíîæåñòâà? Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ ìàòåìàòèêè èíòåðåñóþùåå íàñ ìíîæåñòâî íå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì, íî ÷àñòî îáëàäàåò êàêèì-òî äðóãèì, áîëåå ñëàáûì ñâîéñòâîì. Çâåçäíîñòü îäíî èç òàêèõ ñâîéñòâ. Êàê îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ìíîæåñòâî çâåçäíûì? Äëÿ ýòîãî åñòü ñëåäóþùèé çàìå÷àòåëüíûé êðèòåðèé, äîêàçàííûé Ìàðêîì Àëåêñàíäðîâè÷åì Êðàñíîñåëüñêèì (19201997), âûäàþùèìñÿ ñîâåòñêèì ìàòåìàòèêîì. Ïîëó÷èë îí ýòîò ðåçóëüòàò áóäó÷è åùå ñîâñåì ìîëîäûì ÷åëîâåêîì, êîãäà, ïðèçâàííûé â Êðàñíóþ 01-24.p65 13 È ÂÎÊÐÓà ÍÅÅ ! Àðìèþ, ïðåïîäàâàë à àðòèëëåðèéñêîì ó÷èëèùå â ãîðîäå Òàëãàð, áëèç Àëìà-Àòû. Ýòà òåîðåìà îäèí èç ïåðâûõ ðåçóëüòàòîâ Êðàñíîñåëüñêîãî, ïðèíåñøèõ åìó âñåìèðíóþ èçâåñòíîñòü. Ìû ñôîðìóëèðóåì åå òîëüêî äëÿ ïëîñêîñòè, õîòÿ òî÷íî òàê æå îíà äîêàçûâàåòñÿ è äëÿ ìíîæåñòâ â ïðîñòðàíñòâå (íàäî òîëüêî â ôîðìóëèðîâêå çàìåíèòü «òðè òî÷êè» íà «÷åòûðå»). Òåîðåìà 4 (Êðàñíîñåëüñêèé, 1946). Åñëè ëþáûå òðè òî÷êè ïëîñêîãî ìíîæåñòâà G âèäíû èç íåêîòîðîé åãî òî÷êè, òî íàéäåòñÿ òî÷êà, èç êîòîðîé âèäíî âñå ìíîæåñòâî (ò.å. G çâåçäíî). Âåðíóâøèñü ê àíàëîãèè ñ êîìíàòîé, ïðåäñòàâèì, ÷òî íà åå ñòåíàõ âåçäå âèñÿò êàðòèíû. Òîãäà åñëè ëþáûå òðè êàðòèíû ìîæíî îäíîâðåìåííî óâèäåòü èç ïîäõîäÿùåãî ìåñòà â êîìíàòå, òî íàéäåòñÿ òî÷êà, èç êîòîðîé âèäíû ñðàçó âñå êàðòèíû. Ðîäñòâî ñ òåîðåìîé Õåëëè âèäíî ñðàçó: «åñëè êàæäûå òðè òî è âñå...» Íî äî äîêàçàòåëüñòâà åùå äàëåêî, ñíà÷àëà íóæíà ïðåäâàðèòåëüíàÿ ðàáîòà. Ïåðâîå íàì ïîíàäîáèòñÿ ïîíÿòèå âûïóêëîé îáîëî÷êè. Âûïóêëîé îáîëî÷êîé ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ïåðåñå÷åíèå âñåõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ, ñîäåðæàùèõ A. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûïóêëîé îáîëî÷êè íóæíî âçÿòü âñå âûïóêëûå ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùèå A, è ïåðåñå÷ü. Ïîëó÷èì âûïóêëîå ìíîæåñòâî (êàê ïåðåñå÷åíèå âûïóêëûõ ìíîæåñòâ). Ëþáîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå A, ñîäåðæèò è åãî âûïóêëóþ îáîëî÷êó (äîêàæèòå ýòî). Èòàê, âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ýòî íàèìåíüøåå âûïóêëîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå A. Íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 9. Ðèñ. 9 È åùå îäèí ôàêò, êîòîðûé ìû èñïîëüçóåì â äîêàçàòåëüñòâå. Äëÿ ëþáûõ îãðàíè÷åííûõ çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ A è B ñðåäè âñåõ îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êó èç A ñ òî÷êîé èç B, ñóùåñòâóåò ñàìûé êîðîòêèé. Èíûìè ñëîâàìè, ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ îãðàíè÷åííûìè çàìêíóòûìè ìíîæåñòâàìè âñåãäà äîñòèãàåòñÿ. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4. Äëÿ êàæäîé òî÷êè X Î G îáîçíà÷èì ÷åðåç VX ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ìíîæåñòâà G, èç êîòîðûõ âèäíà òî÷êà X. Ïî óñëîâèþ, ëþáûå òðè ìíîæåñòâà VX1 , VX2 è VX3 ïåðåñåêàþòñÿ. Íà ýòîì ìåñòå ìîæíî âñïîìíèòü ãîãîëåâñêóþ Àãàôüþ Òèõîíîâíó: «Àõ, åñëè áû ãóáû Íèêàíîðà Èâàíîâè÷à äà ïðèñòàâèòü ê íîñó Èâàíà Êóçüìè÷à...» Àõ, åñëè áû ýòè ìíîæåñòâà áûëè âûïóêëû! Òîãäà èç òåîðåìû Õåëëè íåìåäëåííî ïîëó÷èëîñü áû, ÷òî âñå îíè èìåþò îáùóþ òî÷êó, èç êîòîðîé áûëî áû âèäíî âñå ìíîæåñòâî G. Íî, óâû! Îíè ìîãóò áûòü íåâûïóêëû (ðèñ. 10). Ïîïðîáóåì îáîéòè ýòó òðóäíîñòü. Ðàññìîòðèì íå ñàìè ìíîæåñòâà VX , à èõ âûïóêëûå îáîëî÷êè. Ê íèì ìû ìîæåì ïðèìåíèòü òåîðåìó Õåëëè. Ïîëó÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà C, ïðèíàäëåæàùàÿ âûïóêëûì îáî- 29.05.09, 14:16 " ÊÂÀÍT 2009/¹3 ëî÷êàì âñåõ ìíîæåñòâ VX , X Î G . Íî áóäåò ëè âñå ìíîæåñòâî G âèäíî èç òî÷êè C? Îêàçûâàåòñÿ, äà. Õîòÿ ïîêà íå î÷åâèäíî äàæå, ÷òî òî÷êà C ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó G, âåäü ýòî ìíîæåñòâî íå âûïóêëî! Èòàê, äîêàæåì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî ìíîæåñòâî G çâåçäíî îòíîÐèñ. 10 ñèòåëüíî òî÷êè C. Ïóñòü ýòî íå òàê, è íåêîòîðàÿ òî÷êà N Î G íå âèäíà èç C. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íåêîòîðàÿ òî÷êà A îòðåçêà CN íå ïðèíàäëåæèò G. Ïóñòü ρ > 0 ðàññòîÿíèå îò A äî ìíîæåñòâà G, ò.å., ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî áëèæàéøåé ê íåé òî÷êè G. Ïóñòü òàêæå B áëèæàéøàÿ ê A òî÷êà îòðåçêà NA, ïðèíàäëåæàùàÿ G. Îòëîæèì íà îòðåçêå BA îòðå1 çîê BP = ρ . Ïîñêîëüêó ρ £ BA , òî÷êà P ëåæèò íà 2 îòðåçêå BA. Íàêîíåö, ïóñòü V áëèæàéøàÿ ê ìíîæåñòâó G òî÷êà îòðåçêà PA, à U Î G áëèæàéøàÿ ê V òî÷êà ìíîæåñòâà G. Çàìåòèì, ÷òî V îòëè÷íà îò A (ýòî âàæíî!). Êðîìå òîãî, óãîë UVA íå îñòðûé.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, åñëè ÐUVA < 90o , íà îòðåçêå VA ìîæíî âçÿòü áëèçêóþ ê V òî÷êó V¢ , äëÿ êîòîðîé óãîë ÐUV ¢A òàêæå îñòðûé. Íî òîãäà â òðåóãîëüíèêå UV ¢V ñòîðîíà UV ëåæèò íàïðîòèâ òóïîãî óãëà, à çíà÷èò íàèáîëüøàÿ. Ïîëó÷àåì V ¢U < VU , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ òî÷êè V, êàê áëèæàéøåé ê ìíîæåñòâó G òî÷êå îòðåçêà PA. Ïðîâåäåì òåïåðü ÷åðåç òî÷êó U ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ VU, è íàçîâåì H ïîëóïëîñêîñòü, îãðàíè÷åííóþ ýòîé ïðÿìîé, íå ñîäåðæàùóþ òî÷êó V (ðèñ. 11). Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî VU öåëèêîì ëåæèò â H. Åñëè ýòî íå òàê, òî íàéäåòñÿ òî÷êà X, íå ëåæàùàÿ â H, äëÿ êîòîðîé âåñü îòðåçîê UX ëåæèò â G (ðèñ. 12). Òàê êàê óãîë VUX îñòðûé, òî íà îòðåçêå UX ìîæíî âçÿòü áëèçêóþ ê U òî÷êó U¢ , äëÿ êîòîðîé óãîë VU ¢X òàêæå îñòðûé, è ïîëó÷àåì VU ¢ < VU , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ òî÷êè U, êàê áëèæàéøåé ê V òî÷êå ìíîæåñòâà G. Èòàê, ìíîæåñòâî VU ëåæèò â ïîëóïëîñêîñòè H. Íî òîãäà è åãî âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ëåæèò â H, âåäü ïîëóïëîñêîñòü âûïóêëîå ìíîæåñòâî! Çíà÷èò, è òî÷êà C ëåæèò â H, ÷òî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó ÐUVC ³ 90o . Èòàê, ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà, êîòîðàÿ íå âèäíà èç òî÷êè C, è ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ. Òåîðåìà äîêàçàíà. Òåîðèÿ ïðèáëèæåíèé Åùå îäíà îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû Õåëëè òåîðèÿ ïðèáëèæåíèé. Îíà èçó÷àåò, êàê èìåþùèåñÿ «íåóäîáíûå» ôóíêöèè èëè ÷èñëîâûå äàííûå (íàïðèìåð, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà) ïðèáëèæàòü áîëåå ïðîñòûìè è óäîáíûìè. Äîïóñòèì, íåêîòîðûé ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ ìîæåò áûòü îïèñàí ôóíêöèåé F ( x ) . Ñàìà ôóíêöèÿ íàì íåèçâåñòíà, íî ìû ìîæåì óçíàòü åå çíà÷åíèå â ëþáîé òî÷êå. Ìû õîòèì ïðèáëèçèòü åå êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé f ( x ) = ax2 + bx + c , ãäå êîýôôèöèåíòû a, b, c íåèçâåñòíû. Äëÿ ýòîãî âûáèðàåì n ÷èñåë x1,K , xn è óçíàåì çíà÷åíèÿ F ( x1 ) ,K , F xn . Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü, ñóùåñòâóåò 01-24.p65 14 ëè êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ f ( x ) òàêàÿ, ÷òî f xk - F xk < ε äëÿ âñåõ k = 1, , n, ãäå ε > 0 íóæíàÿ íàì òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ. Ðèñ. 11 Ðèñ. 12 Óïðàæíåíèÿ 15. Äëÿ äàííîãî íàáîðà òî÷åê x1,K , xn èñêîìàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ f x ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà òàêàÿ ôóíêöèÿ ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáûõ ÷åòûðåõ òî÷åê èç ýòîãî íàáîðà. Óêàçàíèå. Êàæäîé êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè f ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå òî÷êó a, b, c Î ¡ 3 è äëÿ êàæäîãî k îïðåäåëèì ìíîæåñòâî òàêèõ òî÷åê, äëÿ êîòîðûõ f xk - F xk < ε . Äîêàæèòå, ÷òî ýòè ìíîæåñòâà âûïóêëû, è ïðèìåíèòå òåîðåìó Õåëëè. 16. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå, åñëè âìåñòî êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèé ïðèáëèæàòü ôóíêöèÿìè âèäà f x = A sin x + ϕ . Åùå íåñêîëüêî çàäà÷ Ìû çàêàí÷èâàåì çíàêîìñòâî ñ òåîðåìîé Õåëëè íåñêîëüêèìè çàäà÷àìè äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. Óïðàæíåíèÿ 17. Íà ïëîñêîñòè äàíî êîíå÷íîå ñåìåéñòâî ïðÿìûõ. Èçâåñòíî, ÷òî ëþáûå òðè ïðÿìûå ìîæíî ïåðåñå÷ü êðóãîì ðàäèóñà r. Òîãäà âñå ïðÿìûå ñåìåéñòâà ìîæíî ïåðåñå÷ü êðóãîì ðàäèóñà r. 18. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè óòâåðæäåíèÿ èç óïðàæíåíèÿ 17 à) äëÿ ñåìåéñòâà ïðÿìûõ â ïðîñòðàíñòâå; á) äëÿ ñåìåéñòâà ïëîñêîñòåé â ïðîñòðàíñòâå. 19. Âíóòðè îãðàíè÷åííîé âûïóêëîé ôèãóðû âñåãäà íàéäåòñÿ òî÷êà, îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ýòó òî÷êó, äåëèò ïëîùàäü ôèãóðû íà ÷àñòè, îòíîøåíèå êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäèò 2. 20. Íà ïëîñêîñòè ëåæàò íåñêîëüêî ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò (íå îáÿçàòåëüíî îäèíàêîâûõ), êàæäûå äâà èç êîòîðûõ ïåðåñåêàþòñÿ. Òîãäà âñå ïðÿìîóãîëüíèêè èìåþò îáùóþ òî÷êó. 21. Åñëè íåñêîëüêî ïîëóïëîñêîñòåé ïîêðûâàþò âñþ ïëîñêîñòü, òî èç íèõ âñåãäà ìîæíî âûáðàòü òðè, êîòîðûå òàêæå ïîêðîþò âñþ ïëîñêîñòü. 22. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè óòâåðæäåíèé èç óïðàæíåíèé 1921 äëÿ ïðîñòðàíñòâà ¡3 . Çàêëþ÷åíèå Ñêîëüêî æå, îêàçûâàåòñÿ, èíòåðåñíîãî ñâÿçàíî ñ îäíîé ëèøü ïåðâîé òåîðåìîé Õåëëè! À âåäü åñòü åùå âòîðàÿ è òðåòüÿ 29.05.09, 14:16
