Краткое название статьи (ШМУ УБС-2012) 1 УДК 519.218.82 ОПТИМАЛЬНОЕ КОДИРОВАНИЕ-ДЕКОДИРОВАНИЕ МАТРИЧНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Литвин А. Ю., Приставко В. Т. Санкт-Петербургский государственный университет, факультет ПМ-ПУ Аннотация В статье поставлена и решена задача оптимального кодирования-декодирования матричных случайных гауссовских процессов. Оптимальность рассматривается не в смысле минимума среднего квадрата ошибки, а как минимум линейно-квадратичного функционала от управления декодирующим устройством. Введение. Статья посвящена задаче поиска оптимального кодирования-декодирования матричных случайных гауссовских процессов, и по существу является продолжением работы [1], в которой речь идет об оптимальном конструировании линейных матричных фильтров. Представленное решение задачи оптимального кодирования-декодирования в части декодирования непосредственно связано с результатами указанной работы. В статье используются идеи и методы представленные в работах [2] - [4]. Постановка задачи. Предположим, что сообщение, которое нужно передать, есть матричный гауссовский случайный процесс Xt , t ∈ [0, T ], заданный на некотором полном вероятностном пространстве (Ω, F, P) с неубывающим непрерывным справа семейством σ-подалгебр и описывается матричным уравнение диффузионного типа dXt = At Xt dt + bdwt , (1) где, по предположению, wt – гауссовский матричный процесс с независимыми нормально распределенными стандартными N(0, 1) компонентами соответствующих размерностей, случайная матрица X0 не зависит от матричной последовательности случайных воздействий wt на систему уравнений, математическое ожидание E[X0 ] = X 0 и матрица n-ковариаций cov(X0 , X0 ) = γ0 заданы и конечны, b = kbij kn×l , At = kaij (t)kn×n . Определение 1. Будем говорить, что случайный процесс ξ = (ξt ), 0 ≤ t ≤ 1, есть сильное решение стохастического матричного дифференциального уравнения ξt = a(t, ξ)dt + b(t, ξ)dWt с F0 -измеримыми начальным условием ξ0 = η, если при каждом t, 0 < t ≤ 1, величины ξt являются Ft -измеримыми, ξt = a(t, ξ)dt + b(t, ξ)dWt , Z 1 P |a(t, ξ)|dt < ∞ = 1, 0 1 Z P b2 (t, ξ)dt < ∞ = 1, 0 и с вероятностью 1 для каждого t, 0 ≤ t ≤ 1, Z t Z t ξt = η + a(s, ξ)ds + b(s, ξ)dWs . 0 0 Замечание 1. Пусть x̃ ∈ Rn×m – случайная матрица, которая имеет конечный второй момент, t ∈ [0, N ], N ∈ N. Тогда n-ковариационной матрицей cov(x̃, x̃) = ãt матрицы x̃ называется x̃11 ... x̃1m x̃11 ... x̃n1 ãt = E[x̃t x̃∗t ] = E ... ... ... ... ... ... . x̃n1 ... x̃nm x̃1m ... x̃nm 2 (ШМУ УБС-2012) Литвин А. Ю., Приставко В. Т. Здесь и далее под знаком * понимается операция транспонирования. Видно, что ãt =k ãij (t) kn×n и является симетрическим набором обыкновенных ковариаций данной матрицы по столбцам. Сигнал Yt , t ∈ [0, T ], на выходе кодирующего устройства, предполагается удовлетворяющим матричному стохастическому дифференциальному уравнению dYt = Ht Xt dt + Bdvt , Y0 = 0, (2) где Ht = kHij (t)kβ×n и следующие матрицы имеют соответствующие размерности: Yt – [β × m], B – [β × δ], vt – [δ × m]; vt – гауссовский матричный процесс с независимыми нормально распределенными стандартными N(0, 1) компонентами, не зависящий от Xt . Матричная функция времени Ht , t ∈ [0, T ] задает кодирование и предполагается такой, что уравнение (2) имеет единственное сильное решение. В каждый момент времени t по выходному сигналу кодирующего устройства Yt можно построить сообщение на входе декодирующего устройства Zt , изменения которого описываются на вероятностном пространстве (Ω, F, P) случайным процессом, определяемым системой линейных стохастических матричных дифференциальных уравнений вида: dZt = Ft Zt dt + Ut dYt , (3) где Zt ∈ Rn×m , Ft и Ut – матричные функции размерностей [n×n], [n×β] соответственно; Z0 – не случайное начальное условие; εt = Xt − Zt – матричная ошибка оценки; n-ковариационная матрица γt = cov(εt , εt ) положительно-определенная, симметрическая размерности [n × n], Ut принадлежит классу линейных по γt функций: Ut = γt µt + ηt . Определение 2. Управление Ut состоянием сообщения на входе декодирующего устройства Zt , для которого система уравнений (1)-(3) имеет единственное сильное решение, называется допустимым. Качество декодирования будем оценивать при помощи функционала J(Ut ): J(Ut ) = Sp E[ε∗T ΘT εT Z + ! T (ε∗t P εt + Ut QUt∗ Θ + 2Ut RΘ)dt] = 0 Z = Sp γT ΘT + ! T (γt P + Ut QUt∗ Θ + 2Ut RΘ)dt , (4) 0 где Q – симметрическая положительно-определенная матрица размерности [β × β]; P – симметрическая неотрицательно-определенная матрица размерности [n × n]; ΘT – положительно-определенная матрица размерности [n × n]. Матрицы P, Q, R, ΘT являются известными постоянными матрицами. Задача оптимального кодирования-декодирования. Требуется найти в классе допустимых функций оптимальную тройку параметров кодирования-декодирования (Ft , Ut , Ht ), для которых функционал J(Ut ) принимал бы наименьшее возможное значение, и ошибка фильтрации была бы несмещенной. Решение задачи оптимального кодирования-декодирования. Поставленную задачу будем решать в три этапа: 1. определение необходимых и достаточных условий несмещенности ошибки оценки. 2. нахождение оптимальных параметров декодирования (Ft , Ut ) по отношению к рассматриваемому функционалу. 3. нахождение оптимального параметра кодирования Ht с учетом параметров декодирования, найденных на предыдущем этапе. Теорема 1. Для того, чтобы оценка фильтрации была несмещенной, необходимо и достаточно выполнения следующих условий: Ft = At − Ut Ht , Z0 = E[X0 ]. Для решения задачи декодирования, необходимо рассмотреть динамику матрицы n-ковариаций γt . Докажем вспомогательное утверждение. Лемма. Матрица γt ошибки оценки является единственным, непрерывным решением обыкновенного матричного дифференциального уравнения γ˙t = At γt + γt A∗t − Ut Ht γt − γt Ht∗ Ut∗ + bb∗ + Ut BB ∗ Ut∗ (5) Краткое название статьи (ШМУ УБС-2012) 3 с начальным условием γ0 . Замечание 2. Заметим, что дифференциальное уравнение (5) можно рассматривать как билинейную матричную квадратичную систему управления с критерием качества (4) и классом допустимых управлений в виде линейных по γt матричных функций Ut [2]. Тогда имеет место теорема 2. Теорема 2. Если существует такая константа L, что |aij (t)| ≤ L и |Hij (t)| ≤ L, то матрицы Zt и γt являются единственными непрерывными решениями системы уравнений (3) и (5). При этом в классе допустимых управлений оптимальное по отношению к функционалу (4) управление существует и определяется формулой Utopt = (γt Ht∗ − R∗ )(BB ∗ + Q)−1 , а оптимальное значение функционала J(Ut ) имеет вид J(Utopt ) = Sp(γ0 Θ0 + ϕ0 ), где Θt , ϕt – решения матричных дифференциальных уравнений Θ̇t = −Θt At − (A∗t + 2Ht∗ (BB ∗ + Q)−1 R)Θt − P, ϕ̇t = (γt Ht∗ (BB ∗ + Q)−1 Ht γt − bb∗ + R∗ (BB ∗ + Q)−1 R)Θ, вдоль движения уравнения (1) с начальными условиями Θ(T ) = ΘT , ϕT = 0. Используя оптимальное управление Utopt , полученное из теоремы 2, найдем оптимальное значение функционала (4) по декодированию: J(Utopt ) = J1 (Ht ) = Sp(γT ΘT + Z T (γt P + (γt Ht∗ − R∗ )(BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 (Ht γt − R)Θ+ 0 + 2(γt Ht∗ − R∗ )(BB ∗ + Q)−1 RΘ)dt). (6) Для разрешение поставленной задачи необходимо найти кодирование Htopt , доставляющее минимум функционалу (6), т.е. J1 (Htopt ) → min . Ht Решением поставленной вариационной задачи будет кодирование, удовлетворяющее уравнению: ∂J1 (Ht ) = 0. ∂Ht Проделав необходимые вычисления, ∂ Sp((γt Ht∗ − R∗ )(BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 (Ht γt − R)Θ) = ∂Ht = (BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 Ht γt Θγt + ((BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 )∗ Ht γt∗ Θ∗ γt∗ − − (BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 RΘγt − ((BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 )∗ RΘ∗ γt∗ = = 2(BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 Ht γt Θγt − 2(BB ∗ + Q)−1 Q(BB ∗ + Q)−1 RΘγt , ∂ Sp((γt Ht∗ − R∗ )(BB ∗ + Q)−1 RΘ) = (BB ∗ + Q)−1 RΘγt , ∂H получим, что искомое кодирование удовлетворяет уравнению ∂J1 (Ht ) = 2(BB ∗ + Q)−1 (Q(BB ∗ + Q)−1 Ht γt − Q(BB ∗ + Q)−1 R + R)Θγt = 0 ∂Ht Таким образом, получено следующее решение задачи оптимального кодирования Htopt = Rγt−1 − (BB ∗ + Q)Q−1 Rγt−1 = −BB ∗ Q−1 Rγt−1 . Полученное решение существует всегда в силу положительной определенности матриц Q и γt . На основе всего изложенного выше, можно сформулировать следующую теорему. 4 (ШМУ УБС-2012) Литвин А. Ю., Приставко В. Т. Теорема 3. При выполнение всех предположений, сделанных выше, оптимальным решением (Ft , Utopt , Htopt ) поставленной задачи матричного кодирования-декодирования будет следующее: Ft = At − (B ∗ Q−1 R)∗ B ∗ Q−1 Rγt−1 , Z0 = E[X0 ], Utopt = −(Q−1 R)∗ , Htopt = −BB ∗ Q−1 Rγt−1 . Поставленная задача оптимального кодирования-декодирования решена полностью. Заключение. В заключении авторы считают необходимым обратить внимание на следующие моменты: 1. Матричные функции, характеризующие оптимальные кодирование-декодирование Utopt и Htopt линейно зависят от матрицы R и, следовательно, обращаются в 0 в случае R = 0. Данное обстоятельство не является существенной проблемой т.к. в реальных инженерных задачах всегда присутствуют ограничения на кодирующее (передающее) и декодирующее (принимающее) устройства т.е. в реальности R 6= 0. 2. Матричная функция Htopt зависит от матрицы γt , которая является решением матричного дифференциального уравнения Риккати (5). Однако, при оптимальных параметрах кодирование-декодирования это уравнение становится линейным γ̇t = At γt + γt A∗t − (B ∗ Q−1 R)∗ B ∗ Q−1 R + bb∗ , что существенно упрощает вычисление Htopt . Литература [1] ЛИТВИН А. Ю., ПРИСТАВКО В. Т. Оптимальная фильтрация матричных слуачйных процессов // Теория и практика в физико-математических науках. Материалы II Международной научно практической конференции — М.: Издательство Спутник + — 2011. — с. 28-35 [2] ПРИСТАВКО В. Т. Матpичные модели упpавления. — СПб.: HИИ Химии СПбГУ, 2001. — 255 с. [3] ЛИПЦЕР Р. Ш., ШИРЯЕВ А. Н. Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы). — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-во Наука, 1974. — 696 с. [4] ЗУБОВ В. И. Лекции по теории управления. — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва Наука, 1975. — 495 с.