АНАЛИЗ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ Ю. И. Митрофанов Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Саратов, Россия Системы и сети массового обслуживания с дискретным временем в настоящее время широко используются в качестве математических моделей коммуникационных и вычислительных систем и сетей. Особую важность в этом отношении представляют классы сетей массового обслуживания, стационарное распределение которых имеет мультипликативную форму, так как стационарные характеристики сетей этих классов могут быть вычислены достаточно просто. Теория сетей обслуживания с дискретным временем имеет намного более короткую историю, чем теория сетей обслуживания с непрерывным временем. Только в 1990 году в работе [1] был опубликован общий результат о мультипликативной форме стационарного распределения сетей массового обслуживания. Предложенный в этой работе метод анализа неоднородных сетей массового обслуживания с непрерывным и дискретным временем, групповыми переходами и групповым обслуживанием требований получил дальнейшее развитие в [2, 3]. Обобщение и развитие содержащихся в этих работах результатов по теории и методам анализа сетей обслуживания с дискретным временем представлено в [4, 5]. В работе [6], посвященной теории и методам анализа сетей обслуживания с дискретным временем, исследуется проблема существования мультипликативной формы стационарного распределения для сетей трех классов: (1) линейных сетей одноприборных систем массового обслуживания с дисциплиной «первый пришел–первый обслужен», геометрическим распределением длительности обслуживания и входящим потоком требований типа Бернулли; (2) сетей обслуживания с дважды стохастическими и геометрическими системами обслуживания; (3) сетей обслуживания с групповыми переходами требований и групповым обслуживанием. Теоретические и практические аспекты использования сетей обслуживания с дискретным временем в качестве математических моделей телекоммуникационных систем, вычислительных систем и сетей обсуждаются в [7, 8]. Основные результаты теории сетей массового обслуживания с дискретным временем и методы их анализа рассматриваются в фундаментальной работе [9]. Некоторое представление о методах анализа сетей массового обслуживания с непрерывным временем и групповыми переходами требований дает работа [10]. Целью доклада является рассмотрение представленных в [1–5] результатов, связанных с определением стационарного распределения в мультипликативной форме сетей обслуживания с дискретным временем. 1 Пусть N – открытая сеть массового обслуживания с дискретным временем, L системами массового обслуживания S i , i 1,2,, L , K классами требований, групповыми переходами и групповым обслуживанием требований (предполагается, что L и K являются конечными). Класс требований может изменяться при переходах требований между системами. Предполагается, что временная ось моментами времени t T 0, 1, 2, разбита на интервалы фиксированной длины (слоты) (номер начинающегося в момент t слота равен t ). Все поступления требований в системы и выходы обслуженных требований из систем происходят в конце слотов. Предполагается, что выходы требований из систем осуществляются раньше поступления требований в системы («поздние поступления»). Выходы требований в течение слота (t 1) происходят в момент времени t , а поступления требований в течение этого слота – между моментами t и t . Идентификация состояний сети обслуживания производится в моменты t T . Состояние сети в момент описывается вектором t st ( st (i, k ); 1 i L, 1 k K ) , где st (i, k ) – число требований класса k в системе S i в момент t . Пространство состояний сети обозначим X . Предположим, что эволюция сети может быть описана цепью Маркова sˆ {st : t T } , T 0, 1, 2,, с дискретным временем, пространством состояний X и матрицей вероятностей перехода P ( pss ' ) , s, s' X . Для описания поступления в системы групп требований и их выходов из систем используются случайные векторы соответственно входящих и выходящих групп требований, которые назовем векторами перемещений, at ( at (0), at (i, k ),1 i L, 1 k K ) , d t (d t (0), d t (i, k ),1 i L, 1 k K ) , где d t (0) и at (0) – число требований, выходящих из сети во внешний источник требований и поступающих в сеть из источника в момент t , а d t (i, k ) и at (i, k ) – соответственно число требований класса k , выходящих из системы S i и поступающих в систему S i в момент t . Предполагается, что процессы {d t } и {at } имеют одно и то же множество состояний Y . Динамика сети обслуживания определяется соотношением st 1 st d t at , где « » – признак удаления первой компоненты векторов d t , at Y , т. е. d t ( d t (i, k ); 1 i L, 1 k K ) для d t ( d t (0), d t (i, k ); 1 i L, 1 k K ) Y . Если сеть в момент t находится в состоянии st , то состояние сети в момент (t 1) непосредственно после выхода из систем требований, представленных вектором d t , назовем 2 остовным состоянием сети обслуживания и обозначим bt (bt (i, k ); 1 i L, 1 k K ) , где bt (i, k ) – число требований класса k в системе S i в момент времени (t 1) , bt st d t . Вектор bt зависит только от состояния st и вектора d t и для данных st и d t не зависит от t . Сделаем следующие предположения относительно выходов и поступлений групп требований в системы. Вектор d t зависит только от состояния st в течение всей эволюции сети, и условная вероятность формирования вектора d t для данного st не зависит от t . Обозначим эту условную вероятность через ps , d , т. е. ps , d P( d t d st s ) ( s X , d Y ) . Предполагается, что ps, d 0 , если только s d (это означает, что из каждой системы не может уйти требований больше, чем находится в системе). Между моментами (t 1) и ( t 1) вектор d t преобразуется в вектор a t входящих требований с вероятностью p da . Вектор a t зависит только от d t , и вероятность pda P(at a d t d ) (d , a Y ) . Предполагается, что pda 0 , если только суммы всех компонент векторов d и a равны, т. е. L K L K i 1 k 1 i 1 k 1 d 0 d ik a0 aik для d ( d 0 , d ik ,1 i L, 1 k K ) и a ( a0 , aik ,1 i L, 1 k K ) (это означает, что при переходе групп требований новых требований не формируется, и требования не теряются). Рассмотрим переход сети обслуживания (цепи Маркова sˆ {st : t T } ) из состояния s в состояние s ' , обусловленный тем, что d i требований покинули систему S i , a i требований поступили в систему S i , а bi требований оставались в системе S i . Таким образом, можно записать s b d и s' b a , где b (b1 ,...,bL ) – вектор оставшихся требований, а d ( d1 ,..., d L ) и a ( a1 ,...,a L ) – векторы, представляющие соответственно выходящие и поступающие требования. Соответствующая вероятность перехода для этого частного перехода между состояниями s и s ' обозначается pda,b . Заметим, что для данных векторов d и a (данных групп требований d i и a i , 1 i L ), разложение векторов s , s ' на s b d и s' b a является единственным, но переход из состояния s в состояние s ' может произойти также и при других векторах d и a (других значениях компонент векторов d и a ). Полная вероятность перехода из состояния s в состояние s ' тогда определяется выражением 3 pss ' pda,b . {d , a ,b: b d s , b a s '} Заметим, что при переходе из состояния s в состояние s ' направляемые по определенным маршрутам группы требований d i и a i , 1 i L , полностью определены, если фиксирован вектор b . Для случая d 0 можно положить qdd ,b 0 и считать это фиктивным переходом. Введем в рассмотрение цепь Маркова ̂ с дискретным временем, определенную на множестве векторов перемещений Y , с вероятностями переходов da pda , если ps, d 0 для некоторого s , и da da в противном случае. Эту цепь назовем маршрутной цепью. Вероятности ps , d и da назовем соответственно вероятностью выхода и маршрутной вероятностью. Рассмотренная модель является моделью открытой сети массового обслуживания, но если удалить компоненты at ( 0) и d t (0) в векторах a t и d t , то получим модель замкнутой сети массового обслуживания. Хендерсон и Тейлор [1] ввели следующие предположения. (A) Существуют положительная функция на X , неотрицательные функции и соответственно на X и Y такие, что d (1) ( s X , d Y ) , ps , d s d s где X {s d 0 s X , d Y } . Так как ps , d – вероятность, s s d d . d (B) Существует положительная функция f на Y , удовлетворяющая уравнению d f d a f a ad (d Y ) . aY Заметим, что d f d определяет инвариантную меру для маршрутной цепи ̂ , и множество функций f не пусто, если множество Y состоит из положительных классов. Необходимым и достаточным условием, чтобы множество F функций f было непустым, является (1) d 0 для d Y , если и только если содержащий d существенный класс Rd множества состояний маршрутной цепи является положительным. Это, в свою очередь, значит, что для того чтобы множество F было непустым, необходимо: (2) Вероятность ps, d 0 , если и только если существует векторы a Y и s' X такие, что ps ', a pad 0 . (3) Если a Rd , b d X и pb d , d 0 , то b a X . 4 (С) Существует положительная функция g на Y , удовлетворяющая соотношению gs f (2) d, gs d a fa для всех s X и d , a Y с qs,d da 0 . Хендерсон и Тейлор показали, что при этих условиях s s g s (3) является инвариантной мерой для сети массового обслуживания N , и если существует нормализующая константа G s gs , sX то выражение s G 1 s g s (4) (s X ) определяет стационарное распределение сети обслуживания N . Пусть ik f eik f e0 , где eik ( e0 ) является единичным вектором, в котором (i, k ) -я (0-я) компонента равна 1, а остальные – нулю. Предположим, что ps,e0 e0ei ,k 0 для всех i, k . Тогда из (С) следует, что g s e ik g s . Следовательно, (2) эквивалентно ik L K g s g0 iksik , i 1 k 1 для всех s ( s0 , sik ,1 i L, 1 k K ) и поэтому f определяется выражением L K f d f e0 ikd ik , i 1 k 1 для всех d ( d 0 , d ik ,1 i L, 1 k K ) . Обозначим через ~ обращенную во времени маршрутную цепь с обращенными во времени вероятностями перехода относительно d f d f (5) ~ad d d da (d , a Y ) . a fa Теперь предположим, что обращенная вероятность перехода из состояния s' s d a , обусловленного преобразованием вектора перемещения a в вектор d (и, следовательно, формирования состояния s ), определена выражением a ~ ~ (6) ps ', ad ps ', a ~ad s ' a ad . s' Справедливость равенств (7) s ps,d da s ' ~ ps ', ad и 5 ps,d ~ps,da d d a достаточна, чтобы установить, что s является инвариантной мерой для сети обслуживания. Если эта инвариантная мера может быть нормализована, то получим стационарное распределение. Равенство (7) может быть проверено для всех s , d , a и s ' , используя равенства (3), (6) и (5) следующим образом: a d f d da = s ' ~ps ', ad G 1 s ' g s ' s ' a s' a fa f G 1 g s ' d s ' a d da . fa Замечая, что s' a s d , и используя (1) и (2), видно, что правая часть должна быть G 1 g s s ps, d da s ps, d da . Получим выражение для совместного стационарного распределения s, d вероятностей формирования вектора d при нахождении сети в состоянии s . Это распределение является также совместным стационарным распределением вероятностей пребывания сети в состоянии s и остовном состоянии s d с поступлением в сеть d 0 требований из источника. Теорема. Пусть существует f () F и функция g() : X R , которая удовлетворяет для всех b X Y , d и a Y с pb d , d da 0 равенству gb d gb a fd . fa Тогда для сети массового обслуживания имеет место стационарное распределение вероятностей s , d G 1g s s d d , При условии, что существует нормализующая константа G . Доказательство. Используя (1) и (4), непосредственно получим s , d s ps , d G 1g s s d d . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Henderson W., Taylor P. G. Product form in networks of queues with batch arrivals and batch services // Queueing Systems. 1990. Vol. 6. P. 71–88. 2. Henderson W., Taylor P. G. Some new results on queueing networks with batch movement // J. Appl. Prob. 1991. Vol. 28. P. 409–421. 3. Boucherie R. J., Van Dijk N. M. Product forms for queueing networks with statedependent multiple job transitions // Adv. Appl. Prob. 1991. Vol. 23. P. 152–187. 4. Ōsawa H. Quasi-reversibility of discrete-time queue and related models // Queueing Systems. 1994. Vol. 18. P. 133–148. 6 5. Miyazawa M. On the characterization of departure rules for discrete-time queueing networks with batch movements and its applications // Queueing Systems. 1994. Vol. 18. P. 149–166. 6. Daduna H. Queueing networks with discrete time scale: explicit expressions for the steady state behavior of discrete time stochastic networks. Berlin, Heidelberg: SpringerVerlag, 2001. 143 p. 7. Woodward M. E. Towards the accurate modelling of high-speed communication networks with product-form discrete-time networks of queues // Computer Communications. 1998. Vol.21. P. 1530-1543. 8. Alfa A. S. Queueing theory for telecommunications: discrete time modelling of a single node system. New York, Heidelberg, London: Springer Science+Business Media, LLC, 2010. 248 p. 9. Boucherie R. J., Van Dijk N. M. (Editors). Queueing networks: a fundamental approach. New York, Heidelberg, London: Springer Science+Business Media, LLC, 2011. 823 p. 10. Митрофанов Ю. И., Рогачко Е. С., Станкевич Е. П. Анализ неоднородных сетей массового обслуживания с групповыми переходами требований // Изв. Сарат. унта. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 3. С. 41–46. 7