Открытая олимпиада по математике для учащихся 9

Открытая олимпиада по математике для учащихся 9-х классов.ФМЛ-2008.
1.Разложить на множители:
1) а 2 – 9в2 + 12 вс – 4с2;
2.Сократить дробь:
5ас  2а  10с  4
1)
;
5с 2  3с  2
3. Упростить выражение:
3  2 3 
2
1)
 (4  2 3 ) 2
2) х2у2 – 5 ху2 + 6у2 – х2 + 5х -6
6х 2  2
2)
.
( х  1) 3  ( х  1) 3
;
2)
3 х  2х  х х
х3 х
3 1 
3 1
4. Решить уравнение:

1
1 
х 2  2х  
х 2  2х 





  3 ;
1)  2 
2) 7  х    2 х 2  2   9 .
 4 

х
3  
3 
х 



5.Найдите целые значения, при которых выражение
(18  х 3)  (20  х 5) не имеет смысла.
6. При каких значениях а неравенство
х 2 + (2а +4)х + 8 а + 1  0
выполняется при всех значениях х ?
7.Решить систему.
2
2
 x  4 y  9
а) 
 xy  2 y 2  3
 1
 x  3y  y  5

в) 
 y 6
 x  3 y
8. Прямая проходит через точку (0;-1) и касается гиперболы у =
1
. В какой точке эта
х
прямая пересекает ось абсцисс ?
9. При каком значении м парабола
у = х2 + ( м + 1)х + м
расположена выше прямой у = -4 ?
10. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые при делении
на 3 дают в остатке 2.
11. Одна мельница может смолоть 38 ц. пшеницы за 6 час, другая - 96 ц. за 15 час., третья
- 35 ц. за 7 час. Как распределить 133 ц. пшеницы между мельницами, чтобы они мололи
зерно в течение одного и того же времени ?
12. Построить график функции у = - х2 + 2 х . Сколько общих точек может иметь с
графиком прямая у = а? ( для каждого случая укажите соответствующие значения а).
13.ABCD- прямоугольник, в котором АВ=1,ВС=2. На сторонах ВС и DA взяты точки M и
N так, что BMDN –ромб. Найти стороны ромба .
14.Около окружности радиуса 1 описана равнобочная трапеция с боковой стороной
равной 3. Найти площадь трапеции.
Ответы.
1.1). (а-3в+2с)  (а + 3в- 2с).
1.2). (у – 1)  (у + 1)  (х + 2)  (х + 3).
a2
2.1).
c 1
2.2). 1.
1
3.1)
2
х 1
3.2).
4.1) 5;3; -1; -3
2
4.2).
3
 20 18 

5. х  
;
 5 3
6. а  1;3

3
3  3 3
;  5 ;
}
7а) { х; у  }  {   5 ;
7
7   7 7 

17
7в) (х; у) = (- ; 3)
2
5
4
14. 6
13.
Открытая олимпиада по математике для учащихся 9-х классов.ФМЛ-2007.
(Июнь 2007)
1. . Вычислите:
19 21
7
28 17
2
а) ((( — - — ) · 8 — + 3,39) · 7,5 – 2,3) : (1 — - — ) – 6 : —
24 40
16
6 21
19
11 51
1
2
б) 1,75 – 1 — · — + 0,75 : (4 – 1,2 · (3,25 – 1 — + 6 — : 20 ))
17 56
12
3
2. .Решите уравнения:
a)
x
2
 5x

2


 2 x 2  5 x  24  0
с) x 2  3x  x  2
3..Решите системы:
 x 2  xy  x  10
 y 2  xy  y  20
а) 
3
1
 2
 2x  y  x  2 y  2

б) 
 2  1  1
 2 x  y x  2 y 18
4.Между городом и деревней 129 км. Из деревни в город выезжает в 7 час. 20 минут
автобус, а в 8 час. 50 минут выезжает другой автобус из города в дере1
вню и через 1— часа встречается с первым. Сколько километров в час про3
езжает каждый автобус, если второй проезжает в час на 10 % больше первого?
5.Второе число составляет 125 % первого, а третье составляет 80 % первого. Сколько
процентов второго числа составляет третье число?
6.На основании BC равнобедренного треугольника ABC взята произвольная
точка D. Доказать, что радиусы окружностей, описанных соответственно
около треугольников ABD и ACD, равны .
7.Площадь треугольника равна 5, две стороны равны 3 и 4. Найти площади
треугольников, на которые он делится биссектрисой угла между данными
сторонами.