Математическая обработка результатов эксперимента

А.И. Викторов профессор, д.х.н.
А.Ю. Власов доцент, к.х.н.
Математическая обработка результатов эксперимента
1. Разделы курса. Статистические свойства измеряемых величин, оценка их истинных
значений, анализ погрешности измерений. Методы аналитического описания
экспериментально изучаемых зависимостей: интерполяция и оптимизация. Методы
статистического оценивания параметров моделей. Модели, линейные относительно
параметров. Метод наименьших квадратов.
2. Темы и краткое содержание
А. Статистические свойства измеряемых величин, оценка их истинных значений, анализ
погрешности измерений.
А.1 Оценка истинного значения и погрешности непосредственно измеряемого свойства.
Выборочный метод. Классификация ошибок экспериментальных данных. Характеристики
истинного значения и разброса экспериментальных данных. Статистическая
устойчивость, законы больших чисел, выборочный
метод. Неравенство Чебышева
Статистические оценки, их свойства. Методы построения статистических оценок. Пример
применения метода максимального правдоподобия для построения оценок среднего и
дисперсии выборки. Свойства среднего и дисперсии. Точечные и интервальные оценки.
Доверительный интервал и доверительная вероятность. Центральная предельная теорема
теории вероятностей, гипотеза нормальности и точные выборочные распределения. Лемма
Фишера. Построение доверительных интервалов для среднего и дисперсии случайной
величины, распределенной по нормальному закону. Числовые примеры обработки
результатов непосредственных измерений.
А.2. Проверка статистических гипотез. Проверка статистических гипотез. Ошибки при
проверке гипотез. Выбор величины уровня значимости. Проверка гипотез в случае, когда
ошибки измерений имеют нормальное распределение. Проверка гипотез относительно
истинных значений и погрешностей измеряемого свойства. Критерий для
систематических ошибок (Критерий Аббе). Критерии, свободные от распределения.
Критерий знаков. Проверка гипотезы нормальности распределения.
А.3. Перенос ошибок при косвенных измерениях.Формула для дисперсии косвенно
измеряемой величины. Корреляция случайных величин. Формула предельной ошибки.
B. Методы аналитического описания экспериментально изучаемых зависимостей.
Интерполяция и оптимизация.
B.1.Методы поиска параметров линейных моделей. Задача аппроксимации
экспериментальных данных аналитическими зависимостями и варианты ее постановки.
Математичекие модели. Модели, линейные относительно параметров, обощенный
полином, задача интерполяции. Интерполяционный полином Лагранжа, Ньютона, схема
Эйткина. Ограничения интерполяционных полиномов. Сглаживание, задачи о
равномерном и среднеквадратичном приближении функций. Нормальная система метода
наименьших квадратов. Ограничения метода. Задача сплайн-инреполяции, построение
кубического сплайна.
B.2. Методы поиска параметров нелинейных моделей. Оптимизация. Задача оптимизации
и ее формулировки. Оптимизация с ограничениями и без ограничений. Выбор стратегии
поиска. Классификация методов оптимизации. Градиентные методы. Метод
наискорейшего спуска и метод Ньютона, ограничения методов. Метод Марквадта и
алгоритм реализации метода. Аппроксимация Гаусса-Ньютона для Гессиана. Методы
прямого поиска экстремума. Метод Хука-Дживса, симплекс-метод, методы сеток. Методы
случайного поиска. О поиске глобального экстремума; эвристичекие подходы.
C. Методы статистического оценивания параметров моделей.
C.1. Модели, линейные относительно параметров. Метод наименьших
квадратов (МНК). Линейная регрессия. Построение оценок параметров. Свойства оценок
МНК, не зависящие от вида распределения ошибок экспериментальных данных. Свойства
оценок МНК, когда погрешности измерений имеют нормальное распределение.
Построение доверительных областей для параметров и рассчитываемых по модели
физических свойств. Случай неравноточных наблюдений. Случай групп равноточных
наблюдений. Интерпретация оценок. Выбор степени аппроксимирующего полинома.
Проверка адекватности модели полиномиальной регрессии. Анализ остатков. Схема
метода наименьших квадратов. Его ограничения.
C.2. Модели, нелинейные относительно параметров. Метод максимального
правдоподобия. Задача статистического оценивания параметров нелинейных моделей и
методы ее решения. Схема применения метода максимального правдоподобия для оценки
параметров модели, рассматриваемых в качестве параметров статистического
распределения. Условия применения метода максимального правдоподобия. Методы
оценки статистических свойств параметров, интерпретация оценок. Пример применения
метода максимального правдоподобия для описания парожидкостного равновесия в
бинарной системе на основе нелинейной модели для коэффициентов активности
компонентов.
3. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы.
Формируется преподавателем, исходя из того, какие темы он выбрал для самостоятельной
подготовки.
4. Примерная тематика рефератов, курсовых работ.
Подготовка рефератов и курсовых работ по данному курсу не предполагается.
5.Лабораторный практикум.
Не предусматривается
6.Примерный перечень вопросов к зачету по всему курсу.
Перечень вопросов к зачету по всему курсу определяется преподавателем, исходя из тем,
включенных в данную программу.
Формы контроля: промежуточный – контрольные работы
итоговый – зачет в 7 семестре.
Рекомендуемая литература (основная)
1.1. Спиридонов В.П., Лопаткин А.А. Математическая обработка физико-химических
данных. М., 1970. 222 с.
1.2. Викторов А.И., Смирнова Н.А. Математическая обработка результатов физикохимических измерений. СПбГУ, С.Петербург, 2003, 61 с.
2. Дополнительная литература.
2.1. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М., 2001, 335 с.
2.2. Венцель Е.С. Теория вероятностей. М., 2001, 575 с.