Геометрия 7 класс К.К.Кургинян Часть

Геометрия 7 класс К.К.Кургинян Часть-I
Основные аксиомы.
Аксиома I. Через любые две точки проходит прямая, и при том только одна.
Аксиома II. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом
только один.
Аксиома III. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному
неразвёрнутому углу , и притом только один.
Пересечение прямых.
Две прямые могут иметь
1)либо одну общую точку (пересекаются),
2)либо не имеют общих точек (параллельны),
3)либо имеют бесконечно много общих точек (совпадают).
Угол.
Угол это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей исходящих из этой точки.
Смежные углы.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой,
называются смежными.
Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180 градусам.
Вертикальные углы.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон
другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.
Равные фигуры.
Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Биссектриса угла.
Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
Виды углов.
1) Развернутый2) Прямой
3) Тупой
4) Острый
-
α=180
α=90
90 <α<180
0 <α<90
Определение параллельных прямых.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Определение перпендикулярных прямых.
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых
угла.
Свойство перпендикулярных прямых.
Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.
Периметр.
Сумма длин трех сторон треугольника называется его периметром.
Первый признак равенства треугольников.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и
углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно ровны стороне двум
прилежащих к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника,
то такие треугольники равны.
Медиана треугольника.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется
медианой треугольника.
Биссектриса треугольника.
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой
противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
Высота треугольника.
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную
сторону, называется высотой треугольника.
Свойство: В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в
одной точке, высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.
Геометрия 7 класс К.К.Кургинян Часть-II
Окружность.
Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии
от данной точки называется окружность, данная точка называется центром окружности.
Радиус окружности.
Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности называется радиусом окружности.
Хорда окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Диаметр окружности.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Дуга окружности.
Каждая из частей окружности, разделенной двумя точками окружности, называется дугой.
Круг.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Определение параллельных прямых и определение параллельных
отрезков.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Секущая.
Прямая называется секущей по отношению к двум прямым, если она пересекает их в двух точках.
Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
Накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6.
Односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6.
Соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Признаки параллельности двух прямых (3 теоремы).
Теорема I: Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые
параллельны.
Теорема II: Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые
параллельны.
Теорема III: Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 1800,
то прямые параллельны.
Основные аксиомы и аксиома параллельных прямых.
Аксиома I. Через любые две точки проходит прямая, и при том только одна.
Аксиома II. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом
только один.
Аксиома III. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному
неразвёрнутому углу и притом только один.
Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой проходит только
одна прямая параллельная данной.
Два следствия аксиомы параллельных прямых.
Следствие I. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и
другую.
Следствие II. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Определение теоремы.
Утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений (доказательств),
называется теоремой.
Определение теоремы обратной данной.
Условие теоремы - это то, что дано.
Заключение теоремы - это то, что требуется доказать.
Теоремой обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение
данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.
Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и
секущей. (Обратные теоремы 3-х теорем “Признаки параллельности двух
прямых”).
Теорема I: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Следствие: Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она
перпендикулярна и к другой.
Теорема II: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Теорема III: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов
равна 1800.
Теорема о сумме углов треугольника.
Теорема: Сумма углов треугольника равна 1800.
Внешний угол треугольника.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Свойство внешнего угла треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.
Углы треугольника.
В любом треугольнике
1)либо все углы острые
2)либо два угла острые, а третий тупой
3)либо два угла острые, а третий прямой
Виды треугольников.
1) Остроугольный - все три угла треугольника острые.
2) Тупоугольный – один из углов треугольника тупой.
3) Прямоугольный – один из углов треугольника прямой.
Стороны прямоугольного треугольника.
Гипотенуза – сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.
Катеты – стороны прямоугольного треугольника образующие прямой угол.
Геометрия 7 класс К.К.Кургинян Часть-III
Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Теорема. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против
большего угла лежит большая сторона.
Два следствия теоремы о соотношении между сторонами и углами
треугольника.
Следствие I. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Следствие II. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак
равнобедренного треугольника).
Неравенство треугольника.
Теорема. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон (стр. 74).
Свойства прямоугольных треугольников.
1) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 900.
2) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.
3) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против
этого катета, равен 300.
4) Медиана проведенная к гипотенузе равна его половине
Наклонная.
Отрезок, проведенный из точки к прямой и не перпендикулярный к этой прямой, называется
наклонная.
Перпендикуляр к прямой. Расстояние от точки до прямой.
Отрезок, проведённый из точки к прямой и образующий с нею прямые углы,
называется перпендикуляром к данной прямой.
Теорема. Из точки не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и
притом только один (стр. 32).
Длина перпендикуляра, проведенная из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до
прямой.
Расстояние между параллельными прямыми.
Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется
расстоянием между этими прямыми.