Акмуллинская олимпиада по математике. 8 класс. 1.Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Если эту цифру перенести на последнее место, то число уменьшится на 864. Найдите четырехзначное число. Решение. Пусть 7𝑎𝑏𝑐 = 7000+ 100a + 10b + c – исходное число, тогда новое число будет 𝑎𝑏𝑐7 = 1000a + 100b+ 10c + 7. Так как разность этих чисел равна 864, то получим: 7000 + 100a + 10b + c = 1000a + 100b + 10c + 7 + 800 + 60 + 4. Так как число единиц слева и справа совпадает , то с = 1. Число тысяч, сотен и десятков тоже должно совпадать. Имеем: 7000 + 100a + 10b = 1000a + 100(b+8) + 10 × 8, откуда b = 8 и, соответственно, a = 6. Ответ. 7681. 2.Найдите последнюю цифру числа 82003 . Решение. Находя значения степени 81, 82, 83, 84, 85 и т.д., замечаем закономерность: последней цифрой являются 8, 4, 2, 6, а далее они повторяются. Так как 2013 = 500× 4 + 3, то 82013 оканчивается той же цифрой, что и 83 , то есть 2. Ответ. 2 3.Среди 81 монет имеется 1 фальшивая (более легкая). Как ее найти, используя всего 4 взвешивания? Решение. Разделим монеты на три кучки по 27 монет. Взвесим первую и вторую кучки .Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Если весы не в равновесии, то фальшивая монета в той кучке, которая легче. После этого разбиваем кучку из 27 монет (в которой есть фальшивая монета) на три кучки по 9 монет и вторым взвешиванием определяем более легкую кучку. Третьим взвешиванием определяем наиболее легкую тройку монет. И наконец, четвертым взвешиванием определяем фальшивую монету. 4.Сколькими способами можно разрезать равносторонний треугольник на 2 равных треугольника? Решение. Тремя способами: проведя 3 медианы (высоты, биссектрисы). Ответ. 3 способа. 5.Упростите выражение ( a – b )3 + (b – c )3 + (c – a )3 . Решение. ( a – b )3 + (b – c )3 + (c – a )3 = a3–3a2b + 3ab2 – b3 + b3 – 3b2c + 3bc2 – c3 + c3 – 3c2a + 3ca –a3 = 3(ab2 – a2b + bc2 – b2c + ca2 – c2a) = 3(ab2–abc+abc – c2a – a2b + ca2 – b2c +bc2) =3(ab(b-c) + ac(b-c)- a2(b-c bc(b-c))= 3(b-c)(ab+ac–a2–bc)=3(b-c)(a(b –a) – c (b-a)) = 3( b – a )(a–c) (b – c ). Ответ. 3( b – a )( a – c ) (b – c ). 6.Решите уравнение √1 + √2 + √𝑥 = 2. Решение. Последовательно освобождаемся от радикалов, возводя обе части в квадрат. В результате получаем: 𝑥 = 49. Ответ. 49. 7.Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно? Решение. В произведении всех чисел от 1 до 100 содержится 24 «пятерки»: по одной в числах 10, 20, 30, 40, 60, 70, 80, 90, 5, 15, 35, 45, 55, 65, 85, 95 и по две в числах 25, 50, 75, 100. Так как произведение цифры «5» на любое четное число оканчивается нулем , то произведение чисел от 1 до 100 оканчивается 24 нулями. Ответ. 24 нуля. 8.Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 метров за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость. Решение. Обозначим за s (м) длину поезда, а за v (м/с) – скорость поезда . используя первую часть 𝑠 предложения задачи, получим первое уравнение : = 5 так как с момента вхождения 𝑣 поезда на платформу до момента ухода с нее, «хвост» поезда проходит расстояние s+150 𝑠+150 (м), то второе уравнение будет: 𝑣 = 15. Решая систему из данных двух уравнений, получаем, что s=75м, а v = 15 м/с. Ответ. 75м., 15 м/с. 9.Зная, что 𝑚 𝑛 1 = 3 , найдите значение выражения 𝑛 − 2𝑚 . 𝑚 Решение. 𝑚 1 Так как 𝑛 = 3 , то 𝑛 = 3𝑚 Отсюда следует: Ответ. 1. 3𝑚−2𝑚 𝑚 = 𝑚 𝑚 = 1. 10.Сосчитайте: 1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-…+2002-2003-2004+2005. Решение. Разобьем все числа, начиная с 2, на четверки. Всего четверок получится 501. Сумма чисел в каждой четверке равна 0. Тогда сумма всего выражения равна 1. Ответ. 1.