№ 1. Решение: искомое число можно обозначить как 7abs. Второе число с измененной цифрой можно представить как abc7. Можно сказать, что получилось уравнение 7abc – abc7= 864. 7000+ 100a + 10b+ c – 1000a − 100b − 10c − 7 = 864, − 900 − 90b − 9c = −6129, −9( 100a + 10b+ c) = −6129, 100a + 10b + c = 681, abc = 681, 7abc= 7681. Ответ: 7681. № 2. Решение: 8^1=8 8^2=64 8^3=612 8^4=4096 8^5=32768. Аналогично, что последняя цифра периодически изменяется через каждые четыре числа 2003 ÷ 4 = 500 ( остаток 3). 8^2003 = 8^4∙ 500 + 3 = 8^2003 ∙ 8^3 ; 8^3 оканчивается цифрой 2, значит последняя цифра числа 8^2003 равна 2. Ответ: 2. № 3. Решение: разделить на три кучки по 27 монет и положить на каждую чашу весов по одной кучке. Итак, первое взвешивание после него определяется более легкая кучка монет. Далее разделяем легкую кучку на три кучки по 9 монет и опять одна кучка легче остальных. Третье взвешивание делим легкую кучку на три по 3 монет. Последнее взвешивание взвешиваем по одной монете и находим фальшивую. № 4. Решение: равносторонний треугольник имеет три оси симметрии, поэтому равносторонний треугольник можно разрезать на 2 равные части 3 способами, прямыми проходящими через медианы треугольника. Ответ: 3 способа. № 5. Решение: (a – b)^3 + (b – c)^3 + (a – c)^3= a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 + b^3 – −3b^2c + 3bc^2 – c^3 + c^3 – 3c^2a + 3a^2c – a^3 = 3ab^2 – 3a^2b − 3b^2c + 3bc^2 – 3c^2a + 3a^2c. Ответ: 3ab^2 – 3a^2b − 3b^2c + 3bc^2 – 3c^2a + 3a^2c. № 6. Решение: √1 + √2 + √x = 2, 1 + √2 + √x = 3, 2 + √x = 9, √x = 7, x = 49. Ответ: 49. № 7. Решение: нулей столько сколько имеется пар простых множителей 2 и 5… двоек очень много− они присутствуют во всех четных числах, а пятерок меньше− они имеются только в числах, делящихся на 5, таких чисел двадцать, но в четырех их них две пятерки: 25= 5 ∙5, 50= 2∙5∙5, 75 = 3∙5∙5, 100= 2∙2∙5∙5. Так что всего пятерок в произведении 20 + 4 = 24, 1∙2∙3… ∙100 ровно 24 нуля. № 8. Решение: пусть lм − длина поезда, x м/с скорость поезда. Из условия задачи имеем { l + 150= x, { l = 5x. 5x+ 150= 15x, 10x = 150, x = 15. Значит скорость поезда 15 м/с, а длина поезда l= 5 ∙15= 75м. Ответ: 15м/с; 75м. № 9. Решение: m/n = 1/3; то n/m = 3. n − 2m/ m = n/m − 2m/n = n/n − 2 = 3 − 2 = 1/ Ответ: 1. № 10. Решение: 1+2−3−4+5+6−7−8+9+10−…+2002−2003−2004+2005= 1+ (2−3) + + (−4+5)+ … +(2002−2003) + (−2004+2005)= 1−1+1+…−1+1= 1. Ответ: 1.