Математика (с решениями)

МАТЕМАТИКА
Билет


1. Решить неравенство: log 2x+7 x 2 +4x +4 < 2 log x 2 |x|.
2. Если цифру десятков некоторого двузначного числа умножить на 4, а цифру его единиц
умножить на 6 и результаты сложить, то полученное число будет на 13 больше суммы квадратов
цифр исходного числа. Найти исходное число.
3. Графики функций f  x  = 6 x 2 + 2x +6 и ее первообразной F  x  касаются в точке с
абсциссой, большей 0,7. Найти множество значений x , для которых выполняется неравенство:
F x  - f x 
f’  x 
4. При каких значениях параметра
 0.
a уравнение
2 2a-1 sin 4x - a+3 cos 8x +3a = 1
имеет ровно восемь решений на отрезке -;  ?
5. Основанием треугольной пирамиды SABC служит правильный треугольник ABC со
стороной 6. Высота пирамиды, опущенная из вершины S , равна 4, причем основание этой
высоты принадлежит треугольнику ABC (включая его границу). Найти наименьшее возможное
при этих условиях значение радиуса шара, описанного около пирамиды SABC.
Решения и ответы
1.
Решение. С учетом определения и свойств логарифмов, последовательно преобразуя,
получим
log 2x+7 x2 + 4x + 4  < 2 log x2 x 
 log 2x+7 x2 + 4x + 4  < log x 2 x2  

0 < x2  1,


log x2 + 4x + 4  < 1
 2x+7




0 < x 2  1,
 
 
0 < 2x + 7 < 1,
 
  2
  x + 4x + 4 > 2x + 7,


0 < x 2  1,



2x + 7 > 1,


2
0 < x + 4x + 4 < 2x + 7

- 3,5 < x < -3,

 - 3 < x < -2,
 - 2 < x < -1,

 - 1 < x < 0,

0 < x < 1.

Ответ: x -3,5; - 3  -3; - 2  -2; -1  -1; 0  0; 1.
2. Решение. Пусть x y - искомое двузначное число, т. е. x - число его десятков, а y - число
его единиц. Записав условие задачи в виде уравнения, получим




4x + 6y = x2 + y 2 + 13  x2 - 4x + y 2 - 6y + 13 = 0 
 x - 2 2 +  y - 32 = 0  x = 2, y = 3.
Ответ: 23.
3. Решение. Производная f ' ( x ) и первообразная F  x  функции f  x  = 6 x 2 + 2x +6 равны
f’  x  = 12x + 2 и F  x  = 2 x 3 + x 2 +6x +C где C - постоянная, подлежащая определению. По
условию графики функций y = f  x  и y = F  x  касаются в некоторой точке


M 0 x 0 ; y0 ,
причем x 0 > 0,7. Наличие касания означает совпадение ординат и угловых коэффициентов
касательных к указанным графикам, поэтому условия касания в точке M 0 имеют вид
 2

3
2
f  x0  = F  x0 ,

6 x0 + 2 x0 + 6 = 2 x0 + x0 + 6 x0 + c,


 f'  x0  = F'  x0  = f  x0 ,

12 x0 + 2 = 6 x02 + 2 x0 + 6,




x0 > 0,7
x0 > 0,7

 2
 
 C = 5,
6 x0 + 2 x0 + 6 = 2 x03 + x02 + 6 x0 + C;


 x0 = 1.

x0 = 1
Следовательно, F  x  = 2 x 3 + x 2 +6x + 5, и неравенство
F x  - f x 
f’  x 
0
имеет вид
2 x 3 - 5 x 2 + 4x - 1
 0 следовательно
12 x + 1 / 6 
 x -12  x -1 / 2  0.
x +1 / 6
Для разложения числителя на множители удобно было заметить, что x 0 = 1 - корень уравнения
f  x  = F  x , а значит, корень многочлена F  x  - f  x , стоящего в числителе.
Решив последнее неравенство методом интервалов, найдем искомое множество.
Ответ: x -; -1 / 6   1 / 2; + .
4. Решение. Учитывая, что cos 8x = 1- 2 sin 2 4x , приведем уравнение
(1)
2 2a-1 sin 4x - a+3 cos 8x +3a = 1
к виду
где
f t  = 0,
(2)
f t  = a+ 3 t 2 +  2a-1t + a- 2,
t = sin 4x.
Пусть сначала a  -3. В этом случае f t  - квадратный трехчлен с дискриминантом
D =  2a-1 -4a+3a- 2 = 25 -8a.
2
Поскольку | sin 4x|  1, то для существования решений уравнения (1) необходимо и достаточно,
чтобы уравнение (2) имело действительные корни, т. е. D  0, причем хотя бы один из его корней
t 1 или t 2 не превосходил по модулю единицы.
Пусть D = 0, т. е. a = 25 / 8. Тогда
1- 2a
3
= - , т. е. | t 0 |< 1.
t0 = t1 = t 2 =
2a+ 3
7
Следовательно, уравнение (1), эквивалентное в этом случае уравнению sin 4x = t 0 , имеет
решения. Точнее, поскольку функция t = sin 4x - периодическая и ее период, равный  / 2,
укладывается на отрезке -;  ровно четыре раза, оно имеет на этом отрезке ровно восемь
решений (на рисунке им отвечают восемь точек пересечения прямой t = t 0 с синусоидой
t = sin 4x ).
Таким
образом,
a = 25 / 8 является одним из
искомых
значений
параметра.
D > 0,
Пусть
т. е.
a < 25 / 8. Тогда уравнение
(2) имеет два различных
корня и уравнение (1)
эквивалентно совокупности
A
двух уравнений

 sin 4x = t 1 ,

sin 4x = t 2 .
Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при рассмотрении случая
D = 0, приходим к выводу, что в данном случае уравнение (1) будет иметь ровно восемь решений
из отрезка -; , если либо один из корней окажется вне отрезка -1; 1, а другой будет
принадлежать интервалу -1; 1, но при этом не будет равен нулю (на отрезке -;  синусоида
пересекает ось абсцисс в девяти точках), либо в случае t 1,2 =+_1,
когда каждая из прямых t = -1 и t = 1 на отрезке -;  коснется четырех вершин синусоиды
t = sin 4x (см. рисунок).
Итак, принимая, например, что t 1 < t 2 , приходим к необходимости и достаточности
рассмотрения следующих трех случаев:
а)
б) 
в) 

t 1 = -1,

0 <| t 1 |< 1,
t 1 < -1,



0 <| t 2 |< 1,

 t 2 = 1.
t 2 > 1,
Поскольку t 1 и t 2 - корни квадратного трехчлена f t  , A то случаи а) и б) имеют место, когда
значения f t  на концах отрезка -1; 1 имеют разные знаки, т. е. f -1 f 1 < 0, причем
f 0  0, а в случае в) - когда f -1 = f 1 = 0. Вычисляя f -1 = 2, f 1 = 4a и f 0 = a- 2,
заключаем, что случай в) невозможен, а случаям а) и б) отвечает условие a< 0. Суммируя
результаты, получаем
a -; - 3  -3; 0  25 / 8.
Пусть теперь a = -3. Тогда уравнение (2) становится линейным: -7t - 5 = 0, откуда t = -5 / 7 и
так как 0 <|t|< 1, то в этом случае уравнение (1) имеет на отрезке -;  ровно восемь решений.
Ответ: a -; 0  25 / 8.
5. Решение. Пусть O1 - центр шара, описанного около пирамиды S A BC, O1 A = O1 S = R его радиус, SP = 4 - высота пирамиды. Поскольку точка O1 равноудалена от вершин пирамиды,
то она лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через его центр точку O. Опустим из точки O1 перпендикуляр O1 M на прямую SP  и обозначим длины
сторон полученного прямоугольника OO1 MP через x = OP = O1 M и y = OO1 = PM. Применим теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам O1OA и O1 MS:
O1 A 2 = OA 2 + OO12 , O1 S 2 = O1 M 2 + SM 2 .
Длина отрезка OA совпадает с радиусом окружности, описанной около
6,
правильного треугольника
со стороной
поэтому
ABC
OA = 6 /
3 = 2 3 и первое равенство переписывается в виде
2
R 2 = 12+ y .
Из второго равенства вытекает, что SM = R 2 - x 2 , и поскольку в общем
случае PM =|SM - SP| (точки O1 и S могут быть расположены по
разные стороны от плоскости ABC ), то
y =| R 2 - x 2 -4|.
Следовательно,


2
2
R 2 = 12+| R 2 - x 2 -4| ,
то
есть
R 2 = x 2 +4 / 64+12, откуда следует, что наименьшее значение радиуса указанного шара R min
достигается при x = 0. В этом случае точка P совпадает с точкой O (т. е. пирамида является
правильной), а значит, условие о принадлежности основания высоты треугольнику
ABC выполняется.
Итак, R min = 16 / 64+12 = 7 / 2.
Ответ: 3,5.