и при чётных - Pedsovet.su

1. На мой взгляд изложение всех формул по теме «ЛОГАРИФМЫ» должно начаться с главных
слов:
Любое выражение вида 𝑙𝑜𝑔𝐴 𝐵 , где бы оно ни встречалось, и в каких бы конкретных формах ни
были представлены выражения А и В, всегда подразумевает наложение строгих ограничений на
значения A и B:
𝑨 > 𝟎; 𝑨 ≠ 𝟏; 𝑩 > 𝟎,
В дальнейшем эти условия больше не приводить и всегда помнить, что любая приводимая
формула должна подчиняться этим требованиям.
2. Особо подчеркнуть, что известное свойство логарифма по любому основанию
log(𝐴𝐵) = 𝑙𝑜𝑔𝐴 + 𝑙𝑜𝑔𝐵
обязательно должно быть записано более строго:
𝐥𝐨𝐠(𝑨𝑩) = 𝒍𝒐𝒈|𝑨| + 𝒍𝒐𝒈|𝑩|.
C другой стороны всегда, когда имеет смысл левая часть, 𝑙𝑜𝑔𝐴 + 𝑙𝑜𝑔𝐵 = log(𝐴𝐵).
3. Совершенно аналогично 𝒍𝒐𝒈𝑨𝒌
𝟏
= 𝒌𝒍𝒐𝒈|𝑨| и 𝒍𝒐𝒈𝑨𝒌 𝑩 = 𝒍𝒐𝒈|𝑨| 𝑩 при
𝒌
чётных 𝒌 = 𝟐𝒏, а в остальных случаях знак модуля не нужен.
4. Включил бы в набор формул ещё несколько:
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 ∙ 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒄 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒄
и её очевидным обобщением:
𝒍𝒐𝒈𝒙 𝒂𝟏 ∙ 𝒍𝒐𝒈𝒂𝟏 𝒂𝟐 ∙∙∙ 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏 ∙ 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒏 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝒙 𝒚.
𝒏
−𝟏
−𝟏
𝒍𝒐𝒈𝒂𝟏∙𝒂𝟐 ∙∙∙ 𝒂𝒏−𝟏 ∙𝒂𝒏 𝑩 = (∑ (𝒍𝒐𝒈𝒂𝒊 𝑩) ) .
𝟏
Очень полезной бывает формула:
𝑨𝒍𝒐𝒈𝑩 = 𝑩𝒍𝒐𝒈𝑨
по любому основанию.
5. Представляет интерес дополнительно рассмотреть свойства функции 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑎 при
любых а, особенно характер поведения около особой точки х=0.
6. Очень полезно исследовать свойства и другой функции
𝑦 = 𝑒 𝑥 ⁄𝑥 𝑒 , или, что равнозначно, 𝑦 = 𝑥 − 𝑒𝑙𝑛(𝑥). Монотонное возрастание обеих
функций при 𝑥 > 𝑒 приводит к любопытному результату :
𝑒𝜋 > 𝜋𝑒.
7. Стоит хотя бы упомянуть, что использование вместо 𝑦(𝑥)функции ln(𝑦(𝑥)) позволяет
вычислять производные от таких функций, как sin(𝑥)sin(𝑥) и многих других.