Глава 1.
Ф
ункции
§ ]. Понятие функции
Понятие функции является одним из важнейших понятий математики п
ее приложений. С помощью различных функций могут быть описаны мши иг
процессы в области экономики и коммерческого дела.
Пусть даны два непустых подмножества D и Е множества R.
Определение I. Если каждому элементу х е D ставится в соответпиие
один и только один элемент у е Е, то у называется функцией / аргумента \ и
записывается в виде
y = f(x )V x е D , или y=f(x), х е D,
где символ V называется квантором общности и читается: «для всех»,
«для любого», «для каждого».
Подмножество D называется областью определения функции v, и
подмножество Е множеством ее значений. Независимая переметши >
называется аргументом функции.
Функция называется числовой, если ее область определения и множес мю
ее значений - числовые множества, т.е. D е R и Е е R
Определение 2. Функция у = fix) называется четной, если
f(- x )= f(x )V x e D
и нечетной, если
f(-x) = -f(x) V jсе D.
График четной функции симметричен относительно оси Оу, а график
нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Определение 3. Функция у =f(x) называется возрастающей на ] а,1> |> />,
если
л-2 > х, =>f(x2) > f(х,) V (х,, х2) € ] a,b [,
и убывающей на ] a, b [е D, если
Л'2 > х, => f(x2) <f(x,) V (xj, х2) е ] а,Ь [.
. .
Определение 4. Функции, возрастающие или убывающие на некотором
числовом промежутке, называются монотонными функциями.
Определение 5. Функция у = f(x) называется периодической, если
3 Т > 0, что f(x ± Т; =f(x) У х е D,
где число Т называется периодом функции, а символ 3 назыниеки
квантором существования и читается «найдется», «существует».
Если функция у задана уравнением вида F (х,у) = 0, не разрешенным
относительно у, то она называется неявной функцией аргумента х.
1.1 Найти область определения функции'.
1. у = V 1—х 2
16. у = ^12 + х —х 1
4
2. у - (З х - З -*)
\1. у = —— - + ^ (х + 1)(х + 3)
X' —1
2
3. у = л Я б ^ х Г + ^ 2 л + 3
л/х2 - х
1
4. у = -J1+ х - 2л/3 - х
л/х-4
18. .V=
19. у =
5. „ = —
-л:2 - 5л-+ 6
20. >>= х4 + Зх2 +1
6. y = V x 3 - l
21. у = л/ ( 9 - х 2)(х 2- 4 )
1. у = л/Зх —х 11
22. у = х3—Зх'
8. у = — — —
х 2-7х + 12
1
9. у = ---------■ х у - Зх2+ 2х
23. у = 1+ л/х--Т
_л
4jc —1
/—
24. у—------ л/х
3
10. у = —
1+ х
/---- 7
11. v = v 4 x - x "
25. у = ^ - л /Г
26. у = — --- I-—
12. y = V 2x - 7
27. у =
13. у = — ---V ^+ 3
1- X
28. у = (2х - 2 -х)
14. у = - ^ — л/х
1+ х
29. у = V l +"х —2л/5 - х
2
1- 2х
1
3
х
л/х —1
х -4
+^ Ц
З0 . у = т 2 =
х -3
л/х - 4
1.2 Определить, является ли заданная функция четной, нечетной или
функцией общего вида:
15. у
= л/ 3 ^
1. у = Зх 3 - 7
2. у = ——
1+Х
16. у = 4х 2 —1 -r>\ v . ‘\>4 N
.
7
3. у = 2х2 -1
17. у - —
1—X
V
’1 " VxjAS-.Ч
а х +1
18. У = х — --а -1
4. у = Зх+ х 3
19. y = 2x + sinx
5. у = х 5 + 2
20. у = 3’х + 3х
6 . у = 2 х 3 - 2 Vx
21 . у = 3х-3/х
7 . у = х3 +х
22 . у = Зх 3 - 2 ^ х
5
, ■*.
'
8 . у = 7- х 3
23. у = x2 - cos x
9. у = (х 2 - 2 )3 - х 4
24. y = 2x 2 +1
10. у = х + 2 х'’
2 X + 2 -x
25. у = ------ 2 х - 2 “x
11. у = х 2 + cos X
26. y = x 3 +7
12. у = 2
27. у = 1 ( 3 х +3~х)х
Х''
2 +х
2
х2 - х
13. у = -j=—
л/х + 1
28. у -
4 х - 4 _х
4 х +4
14. у = х 4 _ Х
4 +х
29. у = 2х 2 +3х
15. у - 2 х + х 3
J
30. у = х
2 . у = sin2 л:
17. у = cos—- ctg x
3. у = 5 tg За- - ctg 2х
18. у = ctg--cos 3x
X
X
4. y = cos— + ts—
3
5
19. у = tg 3x + 2 sin 6 x
2 +х
1.3 Определить период функции:
1. у = tg х + tg 2х - sin Зх
16. у = cos 2х + tg х
X
X
20 . у = sin—+ cos—
5. v = —sin 2x + -sin 3x
2
3
3
4
3
6 . у = cos2 X
21 . у = tg x-ctg-
• з
2
7. v = sin—х + 5cos—x
4
3
22 . y = tg ^ + ctg 2 x
8 . y = sin 2 x + tg—
23. у = tg 3x +2 sin 4x
9. у = tg 3x + 2 sin 2x
24. у = tg——5 ctgx
X
X
10. у = tg—+ cos—
*
6
3
X
X
11. y = 4cos — sin—
4
25. у = sin—+ 5 cos x
3
13. у = sin—+ 5cos 2x
4
28. у = tg x + tg 2x - sin 5x
4
X
X
26. у = cos—+ sin—
3
5
27. у = 5 tg 3x - sin x
2
5
12. у = ctg 2x - cos 3a‘
6
1 .
1 .
14. y ~ —sin Зх +—sin 2x
'
2
3
X X
15. y - sin—+ sin—
3
5
X
29. y = 4 s in 3x-cos—
4
1
X
30. y = -tg 5x + cos—
3
2
Глава 2.
Предел и непрерывность функции
§ 1. Предел функции
2.1. Абсолютная величина и ее свойства
Определение 1.
Абсолютной величиной действительного числа а
называется число, определяемое формулой
. . Га, если а > 0 ,
а =<
{- а, если а <0.
Свойства абсолютных величин
1.|х+ у|<]х| + |у|,
2 .|х-у|>|х|-|у|,
3.|х-у|
4.
X
= |х|-|у|,
Ы
И
2.2.
Определение предела функции
Определение 2.
Функция
у
= f(x)
имеет предел А
при
х —> х0: А = lim f'(x) , если при приближении х к х0 значение функции f(x),
X—>.Y0
подходит как угодно близко к числу А.
Дадим второе определение предела функции в точке.
Определение 3. Число А называется пределом функции у = f(x) при
х —> Xq , если для любого е > 0 существует число 5(e) > 0, такое, что при
О < |х - х0|< <5 выполняется неравенство
|/(х)-Л |<е.
В этом случае пишут
lim / ( х ) = А .
А'->ДГ0
Пример 1. Доказать, исходя из определения предела функции, что
linW x + 4 = 3.
х-»5
Решение. Пусть е >0, покажем, что для данного е
такое д >0, что, как только |х- 5| < 5 , то |Vx+~4 - з| < £.
Преобразуем выражение
7
можно подобрать
I ,---
1
|x+ 4 - 9|
1
1 л/х +4+3
\ ^ + 4 - i= L-- =
be—5l
■
■= t--===P— r,
|л/х+4 + 3|
так как |Vx +4 + з| > 3, то для всех х
|д:-5|
_L
|л/х + 4~з|<< — —
3
Итак, если выбрать
5
_■
3
5 < Зе, то linW x + 4 = 3.
*-»5
Если
2.3.
существуют
конечные
Основные теоремы о пределах
пределы
Н т / ( х ) и lim g (x ),
то
х -> х 0
х —>.v0
существуют пределы:
1. lim ( / (х) ± g(x)) = lim / (х) ± lirn g(x);
д:->л'0
лг—>д:0
дг—>х0
2 . lim ( f (x ) ■
g(x)) = lim / (x) ■lim g(x);
ЛГ—>лг0
x —>X0
f ix )
lim / W
3. l i m ^ = ^ ----,
g(x)
lim g(x)
X -*X 0
(g (x )* 0 );
4. lim C = С, где С - const;
5. lim C f (x) = С lim / (x);
X~>X0
X—>Xa
\
lim (D(x)
6. lim [ f ( x ) f M = [ lim /(x )] ” '»JC—>JC0
x—
Пример 2. Найти предел
5x 2 + 3x - 4
lim —— ----x-^2
x -1
Решение. Используя формулы (l)-(5), получим:
lim
г 2 , о
л
x2 - l
5 lim x 2 + 3 lim x - 4
^
~ *~>2
Л^ 2
_ 2 0 + 6 - 4 __ 22
lim x 2 - l
4- 1
3
x—>2
Пример 3. Найти предел:
lim(3x)x
J(->2
Решение. Так как lim3x = 6 , lim x 2 = 4 , то используя формулу (6),
Л-—>2
*-»2
получим
Нт(Зх)* = lim(3x)Mj = 64 = 1296.
ЛГ—>2
jt—»2
При нахождении предела функции часто подстановка предельного
значения
аргумента
приводит
к
неопределенным
выражениям
вида:-, — , 0 -оо, оо —оо, 0 °, оо°, 1°°. Нахождение предела функций в таких
О °о
случаях
называют
раскрытием
неопределенности.
Для
раскрытия
неопределенности прежде, чем перейти к пределу, необходимо производить
преобразования данного выражения.
Пример 4. Найти предел
..
х 2 - бх+ 8
lim —— ------ .
-
5х + 4
Решение. П ри х = 4 имеем неопределенность —.
В подобных случаях, когда в числителе и знаменателе многочлены
обращаются при х = а в нули, их необходимо сократить на х - а, после
предварительного разложения на множители, что всегда возможно.
х 2 —6х + 8 .. (х - 2 )(х - 4 )
х -2 2
lim —-z------ = lim----- --- - = lim --- = -.
Л'->4 х —5х + 4 х—>4 (х —1)(х —4) Дг->4х-1 3
Пример 5. Найти предел
2 х 2 + 5х + 6
lim — -------------.
*-»+” 5х + х - 3
Решение.
В
данном
примере
неопределенность
вида
оо
—.
оо
Если
со
неопределенность вида — задана отношением двух многочленов, то следует
ОО
делимое и делитель разделить
содержащийся в этом выражении.
на
аргумент х
-
в наибольшей
степени,
—
2х“ + 5х + 6
.
х х2
^
l i m — 5------ = l i m - — — ^ - = - .
5х + х - 3
ЛГ->+*° з + j. _ _
х х2
5
Пример б. Найти предел
lim (V 1+ х 2 -х).
Д
Г—)+»
Решение. Имеем неопределенность вида °о-оо. Эта неопределенность
раскрывается с помощью тождественных преобразований, переводящих
иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателяв числитель.
, /, ; 2
N Г
(VT+X2 -x)(V 1+Х2+х)
lim (V l+ x - х ) = lim - ------,
------ =
(л/ 1+х 2 + х)
lim
, ,,.,L --- = 0 .
Д
Г—>+°° (л/ 1+ х 2 + х)
9
При
вычислении
используется
формула
пределов тригонометрических функций часто
sin и .
lim ----= 1,
которая
называется
первым
и-*о и
замечательным пределом, позволяющим раскрывать неопределенность вида -jj.
Пример 7. Найти предел
/
lirii(l —дг) t g ^ .
л-->1
2
Решение. Имеем неопределенность вида 0-°о.
О
Приведем ее к неопределенности вида —.
Положим 1 -x = t. Тогда х = I -1, и /—» 0 прих —» 1.
Следовательно,
,
кх
,и к .
7Г
im(l - х ) tg— = hrrU'tg(---- /) = lim? -ctg—t =
^ b 2
2
2
'-0
2
л
n
—f
T O
7Г ..
2
. 2 2
= limf -- — = lim cos—/-lim — --- = 1-— = —.
'-*»
.я '
2
l_,° я . 7г
n
n
sm —;
—sin—t
COS— f
2
2
2
2
Пример 8. Найти предел
sinx-sintf
lim -------- .
*->«
x —a
Решение.
x + a . x —a
2 cos--- sin---sinx —sinfl
2
2
lim ---------= lim ----- -----— =
x—
>a
x —a
X->U
x —a
. x —a
sin--0
x + a ..
2
2я
= lim cos---- lim ---- -— = cos-- 1 = cosn.
x—
>a
2 x-*a x —a
2
2
Вторым замечательным пределом называется предел вида
lim (1+—)" = Нт(1 + и)" = е, е - 2,71828...,
U—>±оо
Ц
М—>0
с помощью которого можно раскрывать неопределенность вида 1°°.
Пример 9. Найти предел
\
2*
I
ЛV -4-1
lim
im p a ir .
д;->4~АЗх - 2 )
Решение. Имеем неопределенность вида 1°°. Для раскрытия этой
неопределенности приведем данный предел ко второму замечательному
пределу путем следующих очевидных преобразований:
10
\
2*
\2.v
Г\ + —
= lim
*-*+«=
lim
jc->4~V 3x-2 J
lim
im
f
M 21'
1+ —
3x J
A"—>+°°v
1+
3x
-
3x j
\2x
1-
-
lim
3x
X—
* 5
2
12
2
= li
lim(l + <)3f = (lim(l + t)' ) 3 = e 3;
t->o
t->о
Пусть — = t, тогда x = — и t —» 0 при x —> <=°.
3x
Зг
2V
lim j l - ^ J
Зх
) зг = (lim
(l + ?)7)
r-»0
= Hm(l +1
3 = e 3.
31
2.4 Найти пределы:
. .. Зх“ - 5 х - 2
1. h m --------х —>2
X
Зх - x - 2
16. lim
*->'4x2 -5x +1
2
Зх1 - x - 2
17. lim
x~>4x + 5x-7
x - 5x + 6
2 . lim
*-»2 x - 3x + 2
•x + 2 x
3. lim :
18. lim-
x 2 +x
л'->0
x2 -4
19. lim
4 ? lim
A'—
л
-->-2 Jt + 2
5. lim
jc—>3
3 - .x
jr—>3 x-’
+ 3x-l
x - 2 x+ 1
■3
x +1
20 . lim
AT—>—I X + 1
4
4
x -a
21 . lim
*->" x 3 - a 3
-27
x —2
6 . lim
■
*—*2 x z - 6x + 8
_ .. x 2 —9x + 20
7. h m --------л->4
x- 4
22 . lim
x -5x + 6
x 3 - 3x + 2
x" - 5x + 6
23. lim
*-*2 x 2 - 12x + 20
2x2 - x - 3
*3 2x - 5x + 3
2
36- 12x + x
24. lim
9. lim
*-*s x - 7x + 6
sinx —tgx
■2 x
4лsin
2
2x -1 lx + 5
10. lim
*”*5 Зх
—14x
5
l + sin 2x
25. lim
_n sinx + cosx
ii
i•
1
T
lx —1
11. h m ------- ----
26. l im ---
-<: + j
5
„3
10 ..
x~ —3x —2
12. lim ----- —
*->-■
cos x
x
. x
—+ sin —
*“*§ COS^2
2
x2 - 4
27. lim - -- x—
*2 2 - x
X +X
.. 2x 2 - 9x+ 10
13. h m --- -- -2x - 5
i
x3- l
28. lim ---x-*i l- x
,4 .1 ta 4 ^ £ ± i
x~** x —5x + 4
29. lim " ’ - 8
x-)2 д^2 —4
, 5 .
I
t a
x -> 4
i i z
3 0
i i i *
x-4
x->,
x „\
2.5. Найти пределы.
Hm -y— L jt-»oV1+ x -1
16. lim ^ L Z _ i
3
1• V
V4 ■
*Ax I+A
+
x 2 -2L,
2• ,.„
I'm ------:---j
*-»'
17. lim*_>o
x+1
-> г
3. lim - p — ,v->8 iJ x - 2
4-
19. lim —
*_>(,
____
, .. л/l + X —л/l —X
5. h m ------------------x^ °
x
i
л-*°
*
Jx - l
is. Hm—^ — x2- 1
.v->274/,у - 3
6. l
1-V7+T
^
v
20. lim --------------'^ o V T + 4 - 2
m
2I , lim ^ 3 - 3
X
^_»3
*
— т/г
*-><W2 + x - V 2
2-х
7 i™
х-л/Зх + 4
22. lim --------—
лг-м
16-х
8-л
итлТ
2 ~Ь—+-;
_> 3 —v2x
l
23--V
lim
— +-Vx
Г '+ 2
—»—Iх
9-■
Ип1
Г ^Г
v-> 4-VX
24'х->
H0 m
10' .r-)i6Vx-4
Kl? < T ~ l
25-^lim ~ '" г *
..
...
V
X -- 3j
V ll +
+ 2^ x
V-
П- lim
,ПГ! --Г----— ^—
*-»4
^ ^ i
/26.
0 - lim
11Ш--- - --
Vx-2
л:_>о л/х + 1 - 1
12
X
.. V 1 + 8х - 3
12. lim — = --*-»| л/4х-2
27. l i m ---- ^ —
дг->-1х + л/х + 2
13. lim --- ............
^ il- V l+ tg ^
28. lim ^ ~ 2
*-»4jC -16
л: + 1
2
. . ,.
x 2 —25
14. h m --- .= =
ДС—>5 2 - л/х - 1
2 -л/х + 4
29. lim -------x -*0
Гlim --1_x2
7-—
X
™ lim
1- -V7=—
I-1
30.
JT-^IVX —1
jc—
>11 —Л/х
2.6. Найти пределы:
10” - 2
I. lim
«->~10”+l +5
2-5*
jr->=9 . 5* 4.4
2 . lim
3. hm
4. hm
1>
л:—
1 +n+2
7
18. hm (Vx 2 + 2 x - л/х2 +x)
3_7n
Jt—
5 + 7-2"
19. lim f —
--- Ц
*-»IV.l-X
1—X
■
)Д7+2
5 + 2"
/ x3
20 . lim
Л’—>°° 2 jc - 1
5-2"
2 * + lJ
21 . lim (V 2 x 2 +1 -л/2х 2 - 1)
«->“ 5 + 2"
2 x' —x + 1
7. hm
*->~5x3 + 2 x 2 -1
m -m - 1
8 . hm
т~*°°л1т4 + 2 + 5m2
9. hm
x
17. lim (л/2х2 +1-л/х 2 + 1)
r
1 + V 2x 2 +1
5. h m --------■*->«
x
6 . lim
1
16. lim
*-»iW -x3
22 . lim
23. hm
2 • 3* - 3
3*+2 +4
1
x—>2'V x - 2
( 2 z - l)( 2 - z )(12 + z)
12
8 -;
24. lim (л/х2 - Юх - x)
( 1 +z ) 6
3x4 - 2
,-------^ “ л/х8 + Зх + 4
10. lim
25. hm
11. hm (л/
/х 2 - x - V* - 5 x + 2)
26. lim (tgjt- cos 1x)
к
х-ъ—
2
12. lim(^/(jc + /w)(jc + /i) - x)
27. lim (y/ix2 +3x ~2x)
13
Найти пределы, используя
первый замечательный предел:
cosx-cos3x
sinx • sin 2 x
1. h m ----- ----16. limx—>0
5x
юг
cos—
sinx
2. lim --- 2_
-- ,
lim —,.
2.7.
,
ЛГ-)!] - ^ х
,
&
1 ->/Г=Гх
-к—»o V3x + 2 - л/2х + 2
3. l i m — ;----*-*о sin 4x
l-cos4x
18. h m ------------- -—
3x
4. l i m ( l - x ) t g —
19. hm
x -> i
2
К
X-+-Z-- X
2
,
sin(x+l)
5. h m — ---- *->о
6 . lim
1 —х
sin3x
i3 - л/2х + 9
sinx
7. lim
*—>0
8 . lim
л
sinx —cos;r
k
-4x
9. h m f e .1)
x -1
10. lim
cosx
*n-2x
l-cos5x
II. lim*->0 1- cos3x
12. lim
*->0
51п(л/Т+Зс - л/2 )
2
1 - cos—
20 , lim ---- —2*-*o 2 x
cosx-cosa
21 lim --------л—>u
x-a
2 2 . hm
лг-*)Г X — n
- sin x
1
п
23 . hm
л/ 1 + xsinx - 1
x
3sinx
-- — —
*->0 V2x + 1 -л/х +1
x 3 +1
24. hm
.y->—i sin(x + 1)
2
2
x -a
25. lim
x->a sin(x - a)
.. sin(x - 1)
26. lim — ---
-
JC—>1
\X — 1
cos2 x
27. lim
£ smx - cosx
4
13. lim
x
JC—>0 V 1 — COS
,.
4xcosx
14. lim —;---x—>o sin 2x
sin3x
28. lim
о 3 - л/2х + 9
.. s in (x - l)
29. lim — ^--- x3 - l
15. l im tg*
*->0
Sln*
30. lim (2 - x) ■tg—
X
x —*2
4
2.8. Найти пределы, используя 2-йзамечательный предел:
I . l i m f l +I F
дс-»т
х
16 . l i m f c i y
х-*о\Зх + 7 )
\
A‘+3
'/-3Y
/—
>oo\
,/ + 2 j
2 . lim f — — — 1
2t+ \
17. limf
*->°А Зх + 2 )J
1
1+------------------------------- 18. lim (l —2 лс)*
3 . lim
д—>0
X + A)
4. lim flH ------------------------------- -119. lim(cosjc) * 2
*->~V
_
X + \ J
5. lim (l + 3 x ) ^
x—>0
'
_
*-»0
'
20 . lim f—
V
/_>..l/ + |
( 3x + 2 Y x
3x-3J
(
6 . lim -----
>
x
x+
21 . lim —
\2 x+5
l i mI —
f ^■
i' ^t l
7.. lim
■
■
3x + 3 J
22. lim
8 . lim f~ —~ Y
23. lim f —— —1
x-*-\Зх + 1У
9. lim х(1п(дг + 1) - Inx)
•i->~
24. lim f—— -1
2 ? +1 j
10. lim (1 + tgx ) 2
*—»o
25. lim f— — -)
/7—
>°°\2n + 2 )
11.
26. И т М 1± ^ )
дг—
»o
x
x->°°\x —5J
/+1
n- 3
x->°»y 5x + 2 J
I
2л—1
12. Iim (l + sinjc)3*
■
*—>0
27. lim f- — — 1
я— л + 3 у
13'
2*.
14. l i m f r — — Y ” '
\2x + 1J
..
ln (l- 3x)
15. lim ------ дг->0
I
™
,
-
3
29. lim M l l S )
*->o
„„
30. lim
B+ xY
>VW + X )
15
)
i
§ 2. Непрерывность функций и виды разрывов.
Определение 1. Функция у ~ f(x) называется непрерывной в точке х„, если
она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малому
приращению аргумента Ах соответствует бесконечно малое приращение
функции Ау, т.е. lim Ау = О, откуда следует, что lim / (х) = / ( lim х) = / ( х 0).
Av->0
А х —>0
X —)Х 0
А х—>0
Х ~*Х 0
Это основное свойство непрерывных функций, состоящее в том, что для
непрерывных функций можно менять местами символы lim и/.
Определение 2. Функция у = f(x) непрерывна в точке х,> тогда и только
тогда, когда
Д х 0 - 0) = / (х 0 + 0) = / ( х 0),
где х() - 0 , х() + 0 обозначает стремление х к х() слева (справа) относительно
точки х.
Если функция f(x) в данной точке х() не является непрерывной, то она
называется разрывной в точке х» , а точка х« называется точкой разрыва
функции.
Различают следующие виды разрывов:
1) Точка Х() называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x),
если пределы справа и слева конечны и удовлетворяют условиям
/ ( х 0 -0) = / (х 0 + 0)Ф f (х0), гдеХо-точка устранимого разрыва
или / (х 0 - 0)ф f (х0 + 0) Ф / ( х 0), где х(гточка неустранимого разрыва. Разность
/ ( х 0 + 0) - / (х 0 - 0) называется скачком функции f(x) в точке х«.
2) Точка х() называется точкой разрыва второго рода
функции
если хотя бы один из пределов / ( х 0 - 0) и / ( х 0 + 0 ) несуществует
f(x),
или
бесконечен.
Используя определения, доказать непрерывность функции при любом
значении х.
Пример 1. f(x ) = х4 + Зх + 1.
Решение. Пусть х() - произвольная точка. Вычислим предел этой функции
при х—>х».
lim / (х) = lim (х 4 + Зх + l) = х 04 + Зх 0 +1
х -*х 0
х —»л:0'
'
Затем вычислим значение функции в точке х{)
fix
о)
=
Х 04
+ Зх 0 +1.
Сравнивая полученные результаты, видим, что
lim / ( х „ ) = / ( х 0)
А^ДГ0
16
Следовательно, функция f( x ) непрерывна в точке хи в силу определения
непрерывности. Поскольку точка х» - произвольная точка, то тем самым
доказана непрерывность функции для всех значений л.
Пример 2. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва
функции
2 jc
—
3
Решение. Функция определена и непрерывна для всех значений х кроме
3
точки х ——. С одной стороны \2х - 3| = 2х - 3 при 2х - 3 > 0 и, следовательно,
3
при х > — .
Поэтому / ( — + 0) = — — —= 1.
2
2х -3
С другой стороны \2х - 3| = -(2х - 3) при 2х - 3 < 0 и, следовательно,
3
при х < ~ •
Поэтому /"(— - 0 ) = - — — - = —1.
2
2х-3
Следовательно, в точке х = ~ функция имеет конечный разрыв первого
рода. Скачек функции/ (х) в этой точке
/( | + 0) - / ( | - 0) = 1- ( - 1) = 2 .
2.9. Доказать непрерывность функции в каждой точке
своей области определения:
16. у = 6 х + 3
—
2
х
—\
1-У
2- У= * 2
17. у = 1 - х 2
Ъ .у = J x
18. у - ^ З х
4. v
1
19. _у=
20 . у =
6. у =.
2\.у =
7. у = .
22. у = х3 + \
5 g*s S
СП
1J
5-х
си
SS
,
,
**
2-х
4
23. y = *J2 + х
17
п
5R |
•ча
jc + 2
3
5. у = ах + Ь(а Ф 0)
. у = Чх
о
1
■sej
г
а
S
я
|
С
Ж
*„ I
fg
sr. «,.•
•
5
IS и- *-S! (в
« 5 5S
I
9 .^ = 4
х-
24. у —
10. у = х 4 +Зх 3
25. y = x4 + 10
II. y =
x 2 +1
X2 - l
26. у —
x2 +4
x2 - 4
x2 + l
12. y = cos2 x
27. y = cos—
13. y = 2X
28. y = 3x
14. y = 2sinx
29. y - 3sin2x
15. y = 3x2 + l
30. у = V 2 - x
2
2.10. Исследовать функцию на непрерывность,
найти точки разрыва, классифицировать их:
1
.,
sinx
l.y = 16. V =
х - X'
I
2. у = е х
17. V = ■
log2 (x - 3 )
3. у=-
18. v = J ? £ ± i I
X + Х+ 1
(* - 3 )2
4. у = *12 - 1
1
19. у =
1
5. у —
20. у = -
(х - 2 )2
х 3 - Зх + 2
х2 -4
6. у =
,
х 2 -1
х ф
х-2
3
, х-2
2
1
21. v =
7. у = arctg— —
2 -х
Inx
22 . у —
х 3 - Зх 2 - 4 х
23. у = ^/3
8 -У = |х - 3|
-х , х <-1
9. у = \ 2
24. у = 2 *~2
•,
х -1
10. у =
1 1.у =
X > —1
6
25. у =
х-3
2 |х - 1|
х - 2х + 1
26. у =
1
х 2 -4
18
27. y = (x2 + 3x)
12. у =
(jc —1)(jc + 2 )
х
13. у =
28. y = arctg—
x
i
29. у = ex+2
х2 + x - 2
x-2
14. у =
\
x- 2\
(2x + 5 ; -3 < x < -1
[i
15. у =
30. y = — [—
x-x
Контрольная ра б о т а
(m + n)x +mx —n
1. lim
(m + n + l)x 2 - 1
[{m + n)x' + mx - n]
2 . lim
[(m + n)x 6 + nx + /и]3
3. lim (л/(т + l)x 2 —n —yj(m + l)x 2 - m)
X —>°°
4. lim x -ctg(»i + n)x
jc->0
sin(m + и)х
5. lim
x—>0
X
6 . lim x-sin
л ->^
{m + l)x
7. lim
8 . lim
(m + n)x
(m + l)x + (и + 1)
(m + 3)x - 1
x->o (n + 2 ) —1
i
9. lim х-[(1 + от + и)* -1]
Д—>oo
10. lim
Гx1 + m
V1
x2 - n
2.11. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва,
построить график функции:
а) / ( * ) =
х + (/п + п)
, х >0
(т-п) ■
х2
, х <0
19
6) / ( * ) J x2+(m+1)
[x - (m-n)
’ 'v - °
, x>0
. ,
x + (m + n)
в) / ( * ) =
|x + (m + n)|
m +n
(x + (m + l ))2
Глава 3.
Дифференциальное исчисление функций
одной переменной
§ 1. Понятие производной
Пусть у - fix) - функция, х - произвольная точка из области ее
определения.
Определение. Производной функции у = fix) в точке х называется предел
(если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению
аргумента при условии, что последнее стремится к нулю, то есть
Если
/ = / ' ( * ) = limlim f ±x
И*) .
Дх->0 Дд: Дх-»0
Дх
функция сложная, т.е. у = fiu), а и = (р(х), то производная
У х = У « и'хПример 1. Пользуясь определением, найти производную функции
>’ —fix )—X2.
Решение. f ( x + Дх) = (х + Дх) 2 = х 2 +2Дх-х + (Дх)2.
Тогда
Ду = / ( х + Д х ) - / (х ) = х 2 +2хДх + (Дх) 2 - х 2 =2хДх + (Дх) 2
,
У = /(* )=
Ду
2хДх + (Лт) 2
ч
lim — = l i m -------- — = lim (2х + Ax) = 2х.
Ai->oAx Лх—>о
Дх
Дх—
Аналогичным образом найдены производные основных классов функций
и в результате получены следующие основные формулы дифференцирования,
которые используются для нахождения производных функций.
20
*
Основные формулы дифференцирования
1
Функции
у=с
/ =0
2
у=х
/ = 1
3
у = аи
у ' = аи'
4
y = u + v —w
у ' = « ' + v' —И''
5
у - им
у ' = u'v + v'u
8
,
u'v —v'u
V
У=
V2
у = ип
1
у=-
и
' "
II
9
7
S i'
7
и
у =-
II
6
Производные функций
11
у = sin и
у = cosu
12
У = tgu
13
y = c tg u
14
у = arcsint/
15
у = arccosM
16
у = arctgM
17
у = arcctgu
18
у = ln«
19
у = а"
у ' = а и\паи'
20
>-= е"
у ' = еи •г/
10
у ' = cosu ■и'
у ' = -sinu • и'
/
= со“ ’ „
sin и
,
м'
" ' “ лА-и 2
/
и'
-V
л/ l - u 2
У '7
1+ U 2
/ « -
м'
1+ U2
и
21
3.1. Найти производную функции, пользуясь определением:
16. у = ln(2x)
ly = i
2. у = 4х
17. j = - J L .
а/ -X•+
•2
3. у = е5х
18..y = e4*
4. у = sin 2х
\9.у = Л *
л/д:
Н "*
l .y = t ix
22. у = sin3x
8. у = е2х
23. y = 3*+2
И
6. у = -j2x
20. у = -y
х
21. у = ln(3x)
1
-V
24. у = 22
10. у = Inл;
25. у = cos2x
11. ,v = 5sinx
26 . у = 4
Л
27. у = —Л = =
л/лг+1
13. v = cos—
3
28. у = е_2х
14. y = J x + 2
29. у = cos—
2
15. y = e~x
30. у = sin—
3
22
3.2. Найти производные функции, используя
таблицу производных:
1 .у = ^ 3 х 1
16. у = xlog,0(x +3)
2 . у = 4ех -е~х
,7 3^ = -7=arcctg—
1
V2
17.
л/2
x
3. у = л](х2 + 5х-1)
18. у = ln 4(x 3 + 3)
4. у = л[еЛ + е
2х
19. у - е
е2* +1
21 . у = (2 х + 3) 1п(2 х + 3)
2х
22 . у = е*®3*
7. у = л/sinx + cosx3
8. у =
2
23. у = sin3(lnx)
е2л + е~2*
24. у = е ^
9. y = lnsinx + tgln
10. у
11. у
;ecos-*+3tgA
25. у =ln2cosx
. xUx-1
26. у = 5*агс‘8*
27. у = avcclgl'fx
12. у = cosx + -sin3x
3
13. у = area
ctg л/х
14. у = arccos
15. у:
х
20 . у = Vsinx 5
5. y ==tsin 2 x - c o s—
5
6. у —
arctg—
28. у = sin3(x 2 - 2 х)
29. y = ~Jx3 -1-ех'+3
х 2 +1
X + lnx
30. у = ^/cosx3
х 2 - lnx
23
3.3.
Найти производную функции, применяя
предварительное логарифмирование:
1. y = xsm2x
16. у = хх'
2. у = (2 + х)*'
17. у = V2х2+1
3. у = (sinx)C0SAr
18. у = (х 2 + l)sinj;
4 .у = фЦ х
\9.у = * [ ^ х
5. у = (arccosx)*
20. у = s ~ i x + ^
'
(х - З )3
6 . У = (х 2 + 1)А
21 . у = (х + 1)(3х + 2 )(7 х + 4 )
7. у =
22. у = ^/(х - 1)5(х + 2)7(х - 4)
8 . у = х |п!*
'
23. у = з/-^1 + Л-1
V 0 - * 2)2
9. у = ^(2xsinx + l ) 2
24. у = (Inх)*"
10. y = x j2 +х2'
25. y = (sinx)lnjt
2 6 .,- « S I
r~X~~h~l
12. у = (х - 1)з --- —
(х -2 Г
27. у = ( 2 х + 1)( 3х + 2 )( 4 х - 1)
13. y = xlnjr
28. у
'
l 4‘
29. y = ^ctgx 2
15. у = (sinx)cos;r - (cosx)sinAr
30. у = (arccosx)*
24
= , Е Щ
V (5х + 4)
Контрольная ра б о т а
Найти производные следующих функций:
(т+п)х2
1. у = е
п+1
2 . у = (т + п + I )3
3. у = \ о££\ {т + п)х + \)2
4. у = 1п(ех +т+^ ( 2 - х 2)
5. у -
tg(m+"+l) х
Ctg((/n + H)x2)
6 . у = 1И+.Ч
1“ tg X
1+ ctg2x
12 - x m+"
7. у = "+Д-----V l + x m~"
8 . у = arctg
x'”4” + 1
(/и + я)*
9. у = у т е х + пё
10. у = In
sin(m+n)x
cos(m+n)x
11. у = т+т/3х +1 In V3X+1
12. у = — -— ctgm+n х
пг + п
Пусть
§ 2. Производные высших порядков
у = / ( х ) дифференцируемая функция, а
у ' = / '( х )
- ее
производная, которая в свою очередь, является функцией от х. От этой
функции тоже можно найти производную, если она существует. Производная от
производной / ' ( х ) обозначается
и
У" = / " « = ( / '« ) '
называется второй производной функции / ( х ) или производной второго
порядка.
Аналогично, если вторая производная является дифференцируемой
функцией от х , то от нее можно взять производную, которую называют
третьей производной или производной третьего порядка функции / ( х ) и т.д.
Пример. Найти у " функции у = х 4 + Зх 2 +1
Решение, у ' = (х 4 + Зх2 +1)' = 4х 3 + 6х .
Находим вторую производную
у " = (у ')' = (4х 3 + 6х)' = 12х 2 + 6
25
/
3.4. Найти производные второго порядка:
1. у = 5х4
In JC
16. у = ---
2 . y = sin2x
17. у = - х Ч х
4
3. _у = х 3 - 5х 2 + 7 х - 2
18. у = \п(3х2 + ^ 9 х 2 +4)
4. у = (2 х- 5 )5
19. у = arctg Vx
5. У = у1\+ х 2
20 . у = 1п(х 4 +4)
6 . у = 1пх
21 .
7. >, = e;tsinx
22 . у = sin 3—
3
Х+ 1 .
X
у
-----In---23.
X
X +1
8 . у = (х 4 +4)(х+1)
о
* 2+1
9--у = з ,
X +1
24. у = х 2 sinx + 2 xcosx
5Ьх5
2 ,
ах +3
11. у = л/l —sin3x
25. у = 4 х cos2 X
10->'=
26. у = tg sinx
25
12. y = ln(x + Vx 2 + l)
27.
13. у = In tgx
28. y = 3 'x
14. у = 4 7 *
29. y = \JЗх + 1 1пл/3х + '
15. у = In2 л/ l - x 2
30. 3>= e~*
Определение.
'V“ (x + 7) 10
§ 3. Дифференциал функции
Дифференциалом функции у = /'(х )
в
точке
х,
отвечающим приращению Дх, называется произведение производной в этой
точке на приращение Ах независимой переменной
dy = / '( х ) Д х .
Если у = х , то dx = х'Ах = Дх и поэтому dy можно записать в виде
dy = f '( x ) d x .
При малых значениях Дх приращение функции можно приближенно
заменить на dy
Ay « dy .
Тогда
f i x о + &х) - / ( х 0) = f'[ x ) Ах
х=х0
26
или
/ ( x 0 + A x ) ° / ( x 0) + / '( x ) Ах
(3.1)
х=х„
Последнее соотношение позволяет использовать
приближенных вычислениях.
Пример 1. Найти дифференциал функции
дифференциал
в
у = Зх 2 - х .
Решение.
dy = (Зх 2 - x)'dx = ( 6х - 1)dx.
Пример 2. Вычислить приближенно (1.03)5.
Решение.
Полагая
/ ( х ) = х 5; х 0 = 1; Дх = 0,03 и найдя/'(х) = 5х4,
вводим эти данные в приближенное равенство (3.1), получаем:
(1.03)5 = (1 + 0,03)5 - I 5 + (5х4) , =| • 0,03;
(1.03)5 = (1 + 0,03)5 = 1+ 5 ■1• 0,03;
(1.03)5 = (1 + 0,03)5 = 1,15.
3.5. Найти дифференциалы следующих функций:
1- У
16. у = tg 2 x
2 . у = -X
5
17. у = In tgx
3.
х +1
у =л/Зх +1
х 2 +3
19. у = arcsin2x
4 . у = (1 + х —XЗчЗ
5 . у = 1п(х3 - 3)
6.
20 . у = ( 2 х - 1)5
у =(З х - 5 ) 7
21. у = х tg Зх
7 . у = 1п(х2 - 3)
8. у =
22 . у = (х 3 + З)4
л-2-2
х — J
23- У = \
, +1
Vx
1
9 . у = л/1+ X2
24. у = (х 4 + 5х +1) 3
10. у = 79 х 4 +1
25. у = (х 3 + 1)5(х 2 + 4х )3
1 1. у = х 4 х 2 - 1
26. у =
\6
( х г -■2х
х+1
12. у = х In х
27. у = “ (я 3 +4х )7
27
13. y = cos3x
28. у = arcsinVx
14. у = sin3x
29. у = arctgVx
15. .у = 3*:-'
30. у = 2Х'~+Х
3.6. Пользуясь понятием дифференциала,
вычислить приближенно:
1. sin 14°
И . In 1.03
2 . е0,2
12. tg46°
3. л/Т?
13. In2.001
4. Я/0.988
14. sin 31°
5. cosl 8°
15. V 6 2 6
6 . ife
16. tgl°
7. cos46°
17. V28
8. л/1 0 0 6
18. л/1.005
9. Щ В
19. (1 .0 3 )5
10. Я/2Г7
2 0 . л/26
§ 4. Правило Лопиталя
0
оо
Раскрытие неопределенностей — или — значительно упрощается с
0
помощью правила Лопиталя.
Если функции / ( х ) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности
точки х„, за исключением, быть может, самой точки х0,
0’ причем в этой
lim / ( х ) = lim g (x ) = 0
окрестности
X—>ДГ0
X -*X Q
lim / ( х ) = lim g(x) = ° °, то
д:—
>дг0
х—
lim/ w = l i m r n
g(x)
x-*x0
g (x)
В данном равенстве x0 может быть либо числом, либо “ или -
.
Пример 1. Вычислить предел
х 3 -1
lim
х—>1 lnx
Решение. Подстановка предельного значения аргумента х = 1 в функции
/« =
-1 и g(x) = lnx
приводит к неопределенности вида
28
0
0’
1
■
>
1
lim(x -1) = 0 и lim lnx = 0. Производные функций f '( x ) = Зх
х—
>I
x—>1
и
g'(x) = —
x
существуют, причем g'(x) = — * 0. Поэтому применимо правило Лопиталя:
х
3 1
/„3
Зх 2
lim —-- - = lim —-- l i m ^ — = Н т Зх 2 = 3.
х—И 1пх
х—>1 (1пх)
х—>1 *
х—>1
X
Пример 2. Вычислить предел
г
пт
-у.
ОО
Решение. Имеем неопределенность вида — . Для получения результата
оо
приходится применять правило Лопиталя дважды.
Примечание. При повторном применении правила Лопиталя следует
произвести все возможные упрощения в выражении, полученном
на
предыдущем этапе.
е*
,. (ехГ
(в*)'
е* 1
,
lim —=• = lim — =— = h m --- - = lim — = — hm e =
x-*°°x
У *-»“ (2 x )'
x—>°° 2 2jt->~
Неопределенности видов 0 -о»;
приводятся к неопределенностям
вида
— или — алгебраическими преобразованиями
О
правило Лопиталя.
Эти преобразования имеют вид:
1. Для неопределенности вида:
- °°
и затем используется
1
lim [/(x ) - ф(х)] = lim
х -^ а
1
______1_____
х^>а
/ 0 )-ф(*)
2. Для неопределенностей вида: 0-°°.
Н т [ /(х ) ■ф(х)] = lim ------ = lim
х —>а
х —>а
А
х —^а
1
ФО)
Неопределенности видов 1°°;
f{ x )
0° с помощью тождества
[/ (Х )]Ф М
= е < Р М Л п / (х )
приводятся к неопределенности вида 0 - следующим образом:
lim [ / (х)]4^
= lim e 4^ ’111^ ^ =
Пример 3. Вычислить предел
lim (x 2 lnx)
*->о
29
гдеf(x) > 0.
Решение.
Здесь неопределенность 0 °о. Преобразуем ее к виду — и
ОО
применим правило Лопиталя.
1
2, ч
( x ln x ) =
1п*
1- 0 П-*)' = lim
lim
l i m — j— = l i m — —
х—>0
х—>0 *
л*—>0 г * у
X2
X
Пример 4. Вычислить предел
lim!
x—
»!\lnx
*
= - lim — = 0 .
дг-»0 2
„3
1
X —1
Решение. Имеем неопределенность вида
виду -Ц,
Преобразуем ее к
для чего достаточно привести дроби к одному знаменателю и
применить правило Лопиталя.
1
lim P —
x - ^ lV ln X
X —I J
- 1- lnx
1-1
(х — 1—ln x )7
-= lim----- —— — = lim-
ДГ-И ( x - l ) l n x
* - > l[ (* - l) ln x ] '
1
-1
( x - 1)'
■= lim-= limlimA->ixlnx + x - l x->i(xlnx + x - l ) ' x-»ilnx + 2
1
2
3.7. Вычислить пределы no правилу Лопиталя:
-cosax
jc-arctgx
2 . lim1. lim
з
x
->0
1
cosfex
-V—>0
x
2x
x3 - l
-1
4. lim
3. lim
Jt—
x
-»0
>0 ln(l + 2x)
*-»0 lnx
,
ex -\
5. lim
x
—>0
*-»osin5x
x - sinx
7. lim
x
—>0 X ‘
Jt-»0
9. lim
A—
tg x - x
6 . lim — ----
*->o sin x - x
1-cosx
8 . lim_
x -> o
2x a
ex - e~x
10. lim --- —
x->0 ln(l + x)
e* -1
>0cosx —1
2x + l
h m ---A-»0” 3x +1
12.
lim £ ± i ! M
x
13. lim
x->ox + e
14. lim
15. lim f— ------V
16. lim!
XГ—>lVx—
>1
Д
1
17. lim ctgx —
( 1
18. lim
*->1Д X
*->ol,xsinx
2
30
X
]n x _j_1 ___ L
X2 +1
1
lnx
cosx
_
§ 5. Экстремумы и точки перегиба функции.
Теорема 1. (Необходимый признак экстремума функций). Если функция
f i x ) дифференцируема в точке х0 и имеет в этой точке экстремум, то ее
производная при х = х 0 обращается в нуль, т.е. f '( x 0) = 0 или не существует.
Точка
х = х0
в которой
функция
/ ' ( х 0) = О
или
не
существует
называется критической или стационарной точкой функции.
Теорема 2. (Первый достаточный признак экстремума). Если
х()- критическая точка функции /'(х) и в некоторой окрестности этой точки,
слева и справа от нее, производная имеет противоположные знаки, то точка
(х 0, / (х 0) ) является экстремумом функции, причем:
1) максимум,
если f i x ) > 0 при х < х0 и f i x ) < 0 при х > х0;
2) минимум,
если / ' ( х ) < 0 при х < х 0 и f i x ) > 0 при х > х 0.
Теорема 3. (Второй достаточный признак экстремума). Если функция
j\x) дважды дифференцируема и в точке х0 выполняются условия / ' ( х 0) = 0 ,
f i x о) ^ 0 , то в этой точке функция имеет экстремум, причем максимум, если
f i x о) < 0 , и минимум, если f ( x 0) > 0 .
Теорема 4. (Достаточный признак вогнутости графика функции). Если
для функции J\x) во всех точках интервала ]«,/;[ f " ( x ) < 0, то кривая у = ,Цх)
вогнута вниз
в этом интервале; если же f" { x ) > 0 во всех точках интервала
]а,Ь[, то кривая вогнута вверх в этом интервале.
Теорема 5. (Достаточный признак существования точки перегиба).
Если в точке х0 функция f i x ) имеет первую производную f\ x0), а вторая
производная f " ( x 0) = 0 или не существует и, кроме того, при переходе через
хо f " i x)
меняет знак, то (х0; / ( х 0)) является точкой перегиба графика
функции у = J\x) ■
Определение I. Прямая
х = х 0 является вертикальной асимптотой
графика функции f i x ) , если выполняется условие
lim / (х) = ±°°.
»*0±о
Определение 2. Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой, если
существуют конечные пределы
lim - ---- = к, lim ( / (x) - Ax) = Л.
дг—>i°° X
>+oo
Горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай
наклонной асимптоты при к = 0 .
Пример 1. Найти экстремум функции
/ (х) = х 2 + Зх + 5.
Решение. Найдем первую производную функции / ( х ) , / ' ( х ) = 2х + 3.
Согласно теореме 1 точками экстремума функции / ( х ) могут быть те точки х,
в которых / '( * ) = 0 .
Решая
уравнение
2х + 3 = 0,
находим
3
х0 = - —(стационарная
или
критическая точка).
3
Итак, функция / ( х ) имеет экстремум только при х0 = - —, т.к. / '( х )
существует всюду и / '( х ) = 0 , только в точке х0.
По теореме 2
/ '( х ) = 2х + 3 < 0
V *< - |
/ '( х ) = 2 х + 3 > О V х > - |
Производная при переходе через точку х 0 = - у
плюс,
следовательно,
х0 =
абсцисса
меняет знак с минуса на
точки
минимума
функции
/ ( х ) = х 2 +Зх + 5.
Пример 2. С помощью второго достаточного признака существования
экстремума, найти экстремум функции
/ (х) = 2 х 3 + Зх 2 - 12х + 6.
Решение. Найдем первую производную
/ '( х ) = 6х 2 + 6х - 12.
Приравниваем первую производную к нулю, находим корни уравнения
х 2 + х —2 = 0 = > х ( = -2 , х 2 = 1.
Найдем вторую производную
/ " ( * ) = 12х + 6 .
ПотеоремеЗ
/ " ( х , ) = / " ( - 2 ) = 12(-2) + 6 = - 1 8< 0.
Следовательно, точка х] = —2 есть абсцисса точки максимума.
32
f " ( x 2) = / " ( 1) = 12-1 + 6 = 1 8 > 0 .
Следовательно, х2 = 1 абсцисса точки минимума функции / ( х ) .
Пример 3. Определить точки перегиба и интервалы выпуклости функции
/ ( х ) = -х3 +1 5л:2 - х - 250.
Решение. Найдем первую и вторую производные заданной функции
/ '( х ) = - 3x2 + 3 0x - l,
По теореме 5
f " ( x ) = 0,
f " ( x ) = - 6jc + 30.
- 6х + 30 = 0=>х 0 = 5.
Проверим точку х0 = 5 на перегиб. Для этого применим теорему 4.
Vx < 5, f " ( x ) > 0 - функция выпукла вниз,
Vx > 5, f " ( x ) < 0 - функция выпукла вверх.
Следовательно,
точка
(5;/(5))
-
точка
перегиба
графика
функции
/ (х) = -х 3 + 15_х2 - х - 250.
Пример 4. Найти асимптоты графика функции
х 2 - 2х +2
/(* ) =
х —1
Решение. Найдем вертикальные асимптоты по формуле
lim / ( х ) = ±<*=.
■*-»дго±0
..
х2 - 2х + 2
lim -------- = ±оо.
jc—
»1±0
X —1
Следовательно, прямая х = 1 - вертикальная асимптота.
Найдем наклонные асимптоты:
,
х
2 - 2
х
+2
/с — lim ----- -- = 1,
*—»±~> х(х —1)
: lim
Л"—>±°°
х2 - 2х + 2
■X
'
: - 1.
(J C -1 )
Тогда, прямая у = х —1 - есть наклонная асимптота.
3.8. Найти интервалы возрастания и убывания функции.
х3
Х-У = - Г ~Т
х —3
’
1
16-У = — ,
х~ - Зх
I2. у = —= =х = =
■
.-7 у = ----3
17.
У 1—2 х
,
х2 + 1
3 .у = ---х
х 2 -1
18.у = — _
х -2
1- х 3
4 . у = -—
19. у = х2 -е
I
33
х 2 -1
6 . у = -^— —
21 . у = х —6-lfx2
х 2- 9
х —3
ГЬ y = ~ 2 Z\
8. 7 =
22. у = {1 - x)VxT5
1 -ДГ
9. у = — -—
23.
^ = 5 + Я/лг-4
24.
у = 3 ^?- 4 л /х
(1 + х)
10. у = 3 --- —г-
25.
у=
х у 1х
+
6
0.5х2
11.>> = х + —
X
12.
26.
у = —г-—
л/Х-5
27 , у = т[б. х 2 - х 3
jy = arctg—
х
lJ . .у = -3— !---х2 -5х +6
2Z. y = lJ(x + \)2 -ll(x-\ )2
х2
1
14. у = ——
1-х
xJ + l
15. У = -4— —
х 2 -4
30. у = х254 ( х - 2 )2.
3.9. Найти экстремумы функций.
]п2 у
1. у = ---
16. у = 1п(1 - X 2)
1пх
2. у = —!=■
17. у = хе 2
•V х
3. .у = хе~*
® у = е2л:_л'2
4. y = j + e 1
19. jy = x2e *
о
2
5. у = 8х е *
20. jy = ------
6. у =
21 . y = V x V
7. у = х + arcctgx
;22i_y = xlnx
8 . у = —+ arctgx
23. у = (х 2 - 8)е*
ех + ё~х
2
34
29. у =
2
9. у = х ■arctgx
24.
10. y = x-2arctgx
25. у = (х 2 + 1)е~*
2jc
11.y = arcsin--- T1+ x
£X
26. у = —^
x
12.
27.
у = — 5—
ел -1
13. y = — —
1+x
28.
y = (x-3)V x
14. у = sin x + cos2 x
29. у = (x -1)V ?
15. y = ——
x
30. у = (x - 2)Vx.
у = arctg—
x
у = 3*
3.10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
на данном отрезке:
1 .у = (1 - х 2) на ] —0.5;5[
16.
2. у = (1 - х 2) на ] - 0.5;5[
17.
3. у-
X2 + 1
X
на ]0.5;3[ *
18.
4. у — Х ~ 3 на ]-0.5;0.5]
Зх -1
19.
5- у~ 2
на ]-1; 1]
х -2
20 .
6 . у=х 3
21 .
4
на [1;4]
9 X4
7. у=1+х2 - у на [-0.5;2]
22 .
ln2X
1 2-,
на ]-;е ]
е
х
х2 -2х +3
х +2
х3 5
3
на ]0;5]
2
2
8 . у=4х 2 - х 4 -3 на [-1;2]
23.
9. у =6 - Зх 2 - х 3 на [-3; 1]
24.
10. у = х 3 -12х на ]-3;3[
25.
11. у=х 3 + Зх 2 на ]-7;-1[
26.
к4 - 2х2 + 3 на [-3;2]
12. у = х 4 —2х 2 на ]-0.5;2]
27.
к2 + ^ - 1 6
13. у = —х 4 —х 3+2 на ]-1;3[
28.
iin2x на [0 ;— ]
3
35
. з
r
_
1х —о х + 5 на
г 5 3.
—
2 2
на [1;4]
1
х 2 - 6х + 3
29. у = -------- на ]0;2]
х-3
30. у = х 3 - З х 2 на ]-1;3].
14. у = х3 - Зх на ]0;2[
15. у = х4 - 4 х 2 +5 на [-1 ;2]
3.11. Исследовать функцию на выпуклость и
найти точки перегиба.
1. у = Зх5 - 5х4 + 4
16. у = 1+ х 2 ——
2 . у = -х4 - х 3 + 2
8
4х 3 - х 4
17. у = -----5
т
з х4
3. у = х - —
4
in
1
^ 2
-2
18. у = —х' — х —6х + 2 —
3
2
3
4. у = х 3 - 6х 2 + 9 х - 4
19. у = х 3 - —х 2 —6х + 4
5. у = 16л(х - 1)3
20 . у = (1 + х 2) 3
6 . у = х - 3 6 х 2 - 2 х 3 - л4
21 . у = 2 л2 - л4
7. у = 4х 2 - х 4 -3
22. у = 2 + х - х 2
2
2
8 . у = х 4 - 4 х 2 +5
( t t> y = ( x - l ) 4
9. у = х 4 - 2х2
24. у = х(х —I)2 ( х - 2 ) 3
10. у = х3+ Зх2
25. у = Зл - л3
11. у = х3 —Зх2 —9х + 9
26. у = (х + 1)- (х - 2)2
12. у = х3 —\2х
27. у = л3 -12л
13. у = х3 + 6 л2 + 9х + 2
28. у = л3 - —л2 - 6х + 4
14. у = 6 - Зх 2 —л:3
29. у = л3 - Зл2 —24л + 7
15. у = х 3 - 6х 2 + 9х + 5
30. у = 6л4 - 8х 3 - Зл2 + 6л.
2
1. у =
2- У -
3. у =
3-х2
х3
3.12. Найти асимптоты графиков функций:
J2
16. у =
1+х'
х3 +4
2
X
2
4. у =
х~-\
х
17
2x3
•q
л:3 - 8
17' У~~2--Г
X +1
3 —2 л:
18. у1 -л:
х2 +1
2 -2
36
х -1
5 ■ y
=
20. у
х ~ -J4
^
г
6 . у = -- х +1
21. у
7
22. у
7 '
У
=
Т 7
2х +1
23. у
х —3
9. у:
х 2 -1
24. у
1
25. у
х ’ - Зх
II
26. у
,
\2. у = —-j-—
Зх -1
27. у
13. > = - 5— ^---х" - 5х + 6
28. у
14. у =
15. у =
1
х 3 - Зх 2 - 4х
Л
х2 - 9
_ {x + \f
х -2
„з
1—х
Зх - 7х -16
х2 - х - 6
* -1
" у - —
4х
4 + х2
1 —х
29. у
х 2 +1
30. у
х3
х 2 +2 х + 3
X
9-х2
х +1
х2 +8
1
х 2 + 2х
. (х - 4 )2
х2 - 2 х + 5
§ 6 . Исследование функций и построение графиков.
Предлагаем следующую детализированную схему исследования
функции:
I. Найти область определения функции.
^^Найти область значения функции.
fy. Выяснить, ограничена ли функция сверху, снизу.
4. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках.
5. Выяснить, является ли функция четной или нечетной.
(р. Найти наименьший положительный период функции.
7. Найти точки пересечения графика функции с осями координат
(характерные точки).
8 . Найти интервалы знакопостоянства функции.
9. Найти асимптоты графика функции:
а) вертикальные
б) невертикальные (наклонные и горизонтальные).
10. Найти критические (стационарные) точки функции.
I I . Найти интервалы возрастания и убывания функции.
37
12. Установить для каких критических точек имеется экстремум и найти
координаты точек экстремума.
13. Найти абсциссы возможных точек перегиба.
14. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции вверх и вниз.
15. Установить при каких значениях X имеется перегиб и найти координаты
точек перегиба.
16. Если результатов исследования окажется недостаточно, то найти еще
несколько дополнительных точек.
17. Построить график функции.
Пример. Построить график функции
/(* ) =
Решение.
х -2х + 2
х —1
1. D ( f ) = {х е] - °°,l[U]l,+°°[} •
(- х )
- 2 (—х ) + 2 _ х
+ 2х + 2 _ х
lim-
х->1
-2 х + 2
Х-1
+2х +2
х +1
2-f l ' X h
(- x )- l
-х-1
Функция общего вида.
3. Асимптоты:
а) вертикальные:
= оо => х = 1- вертикальная асимптота
б) наклонные:
х 2 —2 х + 2
.
х 2 —2 х + 2
к - lim -------- = 1, о — lim
Л‘—>±°° х(х —1)
х_>+оо
х -1
Л
= - 1.
Тогда у = х - 1 - наклонная асимптота.
4. Экстремум функции.
-2 х
f \ x ) j х 2 ~ 2х + 2
х —1
х - 2х
(х-1)2
( х -1 У
/'(■*) = о,
= 0 => х(х - 2) = 0 , (х —1) ^ 0 .
Находим стационарные точки Xj = 0, х2 = 2.
X
0
]- ~ я
+
А *)
Д х)
71
наличие
экстре­
мума
0
1
]0,1[
-
ОО
-2
оо
шах
точка
разрыва
5. Точки перегиба
38
[1,2 [
-
2
2 ,+°°
0
+
2
7)
min
/" « =
u ^ - i) 2;
(^ - dj
Точек перегиба нет, т.к. / " ( х) Ф 0, af " ( x ) = °°
только в точке разрыва функции.
6 . Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:
а) с осью Ох. / (х) = О,
х —2х + 2
= 0,
х-\
х 2 - 2 х + 2 = 0, xI 2 = 1± V- 1. Отсюда следует, что точек
пересечения с осью О х нет.
б)
с осью Оу. х = 0. Тогда у = -2. Точка (0,-2)
является точкой пересечения графика функции с осью Оу.
7. По полученным данным строим график функции (рис.1).
Рис.1.
3.13. Исследовать функции и построить графики:
1. у = х(х - I ) 2(х - 2 )
2 . у = X4 - 2 х 2
3 - 2х
3. у = 1- х
х-3
4. у = - ,
Зх -1
39
8х
5- У =
,
4х
6. у = ■
4 + х2
х 2 +9
7. у =■х^ + Ъх2
8 . у:
Зх 2 —7л: —16
х2 - х - 6
9 .у =
х2
10. у =
х2 - 9
' 4 - х 2
х3 - 8
12. у =
2х 2
11 . У := х 4 - 4 х 2 +5
13. у ==
х3
4 -1
14. у = ^ 6х 2 - х 3
х -9
15. у == 1(4х 3 - х 4)
16. у = 16х(х-1)3
1
18. у = хе *
х 2 +2х
27
19. у = х 3 - 12х 2 +36х
21 . у
23. у
20 . у = х + -
х
х2 - 2 х + 2
22. у = Зхе*
JC—1
5(jc —2)
24. y = xlnx
х2
25. у
х 2 +1
’ x -2 '
40
Глава 4.
Интегральное исчисление
§ I . Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Определение!.
Функция
F ( x ),
дифференциал
которой
задан
выражением J(x )d x называется первообразной функцией или интегралом от
данного дифференциала.
Т.е. dF(x) = / ( x)dx, F(x) = j f (x)dx.
Знак | называется знаком интеграла, функция f ( x ) -подынтегральной
функцией, a f(x)dx- подынтегральным выражением.
JC3
Например, функция — - первообразная для заданного дифференциала
2
3
х3
х3
х dx. Однако, она не является единственной. Функции-- н5 и --- 10 также
3
3
являются первообразными, в чем можно убедиться дифференцированием.
Вообще говоря, если существует одна первообразная F (x ), то существует и
бесконечное множество первообразных F{x) + С , отличающихся на постоянное
слагаемое.
Определение 2. Неопределенным интегралом от данного дифференциала
f(x )d x называется совокупность всех ее первообразных F(x) + C , т.е.
\f(x)dx = F(x) + С, d[F(x + С)] = f(x)dx.
Свойства неопределенного интеграла.
1. d ^ f(x )d x = f{x)dx
2.
ld[F(x) +Q = F(x) +C,
где Се R
3. j a f (x)dx = a j f (x)dx, at- 0 , a-const.
4. j{U (x ) + V(x) - W(x))dx = j U(x)dx + j V(x)dx - \W(x)dx.
§2. Непосредственное интегрирование.
Определение. Непосредственным интегрированием называется такой
метод нахождения интегралов, при котором они сводятся к табличным
интегралам путем применения к ним свойств неопределенных интегралов и
простейших преобразований подынтегральных выражений.
Основные формулы интегрирования.
1. d\ f(u)du = f(u )d u
2. j dF(u) = F(u) + С
3. fa f(u )d u = a jf ( u ) d u
41
4. J[/iO ) +/ 2(и) - Mu)\du = J / , (u)du +j f 2(u)du - J f 3(u)du
un+1
5. J wVm = —— + С при n Ф -1
6. f ^ = - - + C
и
и
7. f - ^ = 2 л/м+с
VH
8 . |sin«J« = -cosM + C
9. JcosrfH = sint/ + C
10. |—- y - = tgM + C
COS w
11. f—
=-ct gu + C
sin м
r. Jarcsina + С
л/l - и
{-arcsinK+C
r cfa _ [arctg;< + С
1 + и2
.л t
14. I
} —arcctgM + С
du
. и
-- ,— -= aresin — + C, a > 0
, r ( d u
1
и „
15. ]- j--- ^ = —arctg—+ С
'a + r
a
a
16. \a"du = — + C, a > 0
Ina
17. je"<to = e" + C
18. f— = ln|«|+C
J u
19. f . du
= ln
i 4ur ± 7
™ i
20 .
ti + J u 2 ± a ‘
+C
du
1 . a +u
+C
--- 5-=
In
a —и
2a a - u
Пример 1. Найти \(3x2 + 2x + 4jdx .
Решение.
j ^Зх2 + 2x +4 ^х
= 31x2dx + 2 J xdx +4 jd x =
r3
x2
= 3— + 2 — + 4x + C = x3 +x 2 +4x + C.
42
Пример 2. Найти \~-——dx.
J х
Решение.
j^-^-dx =
+ ljafjc = 2 j — -+jdx = 21пл: +х + С.
4.1. Найти интегралы:
/(!
+ Зе* + 5 —л3 Wr
1. } (x 3 +ex)dx
2,
3'0 '7 +^]л
4
5
, r 2x - 8jc2 + 5x3 ,
6. --------t = -----------dx
Vx
. 1
x 4 + 5x3 + 2
^
dx
8. J(jc + 2)(x - 3)2dx
7. |(л/2+ 7х) 2йЬс
9. J
2л:
r ( j 2 + ^ _ t dx
1
V 2l
О
I I. f(sin— + cos—)2dx
J
2
2
12. jfsiny- cos^-
13. [ ™ ^ d x
14. J(tg x - c tg x )2^ :
dx
J COSJC
is .’ j ( l+ ^
VT
17. |
J
16. J (tg л: + ctg x)2dx
dx
2- 3 x + 4x"
Ix
18. J 3x2+2x~ W dx
dx
1
( I
2x
20. J ctg2 xdx
19. Jtg2jtdx
J.Y
21.} a 3 + jcji
22 . j 3
- ± ^d x
dx
3
15*
24. j ^ - d x
J 10*
26. j( x - \)2xifxdx
25. |(5'-3*)<&
г(1 + д:)3
27. J-
28. J ( W 2 - V 6 x ) 2<£c
xVx
2 9 .f | ^ +
30. j 8 ^ ? - - 4
5 ^ 3;
dx
43
§ 3. Метод замены переменной.
Метод замены переменной при нахождении неопределенного интеграла
состоит в осуществлении такой замены переменной, которая приводит данный
интеграл к табличному, т.е.
jf ( x ) d x = jf(<p(t))cp'{t)dt=F(t) + C = F{y(x)]+ C ,
где х -
дифференцируемая функция, a t = у/(х).
Однако при интегрировании часто оказывается проще ввести новую
переменную t с помощью равенства I = <р(х) , где (р(х) часть подинтегрального
выражения, а оставшаяся часть его или все подинтегральное выражение
является дифференциалом этой функции или совпадает с ним с точностью до
постоянного множителя.
Пример 1. Найти интеграл
j x 2ex dx.
Решение. Одна часть подынтегрального выражения представляет собой
показательную функцию от х3, а другая часть с точностью до постоянного
множителя - дифференциал этой функции. Поэтому произведем замену
переменной по формуле / = х3. Отсюда dt = 3x2dx,
2
dt
х dx = — .
3
Следовательно,
j x2ex’dx = J ex x2dx = i J e'dt = ^ e ' + C.
Возвращаясь к старой переменной х , найдем
Ij ,
1
f x2ex'dx = е' + С = -ех'
+ С.
7
1
J
Пример 2. Найти [
’Vdx.
х
Решение. Подстановка t = lnx
Тогда
<&= (Inx) dx = — .
Следовательно,
f ^ —^-dx = f (lnx )2 — = f t2dt - — + С = - In 3 x + C.
1 x
1
X
1
3
4 .2 .
Найти интегралы:
,
г . r- dx
1. SinVX-7=
vx
16.
г sinxrfx
-======
■ 'V 1 + 2 C O S X
44
3
ч
3 .J
4-1
xdx
х 3dx
Д Ч
л1\-х3
2х + 3
4 + x4
„ f . 1Л
Js m —-y
-
х 1 + Зх + 5
In xdx
19. Jtgx<&
x-v/l + lnx
exdx
20 . J ctgxc/x
5' ^ i f u 2 e*
6.}
xdx
J 0 - ^ 2)2
(l + 3x2)3
x2dx
Ч
22 . |eslnx cosxdx
25 - x 3
23, }3x2W + 2x3dx
8. J - ^ x ln ' X
xdx
24.
9-1 3 - 2 x 2
xdx
10. f---- =-=J (1 + x2)
dx
xVx
xdx
x2 -\
26. |x • 5~x dx
I,
J
1+ x 2
27. j
12. Jx • Vl + x1dx
13. J-
l]\n2 xdx
f 2xdx
28. J — j -
x2dx
( 8x 3 + 27)3
14.
29. }
sin2 x
xdx
30. f—r
Vx 2 +a
J 1—4x
15. |х 2е~* t/x
с/х
T
x
^/ctg2 ХЙ?Х
4.3. Найти интегралы:
x2dx
l6 - ьx +4
l --9
45
sin xdx
dx
4. Jcos(lnx)—
6.
л/4-i .2^
18. Je2j;!+lnV x
У I sin 2(9jc H-1)
19. j i ^ r f x
x vlnx
exdx
5 .J
exdx
17. J
2 ! л/l + 6 cosx
2хdx
20. J
2x
V i+ e
dx
21
x V 9- ln^x
7. J Vsin2 2x coslxdx
л/ l - 4 X
sin д: + cosx
f-^=
dx
JV
3/ГТ
sin x - cosx
22 .
v i^
\-xz
-dx
л/х6 + я 6
dx
24. Jtg4x</x
10. J(e2* + 5)3e2xdx
i 1
f ,,arctg3x
' '
x2dx
23. j
25. J cos(3ej: + l)e*c/x
dx
dx
26. J
l + 9x2
xcos (lnx)
12. je* sin^e* jc/x
27. J
arccos3x
dx
9x
13. J — л
dx
28. J
xsin 2(lnx)
arcsinjc
Ij s in (4 - x 2)dx
14. fx
29. j Vcos1 2x s\n2xdx
sin xdx
15. f~.
л/l + 2 cosx
dx
30. j-
4.4.
4a
-
ln X
Найти интегралы:
x2 ~ x .
i. f---- ^r<fe
, , r x2dx
16. f-
J 0 *- 2 )3
J (x + 1)4
2- J - 7f - 2
I?- j4 7 ^ \ d x
,0 г
^ x
18. JJ3
V (^ 2 + l) 2
Г( i ± i ) 3 ^
x -x
З ./ Ц р - Л
46
19. J лг2V9 - x 2dx
4. [хл/а —xdx
5.
6.
7.
8.
, e2xdx
20 .
1/~ \
Г
dx
>
ч
r
dx
21 .
г )-’
22 .
Ч е х -\
г 3dx
23.
л/ел +1
9. Г dx
1хл/х2 -1
10.
11.
С
x3dx
25.
х3dx
26.
+4
xdx
а:2
12.
13.
f
] Vx-\
С
' л/5 + 4х
J l + e*
С
rf.t
■
’ ex -e~x
f
xa'.r
4 l + 3x
24. f ^ 3 + 1
]хЧл-х2
J (х 2 + 1)2
С
j- xdx
-Jxdx
+
r
dx
ex + e~x
jV e * +
28.
f 1 + tg2^ x
J 1+ tgx
С
15,
'
Если
+1
30. r 1- ^ .
J l + e*
V l + e*
U(x)
\dx
e2xdx
J ^
f e2xdx
2*
27.
29.
14., Jjс3л/а2 - x 2dx
f 2xdx
W3
и
§ 4 . М етод интегрирования по частям.
К(х)-дифференцируемые функции, то
справедлива
формула
\UdV = UV-\VdU.
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Смысл
формулы состоит в том, чтобы в результате ее применения, интеграл, стоящий
в правой части, оказался табличным или хотя бы стал проще первоначального.
Эта формула чаще всего применяется когда под интегралом имеется
произведение
и
алгебраической
и
трансцендентной
функций
( j x 2exdx, j x 2 \nxdx).
За U принимается функция, которая дифференцированием упрощается.
47
■
За dV принимается оставшаяся часть подинтеграпьного выражения,
интеграл от которого известен или может быть найден.
Из
трансцендентных
функций
за
U
обычно
принимается
lnx; arctgx; arcsinx; arccosx; arcctgx.
Пример 1.Найти Jx ln xdx.
Решение. Подинтегральное выражение разбиваем на два множителя так:
dx
U = lnx, d U = — ,
х
X2
2. farccos —dx
J
4
17. |(2 + 3x)e 3fl!x
jxe~3xdx
18. j x 2 In xdx
4J jxcos^t/x
19. J(3-2x)sin2xatc
5. Jxarctgxc/x
20 . J ( l —2 x)e~Sxdx
6. J arcsin5xt&:
21 . J x 2 sinxfl!x
7. fi/x ln x d x
22 . je~2x(I - x)dx
dV = xdx, V = j xdx = —
(Постоянную С здесь полагаем равной нулю, то есть в качестве V берем
одну из первообразных).
Подставляя найденные выражения в формулу, получим:
| х 1п х Л = J(lnx) xdx = “~ln-* - j ~ ' — ~ ~ ' In* “ —\xdx =
= —х 2 lnx - —х 2 + С.
2
4
10. JVxlnxdx
xdx
23. j J
sm2x
xdx
24. J
cos2 x
25. J x 2 cos5jcdx
11. | In 2 xdx
26. j x e
12. Jxsin2xfitc
27. J ( 2 -x)sinxrfx
13. jxcos3xdx
28. jln (x 2 + l)tfe
14. J in x —j-
29. jx ln(x - l)rfx
15.|arctg2xt/x
30. J(x 2 +1 )e~2xdx.
8. | x 3lnxdx
9. j(3x-2)cos5xdx
2 -2л-
dx
Пример 2. Найти Jx 2 cos xdx.
Решение. Пусть
X
U = х 2, dU = 2xdx,
dV = cosxfifx, V = Jcosxdx = sinx.
Подставляя найденные выражения в формулу, получим
j х2 cos xdx = х 2 sinx - 2 j x sin xdx.
К стоящему справа интегралу снова применим формулу интегрирования
по частям:
U = х, dU = dx,
dV = sinxdx, V = -cosx.
Тогда
Jxsinxfifx = -xcosx + 1 cos xdx = -xcosx + sinx + C ,.
Окончательно имеем
|x 2 cosxdx = x2 sinx - 2(-x cosx + sin x + C,) = x2 sinx + 2x cosx - 2 sinx - 2C, =
4.5. Найти интегралы:
Иг
16. J ln x - j
48
Q(x)
Р(х) и знаменатель Q(x) которой - многочлены.
Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если степень
многочлена в ее числителе меньше степени многочлена в знаменателе и
неправильной, если степень многочлена в ее числителе не меньше степени
многочлена в знаменателе.
4
х +1
Например, дроби
правильные,
х + 3 ’ х 2 +2х + 3
х + 2х -f 1
-- неправильные.
х 2 - Зх + 6 х 3 -5х + 4
У любой неправильной дроби можно выделить ее целую часть. Для этого
следует по правилу деления многочленов разделить числитель на знаменатель.
Поэтому любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде
суммы ее целой части и некоторой правильной дроби.
а дроби
= x2sinx + 2xcosx-2sinx + C, (C = -2C,).
l . j x 52xdx
§ 5. Интегрирование рациональных дробей.
P(x)
Определение I. Рациональной дробью называется дробь —— -, числитель
х2 + 1
49
х3 - Зх + 4
-привести к
х-2
виду суммы ее целой части и некоторой правильной дроби.
Решение. Разделим числитель на знаменатель по правилу деления
многочленов.
Пример 1.
Неправильную рациональную дробь
х 3 —Зх + 4
I х —2
—( х —2 х )
Г
х +2х + 1
2х 2 - Зх ■
+4
у/у
- (2 х 2 - Ах)
х +4
- ( х - 2)
V
\
Тогда
х 3 - Зх + 4
2 . ~. . . 6
-—х + 2 х +1 + х -2
х —2
а) Интегрирование простейших дробей вида:
А где л и а-постоянные числа.
х-а
Г _Adx
л и х _ _ а '_ dx
А 1п|х - а\+ С;
1х - а
1х - а
3dx
Пример 2. Найти [
J 3x-9
„
f 3dx
г 3dx
Решение. ---- = ----J Зх-9
3(x - 3)
x-3
б). Интегрирование простейших дробей вида:
В
где В ,а и к - постоянные числа.
(х - а у
В
1
В
dx = J В
dx
+ С, х Ф а .
(х - а )
к - Х ( х - а ) к-1
(х - а )
Пример 3. Найти
Решение, j
J
dx
( х - 2)3
'dx
( х - 2)
з•
1
(3-1) ( х - 2)3
-+С = -
1
в) Интегрирование рациональных дробей вида
постоянные числа.
1
-+С.
2 ( х - 2)2
1
х + /?х + д
где р и q -
, тт г
3dx
Пример 4. Наити I
х2 - 8х + 25
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
х2 - 8* + 25 = (х 2 - 8х +16)- 16 + 25 = ( х - 4 )2 +9.
переменной
Произведя
замену
t = x —4, dt = dx, получим
t -
= з(
*
......= 3 1 - / - , з ; ^ Ц .
х —8х + 25
(х - 4 ) +9V + 9 V +32
Получим табличный интеграл. Тогда
г
Зо?х
_ г dt
3
г _
.х-4
| ------- = 3 Г-т--- г-= -arctg- + С = arctg--- + С.
х —8х + 25
/ +3
3
63
3
4.6. Найти интегралы:
1
2
j 2x
Tv _
-1I
3 f_ ^ L
" J 2- 5 x
f
J3-2x
4 (_ * _
5 —x
5. f- ^5 —
2x - 3
6.
7. f _ ^ L
-
4-7x
8. f - ^ -
J 4x-9
dx
9. f - ^ Ц
J (* + 3)5
x —3
r
dx
10. f(4 - 3x)
(x + 2 )
(2 - x)
13- l (x
7 7- ^2 )3
b
* + 13
' 0 - / i x 2 +4x
15. f— y ~~---4x -5x + 2
16 j --x + 4x + 8
18. J - 5 ^ ---
17. 1 - 5 ^ ----
2x -4x + 5
9x + 6x + l
!9. f - = - ^ ---
20. J - j - ^ --x +4x + 15
x + 2x - 3
21. f
2 dx
-
22. J
X-— —
• v"
L^5x
v _- 6
x 2_+
*П
v. +
IС
9x 2 - /Г
6x
5
[ :, 6A" l-< / x
x -4x + 5
24.
dx
J 24x + 2-
x +2x + 5
§ 6 . Интегрирование тригонометрических функций.
51
Интегралы
вида
J s'mkxcoslxdx\ jcos£xcos/xc/x; j s'mkxs'mlxdx
где
кe R
и l e R , называются интегралами о т тригонометрических функций.
Из тригонометрии известно, что произведения тригонометрических
функций, находящихся под знаками этих интегралов, преобразуются в суммы
по следующим формулам:
sinfacos/x = l[sin(/r - /)х + sin(& + l)x];
coskxcoslx = ^-[cos(£ - l)x + cos(k + l)x]\
sinfarsin/x = -i[cos[£ - l]x - cos(k + /)х].
Заменив в рассматриваемых интегралах подинтегральные функции по
этим формулам, легко можно выполнить интегрирование.
Пример!.Найти интеграл jsin6xcos7xfi/x.
Решение. По первой формуле при к = 6, 1= 1 имеем:
sin6xcos7x = j[sin(6 - 7)х + sin(6 + 7)х] = ^-[-sinx + sin 1Зл:].
Поэтому
J sin 6х coslxdx = i J (-sin x + sin 13x)dx =
sin xdx +J sin 13xdxj= ^c o s x - ~cos 13xj + С
Пример 2. Найти интеграл Jcos3xcos9xrfx.
Решение.
(cos3xcos9xa!r = -f(cos6x +cosl2x)<&=-[-sin6x+-^-sinl2x ]+C=-i-sin6x+— sinl2x+C.
1
'
2(6
12
)
12
24
Интеграл о т четной степени синуса или косинуса.
Для вычисления интегралов такого вида используются формулы
понижения степеней синуса или косинуса:
2
1
2
1
s in х ~ —(1 —c o s 2 jc) , c o s x = —(l + c o s 2 x ) .
Пример 3. Вычислить интеграл J sin2 3xdx.
2
1
Решение. Имеем sin Зх = —(l-cos6x). Тогда
| sin2 3xdx = —J (1 - cos6x)dx = - j d x - —j cos 6xdx = —x — —sin 6x + C.
2
2
2
2
12
Вычисление интегралов вида
Jsinmxcos"xd'x,
тФп
Для
вычисления
таких
интегралов
применяются
подстановки:
1) Если п -нечетное число, то подстановка / = s in x .
52
следующие
2) Если
т -нечетное число, то подстановка t = cosx.
Пример 4. Вычислить интеграл J sin4 xcos5xdx.
Решение. Так как п = 5 - нечетное число, то произведем замену
переменной t = s in x . Тогда dt = cos xdx.
Преобразуем подинтегральную функцию
sin4 х cos5 х = sin4 x cos4 x cosx = sin4 x(l - sin2 x j cosx
Тогда получим
J sin4 x cos5xdx = j sin4 x ^l- sin 2 xj cos xdx = J f4( l - f 2j dt = J f4^1 —2/2 +14^dt =
= \{t*-2t6 +ti 'yt = \t*dt-2\t(‘dt + \t%dt = j ~
t 7 + j +C.
Возвращаясь к старой переменной окончательно найдем
sin5x 2 . 7
sin9x
Jsin 4 xcos5 xt/x = ------- sin x + — — + C.
5
7
9
4.7. Найти интегралы:
1. jsin4xA '
2. J sin2 5xdx
3. jy:os3xcosxfiir
4. Jsin5xsin^i/x
5. fsin—xcos—dx
J
4
4
6. Jsin5xsin6xdx
7. Jsin3xcos6x^x
8. |sin2xcos5xrfx
10. js in 22xdx
9. fcos—xcoslxdx
1
3
, 11. J cos2 5xdx
12. j sin2 xcos2 xdx
14.
13. J sin 5 xcos5 xdx
f sin3x
2 +cosx
16. | sin4 xdx
15. Jsin 3xcos2 xdx
dx
sin2 xcos2xdx
< © | cos3 2x sin52 xdx
sin6 x cos4 xdx
J sin6 xcos3 xdx
cos5 xdx
21. j"sin1 xcos5 xdx
§ 7. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Определение. Интегральной суммой непрерывной функции / ( х ) на
П—I
отрезке [а,Ь] называется сумма вида Х / ( 4 )Л*/> гДе
/=1
п - число частичных отрезков на которые разбит отрезок [я, Ь ];
53
Ах, - длина частичных отрезков;
§- точка, выбранная внутри отрезка Лх,-.
\Определение.^рпределенным интегралом от J\x)dx, взятым в пределах
от а до' b называется предел интегральных сумм при и —>
\ f(x)dx=
а
lim
, то есть
]£/(<* )Дх,-
тах(Д*,)-»0( = |
Ь
Знак J - называется знаком определенного интеграла.
и
а - нижний предел интегрирования,
b - верхний предел интегрирования.
Свойства определенного интеграла.
Ь
а
1. } / ( x)dx =
а
b
(x)dx
а
2. jf(x ) d x = О
а
b
с
b
3. | / (x)dx = J f (x)dx + J / (x)dx
ci
a
с
b
b
b
b
4- \[f\W + / 2 0 ) - / 3 (*)]<& = |/i(jc)rfx + J / 2 (x)</x - J / 3 (x)ofx
«
a
a
a
b
b
5. J А/"(лг)</х- = k j f(x)dx
ci
a
Для вычисления определенного
Ньютона-Лейбница:
интеграла применяется
формула
jf(x ) d x = f f(x )dx J = F(x)|* = F(b) - F(a),
a
которой можно пользоваться, если известен неопределенный
соответствующий данному определенному интегралу.
При
интеграл,
§ 8. Метод замены переменной в определенном интеграле
вспомогательной функции х = ip(t) , (где новая переменная
t - однозначная функция х , то есть
t = y/(x) на закрытом интервале [а,/;])
интеграл преобразуется к виду
ь
P=vW
\ f(x)dx=
]f{<p{t))<p\t)dt
а
а=уг(а)
54
(4.1).
ft
5 г
Пример I. Вычислить интеграл JxV.х2 - 16dx.
Решение. Произведем замену переменной, полагая t = x
dt = 2xdx, откуда xdx
-16. Тогда
и подинтегральное выражение преобразуется так:
хл1х2 —1Gdx = Vx2 -16xdx = —4tdt
2
Найдем новые пределы интегрирования. Подстановка значений х = 4 и х = 5 в
выражение
1 = х 2 —16, дает а = 42 -16 = 0, а
/3 = 52 —16 = 9. Это и есть,
соответственно, нижний и верхний пределы интегрирования.
Используя теперь формулу (4.1), получим
з
9
1
J хл!х2 - \6dx = ^ —4tdt = —j t 2dt = ~4~7 = I ?VFr = - 9 V 9 - 0 = 9
Ч
lo
Ч
2 3/
a
Пример 2. Вычислить интеграл Jcos3xsinxrfx.
о
Решение. Произведем замену переменной, t = cosx. Тогда dt =-s\nxdx,
sinxdx = -dt. Найдем новые пределы интегрирования: если х = 0, то
а =
7Г
7Г
= cosO= 1; если х = — ,то (3 = t2 = cos— = 0. Таким образом,
1
о
Jcos3xsinxc/x = —J f 3A = JVift = —
I
0
4.8. Вычислить интегралы.
fVxc/x
16. J
1. j^/5x + 2fifx
I
1+ x
196
2. j S
K
17. J
i *
COS X
25
dx
x —4 Vx
~4
2
3' Vs
^
4
4
4
^
*x
127
-dx
>8- h
27
99
dx
19. J
, (l + 2x)
55
dx
x-2
dx
з -V ^+ l
5 .J
25 dx
xdx
yfl + Зх
20‘
[Tx-\
й
dx
6 .1
21. j - Jl-x2dx
J j 9 + 25x
dx
22. \ 4(4-x2)*dx
2^3 Vl6+ 3x2
4 -Л
(ЗП
In2 Ve
к
10.
j
23.
1+ 9*
2
*
cfo:
24. j
V a ^V T 2 +9
-1
24 (я:
йЬ:
2 5 .)
-7(16 +JC2) 3
26.
Д'ТТ/J esmm cos TLXdx
о
inV3
12.
i
fifa:
j
*
J
27.
4л/2*л/х2 -16
--lnV3e + C
л:
2 -- arcsinx
13.
j
VT^
14. J
1 x 2tfe
28. J
0 (^ +1)
4 ,
2
2 ln 2
dx
29.
Vl7x + 8
j л/е* - Xdx
In 7
30. J
15. Jsin3xcos4x</x
0
dx
x ^X - O nx )2
4.9. Вычислить интегралы:
dx
•б.
2Xл/l- (ln x )2
56
}^ч
Q(3x +1)
2 cos3xdx
2. j
n V sinx
3.
( ] 7 ) j x 2(2x3 + iy x
0
18. |9л/х3 + 1х2Л
1+ x )d x
о
xdx
19. j( x 2 - l fx d x
-I
-i(x2 + 1)2
r 4xt/x
20. f— z--- T
Jo (^2 - D 3
2 9 /-----21. J -yl(x4 - 8 f x 3dx
S '
2V2
x dx
5. } 1 ± ^ Л
i
*
2 xdx
6 .J
j l +* ’
i
7. f x e x dx
2 / J 9л/3sinx + lcosxcic
sinxdlx
9. fsin—dx
Jо *2
£
3 - cosx
2
cosx d x
1 0 . Jcos 2 x s m x d x
2 + sinx
0
1
11. Jx(x2 + l)3c/x
0
к
26.
2-3x 2dx
j 1+ x'
n_
2
12. J tg x d x
( f i ) ) e ™ x co sx dx
о
13. J-
0
I
28. J x V dx
dx
14. j(2 x - l) 3atx
29. jcos|^2x-— y x
15. j( 4 - x ) V x
30. f
1 V5x
57
§ 9. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
Представляя подинтегральное выражение f(x )d x в виде udv и найдя
ь
du (дифференцированием) и v (интегрированием) преобразуем j / (x)dx к виду
h
^ f(x )d x = J udv = (uv)\a - j vdu
a
a
(4.2).
a
1
Пример l. Вычислить интеграл J xexdx.
о
Решение. Полагая и = x , dv = exdx , тогда du = dx, v = J exdx = ex
По формуле (4.2) находим:
j xexdx =(дге*)| - J exdx =(хел)|^ ~ е*\й= (l 'C1
о
0 о
- e°j = e - e + 1= 1.
Пример 2. Вычислить интеграл J In xdx.
e
dx
Решение. Полагая и = lnx, dv = dx; тогда du —— , v = jdx = x.
x
J
По формуле (4.2) находим:
j\nxdx = (xlnx)^ - j x — = e2lne2 - e lne- x j" = 2 e 2 - e - e 2 +e = e2
4.10. Вычислить интегралы.
16. Jin xdx
l. jx e Xdx
l
0
к
l
17.
® ) i^s m
Й -X
0
Л
4
2
Jjc ln
is.
dx
jc
t e
*
i x
i
19. \x22xdx
0
к
1
1
/£)J
\x3e2xdx
x2exdx
0
2
4
20. fxtgxdx
5. Ja 2 1nxdx
58
2
4
6. Jarcsinxfifo
21. Jxctgxt/x
0
i
0
1
7. Jarccosjw/x
22. f x 2e2xdx
0
0
i
к
Jx 3smxdx
8.
23. f x 2e~xdx
0
0
к
i
4
9. J sin xexdx
24. Jarctgxdx
0
0
i
i
10. Jcosxexdx
25. J x 3arctgxdx
0
0
3
Jxarctg xdx
(T ).
26.
J
0
Щ -dx
1 ^
1
e
ф . j{ l + \nx)2dx
27. jx V d x
1
0
2
13. je 2xcosxdx
0
2
28. | x2 \nxdx
i
i
e
14. \(sinx)(\nx)dx
0
29. \x5xdx
0
2
15. Jxcosxdx
0
l
30. J x3ex d x .
0
4.11. Вычислить интегралы:
e
1. \yfx\nxdx
\
16. Jx ln (l + x2)d:
0
n
1
n
6^
2. J(2-x)sin3xdx
0
п . ; xdx2
^COS X
7
5
к
3. J xexdx
0
18. J x 3 sin xdx
0
59
19. f i S f *
1
4. J ( l - x)s\n7Dcdx
-2
n_
2a
J(
5. j (2x + 3)e~xdx
-i
71
20. J(* + 3) sin axdx
о0
6. J(7r-x)sinxfi6c
21. f xcos—dx
J
a
—a
a
x
К
22. Jjcsin;ccos.x:£&
j Infл/1+ x2 - xjdx
-7Г
e
8. Jarccosxdx
23. J (x - ln x )2dx
9. f - *
24. Jx arctg xcfx
Sin2 J
2
In 2
25. jxe~xdx
о
2k
26. Jx 2cosx<ix:
flo./Jarctgxdx
v~ о
11. J jc2 In xdx
l
к
27. J(x + l)ln 2(x + l)rfx
0
\p. j(jc-l)cosxc/x
0
к
'2
I x cos xdx
V5
28. | x arctg xdx
14, Jarcsinxdx
29{^f
15. }(3x + 2)lnx<ix
30. Jx ln 2xaLt.
1
2
§ 10. Вычисление площади плоской фигуры.
Площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = ,/(х),
осью абсцисс и отрезками прямых х = а и х = 6 находится по формуле
60
S = \.f{x)dx
(4.3)
a
Если плоская фигура ограничена сверху и снизу соответственно
графиками функции у = f ( x ) и у = (р(х) , а с боков отрезками прямых х = а и
л: = 6, и
если
/ ( .* ) > р(д:) для всех
хе[а,Ь], то площадь такой фигуры
находится по формуле
ь
ь
ь
S = f ( / ( * ) - <P(x))dx = \f (x)dx - J <p(x)dx
a
Пример
1.
a
Вычислить
(4.4)
a
площадь фигуры,ограниченной линиями
1х2 - 9 у + 9 = 0 , 5х2 - 9 у + 2 7 = 0 .
Решение.
1)
Запишем
уравнение
7 2 ,
у = - j r + 1; у = —х +3.
9
2)
У
'у
парабол
в
виде:
5 2
О
9
Найдемточкиихпересечен
7 2 ,
9 Х + _ ^ x t = -3, х2 = 3
=
Л=8
9
3) Построим линии (Рис.2).
Так как фигура симметрична относительно оси Оу, то найдем половину
ее площади, взяв пределы интегрирования от 0 до 3, и результат удвоим:
4.12.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
ф 4 _ у = 8 х - х 2; 4у = х + 6
16.
2. у = 4 - х 2; у = х 2 - 2 х
17.
3. 6х = у3-16у; 24х = х 1-16у
4. у = ( х - 2)3; у = 4 х - 8
х = 5-.у2; х + 4х = 0
3
18J.y = cosx; у = sinx; х = 0
19.
х = 4 - (у - \ )2; х = у 2 - 4х + 3
5. у = 4 - х2; у = х2 - 2 х
(6 ? у
= 6х - х 2;
20. х = 2; у = 5ех; у = 5
у=0
21. х = 1; у = 6ех; у = 6
2
22. y = 2s[x; у = ~; х = 4
7. у2 = х 3; х = 0; у = 4
8. у = х 2 +4х; х - у + 4 = 0
9. ху = 6; у = 7 - х
3
у = —Vx; у = — ; х = 9
23. у = 3 2 - х 2; 4х + .у = 0
24. x = ^ 4 - y 2; х = 0; у = 0; у = 1
10. у = х3; у = х; у = 2х
25. х = 4 - у 2; х = у 2 - 2 у
11. х2 +у2 = 4х; у 2 = 2 х
26. х = ( у - 2 ) 3; х = 4_у-8
12. y = arccosx; у = 0; х = 0
27. x = arccosy; х = 0; у = О
13. у = (х- 1 )2; / = х - 1
28. у = (х + 1)2; у2 = х + 1
14. х = 2; у = 4ех; у = 4
29. у = ех; у = е2х; х = 1
15. у = ^ \
y = Yx ' х = 16
30. y = 2x; y = 2_2jr; у = 4
62
§11. Вычисление объема тела вращения.
Объем тела, образованного в результате вращения вокруг оси Ох
криволинейной трапеции,
ограниченной
непрерывной
кривой
у = /(х ),
отрезком [а,Ь] на оси Ох и прямыми х = а и х = b , вычисляется по формуле
ь
V = J tjy 2dx
а
Пример 1. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох фигуры, ограниченной линиями: х - 2у + 6 = 0, у = 0, х = 2.
Решение.
Прямая
х - 2 у +6 = 0
пересекает ось Ох в точке А(-6,0). Вычислим
объем
х
конуса,
образованного
вращением
треугольника ABC вокруг оси Ох. В этом
случае
пределы
интегрирования
будут
а = -6, Ь = 2. (рис.З)
Рис.З.
'
Тогда
Vx = к j y 2dx = n~j Q -л: + 3^ dx = 7C~j
= л\— х 3 + —х2 + 9х
,12
2
+ Зх + 9
j
dx
= 42- к (куб. ед.)
4.13. Вычислить объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:
1. у = х +1; у = 3х + 1
2. ху = 4; х = 1; х = 4; у = О
63
3. у = 2 х - х 2; у = 0
4. у = х 2; у = 2*
5. у 2 = х; у = 0; х = 1; х = 2
6. у 2 = 2х; у = 0; х = 2; х = 4
7. у 2 = 6х; у = 0; х = 1; х = 3
8. у = х 2 - 9; у = 0
9 /у = Зх - х2; у = 0
10. х + 2у - 4 = 0; у = 0; х = О
11. у 2 = 9х; у = Зх
12. у 2 = 9(х + 3 ) ;х - у + 3 = 0
13. у = 9 - х 2; у = 0
14. р = 2х; у = 0; х = 2
15. у = х2 + 1; х = 3; х = 0; у = 0
16. ху = 9; у = 10-х
17. х2 + у 2 = 9; у 2 = 8х; х = 4; у = О
18.
у = 5; у = х 2 +1
19. у = 3 - х 2; у = х 2 + 1
20.
у = х 2; у = 4 х .
§ 12. Несобственные интегралы.
Простейшими обобщениями понятия определенного интеграла являются
несобственные интегралы. Существуют два основных типа несобственных
интегралов:
1) интегралы с бесконечными пределами интегрирования;
2) интегралы от разрывных функций.
Несобственный
интеграл
с
бесконечным
верхним
пределом
интегрирования от непрерывной функции / ( х ) , определенной для всех
+оо
значений х > а , обозначается символом
|/(х)с&
а
и понимается как предел
t
интеграла
J f ( x ) d x , при условии, что верхний предел интегрирования
а
неограниченно растет, то есть
4-00
t
J / (x)dx = lim J/(x)fifct
>+°o ^
a
Если этот предел конечен, то несобственный интеграл называется
сходящимся и существует. В противном случае - интеграл называется
расходящимся и не существует.
+о°
Пример I . Вычислить f - у .
I *
Решение. На основании определения несобственного интеграла находим
+\ Ц = lim } 4
= Hm
j
x~2dx = lim
= lim | 1 - Л = 1
Так как предел конечен и равен 1, то данный несобственный интеграл
сходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной
функции с бесконечным нижним пределом^ интегрирования
64
b
. • b
J / (x)dx = lim j f (x)dx
Несобственный
интеграл
с
двумя
бесконечными
пределами
+оо
интегрирования обозначается символом J / ( x)dx .
Тогда по определению
С
+ оо
J f(x )d x =
—oo
t
lim J f(x)dx +lim f f(x )dx .
M-oo,t
/->+0oJ
с
Этот несобственный интеграл существует и называется сходящимся,
если оба предела конечны.
+°° ^
Пример 2. Вычислить \--- гг.
L 1+х2
Решение.
f ~dx , = lim [
, + lim f—— r-= lim (arctgx)|° + lim (arctgx)!* = л1,
i j + x2
{ 1+ JC2
>+°°q 1+ x
/->~V
л' f - W
;|°
Данный интеграл сходится и равен ж.
Рассмотрим
теперь несобственные интегралы от неограниченных
функций.
Если функция / (х) определена и непрерывна на промежутке [а,Ь], при
х —>b , неограниченно возрастает, а в точке х = Ь неопределена, то под
ь
несобственным интегралом
|/(х)а?х
понимается предел интеграла
I
U
j b-e
b
Ь-г
\ f(x )dx ,£> О, когда £ н> 0, то есть J f{x)dx = lim J f{x)dx.
a
£ —>0 a
a
Если этот предел конечен, то несобственный интеграл называется
сходящимся
и существует. В противном случае - интеграл называется
расходящимся и не существует.
Пример 3. Вычислить
°r dx
-гт=.
_,vx
Решение. Подинтегральная
возрастает. Тогда
'\ w = I x'~3dx = lim ° f
,vx
£->o j|
у?
функция
= lim f
£—>0\2
при
х —>0
неограниченно
° £ = lim f|V (0-£)2 ~ J V h T I = “
£->oV2v
Данный интеграл сходится и равен —у .
65
2v
J
■
2
4.14. Вычислить интегралы.
•J
dx
dx
16. J
x2 + 3
0 x2 + 7
17 .]
* xlnx
2
о
dx
19. J
0(l + x )arctgx
rarctgx</x
1 + x2
1
x2 -\
6. f - r
;x
8.
20 .
xdx
5J
4
xln x
18. fe~2xdx
з .] е _'&
Л Я
dx
dx
о x2 + 2x + 7
dx
21. J
2(x + l)ln(x + l)
+4x + 9
dx
dx
22. J
з3 (jc —l)ln(jc —1)
1о +1)3
о
23. \e~2xdx
dx
j
dx
{
i1 O - i )
xdx
9-1
2 4 .}
о
(1 + x 2)
dx
26.
I x2 - 4x + 7
о
7arctg2xdx
28. J-
xdx
о
l + 4x2
29. {
14. jxe~x dx
15. {
]x2e x dx
0
2* dx
27. ]
2* + 3
12. Jsinxcfx
‘J
(1+*T
dx
2 5 .]
0 c2 + 2x + 10
10. \e2xdx
И'
x2dx
xdx
Vx2 +5
dx
2x -1
30. J
x2 + 3
dx
,x 2 + 16
4.15. Вычислить интегралы.
66
5 .J
,
arcsine
20.
dx
if
2 1 .1 d
f
J0 Vx
4x’c/x
7- 1
-2
2
« •I
f
с/х
,
x -4
22 . f -5---
x4 -1
dx
23. J
x —x —2
xdx
M
24.
x2 - 4
10j .
2
dx
xlnx
с/х
ол/4 - х 2
12. J
с/х
л/3^1
13. Jlnxc/x
j *+ x
x
25. J
с/х
T^
26.
2
j
с/х
ол/9-;
27. J
с/х
л/4^
с/х
28. j
0.5 a rc s in x
0
1(arcs in x)2
14. J v ,
' -dx
0 л/ l- :
15. J
с/х
л/х - 2
с/х
29 |0П £ + Ч л
dx
30. J
7^1
Контрольная ра б о т а
Вычислить интегралы:
-Jl-
7Г
2
1. }sinra+" xcosxdx
г. } ( " - ■ ) '
I
*
TC
^ j
(m+«)cosjc + (m + l)sinx
^
o((w + n)sinx-(/« + l)cosx)m
4 j xe- ( ^ dx
0
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
у = (т + 2)х; у = (т +
у = (т + 2)2.
6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
криволинейной трапеции:
у = е~{т+п)х; у = 0; * = 0; х = 1
§ 13. Приближенное вычисление определенных интегралов.
Рассмотрим две формулы вычисления определенных интегралов формулу трапеции и формулу Симпсона.
Формула трапеций:
\f(x)dxи
b - a f Уо+У„
-+ У1+У2+-+У„-1 ,
П \ 2
J
где у0, у\ . . . уп - значение функции y = f ( x ) в точках х0,х\ . . . хп.
Формула Симпсона:
l f ( x ) d x = ‘ ^ ~ [ y 0 + 4 ( y l + у 3+ . .. + у 2„ - \ ) + 2 { У 2 + У а + - + У2 п- 2 )]-
а
Пример 1. Вычислить по формулам трапеций и Симпсона определенный
ю
интеграл fx 3dx, разбивая отрезок интегрирования [0,10] на 10 равных частей,
о
Решение. Разобьем отрезок интегрирования [0,10] на 10 равных отрезков
длинной
Ах = -— —= — ——= 1. Тогда абсциссы точек деления будут
п
10
х0 = 0, х2 = 2, хЛ= 1, ... , jc,о = 10. Значения подинтегральной функции при этих
xi
У,=х?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
68
Тогда по формуле трапеций:
f Xsdx ~ —777—Г
о
10 ^
2
+ ] + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729l = 2525
)
По формуле Симпсона (здесь п=5):
10
1А_ Q
J x*dx «=— — [0 + 4(1 + 27 + 125 + 343 + 729) + 2(8 + 64 + 216 + 512) + 1ООО] = 2500
п
О -J
Точное значение интеграла вычислим по формуле Ньютона-Лейбница
ю
10
4
f х 3dx = -—
1
4
о
4
= 2500
4.16. Вычислить приближенно по формулам трапеции и Симпсона:
] .} *
(при n = 4);
2. J d\
Ъз + х2
(при n = 8);
(при n = 4);
^ } x^x
' ] л/1 + 2д-
(при n = 6);
(при n = 4);
6.
J{ V** + i *
(при n = 5);
(при n = 5);
2
8 . Jln(jc + 2)<я6с
I *
dx
3'
jV u v
4
5. jVxdx
о
з _______
(при n = 5);
-i
■J~x —1
(при n =4);
2
10. \x-3xdx
(при n = 5).
Глава 5.
Дифференциальные уравнения.
§ I . Понятие о дифференциальном уравнении.
Определение
1.
Обыкновенным
дифференциальным
уравнением
называется уравнение, связывающее одну независимую переменную,
неизвестную функцию этой переменной и ее производные или дифференциалы
различных порядков.
Определение 2. Порядком обыкновенного дифференциального уравнения
называется наивысший из порядков производных или дифференциалов,
содержащихся в нем.
В общем виде дифференциальное уравнение /i-го порядка можно
записать так:
F (x ,y ,y ',y ",...,y M ) = 0
(5.1)
Определение 3.
Решением
дифференциального уравнения (5.1)
называется всякая функция у = / '( х ), при подстановке которой в это уравнение,
оно обращается в тождество.
Процесс
нахождения
решения
дифференциального
уравнения
называется его интегрированием, а график решения дифференциального
уравнения - интегральной кривой .
Определение
решением^ дифференциального уравнения и-го
порядка называется такое его решение, которое содержит «-независимых
произвольных постоянных и имеет вид:
y = (p{x,ci,c2,...,c„).
Геометрически общее решение дифференциального уравнения можно
представить как всю непрерывную совокупность бесконечного множества
интегральных кривых.
Если общее решение задано в неявном виде, Ф (х ,у ,с1,с2,...,сп) = 0, то
оно обычно называется общим интегралом.
Если в общем решении дифференциального уравнения произвольным
постоянным придать определенные значения, то общее решение становится уже
частным решением.
Обычно
для
дифференциального
уравнения
первого
порядка
определенные конкретные значения произвольных постоянных находят из
заданных начальных условий, которые имеют вид:
Уо =
о) •
§ 2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется
уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид:
M (x)dx+ N (y)dy = 0
(5.2)
или приводится к этому виду. Выражение J M(x)dx + J N(y)dy = С является
общим интегралом дифференциального уравнения (5.2).
70
Уравнение
M x )V2(y)dx + f 2(x)<pl (y)dy = 0
где
(5.3)
/,(х ) и f 2(x) - функции только переменной х , а
ip\(y) и (Pi(y) - функции только переменной у , приводится к уравнению
(5.2) следующим образом. Полагая, что
(у Х /г М * 0> и поделив обе части
уравнения (5.3) на % СуХ/П *)* 0 получим:
(5.4,
/г 0 0
% С у)
Левая часть уравнения зависит только от х , а правая - только от у , то
есть переменные разделены.
Интегрируя почленно, получим:
+С
Л 00
% 00
Это общий интеграл уравнения (5.3).
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
(5.5)
3x2ydx + 2л/4 - х 3dy = О
Решение.
Это
уравнение
первого
порядка
с
разделяющимися
переменными. Для разделения переменных перенесем 3x2ydx в правую часть
2V4 ~ х 3dy = -Зх2у dx
Полагая, что у\4 - х3 ^ 0, разделим обе части уравнения на произведение
Г
J
2а[у
Зх2Л
уу14 —х ^ 0 , получим: — = — ....
У
4 л ^хИнтегрируя почленно, будем иметь :
2'dy= _3'_Sdx_ +2{nC
1у
л/Т-Г?
Слева записан табличный интеграл, а для нахождения интеграла,
стоящего - справа,
используем
метод
замены
переменной:
4 - x 3 = t2,
-3x2dx = 2tdt
х 2dx
. гtdt
- 3 \ ^ J L = = 2 [— = 2\dt = 2t = 2 ^ 4 - x 3
J% /W
J f
J
Тогда
21n|v| = 2.^4- x3 + 2lnC,
Из определения натурального
решение данного уравнения
логарифма
„V w
у = Се
71
In 2. = л/ 4 ^ 7 .
с
окончательно
получим
общее
Пример 2.
Найти частное решение дифференциального уравнения
ex~ydx —— = О при начальном условии у(3) = 2.
х
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
— dx ——dv = 0
еу
х
Эго
уравнение
с
разделяющимися
переменными.
Полагая,
что
хеу фО,
умножим уравнение на произведение хеу , получим:
eydy = хехdx.
Интегрирование дает:
J eydy = J xexdx + С, еу = хех - ех + С
Первый интеграл - табличный, а второй - находится интегрированием по
частям.
Логарифмируя
обе части равенства
еу = хе* —ех + С ,
получаем
у = 1п(хел - е х + с ) - общее решение данного уравнения.
Для нахождения частного решения используем начальное условие
у(3) = 2.
Подставляя в общее решение начальные условия х 0 =3, у0 =2, получим
1п(Зе3- е 3 + с ) = 2.
Отсюда 2е3 + С = е2 или С = е2 - 2е:
Подставим в общее решение вместо С его значение, получим частное
решение данного уравнения:
у = \п(хех - ех + е2 - 2е3^.
5.1. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными:
I . (Зх —1)dy + y2dx = 0
2. ху' + 2у = 2хуу'
3. (l + х2'jdy - (l + у 2)й?х = 0
4. ex+ydx + ydy = 0
5. у'е~х = х -1
6. xydx + (х + \)dy = 0
7. у(х2 + l ) / = 1+ у 2
i ^ l + e ^ y y ' = ех, у(0)=1
9. у ' ctg х + у = 0, у(0) = 1
10. (х2 - 1 ) / + 2ху2 = 0, у(V2) = 1
П. (1 +cosx)yy' = sinx, у(0)=1
12. у 2у ' = 1-2х
13. )/ tg x - y = l
15.v^cosyH— - = 0
У
, 1-2х
14. у Н— —j— У = 0
х
16. 2у у'+ Зх2 = 1
72
17. y 'ln y - y = 0
18. [x2 -\)dy-2y2dx = 0
X
19. xydy - (у 2 + 2jfifx = 0
20. (l + ex^dy = — dx .
§ 3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение 1. Уравнение вида
? =
(5.6)
dx
Vх ,
называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Оно приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися
переменными после введения вместо функции у новой функции и = и(х),
связанной с у соотношением:
у = хи
(5.7)
А именно, подставив выражение (5.7) в уравнение (5.6), получим:
d{xu)
du
---- = (р{и) или и + х — = <р(и),
dx
dx
xdu = [ср(и) - u]dx.
Определение 2.
Функция f ( x ,y )
называется однородной функцией
к-ой степени однородности, если для любого
А. выполняется тождество
f{Xx,Xy) = Xkf (х ,у ).
Дифференциальное уравнение — = f i x , у) будет являться однородным,
dx
если f(x ,y )- однородная функция нулевой степени однородности.
Дифференциальное уравнение M (x,y)dx+ N {x,y)dy = 0 будет являться
однородным, если функции
М (х,у)
и
N (x,y)
являются однородными
функциями одной и той же степени однородности.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
(,ху + у 2^jdx - x2dy = 0
Решение. Перед дифференциалами dx и dy стоят однородные функции
одной и той же (второй) степени однородности. Следовательно, это уравнение
dy
( у4^
является однородным и приводится к виду — = (р — следующим образом. Для
dx
Vх )
этого разделим почленно на x2dx, получим:
dy
ху + у 2
dx
х2
-0 или
dy
ху + у 2
dx
х2
4уили —
=У
— Jк У
dx х Vх
73
(5.8)
V
i t
Произведем подстановку и = —, откуда у = хи, у = и х + и. Тогда уравнение
х
(5.8) примет вид и'х + и = и + и2,
получим:
или и'х = и2, или разделив переменные,
du _ dx
и2
Интегрирование дает:
и-
х
х
+ InlCj или- —= 1пЫ + 1п|С|, InlxCl = —и
и
У
, I ^
х
х
Заменяя и на —, получим: lnl.vCl = — , откуда у = -- г—т.
х
у
1п|хС|
Это и есть общее решение исходного уравнения.
5.2. Решить однородные дифференциальные уравнения:
1. ^х2 + у 2jdx - 2xydy = О
2. (х + 2y)dx —xdy = 0
3. (x - y)dx - (x + y)dy = 0
4. y' = e* + —
5. xe v = у —xy'
Z
6. xy' = у —xex
7. x2dy - (y2 + 2x_vjc/x = 0
8. x2dy - (v2 + 3xy + x2jfifx = 0
9. y ' = — + cos—
10. x y '- y = x tg—
-
X
X
X
1 I. (x y - x 2\dy-y2dx = 0
12. xy2d y - (x 3 + y 3^dx = 0
13.xy' = y ln —
.V
14. 2x2d y - (x 2 + y 2W = 0
v
’
15.v' = —+ sin —
x
x
16. У =
17.(2x - у )c/y - (x + 2y)dx = 0
18. xy' = у - -Jxy
19.y' = 2 — + 2—
x
у
2 0 .y = ^
x-y
i
+ 8^+ 12
\x)
x
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение 1. Дифференциальное уравнение первого порядка
называется линейным\ если в нем функция и ее производная содержатся только
в первой степени. Приведенное линейное дифференциальное уравнение первого
порядка имеет вид:
у ' + p(x)y = q{x),
(5.9)
где р(х) и с/(х) - непрерывные функции от
требуется проинтегрировать уравнение (5.9).
74
х в той области, в которой
Если
q(x) = 0, то уравнение называется линейным однородным и
записывается в виде
у' + р(х )у = 0
(5.10)
В уравнении (5.10) переменные разделяются, то есть
— = —p(x)dx
У
и, интегрируя, получим общее решение линейного однородного уравнения
первого порядка.
у = С е ^ р(х)сЫ
(5.11)
Общее
решение неоднородного уравненияможно найти
'вариации произвольной постоянной, который состоит втом, что
уравнения (5.9) ищется в виде:
y = C ( x y ipMdx,
методом
решение
(5.12)
где С(лг) - новая неизвестная функция от х .
Рассмотрим данный метод на примере.
Пример 1. Решить уравнение.
у ' —yclgx = Ix sinx.
(5.13)
Решение. Запишем соответствующее однородное уравнение
v '- v c t g x = 0 или
dx
yztgx
=
Q
Разделим переменные и проинтегрируем
— = ctg xdx, f — = f ctg xdx +1n|Cl
У
У
Слева стоит табличный интеграл, а справа - интеграл, находящийся при
иомощи замены f = sin д:, dt = cos.xdx. Тогда
f c t g * f c = f — Л = Г - = 1пИ
1
J sinx
J I
О кон чател ьн о
ln|y| = ln|/| + ln|C|, у = Ct = Csinx.
и есть о б щ е е решение л и н е й н о г о о д н о р о д н о г о у р а в н е н и я .
Для нахождения общего решения уравнения (5.13) представим С как
функцию от х , то есть С = С(х) и подставим С = С(х) в общее решение
однородного уравнения.
y = C(x)sinx
(5.14)
1) t o
Находим производную у' = C'(x)sinx + C(x)cosx .
Подставим значение у и у ' в уравнение (5.13), получим
C ,(x)sinx + C(x)cosx —С (х) cosx = 2xsinx,
С '(х ) = 2х , или dC(x) = 2xdx .
75
Интегрируя последнее равенство, получим С (х) = х 1 + С , .
Итак, общее решение линейного уравнения (5.13) будет
у = C(x)sinx = ^x2 + C|)sinx, или
у = x2sinx + Q sinx.
Уравнение (5.9) может быть проинтегрировано и другим методом.
Решение линейного уравнения (5.9) будем искать в виде произведения двух
функций от х :
у = u(x)v(x)
(5.15)
dy du
dv
Тогда — = — v + и— и уравнение (5.9) примет вид
dx dx
dx
du
dv
, s
. .
— v + и--- Hp[x)uv = q{x),
dx
dx
или
v ^- + u (^ - +p{x)v] = q(x)
(5.16)
dx
\dx
J
Выберем функцию v(x) так, чтобы в уравнении (5.Кб) выражение в
скобках обратилось в нуль
^ + p(x)v = 0
(5.17)
dx
то есть в
качествефункции v(x) берется одно
из частных,отличных
решений уравнения (5.17). Так как v(x) есть решениеуравнения
(5.17), то
подстановка ее в уравнение (5.16) дает
v ~ = q(x)
(5.18)
dx
Таким образом, для нахождения функции и получим дифференциальное
уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдем функцию
и(х) как общее решение уравнения (5.18), а
затем решение исходного
уравнения (5.9). Оно равно произведению функций и и v , то есть y = uv.
Итак, общее решение любого дифференциального уравнения первого
порядка сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого
порядка (5.17) и (5.18) с разделяющимися переменными.
Для нахождения частного решения (5.9) необходимо задать начальное
условие у(х0) = у0, где х0, у0 - известные вещественные числа.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
dy
2
2
А
—
ГГ
У
=
(х
+
»
dx х +1
Решение. Полагаем у = u v , тогда
dy du
dv
— = — v +и—
dx dx
dx
76
Подставляя выражение — и у = uv в исходное уравнение, будем иметь
dx
du
dv
2
2
— v + u ------- uv = {x + 1) ,
dx
dx x +1
( dv
2^
du
J
dx
u\------- V + v— = (x + 1)
\dx
x +1
2
(5.19)
Выбираем функцию v{x), так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль.
dv
2
„
dv
2dx
, , , п. ,
,,
.
..2
—
v = 0 то есть — = -----, откуда In v = 2 In be + 1, или v = (x +1)
dx \+ 1
v
x +1
Подставляя выражение функции v в уравнение (5.19), получаем для
определения и(х) уравнение
(х +1)" — = (х +1)' , или du = (х + l)dx
dx
Интегрируя последнее равенство, получим
U — --- Н X 4- С
.
2
Следовательно,
общее
уравнения будет иметь вид
решение
J1
y- uv-
-+ Х
У-
линейного
дифференциального
\
-+ х + С (х + \
г
(х + I)2 + С(х + I)2
Пример 3. Найти частное решение линейного дифференциального
уравнения
х(х-\)у' + у = х 2{2х —1)
при начальном условии у(2) = 4.
(5.20)
(5.21)
Решение. Полагаем у = uv, тогда
dv du
dv
— - — v +u—
dx dx
dx
dy
Подставляя выражения v и — , будем иметь
dx
х(х —
v+
+ uv ~ x 1i2x ~
v{x(x —X)— + u\+ x (x —1)г/— = x 2(2 x - 1)
V
dx
J
dx
Функцию u(x) находим из уравнения
77
(5.22)
I I
I I
I
I
X
Интегрируя получим In и = lnx —ln x —1 или t/ = --x -1
Подставляя значение
—
Отсюда
v= x2 - х
и (х )
в (5.22), находим уравнение для v
-----— = х 2 ( 2 х - 1 ) и л и d v = ( 2 x
х -1
dx
-\)dx.
+С.
Следовательно, общее решение уравнения (5.20) будет
х (х 2 —х + с )
V = UV = —------------ .
Используя начальное условие
х -1
(5.21), получим для нахождения С
2-(22 -2 +С)
равенство
= 4, откуда С = 0.
2-1
Тогда частное решение уравнения (5.20) запишется в виде
5.3. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:
1. у ' + 2 х у = 2 х е *
х
х
С
П I (N
х
6 . у ' - 2 у = е 2х
х
12. у '- 4 у = е-
1 1. х у ' + у - е х = 0
14. / +Ц ^ у = 1
х
1^.
-г
17. у ' +
X
2х у
-
16. /- 4 х_у = -4х3
^
X
18.
= —2х3
78
у
У sinx
+ —=
х
19. — + ху = -х3
dx
20.
d y ____2_
dx
1+ x'
-y-- 1+ х 2.
Контролъная р а б о т а
Решить дифференциальные уравнения:
1. 3(т + n)x2ydx + 2д/4 - (т + 2n)x3dy = 0
о Ыъ
\2j
(т + 2п)х2 + (т - 2 п )у 2
2. 2(Ът - п)х dy = ---- Lr----^ -- — dx
2{т + l)x2
3. / + ^ ± i k = (m + „ ) J
(и + ljx
4.
ху' + y - e x = 0, у(и ) = /г.
Глава 6.
Ряды
§ 1. Числовые ряды.
1.1. Понятие числового ряда.
Рассмотрим бесконечную числовую последовательность
и,,
Определение
и, ,
1.
и ,...
и „ , ...
Выражение
и, +«2 +« 3
(6. 1)
Л=1
называется бесконечным числовым рядом или просто числовым рядом, а числа
и,, м2, щ.
членами ряда.
Определение 2. Член ряда, стоящий на n-ом месте от начала, называется
общим членом этого ряда.
Сумма п первых членов ряда называется п-й частичной суммой.
Обозначая ее значение через S„, можно записать
Sn = u\+u2 +tt3+-•+«„
Определение 3. Ряд называется сходящимся, если последовательность
его частичных сумм при п —¥°° имеет конечный предел, то есть
lim Sn = S .
И—>°°
Число S называется суммой числового ряда. Если при п —>°° предел
частичных сумм не существует или равенто числовой ряд называется
расходящимся.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
1 1
1
1
--- 1---- 1---- 1
-- 1— ---Г+-”
1-2 2-3 3-4
и(и + 1)
Решение. Составим частичные суммы данного ряда:
5
,
1-2
s2=— +— , 5,= — +— +— , ..., s„ = - L +_ L + _L + ...+ 1
1-2
2-3
1-2
2-3
3-4
80
1-2
2-3
3-4
п{п +1)
11редставим частичные суммы в виде:
Так как каждая частичная сумма представляет разность между единицей
и дробью, числитель которой 1, а знаменатель увеличивается на единицу
„ относительно номера частичной суммы, то знаменатель п -й частичной суммы
равен п +1. Тогда S„ = 1--г— —г.
"
(и +1)
11айдем предел последовательности частичных сумм:
< умма ряда равна единице, число конечное. По определению 3 исходный ряд
сходится.
6.1. Выразить общий член ряда как функцию номера п в следующих рядах:
9 . --- !---- 1---- 1---- к
1-6 2-7 3-8 4-9
А
1 0 . ---i---------------- 1-н-------к
99
199
299
399
6.2 .Доказать, что данные ряды сходятся и найти их сумму:
т
2 4
8
16
3 . ----+------ +...;
3 9 27 81
. v !n 2
4. У — — ;
Z\ 3”
5М
ч ;
1.2.Необходимый признак сходимости числового ряда.
Теорема 1. (Необходимый признак сходимости).
Если числовой ряд (6.1) сходится, то предел его общего члена при
п —>оо равен нулю, то есть
lim t/„ = 0.
П—
>°°
Если предел общего члена ряда (6.1) при п —>°° не равен нулю, то ряд
расходится.
Пример 1. Выяснить выполняется ли необходимый признак сходимости
для ряда £
2п -1
=1Зи + 2
гг
2и —1
Решение. Общий член ряда £/„ = ^
Найдем его предел при п —> °°
Л12 - —1
2--1
lim Un = lim — — - = lim —?-- = lim ----- ^
n—
-n— Зи + 2 л— ^j ^ _j__ J я— з -t-—
nj
n
Необходимый
признак
не
выполняется
и
^ * 0.
3
следовательно,
данный
расходится.
б.З. Выяснить выполняется ли необходимый признак сходимости для
следующих рядов.
1 1 1
1 .--- 1----- 1--— -+...;
1-3 2-4 3-5
2
4 6
2. — I--------- i--- к ..;
5
11 17
82
ряд
п3 +. 2
л -2о
8 V
'
(и + 3)2" ’
1,3. Достаточные признаки сходимости
Если необходимый признак выполняется , то этого еще не достаточно,
чтобы сделать заключение о сходимости или расходимости ряда. Для этого
существуют достаточные признаки сходимости.
Теорема 1. (Интегральный признак Коши)
Ряд с положительными убывающими членами ип = / (и) сходится или
рпсходится смотря по тому, сходится или расходится несобственный интеграл
f f\x)dx, где J'(x) - непрерывная убывающая функция.
Этим признаком можно пользоваться когда выражение общего члена
и„ = / (л) имеет смысл не только для целых положительных значений п, но и
дня всяких п , больших некоторого положительного числа /и.
Пример
1.
Доказать
с
помощью
расходимость гармонического ряда
Решение.
83
интегрального
признака
Коши
Несобственный интеграл расходится, следовательно, и гармонический
ряд расходится.
Теорема 2. (Признак сравнения).
Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:
м,+ и2 + и3 + ... +и„+ ... , (и„ > 0)
( 6 .2 )
v,+ v2 + v3+ ... + vn + ... , (v„>0)
(6.3)
причем каждый член ряда (6.2) не превосходит соответствующего члена ряда
(6.3), то есть
Ы <Ы
(/' = 1,2,...,л,...)
Тогда, если сходится ряд (6.3), то сходится и ряд (6.2); если расходится ряд
(6.2), то расходится и ряд
(6.3). Это достаточный признак сходимости, им
удобно пользоваться, когда можно подобрать эталонный ряд, с которым
производят сравнение.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
■Гп
Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом
,
1
2
1
3
1
п
который расходится. Первые члены совпадают, а остальные члены данного ряда
больше соответствующих членов гармонического ряда, то есть
поскольку
1
1
—т= > —,
V/! п
< п (и = 2, 3, ...). Согласно признаку сравнения данный ряд
расходится.
6.4. Исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сравнения.
ъ
п+г
1 n r
гзг
^
„Т, п2
5
, 1 1 1 1
5. —Н-- (--- 1--- 1
— ;
3 6
11 18
V
i'3 Y
J \J )
15,
, 2
4
„8
16
6. — i-----------1-1
-------Ь*
+ — H—
5 11 29 83
Теорема 3. (Признак Даламбера).
Пусть для ряда щ + и2 + м3 + ... + и„ + ... с положительными членами
при
я -4 сосуществует
предел
отношения
(п + 1)-го
члена
ряда
к
предшествующему ему п -му члену, то есть
lim —*n
-±L = l.
П— Uп
Тогда: при
(6.4)
/ < 1 ряд сходится,
/ > 1 ряд расходится,
/ = 1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.
Пример 3. Используя признак Даламбера, исследовать сходимость ряда
1 -j--------1
2 ----------3
4
——
7з
3
зТз
п
-]-------- 1
j----------- j
9
”
З2
Решение. Общий член данного ряда Un = ~ , а следующий за ним член
32
U„+1 =
■Тогда по формуле (6.4) имеем:
3~
п +1
и+1
1
а
l i m ^ * L = lim -2-1-= lim --'-+ ^ f
= lim
JJ
n-*°° ft
n—*°° 11
\
n+4 /7—»«= ” _
~J
3 2
3232
32
1
(и + l)
1
(
n)
1
= —p l i m - -- £ = —j-lim — ----- - ~ r -
- и—>°°
з2
П
—
з2
n
85
v3
n
=
В силу признака Даламбера / =
^ Данный ряд сходится
Пример 4. Исследовать сходимость ряда
°°
АП
я —I
4"
Решение. Общий член данного ряда U„ = —
, а следующий за н
U”
(,г+1)4Зл+Г
Используя признак Даламбера, имеем
44 "- л 4 ' 3"
4 ,.
п4
4 ,.
= — lim -— —г = — am
= lira •
/143" я-»-4" •3я ■3 ■
(и + I)4 Зи-*»(н + 1)
3 я-*
4"
lim ■
«->-(;?+ 1)43"+|
В силу признака Даламбера ряд расходится.
6.5. Исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком Даламбера:
оо ОА
7
1 У — ■
2-1^;
Я— 1
я=1j
, 1
, н--4 1---1
9 --16 1—
3.
2! 3!
4!
, , 1 1
1
4. 1+ - + — + — +•••;
8 27 64
,
" И3
5 У — '
Я=1
7.
У.
б- I - f = ;
л-i л/3^
Зн -1
n=i
'
я = ,(Л )Л
л2/7+1
2 Я
9 „1Тт,5
г > + 1 )’
n=lz
86
Теорема 4. (Признак Коши).
Если для ряда м, + и2+ и3 + ... +ип + ...
с положительными членами
существует
WmnJU~n = L
(6.5)
Л
7—
то при
/ < 1 ряд сходится,
/ > 1 ряд расходится,
/ = 1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.
Пример 5. Используя признак Коши, исследовать сходимость ряда
Решение. Общий член данного ряда Un =\— -— I . Тогда по формуле
2п +
(<• 5) будем иметь:
lim г/сТп = lim ? — -— I = lim — —
^ —>0 0
V V 2л + 1 / n — ?“= 2 w + l
= lim
/j—> “0
, "
1
»
" r
N;
1 )
w
111 илу признака Коши t = 2 < ^ данны” Ряд сходится.
6.6. Исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком Коши:
1.4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Определение 1. Знакочередующимся рядом называется ряд вида
t<| —и2 +«3 —щ +...+(—!)” lufJ+.
( 6 .6 )
где щ, и2, «3 ,..., ип..., - положительные числа.
Например, знакочередующимся является ряд
,1 - -1 +----+---+(-1)
1
1
2
3 4
v
Для
знакочередующихся
рядов
имеет
/
-+•••.
’
п
,\
п—1 1
место следующий
признак
сходимости - признак Лейбница.
Теорема 1. (Признак Лейбница).
Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (6.6)
убывают, то есть
и предел его общего члена при и —><*= равен нулю
п £ /„ = 0 , то ряд
сходится.
Определение
2.
Знакочередующийся
ряд
называется
абсолютно
сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его
членов.
Определение 3. Знакочередующийся ряд называется условно сходящимся,
если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов,
расходится.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда.
1Л 4 - 1 +...+и
2 3 4
к
г , 1 +. . ,
’
п
Решение. Это знакочередующийся ряд. Абсолютные величины его
,
1> —
1> —
1 >•••> —
1 >-••, а предел общего
в
1 равен
членов убывают: ,1> —
члена я „ = —
2 3 4
и
п
,• —=
1 0.
„
нулю, то есть hm
п—>°° П
Оба условия признака Лейбница выполнены, и поэтому ряд сходится. Но
, 1 1 1
+J +
сходится он условно, так как гармоническии ряд
1
— *"— *""» как
уже было доказано расходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда.
,
1 1 1
, ,\Л-| 1
1------------ ----- К~ 1) “5”*
2
З2 42
К '
н2
•
Решение. Абсолютные величины членов данного ряда убывают,
1 1 1
1
1 > - Т > - 7 > - 7 > "> Т > "- 22 З2 42
л2
Рассмотрим предел
lim Un = lim -у = 0.
Y\—
>оо
у)—>оо f'l
Предел модуля п -го члена ряда равен нулю, следовательно, ряд сходится по
признаку Лейбница.
Составим ряд из абсолютных величин
,
1 1 1
1
1Н— ^ Н— т-Н— г-+* •Н— г--(-- .
2
З2 4
п2
89
• <- 7--1 г, то члены данного ряда меньше соответствующих членов
Так как —г
п
п (п - 1)
эталонного сходящегося ряда, рассмотренного в § 1 пункт 1.1. На основании
признака сравнения ряд составленный из абсолютных величин сходится.
Следовательно, данный знакочередующийся ряд сходится и притом абсолютно.
6.7. Исследовать на абсолютную и условную сходимость
следующие ряды.
, 1 _ Ц +и т _ ...+( _ 1 Г 1 J _ +„ ,
2 22
32
п 2”
2. 1— V + -T _ ~T+ -+(_ i r +1--- — Т+З2 5
7
К '
(2 л -1)
3. ! - 1 + 1 - J-+- --+(-1)"-1-L+- -■
;
4 9 16
п
4.
+
In2
In 3
---- L +...+( _ l) " +l
1п4 In 5
1пи
5 J _____1_ + J _____ 1_
' 1-2
6.
2-3 + 3-4
оо
пП
„=1
(2« —1)
7. £ н
.
4-5+" ’
г ' 2/1+1 ■
«(л +1)’
в- Х Н Г ^ г ;
П— 1
9 -п
? ,(
z
0
(4л - 1)(4и + 3)’
§ 2. Степенные ряды.
2.1. Понятие о степенном ряде.
Определение 1. Степенным рядом называется ряд вида
а 0+а\Х + а гх 2+...+апхп+...,
90
(6.7)
где аа,а 1,а2,...,а„,...,- постоянные величины, называемые коэффициентами
ряда. Они или являются функциями порядкового номера членов ряда, то есть
</„ = / (и ) или равны между собой.
Определение 2. Областью сходимости степенного ряда называется
совокупность всех значений
х,
при
каждом их которых
данный ряд
превращается в числовой сходящийся ряд.
Нахождение области сходимости состоит из трех этапов:
1.
Определяется интервал сходимости степенного
ряда (6.7), то есть
интервал ]-R ,R [ числовой оси, в котором ряд сходится, а вне которого расходится, то есть все |х|< R , где ряд сходится и притом абсолютно, и все
|\
|> R , где ряд расходится.
Для определения интервала сходимости применяются формулы:
Л=
R-
(6 .8)
1
(6.9)
Этими формулами пользоваться нельзя, если некоторые коэффициенты
пененного ряда обращаются в нуль. Наиболее часто для определения интервала
сходимости используют непосредственно признак Даламбера.
2.
Исследуется
сходимость
данного
ряда
на
концах
интервала
с ходимости в точках х, = -R, х2 = R.
3. Делается заключение об области сходимости, то есть устанавливается
мходят ли данные точки в область сходимости или нет.
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда
Решение. Коэффициенты данного ряда положительны, причем
91
1
"
1
Л - з п~ ''
л+|
л/й ТГз"'
По формуле (6.8) найдем радиус сходимости
I
У ^- зп~
■lim
1
R = lim
П —) ° °
1П + \
= lim
П—>°°
Vn + 1• 3я
= lim
П—>=»
V n + T -з- з””4
■^■з-
V n+ 7-З"
= 3 lim
/7—>°°
V/T+T
= 3 lim
n—>°°
= 3 lim J l + — =3.
n->~ V и
Тогда интервал сходимости ]-3;3[.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала -]3;3[.
Подстановка
значений л, = -3 и х2 = 3 в данный ряд дает:
„=,3Л 'V/J
оо
П=1 vn
l/J
оо
1
21
Исследуем
оо
J
/7=1
>/и
ряд
Этот
ряд
знакочередующийся.
Для
определения сходимости применим признак Лейбница.
°
.
1
1
1
л/2> ^ 3 >' “ > ^ >" -’
2) lim -4= = 0.
/7—)оо л/ /2
Оба
условия
признака Лейбница
выполнены.
Следовательно,
£ ( - 1)а - г сходится.
л=1
Второй ряд
“
1
n-|V«
расходится (см. пример 2, пункта 1.2 § 1).
Итак, при л: = -3 данный ряд сходится, а при jc = 3 -расходится.
92
ряд
Тогда, областью сходимости будет полуинтервал [-3;3[.
6.8. Найти область сходимости следующих степенных рядов:
1
,5п~'хп
Y _ --- ■
к
2» ’
2 У —
•
„е,« ( « + !) ’
3 У
4 У— ■
t \пГ’
.*
■
& Л = 2'
оо
И
оо
п
5- I - f -т;
“ i « 2 +9
„
6. I
п=|Л2 + 1
£1 0 0 "*"
^
„2 ’
/7=1
^
„
~ X2"
П=Р
00 2я*"
^
°° л/УЧ"
9'S ^
'°- №
оо 2/1—1
|л Т1
3 /7—1.
12.Х
П
Т ,( 2 « ) !’
СО
у/7
О
13- /7=1
^
оо ^/7
14-
*
15. £ 4 * - ;
n=I^
/7
/7=13
(25? X j i L .
п=|-у/и + 1
2.2. Разложение функций в степенные ряды.
Любая функция, которая сама и ее (и + 1) производные имеют конечные
значения в некоторой окрестности точки х = а , может быть разложена в
степенной ряд. Точка а является центром разложения ряда. Если а = 0, то ряд
имеет вид:
f{ x ) = ДО) + £ ^ - х + Д ^ х 2+• ■-+^-- Ф -хП+-■
-
1!
2!
И называется рядом Маклорена.
93
я!
(6.10)
Приведемнекоторые
известные
разложения
в
следующих элементарных функций:
л- х2
х
хп
х3 X5
,
Маклорена
.
1) ех = 1н------1-ь*•'Л--- !—
1! 2 !
п\
2) Sinx = —
1!
ряд
—оо < х < +°°
чп_1
+ ----- +(- 1)
3! 5!
v ’
х2п~1
----- —+•••
(2н-1)!
-со < х < + °°
** 1-------К—О
, л-Г~,--i ^ ("_0
3)COSX= ,l --Гт—!■•••
—оо<х<+ оо
4)
— 1< х < 1
2!
4!
v
'
[2(и -1)]!
1п(1 + х ) = — —— + — •+
— н(—1)”—1—— I—
v
'
1
2
3
к
J
п\
\
X X 2
х3
х”
5 ) 1 п (1 - х ) = -------------------------
v
6)
v
'
'
1
2
3
—1 < х < 1
п
(1 +х Т = 1+ тх + ^ 1 ) х2 +m{m - 1)(от ~ 2) х3+-•• |х| <1
1-2
1-2-3
11
Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию / (х) = 2х .
Решение. Найдем производные данной функции:
/ '( х ) = 2х In 2;
/ * ( х ) = 2*(1п2)2;
/ да(х) = 2х (in 2)3; . . . .
/ (л)(х) = 2х (1п2)";...
Найдем значения функции и ее производных при х = О
/ ( 0 ) = 1;
/ '( 0 ) = 1п2;
/ * ( 0 ) = (1п2)3;
...
/ " ( 0 ) = (1п2)2;
/ М (0 ) = (1п2)";...
Подставляя эти значения в формулу (6.10), получим
1!
2!
3!
94
п\
Это разложение можно получить и при помощи формулы 1) заменив х
на х\п2.
6.9. Разложить в степенные ряды функции:
1. f ( x ) = e~*;
2. f ( x ) = s in j;
X
3. Д х ) = е 5;
4. / ( x ) = 3A;
5 . / ( х ) = 10л';
6. / ( x ) = e3jr;
7. ,/(х) = cos2x;
8 . / ( x ) = cos2x;
9. /(x ') = xln(l + x2);
10. f( x ) = y/x + 1;
11. f ( x ) = xe~2x;
12. / ( x ) = -—^ ;
1-x
13.
14. / ( * ) = —
;
x +1
=
1+X
15. f ( x ) = x4 + 2x3 + 4x2 + 5x;
16. /'(x) = sin— .
w
4
2.3. Применение рядов к приближенным вычислениям.
Ряды представляют собой математический аппарат, с помощью которого
можно производить приближенные вычисления значений различных функций и
«пеберущихся» интегралов.
2.3.1. Приближенные вычисления значений функций.
Раскладывают в степенной ряд функцию, значение которой необходимо
иычислить или используют готовое разложение функций в ряд.
Здесь полезно иметь в виду приведенные в предыдущем параграфе 2.2
р.пложение в степенные ряды функций e*,sin х ,cosx,(l + х )"\ln(l +х), ln(l - х).
95
Приближенные
вычисления
проводят
с
помощью
бесконечных
степенных рядов в области их сходимости.
Однако, при вычислениях, нельзя взять бесконечное количество членов
ряда,
поэтому
степенной ряд «обрывают»,
то
есть берут определенное
количество начальных членов ряда, а остальные отбрасывают.
Количество членов, которое оставляют для вычислений зависит от
требуемой точности.
При вычислениях с помощью рядов возникают ошибки двух видов:
1. Ошибка, возникающая за счет отбрасывания членов ряда.
2. Ошибка, возникающая за счет отбрасывания знаков после запятой в
членах ряда.
Для оценки ошибки, допущенной за счет отбрасывания членов ряда
нужно оценить сумму отброшенных членов.
В
случае
знакопеременного
ряда,
члены которого
удовлетворяют
признаку Лейбница, используется оценка
ИлН^и-И»
где Rn- остаточный член ряда, U„+{- первый из отброшенных членов ряда.
Если ряд знакопостоянный, то ряд составленный из отброшенных
членов, сравнивают с рядом составленным из членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, сумму которой можно найти.
Пример 1. Вычислить значение числа е .
Решение.
Воспользуемся разложением ех , полагая в нем х = 1 и
получим
. + .1+ —
1 +—1+•••+— 1
е= 1
+•••.
2! 3!
и!
Если за приближенное значение числа е принять сумму первых десяти
членов этого ряда:
io получим е~ 2,71828. Допущенная при этом погрешность Д равна сумме
следующего ряда:
1
1
1
1
1 (,
п\
10! V
---- 1
----- 1
-----------------------1
—
10!
11!
12!
1
1
11
11-12
t-.— |— — —
j ------ [---------- .
Заменим в знаменателях выражения в скобках все множители, больше
11,числом 11, в результате чего все члены ряда, начиная с третьего, увеличатся.
Следовательно, погрешность при вычислении числа е составит
Д < - | 1 + 1 + - — +•••] = — •— » 0,0000003.
10!V
11 П-11
) Ю! 10
Гак как выражение в скобках есть геометрическая прогрессия, первый член
1
1
11
которой равен 1, знаменатель q = — , а поэтому сумма ее равна S = --- j- = — .
И
Таким
образом,
значение
числа
е ~ 2,71828 вычисленное
с
пятью
норными цифрами после запятой.
Пример 2. Вычислить 11130 с точностью 0,001.
Решение. Воспользуемся разложением (1 + а-)™. Для этого представим
число 130 в виде 130=53+5.
Тогда
V l30=V 53+5 = 5 ^ /l + — = 5(1 + 0,04)3 =
Ш -1]
1
1
= 5 1 + - •0,04 +
-- -(0,04)2 +
' 3!
----(0,04)3+-••
= 5 + - • 0,2 - - •0,008 + — •0,000064-.. .= 5 + 0,0667 - 0,0009 + — ■0,00032- ..
3
9
81
81
Четвертый член меньше 0,001, поэтому достаточно взять сумму первых
||н-х членов ряда, чтобы обеспечить указанную точность.
Итак,
97
З/ТЗО = 5 + 0,0667 - 0,0009 = 5,0658 - 5,b66.
2.3.2. Приближенное вычисление определенных интегралов.
Многие определенные интегралы не могут быть вычислены с помощью
формулы Ныотона-Лейбница, так как ее применение связано с нахождением
первообразной, часто не выражаемой в элементарных функциях.
Если, однако, подинтегральная функция разлагается в степенной ряд, а
предел интегрирования принадлежит интервалу сходимости этого ряда, то
приближенное
вычисление
осуществимымс
наперед
определенного
заданной
точностью
интеграла
путем
оказывается
почленного
интегрирования ряда.
2
4
,
Пример 3. Вычислить je~A dx с точностью до 0,0001.
4
Решение. Так как j e~x dx не выражается в элементарных функциях, то
о
для вычисления данного интеграла невозможно применить формулу НыотонаЛейбница. Поэтому вычислим его приближенно с помощью ряда.
t
t
t
-Н— \
—
Полагая в разложении е' = 1+ — Н--- \
1! 2!
и!
е
г4 г6
X2"
= 1- х2 + - - — +• ■
•+(-1)"^—
2!
3!
и!
t = - х , получим
( —оо < х < ■»)
Интегрируя этот ряд почленно, получим
4
2
2 лг4 лг6
/
\ц лх2"
х +------+ -+(-1) ---н
2!
3!
п\
4.
J е~х dx = J
Х'
= 4 14
ю—о
4
о
X5
Н--2!- 5
1
1
4
3-4
98
1
2 !• 5 •4
dx =
Полученный ряд - знакочередующийся
и его члены убывают по
1
абсолютной величине. Третий член ряда -- -— г <10 4, поэтому оставляя два
^ | г
ЛJ
2 !• 5 •45
первых члена ряда, найдем
4
J e~x'dx « 0,2448.
о
6.10. Вычислить с помощью рядов:
а) взяв четыре члена ряда и оценить погрешность.
\.Це
2. л/82
3.3/30
4. VU4
5. In 1,04
6. 1п0,98
б) с точностью до 0,0001:
7. д/27
8. У Ц
9. VT5
10. 4О^700
11. sin9°
12. sinl2°
в) с точностью до 0,0001:
1
г dx
13. j —
0 1+ x"
1 —
16.
Ie ^ d x
о
1
,Л U r
j
14. jtl\ + x2dx
о
0,1
17. je 2xdx
о
99
£Е
. , 1sin.vc/x
15. J-
18.
0,11 /1 . \
'
>dx.
j
0
Y
