Практическое занятие №1 Вычисление погрешностей результатов арифметических действий над приближёнными числами. Цель: сформировать у студентов знания, умения и навыки работы с приближенными числами в применении формул погрешностей элементарных действий и функций, нахождения значений выражений по способу границ и методом строгого учета абсолютных погрешностей после каждой операции. Норма времени: 2 часа Порядок выполнения работы Теоретические сведения ех – абсолютная погрешность. δх – относительная погрешность. х – точное значение величины. х - приближенное значение величины (приближение) ех = |х - х | х ех х Пример 1. Дано число х=0,00006 и его приближение абсолютную и относительную погрешности приближения. Решение: ex = | 0,00006-0,00005| = 0,00001 х =0,00005. Найти 0,00001 0,2 20% 0,00005 Ответ: абсолютная погрешность 0,00001 и относительная приближения равна 20% погрешность Пример 2. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности числа х = 984,6, если оно имеет только верные цифры в строгом смысле. Решение: Цифры числа верны в строгом смысле, если абсолютная погрешность данного числа не превосходит половины единицы разряда, в котором записана последняя верная цифра числа. 0,1 0,05 ( т.к. 6 –последняя верная цифра, стоит в разряде десятых) 2 е 0,05 х х 100% 100% 0,0051% х 984,6 ех Ответ: абсолютная погрешность для числа х ех=0,05 относительная погрешность числа х δх=0,0051 Пример 3. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности числа х =2,364, если оно имеет только верные цифры в широком смысле. Решение: Цифры числа верны в широком смысле, если абсолютная погрешность данного числа не превосходит единицы разряда, в котором записана последняя верная цифра числа. ех = 0,001 (последняя цифра 4 - разряд тысячных) х ех 0,001 100% 100% 0,0423% х 2,364 Ответ: абсолютная погрешность для числа х ех = 0,001 относительная погрешность числа х δх = 0,0423%. Погрешность округленного числа. Пример 4: Округляя число х=1,1426 до четырех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближений. Цифры верны в широком смысле. Решение: По определению верной цифры в широком смысле абсолютная погрешность ех=0,0001 Округлим число х до четырех значащих цифр: х1=1,143 Погрешность округленного числа равна сумме погрешности исходного числа и погрешности округления: Δокр=| 1,143-1,1426| = 0,0004 ех1= 0,0004+0,0001=0,0005 х 1 е х1 х1 0,0005 0,000437 0,04% 1,143 Пример5: Число х, все цифры которого верны в строгом смысле округлить до трех значащих цифр после запятой. Для полученного результата х 1 вычислить границу абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа х1 указать количество верных цифр погрешности. х=1,1426 Решение: ех 0,0001 0,00005 2 х1=1,143 ех1= ех + Δокр Δокр= | 1,143-1,1426| = 0,0004 ех1= 0,00005+0,0004=0,00045<0,0005 0,001 2 Значит в числе 1,143 цифры верны в строгом смысле до тысячных по абсолютной погрешности. х 1 е х1 х1 0,00045 0,00039 0,039% 0,04 1,143 Вычислительная погрешность 1. Погрешность суммирования чисел х ± ех, у±еу Абсолютная погрешность: z =( х ± ех)+ (у±еу)=(x + y) ± ( ех + еу) Относительная погрешность: z ex e y x y ey y x y ex x x y x y x x y y x y x y 2. Погрешность вычитания чисел х ± ех, у±еу Абсолютная погрешность: z =( х ± ех)- (у±еу)=(x - y) ± ( ех + еу) Относительная погрешность: z ex e y x y ey y x y ex x x y x y x x y y x y x y 3. Погрешность умножения чисел х ± ех, у±еу Абсолютная погрешность: z =( х ± ех)* (у±еу)=ху±уех±хеу±ехеу ≈ ху±уех±хеу Относительная погрешность: z у ex х e y x y ex e y x y x y 4. Погрешность деления чисел х ± ех, у±еу Абсолютная погрешность: z x ex ( x ex ) ( y e y ) x y ex x e y y ey ( y ey ) ( y ey ) y y2 Относительная погрешность: я y ex x e y x y y ex x e y y2 x y ex e y x y x y Погрешности элементарных функций. Погрешность функции, зависящей от одной переменной. Абсолютная погрешность: f(х ± ех) ≈ f(x) ± f ’(x)ex Δf = f(х ± ех) - f(х)=| f ’(х)|ex Относительная погрешность: f ' ( x) f f ex f f ( x) Пример 6: Исходные числовые значения аргумента заданы цифрами, верными в строгом смысле. Найти абсолютную и относительную погрешности функции f(x)=cos(0,47). Определить количество верных цифр в строгом смысле по относительной погрешности. В ответе сохранить сомнительную. Решение: Найдем значение функции f(x)=cos(0,47)=0,891568 абсолютная погрешность: Δf = | f ’(х)|ex 1) | f ’(х)| = sin(0,47)=0,452886285 2) e0,47 верные цифры и одну 0,01 =0,005 2 3) Δf=0,452886285*0,005=0,00226443. Относительная погрешность: f ' ( x) f f ex f f ( x) f sin(0,47) 0,01 0,005 tan( 0,47) 0,005 0,50796589 0,005 0,00253983 0,005 cos(0,47) 2 Значит в числе 0,891568 две цифры после запятой верны в строгом смысле. Ответ: 0,892 Пример 7. Вычислить значение величины с помощью метода строгого учета границ абсолютных погрешностей после каждой операции, цифры верны в строгом смысле. А а b , если а = 12,34, b= 14,3 b ln(a) Решение: Для получения значения величины А необходимо выполнить 6 действий. Будем вычислять абсолютную погрешность после каждого действия с целью определения количества верных цифр в промежуточных результатах. a b ln(a) b+ln(a) A a b a b 12,34 14,3 3,513 3,78 7,29 2,5128 16,8 0,434 eln(a ) ebln(a ) е а е b e a b ea eb еА 0,005 0,05 0,00071 0,0066 0,0073 0,00041 0,050 0,0017 При пооперационном строгом учете ошибок промежуточные результаты после округления до одной запасной (с учетом вычисленной параллельно величины погрешности) и их погрешности заносят в таблицу Значения погрешностей для удобства округлим до двух значащих цифр по избытку и тоже занесем в таблицу. Цифры даны верными в строгом смысле, значит еа=0,005, ев=0,05 Найдем 12,34 3,51283 Абсолютная погрешность равна еа ех 2 х 0.005 2 12,34 0,0007117 0,005 Из полученного значения погрешности видно, что в результате значащие цифры после запятой, т.е. 12,34 3,51283 3,513 ( сохраняем одну сомнительную цифру) 0,01 2 верны две Найдем 14,3 3,781534 Абсолютная погрешность равна еb ех 2 х 0,05 2 14,3 0,00661107 0,05 Из полученного значения погрешности видно, что в результате значащая цифра после запятой, т.е. 14,3 3,781534 3,78 ( сохраняем одну сомнительную цифру) 0,1 2 верна одна Найдем a b z =( х ± ех)+ (у±еу)=(x + y) ± ( ех + еу)= (3,513+3,78) ± (0,00071+0,0066) = 7,293 ± 0,00731 т.к. 0,00731<=0,05, то в числе 7,293 одна верная цифра после запятой, т.е. 7,293 ≈ 7,29( сохраняем одну сомнительную цифру) Найдем ln(a)= ln(12,34)=2,51285 Абсолютная погрешность: еln a ea 0,005 0,001 0,000405 0,0005 a 12,34 2 В числе 2,512846 верны три значащие цифры после запятой, т.е. ln(12,34)=2,512846 ≈ 2,5128( сохраняем одну сомнительную цифру) Найдем b + ln(a ) = (14,3 + 2,5128 ) ± (0,05+0,00041) = 16,8128 ± 0,050405 Т.к. 0,050405 0,5 1 , то в числе 16,8128 верны цифры до единиц 16,8128 ≈ 2 16,8 (сохраняем одну сомнительную цифру) Найдем А А еА а b 7,29 0,4339285714 b ln(a) 16,8 y ex x e y y 2 16,8 0,0073 7,30 0,05 0,48764 0,01 0,0017 0,005 2 282,24 2 16,8 Округлим результат А до двух верных цифр после запятой, получим окончательный ответ: А=0,434 (сохраняем одну сомнительную цифру) Ответ: А = 0,434 ± 0,002 Погрешности значений элементарных функций. Функция Абсолютная погрешность Таблица 1 Относительная погрешность ех х 1 х 2 2 х ех х2 1 х ех х sin(x) cos(x) tg(x) |cos(x)| ex |sin(x)| ex |ctg(x)| ex |tg(x)| ex ex cos2 ( x) 2e x sin(2 x) ln(x) ex x x lg(x) ln(x ) x ex x ln(10) x lg( x) ln(10) x e 10x xy e ex х х 10 ln(10) ex ln(10) e x e x y y x ln( x) e y x ex y ln( x) y y x 1 x2 arcsin(x) 1 x 2 ex 1 x2 ex arctg ( x) (1 x 2 ) х arcsin(x) arctg(x) ex Задания для практического занятия №1. Задание №1. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: а) в строгом смысле; б) в широком смысле. № а) варианта 1 11,445 2 8,345 3 0,374 4 41,72 5 18,357 6 14,862 7 0,3648 8 0,5746 9 5,634 10 20,43 11 12,45 12 2,3445 б) 2,043 0,288 4,348 0,678 2,16 8,73 21,7 236,58 0,0748 0,576 3,4453 0,745 № а) варианта 16 112,5 17 0,576 18 25,613 19 0,4223 20 112,45 21 2,4516 22 5,6432 23 12,688 24 15,644 25 16,383 26 18,275 27 3,75 б) 0,04453 2,5008 0,0748 0,57 3,4 0,863 0,00858 4,636 6,125 5,734 0,00644 6,8343 13 14 15 0,5746 3,4 2,4342 42,884 0,078 0,57004 28 29 30 26,3 43,813 3,643 4,8556 0,645 72,385 Задание №2. Число х, все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата х1≈х вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа х1 указать количество верных цифр по погрешности. № варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 х 3549 32,147 0,0002568 7,544 198,745 37, 4781 0,183814 0,009145 11,3721 0,2538 10,2118 4,394 0,8437 129,66 48,847 № варианта 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 х 9,2038 2,3143 0,012147 0,86129 0,1385 23,394 0,003775 718,21 9,73491 11,456 0,1495 6,2358 4,4005 2,3078 3,2175 Задание № 3 Вычислить значение величины Z при заданных значениях чисел a,b,c используя систематический учет абсолютных погрешностей после каждой операции, а также с помощью метода границ. Найти абсолютную и относительную погрешности z и определить по ним количество верных цифр в z, если цифры a,b,c верны в строгом смысле. № Задание Исходные № Задание Исходные вариант данные вариант данные а а ln( b c ) 1 a = 0,0399 16 z = a2+sin(b- a =8,317 z b ac b = 4,83 ln(c)) b = 13,521 c = 0,0721 c = 6,123 2 ab 2 a =5,52 17 a = 0,038 b ln(c) z z cos(c a) b =3,27 b = 3,9353 ca c =14,123 c = 5,75 ln(a) b 3 a =2,258 18 a = 7,345 sin(a b) z z ab c b =0,027 b = 0,31 a sin(c) c =9,87 c = 0,09871 z ab ac 5 z a tg (b) cb 6 z 4 7 8 z z ac 3b bc ln(a b) bc a2 b ab c 9 z b cos(c) ba 10 z (b c) ab 11 z ln(b) a a2 c 12 z 13 14 15 ln(c) a bc z c b a2 b z bc ln(a) b z ab ab c a =1,0574 b =1,40 c =1,1236 a =3,49 b =0,845 c =0,0037 a =0,0976 b =2,371 c =1,15887 a =82,3574 b =34,12 c =7,00493 a =3,71452 b =3,03 c =0,756 a =0,11587 b =4,256 c =3,00971 a = 4,05 b = 6,723 c = 0,03254 a = 0,7219 b = 135,347 c =0,013 a = 0,113 b = 0,1056 c = 89,4 a = 1,247 b = 0,346 c = 0,051 a = 18,035 b = 3,7251 c = 0,071 a = 0,317 b = 3,27 c = 4,7561 19 20 21 22 23 z tg (a b) a 2c b z ac ab c z z sin(a b) c ln(b) a ln(b) sin( a c) z 0,8 ln(b) z a bc ln(c) z ab bc 26 z a sin(c) b2 c 27 z b sin(a) ac z ab a c 24 25 28 29 30 z z a bc ab a bc ab 4c ln(a) b a =0,2471 b =0,0948 c =4,378 a = 1,284 b = 4,009 c = 3,2175 a = 18,407 b = 149,12 c = 2,3078 a = 29,49 b = 87,878 c = 4,403 a = 74,079 b = 5,3091 c = 6,234 a =3,4 b =6,22 c =0,149 a =5,387 b =13,527 c =0,7565 a = 1,75 b = 1,215 c = 0,041 a =3,672 b =4,63 c =0,0278 a =0,317 b =13,57 c =0,751 a =0,317 b =33,827 c =14,85 a =12,72 b =0,34 c =0,0290 Вопросы по теме: 1. Что такое абсолютная и относительная погрешности? 2. Как классифицируют виды погрешностей? 3. Что значит цифра, верная в строгом, широком смыслах? 4. Как находится погрешность округленного числа? 5. Как определить количество верных цифр по абсолютной погрешности.