Примеры решения - Электростатика и постоянный ток - Чертов

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Источник: Чертов А. Г., Воробьёв А. А. Задачник по физике: Учеб. пособие для втузов. –
7-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Физико-математической литературы, 2003. –
640 с.
Электростростатика и постоянный ток
№ 1. Два точечных заряда 9q и -q закреплены на расстоянии  = 50 см
друг от друга. Третий заряд q1 может перемещаться только вдоль прямой,
I
II
III
проходящей
через
заряды.
Определить положение заряда
-q
F1
F2 9q
а)
q1, при котором он будет
q1

находиться в равновесии. При
9q
-q
F1
каком
знаке
заряда
q1
б)
равновесие будет устойчивым?
q1 F2
Р е ш е н и е.
-q F1
9q
F2
Заряд q1 будет находиться
в)
q1 в равновесии в том случае, если

геометрическая сумма сил,
действующих на него, будет
Рис.1
равна нулю. Это означает, что
на заряд q1 должны действовать две силы, равные по величине и
противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I,
II, III (рис. 1) может быть выполнено это условие. Для определенности будем
считать, что заряд q1 - положительный.
На участке I (рис. 1,а) на заряд q1 будут действовать две
противоположно направленные силы F1 и F2. Сила F1, действующая со
стороны заряда 9q, в любой точке этого участка будет больше, чем сила F2,
действующая со стороны заряда -q, так как больший (по абсолютной
величине) заряд 9q будет находиться всегда ближе к заряду q1 , чем меньший
заряд -q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно.
На участке II (рис. 1,б) обе силы F1 и F2 направлены в одну сторону - к
заряду -q. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.
На участке III (рис. 1,в) силы F1 и F2 направлены в противоположные
стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший (по
абсолютной величине) заряд (-q) всегда находится ближе к заряду q1, чем
больший заряд 9q. Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где
силы F1 и F2 будут одинаковы по абсолютной величине, т.е.
F1 = F2.
(1)
Пусть расстояние от меньшего заряда до заряда q1 будет х, тогда
расстояние от большего +х. Заменяя в равенстве (1) F1 и F2 в соответствии с
законом Кулона, получим для абсолютной величины этих сил:
9 q q1
qq
 21 .
2
l  x  x
Сокращая на qq1 и извлекая
из обеих частей равенства корень
квадратный, найдем
 + х = Зх,
q4
r1
откуда
х = + 1/2.
q3
F4
F3 q1
Определим знак заряда q1,
при котором равновесие будет
r
устойчивым.
Равновесие
F2
называется устойчивым, если при
Рис.2
F
смещении заряда от положения
равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия.
Рассмотрим смещение заряда q1 в двух случаях: когда заряд положителен и
когда заряд отрицателен.
Если заряд q1 положителен, то при смещении его влево обе силы F1 и F2
возрастают. Но F2 (по абсолютному значению) больше, чем F1, и на заряд q1
будет действовать результирующая сила, направленная также влево. Под
действием этой силы заряд q1 удаляется от положения равновесия. То же
происходит и при смещении заряда q1 вправо. Сила F2 будет убывать
быстрее, чем F1. Геометрическая сумма сил в этом случае направлена вправо.
Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т.е.
удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае
положительного заряда равновесие является неустойчивым.
Если заряд q1 отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение
сил F1 и F2, но сила F1 возрастает медленнее, чем F2, т.е. |F2| > |F1|.
Результирующая сила будет направлена вправо. Под действием этой силы
заряд q1 возвращается к положению равновесия. При смещении q1 вправо
сила F2 убывает быстрее, чем F1, т.е. |F1| > |F2|, результирующая сила
направлена влево и заряд q1 опять будет возвращаться к положению
равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым.
Величина самого заряда q1 несущественна.
q2
№ 2. Три точечных заряда q1 = q2 = q3 = 1 нКл расположены в
вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд q4 нужно поместить в
центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в
равновесии?
Р е ш е н и е.
Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в
одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует
поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов,
например q1, находился в равновесии. Заряд q1 будет находиться в
равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рис
2):

 
 
F2  F3  F4  F  F4  0 ,
(1)
  
где F2 , F3 , F4 - силы, с которыми соответственно действуют на заряд q1



заряды q2, q3, q4; F - равнодействующая сил F2 и F3 .


Так как силы F и F4 направлены по одной прямой в противоположные
стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным равенством
F – F4 = 0, откуда
F4 = F.
Выразив в последнем равенстве F через F2 и F3 и учитывая, что F3 = F2 ,

получим F4  F  2 F2 cos .
2
Применяя закон Кулона, и имея в виду, что q2 = q3 = q1, найдем
q1 q4
q12
α

2cos ,
2
2
4π ε 0 r1
4π ε 0 r
2
откуда
q1r12
α
q4  2 2cos .
(2)
r
2
Из геометрических построений в равностороннем треугольнике (α=60°)
следует, что
r
r
r
r1  2 

.

α 2cos30
3
cos
2
С учетом этого формула (2) примет вид
q
q4  1 .
3
Подставив числовое значение q1 = 1 нКл = 10-9Кл, получим
10 9
q4 
 5,77 10 10  577 пКл .
3
Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет
неустойчивым.
r
dr
q1

Рис.3
№ 3. Тонкий стержень
длиной  = 20 см несет
равномерно
распределенный
заряд. На продолжении оси
стержня на расстоянии а = 10 см
от ближайшего конца находится
точечный заряд q1 = 40 нКл,
который
взаимодействует
со
стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на
стержне.
Р е ш е н и е.
При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не
является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить
нельзя. Выделим на стержне (рис. 3) малый участок dr с зарядом dq = τdr.
Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону
Кулона,


q1 τ dr r
dF 
,
(1)
4π ε 0 r 2 r

где
- сила взаимодействия заряда q1 и заряда, участка dr. Так как
d
F

все
 dF сонаправлены, можно воспользоваться скалярным выражением для
dF :
q τ dr
dF  1 2
(2)
4ππ0 r
Интегрируя это выражение в пределах от а до а+, получим
qτ
F 1
4ππ0
a l
dr
q τ 1
1 
q1 τl
 1  

,
2
r
4ππ0  a a  l  4ππ0 a( a  l )
a
откуда интересующая нас линейная плотность заряда равна
4ππ0 a( a  l )F
τ
.
q1l
Выразим все величины в единицах СИ: q1 = 40 нКл = 4·10-8Kл, F = 6 мкН
1
= 6·10-6 Н,  = 0,2 м, а = 0,1 м, 4 0 
Ф/м., ε0 = 8,85·10-12 Ф/м.
9
9  10
Подставим числовые значения величин в полученную формулу и
произведем вычисления:
0,1  0,1  0,2  6  106
τ
Кл/м = 2,5·10-9 Кл/м = 2,5 нКл/м.
9
8
9  10  4  10  0,2

№ 4. Два точечных электрических заряда q1 = 1 нКл и q2 = -2 нКл
находятся в воздухе
на расстоянии d = 10см друг от друга. Определить

напряженность Е и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке
А, удаленной от заряда q1, на расстояние r1 = 9 см и от заряда q2 на r1 = 7 см.
Р е ш е н и е.
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд
создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов.
Поэтому напряженность Е электрического поля в искомой точке может
быть

найдена как геометрическая сумма напряженностей Е1 и Е2 полей,
 

создаваемых каждым зарядом в отдельности: Е  Е1  Е 2 . Напряженность
электрического поля, создаваемого в воздухе (ε = 1) зарядом q1, равна
E1
E1 
q1
,
4ππ0 r12
(1)
E2 
q2
.
4ππ0 r22
(2)
A

зарядом q2 E


Вектор
Е
(рис. 4) направлен по
1
E2
силовой линии от заряда q1, так как
r2

заряд
q
положителен;
вектор
Е
1
2
d
направлен также по силовой линии, но
+
к заряду q2, так как заряд q2
q2
q1
отрицателен.
Рис.4
Абсолютное значение вектора Е
найдем как следствие из теоремы косинусов:
r1
E  E12  E22  2 E1 E2 cos  ,
(3)


где α – угол между векторами E1 и E2 , который может быть найден из
треугольника со сторонами r1, r2 и d по теореме косинусов:
d 2  r12  r22  2 r1r2 cosπ  α   r12  r22  2 r1r2 cosα ,
d 2  r12  r22
cos α 
.
2r1r2
В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos
α вычислить отдельно:
2
2
2

0,1  0,09   0,07 
cos 
 0,238 .
2  0,09  0,07
Подставляя выражение Е1, из формулы (1) и E2 из формулы (2) в
равенство (3) и вынося общий множитель 1/(4 πε0) за знак корня, получим
1
q12 q22
q q
E
 4  2 12 22 cos α .
(4)
4
4π 0 r1
r2
r1 r2
Подставим числовые значения величин в формулу (4) и произведем
вычисления:
10   2  10 
9 2
9 2
10 9  2  10 9
Е  9  10
2
 0,238 В/м  3,58 кВ/м.
0,044 0,07 4
0,092  0,07 2
При вычислении Е знак заряда q2 опущен, так как знак заряда
определяет направление вектора напряженности, а направление E2 было
учтено при его графическом изображении (рис. 4).
В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей
потенциал φ результирующего поля, создаваемого двумя зарядами q1 и q2,
равен алгебраической сумме потенциалов, т. е.
φ = φ1 + φ2.
(5)
9
Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным
зарядом q на расстоянии г от него, выражается формулой
q

.
(6)
4ππ0 r
В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим
q1
q2


,
4ππ0 r1 4ππ0 r2
или
1  q1 q2 
  .

4ππ0  r1 r2 
Подставляя в это выражение числовые значения физических величин,
получим
 10 9  2  10 9 
В  157В .
  9  10 9 

0,09
0,07


№ 5. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым
бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с
поверхностной плотностью σ= 0,2 нКл/см2, Определить силу F, действующую
на заряд, если его расстояние от оси цилиндра r = 10 см.
Р е ш е н и е.
Численное значение силы F, действующей на точечный заряд q,
находящийся в поле, определяется по формуле
F = qE,
(1)
где Е - напряженность поля, создаваемого заряженным цилиндром.
Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно
заряженного цилиндра

E
,
(2)
2ππ0 r
где τ - линейная плотность заряда.
Выразим линейную плотность τ через поверхностную плотность σ. Для
этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем
заряд q двумя способами:
q = σS = σ·2·π·Rl; q = τL.
Приравняв правые части этих равенств, и сократив на l, получим
τ= 2π·Rσ.
С учетом этого формула (2) примет вид
E
Rσ
.
ε0r
Подставив это выражение в (1), получим искомую силу F:
F
q  Rσ
.
ε0r
(3)
Выпишем в единицах СИ числовые значения величин: q = 25 нКл =
2,5·10 Кл, σ=0,2 нКл/см2 = 2·10-6 Кл/м2, ε0 = 8,85·10-12 Ф/м. Так как R и r
входят в формулу в виде отношения, то они могут быть выражены в любых,
но только одинаковых единицах. Подставим в (3) числовые значения
величин:
2,5  10 8  2  10 6  1
F
H  5,65  10 4 H  565 мкН .
12
8,85  10  10


Направление силы F совпадает с направлением напряженности E , а
последняя направлена перпендикулярно поверхности цилиндра.
-8
№ 6. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 = 6 см и R2
= 10 см несут соответственно заряды q1 = 1 нКл и q2 = -0,5 нКл. Найти
напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1
= 5 см, r2 = 9 см, r3 = 15 см.
Р е ш е н и е.
Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности
электрического поля, лежат в трех областях (см. рис. 5): области I (r1 < R1),
области II (R1 < r2 < R2), области III (r3 > R2).
1. Для определения напряженности Е1 в области I проведем
замкнутую сферическую поверхность S1 радиусом r1 и воспользуемся
теоремой Гаусса:
 En dS  0
S1
(так как суммарный заряд, находящийся внутри данной замкнутой
поверхности, равен нулю). Следовательно, Е1 (напряженность поля в области
I) во всех точках, удовлетворяющих условию r1 < R1, будет равна нулю.
2. В области II замкнутую поверхность проведем радиусом r2. В этом
случае
q1
E
dS

,
n
S3

ε0
E3
S2
n
E3
q2
S2
q1
III
II
S1
r1
I O
n
R1
r2
R2
(так как внутри этой замкнутой
поверхности находится только заряд
q1).
Так как Еn = Е = const, то Е
можно вынести за знак интеграла:
q
E  dS  1 ,
ε0
S2
или
q1
.
ε0
Обозначив напряженность
для области II через Е2, получим
ES 2 
r3
Рис.5
Е
q1
,
ε0 S2
где S2 = 4π·r22 – площадь замкнутой сферической поверхности. Тогда
q1
E2 
.
(1)
4ππ0 r22
3. В области III сферическая поверхность проводится радиусом r3.
Обозначим напряженность Е области III через Е3 и учтем, что в этом случае
замкнутая поверхность охватывает обе сферы и, следовательно, суммарный
заряд будет равен q1 + q2. Тогда
q  q2
E3  1
.
4ππ0 r32
Выразим все величины в единицах Си (q1 = 10-9 Кл, q2 = -0,5·10-9Кл, r1 =
0,05 м, r2 = 0,09 м, r3 = 0,15 м, 1/(4πε0) = 9·109 м/Ф) и произведем вычисления
10 9
9
E2  9  10 
 1,11 кВ/м ;
(0,09) 2
E2 
E3  9 10
9

1  0,5  109

(0,15)2
 200 В/м .
R
d
№ 7. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности равномерно
распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определить
напряженность Е и потенциал φ электрического поля, создаваемого таким
распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги.
Длина l нити составляет одну треть
Y
dE
длины окружности и равна 16 см.
dEy
Р е ш е н и е.

Выберем оси координат так,
чтобы начало координат совпадало с
j
i
центром кривизны дуги, а ось Y была
dEx
0
бы симметрично расположена относи/3
тельно концов дуги (рис. 6).
/3
На нити выделим элемент длины
dl. Заряд dq = τdl, находящийся на

выделенном участке, можно считать
dz

точечным.
dq= dr
Определим
напряженность
электрического поля в точке 0. Для
этого
найдем сначала напряженность

Рис.6
dE поля, создаваемого зарядом dq:


τdl r
dE 
,
4ππ0 r 2 r
где r - радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке,
напряженность в которой вычисляется.

Выразим вектор dE через проекции dEх и dEу на оси координат:
 

dE  i dEx  j dE y ,
-q
q
 
где i и j - единичные векторы направлений (орты).

Напряженность
E найдем
E1
интегрированием:

 

E   dE  i  dEx  j  dE y .
2
l
l
l
F
E1
Интегрирование ведется вдоль
1
дуги длины l. В силу симметрии
+
+ +
+ +
+
интеграл  dE x равен нулю. Тогда
E1
l
 
Рис.7
E  j  dE y ,
(1)
l
где dE y  dE cos  
τdl
cos 
4ππ0 r 2
.
τRd
τ
cos 
cosd .
2
4ππ0 R
4ππ0 R
Подставим найденное значение dEу в выражение (1) и, приняв во
внимание симметричное расположение дуги относительно оси Y, пределы
интегрирования возьмем от 0 до π/З, а результат удвоим:
  2τ  3
 τ
 3
E j
cos

d


j
sin  0 .

4ππ0 R 0
2ππ0 R
Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3·l =
2πR), получим
  τ
E j
3.
6ε 0l

Из этой формулы видно, что вектор E совпадает с положительным
направлением оси Y.
Подставим значения τ и l в полученную формулу и произведем
вычисления:
10 8  1,73
Е
 2,18 кВ / м .
6  8,85  10 12  0,15
Найдем потенциал электрического поля в точке 0. Сначала найдем
потенциал dφ, создаваемый точечным зарядом dq в точке 0:
τdl
d 
.
4ππ0 r
Заменим r на R и произведем интегрирование:
l
τ
τl

dl 
.

4ππ0 R 0
4ππ0 R
Так как r = R = const, dl = Rdθ, то dEy 
Так как l = 2πR/З, то φ = τ/6ε0. Произведем
вычисления:
10 8

 188 В .
6  8,85 10 12
№ 8. На пластинах плоского конденсатора находится заряд q = 10 нКл.
Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см2, диэлектрик воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины.
Р е ш е н и е.
Заряд q второй пластины находится в поле напряженностью Е1,
созданном зарядом первой пластины конденсатора. Следовательно, на заряд q
действует сила (рис. 7)
F = qE1.
(1)
Так как
σ
q
E1 

,
(2)
2ε 0 2ε 0 S
где σ - поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) с
учетом выражения (2) примет вид
q2
F
.
(3)
2ε 0 S
Подставив числовые значения величин в формулу (3), подучим
10 18
F
 5,65  10 4 H .
12
2
2  8,85  10  10
№ 9. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R = 1
см, равномерно заряженным с линейной плотностью τ= 20 нКл/м. Определить
разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии а1 =
0,5 см и а2 = 2 см от поверхности цилиндра в средней его части.
Р е ш е н и е.
Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением
между напряженностью поля и изменением потенциала:

E   grad  .
Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это
соотношение можно записать в виде
d
Er  
, или dφ = - Er dr.
dr
Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек,
отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:
r2
 2  1    Er dr .
r1
(1)
Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то
для напряженности можно воспользоваться формулой напряженности поля,
создаваемого бесконечно длинным цилиндром:
τ
Er 
.
2π 0 r
Подставив выражение Е в (1), подучим
r
τ 2 dr
τ
r2
 2  1  


ln
,
2π 0 r1 r
2π 0 r1
или

r
ln 2 .
(2)
2π 0 r1
Выразим τ и 1/2πε0 в единицах СИ: τ = 20 нКл/м = 2·10-8 Кл/м, ε0 =
8,85·10-12 Ф/м.
Так как величины r1 и r2 входят в формулу (2) в виде отношения, их
можно выразить в любых, но только одинаковых единицах: r1 = R + а1 = 1,5
см; r2= R + а2 = 3 см. Подставим числовые значения в (2) и вычислим:
1   2 
3
 3,6  10 2  2,3  ln2  250 B .
1,5
№ 10. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую
должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью v1 =
106 м/с, чтобы скорость его возросла в n = 2 раза.
Р е ш е н и е.
Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А
сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением
заряда электрона е на разность потенциалов U:
А = eU
(1)
Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению
кинетической энергии электрона:
mv22 mv12
А  Wk 2  Wk 1 

,
(2)
2
2
где WК1 и WК2 - кинетические энергии электрона до и после
прохождения ускоряющего поля; m - масса электрона; v1 и v2 - начальная и
конечная скорости его. Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим
mn 2 v12 mv12
mv22 mv12
eU


eU 

или
,
2
2
2
2
где n = v2 / v1.
Отсюда искомая разность потенциалов
mv12 2
U
n 1 .
(3)
2e
Подставим числовые значения физических величин и вычислим:
 1   2  2  10 8  1,8  1010  ln


  2
9,1  10 2  106
U
2  1,6  10 19
V
А
В
Рис. 8
2
2

 1  8,53 B .
№ 11. Конденсатор емкостью С1 = 3 мкФ был
заряжен до разности потенциалов U1 = 40 В. После
отключения от источника тока конденсатор был
соединен параллельно с другим незаряженным
конденсатором емкостью С2 = 5мкФ. Какая энергия
W´ израсходуется на образование искры в момент
присоединения второго конденсатора?
Р е ш е н и е.
Энергия W´, израсходованная на образование искры,
W´ = W1 – W2
(1)
где W1 - энергия, которой обладал первый конденсатор до
присоединения к нему второго конденсатора; W2 - энергия, которую имеет
батарея, составленная из первого и второго конденсаторов. Энергия
заряженного конденсатора определяется по формуле
CU 2
W 
,
(2)
2
где С - емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U -разность
потенциалов.
Выразив в формуле (1) энергии W1 и W2 по формуле (2) и принимая во
внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна
сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим
С1U 12 С1  С 2 U 22
W 

,
(3)
2
2
где U2 - разность потенциалов на зажимах батареи параллельно соединенных
конденсаторов.
Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора
остается прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:
q
CU
U2 
 1 1 .
C1  C 2 C1  C 2
Подставим выражение U2 в формулу (3):
С1U 12 С1  С2  C12U 12 С1U 12
C12U 12
W 



.
2
2
2
2 C1  C2 
2 C1  C2 
После преобразований имеем
W
1 C 1C 2
U 12 .
2 C1  C 2
Подставим числовые значения и вычислим W´:
1 3  10 5  5  10 6
W 
 1600  1,5 мДж .
2 3  10 6  5  10 6
№ 12. Потенциометр с сопротивлением Rп = 100 Ом подключен к
батарее, э.д.с. которой ε = 160 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом.
Определить показание вольтметра с сопротивлением Rv = 500 Ом,
соединенным с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом,
установленным посередине потенциометра. Какова разность потенциалов
между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра?
Р е ш е н и е.
Показание U1 вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 8),
определяется по формуле
U1 = I1 R1 ,
(1)
где I1 - сила тока в неразветвленной части цепи; R1 сопротивление
параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.
Силу тока I1 найдем по закону Ома для всей цепи:
I1 
ε
,
Rr
(2)
где R - сопротивление внешней цепи.
Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений
R
R  п  R1 ,
(3)
2
Сопротивление R1 параллельного соединения может быть найдено по
1
1
1
Rп RV


R1 
формуле
,
откуда
.
R1 RV Rп
Rп  2 RV
2
Подставив числовые значения, найдем
100  500
R1 
 45,5 Ом
100  2  500
Из выражений (2) и (3) определим силу тока:
ε
150
I1 

 1,03 A .
Rп  R  r 50  45,5  50
1
2
Если подставить значения I1 и R1 в формулу (1), то можно определить
показание вольтметра: U1 = 1,03·45,5 В = 46,9 В.
Разность потенциалов между точками А и В при отключенном
вольтметре равна произведению силы тока I2 на половину сопротивления
Rп
ε Rп

потенциометра: U 2  I 2
.
2
Rп  r 2
Подставляя в эту формулу числовые значения, получим
150 100
U2 
 50 B .
100  50 2
№ 13. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в
течение времени Δt = 2 с по линейному закону от I0 = 0 до I2 = 6 А.
Определить теплоту Q, выделившуюся в этом проводнике за вторую секунду.
Р е ш е н и е. Закон Джоуля - Ленца в виде Q = I2 R t справедлив только
для постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется,
то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени
и записывается в виде
dQ = I2 R dt.
(1)
Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем
случае
I = k t + I0 ,
(2)
где k - коэффициент пропорциональности, численно равный
приращению силы тока в единицу времени, т. е.
I 6
k
 3 A/ c.
t 2
С учетом (2) формула (1) примет вид
dQ = k2 R t2 dt.
(3)
Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток
времени Δt, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t1 до t2:
t2
1
2
Q  k R  t 2 dt  k 2 Rt 23  t13  .
3
t1
При определении теплоты Q, выделившейся за вторую секунду,
пределы интегрирования t1 = 1 с, t2 =2 с, тогда
1
Q   32  20 8  1  420 Дж .
3
№ 14. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов,
трех сопротивлений и гальванометра (рис. 9). В этой цепи R1 = 100 Ом, R2 =
50 Ом, R3 = 20 Ом, э.д.с. элемента ε1 = 2 В. Гальванометр регистрирует ток I3
= 50 мА, идущий в направлении,

C
указанном стрелкой. Определить э.д.с.
B
ε2 второго элемента. Сопротивлением
+
гальванометра
и
внутренним
сопротивлением элементов пренебречь.
I2
I1
Указание.
Для
расчета
A
разветвленных цепей применяются
D
F
R1
R2
правила Кирхгофа.
Первое
правило
Кирхгофа.
R3
Г
Алгебраическая сумма сил токов,
сходящихся в узле, равна нулю, т. е. 
I3
Ii = 0.
+
H
G

Второе правило Кирхгофа. В
любом
замкнутом
контуре
алгебраическая сумма напряжений на
Рис. 9
отдельных участках цепи равна
алгебраической сумме э.д.с., в этом
контуре.
На основании этих правил можно составить уравнения, необходимые
для определения искомых величин (сил токов, сопротивлений и э.д.с.).
Применяя
правила
Кирхгофа,
следует
соблюдать
следующую
последовательность.
1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать: а) направления
токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на
чертеже; б) направление обхода контуров.
2. При составлении уравнений по первому правилу Кирхгофа считать
токи, подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла,
отрицательными. Возможное число уравнений, составляемых по первому
закону Кирхгофа, на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.
3. При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа надо
считать, что: а) падение напряжения на участке цепи (т.е. произведение IR)
входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока в данном участке
совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае
произведение IR входит в уравнение со знаком минус; б) э.д.с. входит в
уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении
обхода контура, т.е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу
внутри источника тока; в противном случае э.д.с. входит в уравнение со
знаком минус.
Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по
второму правилу Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров,
имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно
выбрать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким
образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не
участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при
решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены
отрицательные значения силы тока, то это означает, что ток через данное
сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном
выбранному.
Р е ш е н и е.
Выберем направления токов, как они показаны на рис. 9, и условимся
обходить контуры по часовой стрелке.
По первому правилу Кирхгофа для узла F имеем
I1 – I2 – I3 = 0.
(1)
По второму правилу Кирхгофа имеем для контура АВСDFА:
-I1R1 – I2R2 = -ε1,
или после умножения обеих частей равенства на -1
I1 R1 + I2 R2 = ε1 .
(2)
Соответственно для контура AFGHA:
I1 R1 + I3 R3 = ε2.
(3)
После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3)
получим:
I1 – I2 = 0,05;
50 I1 + 25 I2 = 1;
100 I1 + 0,05·20 = ε2.
Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а
известные - в правые, получим следующую систему уравнений:
I1 – I2 = 0,05; 50 I1 + 25 I2 = 1; 100 I1 - ε2 = -1.
Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными приемами
алгебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно
неизвестное ε2 из трех, то воспользуемся методом Крамера.
Составим и вычислим определитель Δ системы:
1 1 0
1 1
  50 25 0   1
 25  50   75 .
50 25
100 0  1
Составим и вычислим определитель Δε2:
1  1 0,05
25 1
50 1
50 25
 2  50 25
1 1
  1
 0,05

0 1
100  1
100 0
100 0
1
 25  50  125  300 .
Разделив определитель Δε2 на определитель Δ, найдем числовое
значение э.д.с. ε2:
ε2 = -300/(-75) = 4 В.
Магнетизм
№ 1. По отрезку прямого провода длиной l
= 80 см течет ток I = 50 А. Определить
магнитную индукцию B поля, создаваемого этим
током в точке А, равноудаленной от концов
отрезка провода и находящейся на расстоянии r0
= 30 см от его середины.
Р е ш е н и е.
Для решения задачи воспользуемся
законом Био-Савара-Лапласа
 μμ 0 I  
dB 
dl  r
(1)
4π r 2
и принципом суперпозиции магнитных
полей:


B   dB ,
(2)

Рис. 2

l
где символ l означает, что интегрирование

распространяется на всю
длину
провода,
d
B

магнитная индукция, создаваемая элементом тока Idl в точке, определяемой

радиус-вектором r ; 0 - магнитная постоянная;  - магнитная проницаемость

среды, в которой находится провод (в нашем случае  = 1). Векторы dB от
различных элементов тока сонаправлены, поэтому выражения (1), (2) можно
переписать в скалярной форме:
μ Isin
dB  0 2 dl , B   dB ,
4π r
l


где  есть угол между вектором dl и радиус-вектором r . Таким
образом,
μ I sin
B  0  2 dl .
(3)
4π l r
Выразим длину элемента провода dl через угол d: dl = rd/sin.
sin 
sin  rd
d
Запишем выражение
dl в виде

.
2
2
r
r sin 
r
Переменная r также зависит от  (r = r0/sin), следовательно:
d sin 

d . Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде
r
r0

μ0I 2
B
sind , где 1 и 2 - пределы интегрирования.
4πr0 1
Выполним интегрирование:
μ0I
cosα1  cosα 2 .
(4)
4π r0
При симметричном расположении точки А относительно отрезка
провода cos 2 = -cos 1. С учетом этого формула (4) примет вид
μ I
B  0 cosα1 .
(5)
2π r0
Из рис.2 следует
l
l
2
cos 1 

.
4
r

l
l
  r
 2
Подставив выражение cos1 в формулу (5), получим
μI
l
B 0
.
(6)
2π r0 4 r02  l 2
Произведя вычисления по формуле (6), получим В = 26,7 мкТл.
B
2
2
2
2
0
0
№ 2. Два бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в
одном направлении токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10
см друг от друга. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого
проводниками в точке А. (см. рис.), отстоящей от оси одного проводника на
расстояние r1 = 5 см, от другого на r2 = 12 см.
Р е ш е н и е.
Для нахождения магнитной индукции

B в точке А воспользуемся принципом


суперпозиции
магнитных
полей:
B
=
B
1+

B 2.

Модуль вектора B может быть найден
из теоремы косинусов
Рис. 3
B  B12  B 22  2 B1 B 2 cos     B12  B 22  2 B1 B 2 cos ,
(1)


где  - угол между векторами B 1 и B 2.


Магнитные индукции B 1 и B 2 выражаются соответственно через силу
тока I и расстояния r1 и r2 от проводов до точки А
В1 = 0I/(2r1); B2 = 0I/(2r2).
Подставляя выражения В1 и В2 в формулу (1), получаем
 I 1 1
2
B 0
 2 
cos .
(2)
2
2 r1 r2 r1r2
Вычислим cos по теореме косинусов ( = DAC как углы с
соответственно перпендикулярными сторонами), d2 = r12 + r22 - 2r1r2cos,
где d - расстояние между проводами. Отсюда
r12  r22  d 2
5 2  12 2  10 2 23
cos 
; cos 
 .
2r1r2
2  5  12
40
Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин
и произведем вычисления:
4  3,14  10 7  60
1
1
2
23
B


= 308 мкТл.
2
2
2  3,14
0,05 0,12
0,05  0,12 40
№ 3. По тонкому проводящему кольцу
радиусом R = 10 см течет ток I

= 80 А. Найти магнитную индукцию B в точке А, равноудаленной от всех
точек кольца на расстояние r = 20 см.
Р е ш е н и е.
Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

 μ 0 I dl  r
dB 
,
2
4π
r


где d B - магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока I dl в

точке, определяемой радиус-вектором r . 
Выделим на кольце элемент
dl и от него в точку А проведем


радиус-вектор r (рис. 4). Вектор d B направим в соответствии с правилом
буравчика.


Согласно
принципу
суперпозиции магнитных полей, магнитная
индукция B в точке  А определяется

интегрированием:
B   dB ,
где
l

кольца d B 



B   dB    dB|| ,
l
и
интегрирование ведется по всем элементам
dl кольца.

Разложим
вектор
dB
на
две
составляющие:
перпендикулярную
плоскости




параллельную
d B , т.е. dB  dB   dB|| .Тогда
l
 Рис. 4

dB

0
из
соображений
симметрии,
а
векторы
dB
 ||
 от различных
l
элементов dl сонаправлены, следовательно
B   dB , где dB = dBcos и
l

 Idl

dB = 0 2 (поскольку dl перпендикулярен r , то sin = 1). Таким образом,
4 r
2 R
 I
 Icos 2 R
B  0 cos  dl  0
, где cos = R/r (см. рис 4). Окончательно
2
4 r2
4

r
0
получим: B 
 0 IR 2
.
2r 3
Выразим все величины в единицах СИ и
произведем
вычисления:
4 π  10 780  0,12
B
= 6,28  10 5 Тл .
3
2  0,2

Вектор B направлен по оси кольца в соответствии с правилом
буравчика.
№ 4. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом  =
(2/3).. Определить магнитную индукцию B в точке А (см. рис. 5).
Расстояние d = 5 см.
Рис. 5
Рис. 5
Р е ш е н и е.
Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода,
концы которых соединены в точке О (Рис. 5) В соответствии
с принципом

суперпозиции магнитных полей магнитная индукция
 B в точке А будет
равна геометрической сумме индукций B 1 и B 2 магнитных
полей,


создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т.е. B = B 1 + B 2.

Магнитная индукция B 2 равна нулю. Это следует из закона Био
Савара-Лапласа,
согласно
которому
в
точках,
лежащих
на
оси
провода,
d
B
=
 
0, т.к. [d l  r ]= 0.
Магнитную индукцию B1 найдем, воспользовавшись соотношением (4),
I
из примера 1: B1  0 (cos1  cos 2), где r0 - кратчайшее расстояние от
4r0
провода 1 до точки А (см. рис. 5)
В нашем случае 10 (провод длинный), 2 = = 2/3. Расстояние r0 =
0 I
d sin( - ). Тогда магнитная индукция B1 
(1  1 / 2 ) .
4d 3 / 2
3 0 I
Так как B =B1 (B2 = 0), то B 
.
4

d


Вектор В сонаправлен с вектором В 1 и направление его определяется
правилом правого винта. На рис. 5 это направление отмечено крестиком в
кружочке (перпендикулярно плоскости чертежа, от нас).
Произведем вычисления:
3  4 10 7 50
В
Тл = 3,4610 -5 Тл = 34,6мкТл.
7
4 510
№ 5. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым
углом (см. рис. 6) По проводам текут токи I1 = 80 A и I2 = 60 A. Расстояние
d

между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию В в точке
А, одинаково удаленной от обоих проводов.
Р е ш е н и е.
 В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей индукция
В магнитного поля, создаваемого токами I1 и I2, определяется
Рис. 6




выражением B = B 1 + B 2, где B 1 - индукция магнитного поля,
созданного в точке А током I1; B 2 - индукция магнитного поля, созданного в
точке А током I2 (направление отмечено точкой в кружочке перпендикулярно плоскости

чертежа к нам).
Векторы B 1 и B 2, взаимно перпендикулярны, их направления
находятся по правилу буравчика, и изображены в двух проекциях на рисунке.
Модуль B можно определить по теореме Пифагора (см. рис. 6)

B  B  B12  B22 ,
В1 и В2 определяются по формулам расчета магнитной индукции для
бесконечно длинного прямолинейного провода с током:
μ I
μ I
B1  0 1 и B1  0 2 .
2π r0
2π r0

В нашем случае r0 = d/2. Тогда B  0 I 12  I 22 .
d
Произведем
вычисления:
4 10 7
В
80 2  60 2 Тл = 410 -4 Тл = 400мкТл .
1
 10
№ 6. Бесконечно длинный провод изогнут так, как изображено на
рис.7.
Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить индукцию

B магнитного поля, создаваемого в точке О током I = 80 А, текущим по этому
проводу.
Р е ш е н и е.

Магнитную индукцию B в точке
О найдем, используя принцип

суперпозиции магнитных полей: В   Вi .
Рис. 7
В нашем случае провод можно разбить на три части (см. рис 7): два
прямолинейных провода (1 и 3) , одним концом
в бесконечность,
 уходящие


  и
дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда В  В1  В2  В3 , где В1 , В2 и

В 3 - индукции магнитных полей в точке О, создаваемые током первого,
второго и третьего участков провода.



Так как точка О лежит на оси провода 1, то В1 = 0 и тогда В = В2 +



В 3 . Учитывая, что векторы В2 и В 3 направлены в соответствии с правилом
буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, геометрическое
суммирование можно заменить алгебраическим: В = В2 + В3.
Магнитную индукцию В2 найдем, воспользовавшись выражением
 I
для магнитной индукции в центре кругового тока: B  0 .
2R
В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной
 I
кругового тока, поэтому B 2  0 .
4R
Магнитную индукцию В3 найдем, применив соотношение (4),
I
пример 1: B3  0 (cos 1  cos 2 ) .
4r0
В нашем случае r0 =R, 1 = /2 (cos 1 = 0), 2  (cos 2 = -1). Тогда
 I
B3  0 .
4R
 I
 I
Используя найденные выражения, получим В = В2 + В3 = 0 + 0 ,
4R
4R
 I
ли B  0 (  1) .
4R
Произведем вычисления:
4 10 7 80
В
(  1)Тл = 3,3110 -4 Тл  331мкТл.
4 01
.
№ 7. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2 м
каждый, находящихся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут
одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.
Р е ш е н и е.
Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи,
осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле,
которое действует на другой провод.
Предположим, что оба тока (обозначим их I1 и I2) текут в одном
направлении. Ток I1 создает в месте расположения второго провода (с током

I2) магнитное поле, направление вектора магнитной индукции B1
определяется по правилу буравчика. Модуль магнитной индукции В1
задается соотношением
μ I
B1  0 .
(1)
2π d

Согласно закону Ампера, на каждый элемент dl второго провода
действует в магнитном поле сила
dF  I 2 B1 dl sin  . Так как вектор


dl перпендикулярен вектору B , то sin   1 и тогда dF = I2B1dl.Подставив в
 I I
это выражение значение В1, получим dF  0 1 2 dl .
2d
Силу F взаимодействия токов
найдем интегрированием:
μ 0 I1I 2 l
μ0 I1I2
F
dl

l.
2π d 0
2π d
Учитывая, что I1= I2 = I, получим
μ 0 I 2l
F
.
2π d
Произведем вычисления:
4 107 (103 ) 2 2,5
F
H = 2,5H
Рис. 8
2 0,2



Сила F сонаправлена с силой d F , а направление d F определяется
правилом левой руки.
№ 8. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600
В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал
двигаться по окружности. Вычислить радиус R
окружности.
Р е ш е н и е.
Движение заряженной частицы в однородном
магнитном поле будет происходить по
окружности только в том случае, если частица
влетит в магнитное  поле перпендикулярно

линиям индукции: v  B . Так как сила Лоренца

перпендикулярна вектору v , то она сообщает
Рис. 9

частице (протону) нормальное ускорение a n .
Согласно второму закону
 Ньютона,

Fл  ma n ,
(1)
где m - масса протона. На рис. 9 совмещена траектория протона с

плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора скорости v .

Силу Лоренца направим
перпендикулярно
вектору
v
к центру окружности


(векторы
a n и Fл сонаправлены.). Используя правило левой руки,

определим направление магнитных силовых линий (направление вектора В ).
Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на
радиус):
Fл = man .
(2)
 
В скалярной форме Fл = qvBsin . В нашем случае v  B и sin  = 1,
тогда Fл = qvB. Так как нормальное ускорение an = v2/R, то выражение (2)
перепишем следующим образом: qvB = m v2/R. Отсюда выразим радиус
окружности:
R = mv/(qB).
(3)
Скорость протона найдем, воспользовавшись связью между работой
сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А
= W, или q(1 - 2) = W2 - W1, где (1 - 2) = U- ускоряющая разность
потенциалов (или ускоряющее напряжение); W1 и W2 - начальная и конечная
кинетические энергии протона.
Пренебрегая начальной кинетической энергией протона W1  0, и,
учитывая, что Wк = mv2/2, получим qU = mv2/2.
2qU
Найдем из этого выражения скорость v 
и подставим ее в
m
формулу (3), в результате получим
1 2mU
R
.
(4)
B
q
Произведем вычисления:
1 2  1,6710  27 600
R
м = 0,0118м.
0,3
1,610 19
№ 9. Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В = 0,2 Тл),
стал двигаться по окружности радиуса R = 5 см. Определить магнитный
момент рm эквивалентного кругового тока.
Р е ш е н и е.
Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в
однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции.
Движение электрона по окружности эквивалентно току, который в
q e
данном случае определяется выражением:
I экв 
 , где е - заряд
t T
электрона; Т - период его обращения.
Период обращения можно найти через скорость электрона и путь,
проходимый электроном за период Т = (2R)/ v. Тогда
ev
I экв 
.
(1)
2π R
По определению, магнитный момент контура с током выражается
соотношением
Pm = IэквS,
(2)
где S - площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном
ev
1
π R 2 или Pm  evR.
S = R2. Учитывая (1), (2) и (3), получим Рm =
2π R
2
Известно, что R = mv/(еB) (см. пример 8). Тогда для скорости v
eBR
электрона находим v 
. Подставив это выражение в (4) для магнитного
m
e 2 BR 2
момента Pm электрона получим Pm 
.
2m
Произведем вычисления:
(1,610 19 )0,2(0,05) 2
Pm 
Aм 2  7,031012 Ам 2  7,03пАм 2 .
 31
2  9,110
№ 10. Электрон движется в однородном магнитном поле по
винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить
период Т обращения электрона и его скорость v.
Р е ш е н и е.
Электрон будет двигаться по
винтовой линии, если он влетает в
однородное магнитное поле под
некоторым углом (  /2) к
линиям
магнитной
индукции.
Разложим, как это показано на рис.

скорость v электрона на две
составляющие: параллельную
 
Рис. 10
вектору индукции B (v || ) и перпендикулярную


ему ( v  ). Скорость v || в магнитном поле не изменяется и обеспечивает

перемещение электрона вдоль силовых линий. Скорость v  в результате

действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению ( Fл v  )
(в отсутствие параллельной составляющей скорости движение электрона
происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным
силовым линиям). Таким образом, электрон будет участвовать одновременно

в двух движениях: равномерном со скоростью v || и равномерном движении

по окружности со скоростью v  .
Период обращения электрона
связан с перпендикулярной
составляющей скорости соотношением
2R
T
.
(1)
v
Найдем отношение R/v. Сила Лоренца сообщает электрону
нормальное ускорение an = v2/R. Согласно второму закону Ньютона Fл = man
или
mv2
ev B 
,
(2)
R
где v = v·sin. Получим соотношение R/ v = m/eB и подставим его в
формулу (1);
T  2
m
.
eB
(3)
Произведем
2 9 ,110 31
T
c = 3,5710 -9 c = 3,57нс.
19
3
1,610 10  10
вычисления:
Модуль скорости v определяем через v|| и v: v  v 2 ||  v 2  .
Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости:
eBR
v 
.
m
Параллельную составляющую скорости v|| найдем из следующих
соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет
вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. h = Tv||,
откуда v|| = h/T. Подставив вместо Т правую часть выражения (3), получим
eBh
v|| 
.
2m
2
eB
 h 
Таким образом, модуль скорости электрона v 
R2    .
m
 2 
Произведем вычисления:
2
1,610 19 10  10  3 
2
 0,06 
v
 
 0,01  
 2  
9 ,110  3


1/ 2
м / c = 2,4610 7 м / c.
№ 11. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов
U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е = 10
кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда q  - частицы к
ее массе m, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не
испытывает отклонений от прямолинейной траектории.
Р е ш е н и е.
Для того, чтобы найти отношение заряда q  - частицы к ее массе m,
воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением
кинетической энергии частицы: qU = mv2/2, откуда
q v2

.
(1)
m 2U
Скорость v альфа-частицы определим из следующих
соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на
 
движущуюся частицу действуют две силы: сила Лоренца Fл = q  v  B,

направленная
перпендикулярно
скорости
v
и вектору магнитной индукции


B ; кулоновская сила Fк = qE, сонаправленная с вектором напряженности Е
электростатического поля.
Направим
вектор
магнитной


индукции B вдоль оси Оz, а вектор E

вдоль оси Oy (см. рис.), скорость v - в
положительном направлении оси Ох,


тогда силы Fk и Fл будут направлены
так, как показано на рис. 11.
Рис. 11
Альфа-частица не будет испытывать
отклонения, если геометрическая сумма сил Кулона и Лоренца будет равна
 
 
нулю Fk + Fл = 0. В проекции на ось Оу получим равенство ( при этом v  B и
sin = 1): qE - qvB = 0, откуда
v = E/B
(2)
2
q
E
Подставив (2) в формулу (1), получим

.
m 2UB 2
q
(10 4 ) 2

= 48,1 МКл/кг
Произведем вычисления:
m 2 104(0,1) 2
№ 12. Короткая катушка, содержащая N = 103 витков, равномерно
вращается с частотой n = 10 с-1 относительно оси АС, лежащей в плоскости
катушки и перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного
поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение э.д.с. индукции  для
тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол  = 600 с
линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см2.
Р е ш е н и е.
Мгновенное значение э.д.с. индукции i определяется законом Фарадея
d
εi  
.
(1)
dt
Потокосцепление  = NФ, где N - число витков катушки,
пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив это выражение в формулу
(1), получим
dФ
εi  N
.
(2)
dt
При вращении катушки магнитный
поток Ф, пронизывающий катушку, изменяется по
закону Ф =BS·cos = BS·cost, где В - магнитная

индукция; S - площадь катушки;  - угол между n

и B ;  - угловая скорость вращения.
Подставив в формулу (2) выражение
магнитного потока Ф и, продифференцировав по
Рис. 12
времени, найдем мгновенное значение э.д.с. индукции: i = ωNBS·sint.
Учитывая, что угловая скорость вращения  катушки связана с
частотой вращения n соотношением  = 2n и что угол t = /2 -  (см. рис.),
sin(/2 - ) = cos, получим i = 2nNBS·cos .
Произведем вычисления: i = 23,14101030,0410-20,5 = 25,1 В.
№ 13. Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и
сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40
мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол  = 300 с линиями
магнитной индукции. Определить заряд q, который пройдет по рамке, если
магнитное поле выключить.
Р е ш е н и е.
При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного
потока. Вследствие этого в рамке возникнет э.д.с. индукции ε i  
dФ
.
dt
Возникшая э.д.с. индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное
значение которого можно определить по закону Ома для полной цепи Ii =
dФ
i/R, где R - сопротивление рамки. Тогда I i R  
.
dt
Так как мгновенное значение силы индукционного тока Ii = dq/dt, то
dq
dФ
предыдущее выражение можно переписать в виде
R
,
dt
dt
откуда
dФ
dq  
.
(1)
R
q
1Ф
Проинтегрировав выражение (1), найдем  dq    dФ или
RФ
0
2
1
Ф1  Ф2
.
R
При выключенном поле Ф2 = 0, и последнее равенство перепишется в
виде q = Ф1/R.
(2)
По определению магнитного потока Ф1 = BS·cos. В нашем случае
площадь рамки S = а2. Тогда
Ф1 = Ва2cos.
(3)
2
Ba
Подставив (3) в (2), получим q 
cos .
R
0,04  2510 4 3 / 2
Произведем вычисления:
q
Кл  8,67 10 -3 Кл .
0,01
q
№ 14. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому
течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В
= 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте
контура
относительно
оси,
проходящей
через
середину
его
противоположных сторон, на угол  = 900. При повороте контура сила тока в
нем поддерживается неизменной.
Р е ш е н и е.
На контур с током в магнитном поле действует момент силы (см. рис.
13)
M = pmB sin,
(1)
2
где pm = IS= Ia - магнитный момент контура; В - индукция магнитного


поля;  - угол между векторами p m (направлен по нормали к контуру) и В .
По условию задачи в начальном положении
контур свободно установился в магнитном поле.
При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит,


угол  = 0, т. е. векторы p m и В сонаправлены.
Если внешние силы выведут контур из положения
равновесия, то возникший момент сил будет
стремиться
возвратить контур в
исходное
положение. Против этого момента и будет
совершаться работа внешними силами. Так как
момент сил переменный (зависит от угла поворота
), то для подсчета работы применим
Рис. 13
формулу работы в дифференциальной форме dA =
Md . Учитывая формулу (1), получаем dA = IBa2sin d.
Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на

конечный угол A  IBa 2  sin d . Работа при повороте на угол  = 900
0
 /2
 /2
A  IBa
2
 sin d  IBa
0
2
 IBa 2 .
( cos  ) |
(2)
0
Произведем вычисления: А = 100 1 (0,1)2 = 1 Дж.
Задачу можно решить другим способом.
Работа внешних сил по перемещению контура с током в
магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение
магнитного потока, пронизывающего контур: А = -IФ = I(Ф1 - Ф2), где Ф1 магнитный поток до перемещения, Ф2 - после. Ф1 = BScos00 = BS; Ф2 =
BScos900 = 0. Следовательно, А = IBS = IBa2, что совпадает с формулой (2).
№ 15. На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см2
намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня
приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике
соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А.
Р е ш е н и е.
Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке
которого течет ток I, выражается формулой:
1
W  LI 2 .
(1)
2
Индуктивность соленоида зависит от числа витков на единицу
длины n, от объема сердечника V и от магнитной проницаемости 
сердечника, т.е. L = 0 n2V, где 0 = магнитная постоянная.
Магнитную проницаемость можно выразить следующей
B
, где В - индукция магнитного поля, Н - напряженность.
формулой: μ 
μ0H
Подставив в формулу (1) выражение индуктивности L и
1B 2 2
магнитной проницаемости, получим W 
n VI .
2H
1 B 2 2
Объем сердечника выразим через длину l и сечение S W 
n I Sl.
2H
Напряженность магнитного поля найдем по формуле: Н = nI.
Подставив данные в единицах СИ, получим: Н = 2103 0,5 А/м = 103
А/м.
Значению напряженности намагничивающего поля в 103 А/м в
железе соответствует индукция В = 1,3 Тл (см. график зависимости между Н
и В в приложении).
Произведем вычисления:
1 1,3
W
(210 3 ) 2 (0,5) 2  210  4  0,5Дж = 0,065Дж.
3
2 10
№ 16. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих
друг к другу витков медного провода. Диаметр провода 0,2 мм, диаметр
соленоида – 5 см. По соленоиду течет ток 1 А. Определить, какое количество
электричества протечет через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко.
Толщиной изоляции пренебречь.
Р е ш е н и е.
Количество электричества dq, которое протекает по проводнику за
время dt при силе тока I, определяется равенством: dq = Idt. Общее
количество электричества, протекшее через проводник за время t будет: q =
t
 Idt .
0
Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со
R
 t
e L
временем и выражается формулой: I  I 0
, где I0 - сила тока до
замыкания, R - сопротивление обмотки соленоида, L - индуктивность
соленоида.
Внося выражение для силы тока I под знак интеграла и
интегрируя от 0 до  (при t  , I  0), получим:

q   I0
0
R
 t
e L dt
R
  t
e L dt
 I0 
0
R
L  Lt 
 I 0 ( ) e | 0 .
R
Подставим пределы интегрирования и определим количество
электричества, протекающее через обмотку.
L
L
q  I 0 ( ) 0  1  I 0 .
(1)
R
R
Найдем L и R. Индуктивность соленоида
N2
π d c2 N 2
2
L  μμ 0 n lc S c  μ 0 2 lc S c  μ 0
.
(2)
4lc
lc
Сопротивление обмотки соленоида
l
4π d c N 4ρ d c N
R ρ п ρ

(3)
Sп
π d п2
d п2
l
Подставляя (2) и (3) в (1) и учитывая, что c  d п , получим:
N
2
2 2
μ π d N dп
μ πd d
q  I0 0 c
 I 0 0 c п  363 10 6 Кл .
4l c  4ρ d c N
16ρ