Электродинамика Лекции Соколова В.А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Электродинамика Лекции Соколова В.А Законспектировано Студентом Москва, 2018 г. Содержание Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Часть 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Уравнения Максвелла и их физическое обоснование. Сила Лоренца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Закон сохранения энергии в микроскопической электродинамике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Потенциалы электромагнитного поля. Уравнение для потенциалов при калибровке Лоренца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Уравнения для потенциалов и их решение в виде запаздывающих потенциалов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Разложение потенциала электростатического поля по мультиполям до квадруполя включительно. . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Энергия и сила электростатического взаимодействия. . . . . . 1.7. Магнитостатика. Магнитный момент токов. . . . . . . . . . . . 1.8. Переменные электромагнитного поля. Плоские волны. . . . . 1.9. Физические условия применимости мультипольного разложения в задаче об излучении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Электрическое дипольное излучение. Полная интенсивность. Угловое распределение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. Магнитное дипольное излучение. Полная интенсивность. Угловое распределение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12. Сила радиационного (лучистого) трения (нерелятивистское приближение). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Часть 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Преобразования Лоренца для координат и времени. Интервал. 2.2. Релятивистская кинематика. Преобразования промежутка времени и длины отрезка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Релятивистский закон сложения скоростей. Преобразования углов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Пространство Минковского. Примеры тензоров различных рангов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Закон преобразования плотности заряда и тока и его обоснование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Ковариантная запись условий Лоренца и уравнений для потенциалов. Закон преобразования потенциалов. . . . . . . . . 2.7. Тензор электромагнитного поля. Ковариантная запись уравнений Максвелла для полей в вакууме. . . . . . . . . . . . . . 1 5 11 13 17 22 26 29 33 35 38 43 45 48 48 51 53 55 62 63 64 Ñ Инварианты элек2.8. Законы преобразования векторов 𝐸Ñ и 𝐻. тромагнитного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Принцип стационарного действия в электродинамике. . . . . 2.10. Уравнения движения релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле в четырехмерном виде. . . . 68 70 73 Часть 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.1. Усреднение микроскопических уравнений Максвелла. . . . . 77 3.2. Материальные уравнения для полей в неподвижном веществе. 82 3.3. Уравнения для потенциалов в однородном покоящимся веществе. Калибровочная инвариантность. Решение в виде запаздывающих потенциалов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.4. Граничные условия для полей в покоящейся кусочно-однородной среде. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.5. Энергия и импульс электромагнитного поля в макроскопической электродинамике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.6. Постановка задачи (основные уравнения и граничные условия) для электростатики кусочно-однородной среды. . . . . . 95 3.7. Силы в электростатике диэлектриков. . . . . . . . . . . . . . . 97 3.8. Энергия системы проводников. Силы в электростатике проводников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.9. Постановка задачи (уравнение и граничные условия) для стационарных токов в кусочно-однородных проводниках. . . . . 103 3.10. Энергия магнитного поля стационарных токов. Магнитный поток. Коэффициенты самоиндукции и взаимной индукции. 106 3.11. Квазистационарное приближение. Основные уравнения, границы применимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.12. Проникновение периодически меняющихся полей в проводник. Скин-эффект. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.13. Уравнение макроскопической электродинамики в ковариантной форме. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.14. Материальные уравнения для движущихся диэлектриков и магнетиков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.15. Материальные уравнения для движущихся проводников. . . 120 3.16. Основные уравнения магнитной гидродинамики идеально проводящей жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.17. "Вмораживание"магнитного поля в движущийся идеальный проводник. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.18. Дисперсия диэлектрической проницаемости для разреженных газов и молекул. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.19. Дисперсия диэлектрической проницаемости для полностью ионизированных газов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2 3.20. Физический смысл мнимой части комплексной диэлектрической проницаемости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.21. Формулы Крамерса-Кронинга. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.22. Распространение электромагнитных волн в прозрачной проводящей среде. Связь векторов поля, частоты и волнового вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3 Предисловие. Данный конспект рассчитан на студентов физического факультета МГУ. Он являет собой достаточно подробное изложение лекций по электродинамике, читаемых на третьем курсе. В основу конспекта легли записи, сделанные во время прослушивания лекций студентом в 2017-2018 году. Несмотря на то, что дополнения к записанному на лекциях были минимальны, автор считает нужным предупредить читателя, что в силу невнимательности, а может быть и в силу недостаточного понимания материала, в тексте могут быть допущены опечатки, неточности и даже ошибки. Автор просит читателя быть внимательным и критически относится к прочитанному. Кроме того, автор хотел бы, чтобы внимательный читатель, нашедший опечатку или ошибку, а также считающий необходимостью дополнить или уточнить изложенный материал, сообщил автору, написав по адресу seggir@gmail.com с указанием места, которое должно быть исправлено. 4 Часть 1. 1.1. Уравнения Максвелла и их физическое обоснование. Сила Лоренца. Для получения уравнений Максвелла необходимо воспользоваться следующими законами: Закон сохранения заряда, Закон Кулона, Закон Био-Савара-Лапласа, Закон Фарадея. А. Закон сохранения заряда. z Рассмотрим объем ∆𝑉 , имеющий заряд ∆𝑞. Δ𝑞 𝑟 , 𝑡 lim Δ𝑉 Определение: 𝜌Ñ Δ𝑉 0 плотность электрического заряда, (︀𝜌Ñ 𝑟, 𝑡⌋︀ ⌊︀ ∆V ∆q 𝑟Ԧ ед.СГС }︀, см3 y 𝑒 4, 8 1010 ед.СГС, (1 ед.СГС = 1 x Франклин(Фр)). Определение: Объемная плотность тока - количество заряда, пересекающего единичную площадку за единицу времени. (︀Ñ 𝑗 Ñ 𝑟, 𝑡⌋︀ ⌊︀ ед.СГС }︀. см2 с Замечание: Если известна скорость 𝑣Ñ𝑡 носителей, то плотность тока может быть записана в виде: Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑡 𝜌Ñ 𝑟, 𝑡Ñ 𝑣 𝑡. Рассмотрим конечный объем прямоугольной с неподвижными границами: 𝑑𝑆Ñ 𝑛 d𝑆Ԧ S Ñ 𝑑𝑆, 𝑛 Полный заряд в объеме 𝑉 𝑄 5 𝑉 𝜌Ñ 𝑟, 𝑡𝑑𝑉. Утверждение: Заряды в объеме 𝑉 не исчезают и не появляются, а могут только перераспределятся и пересекать границы объема. При пересечении заряды границ объема возникает электрический ток 𝐼. Ñ 𝑗, 𝑑Ñ𝑆Ñ. 𝐼 𝑆 Если 𝐼 A 0, то заряд в объеме уменьшается, если 𝐼 @ 0, то заряд в объеме увеличивается. 𝜕𝑄 𝐼. (Закон сохранения заряда в интегральной форме) 𝜕𝑡 Получим закон сохранения заряда в дифференциальной форме: Учтем, что 𝑄 𝜕 𝜕𝑡 𝜌Ñ 𝑟, 𝑡𝑑𝑉 , тогда: 𝑉 𝜌Ñ 𝑟, 𝑡𝑑𝑉 𝑉 𝜕𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑑𝑉 𝜕𝑡 𝐼 Ñ 𝑗, 𝑑Ñ𝑆Ñ 𝑆 𝑉 div Ñ𝑗𝑑𝑉. 𝑉 Последнее равенство достигается согласно теореме Гаусса-Остроградского. Тогда: 𝑉 Ñ 𝑟,𝑡 Ñ div 𝑗 ⌈︀ 𝑑𝑉 )︀ 𝜕𝜌𝜕𝑡 0. Так как 𝑉 - произвольный, то подынтегральное выражение равно нулю: 𝜕𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 Ñ 0. div 𝑗 𝜕𝑡 Последнее уравнение представляет собой закон сохранения заряда в дифференциальной форме. (Аналогия уравнения неразрывности в гидродинамике.) Б. Закон Кулона. Вычислим силу, действующую на пробный заряд 𝑞 со стороны точечного заряда 𝑄: 𝑞𝑄𝑟Ñ 𝐹Ñ , 𝑟3 где 𝑟Ñ - радиус-вектор, направленный от 𝑄 к 𝑞. Определение: Будем называть напряженностью электрического поля в точке, где находится заряд величину: 𝐸Ñ Ñ 𝑟 𝐹Ñ 𝑞 𝑄𝑟Ñ Ñ , ⋃︀𝐸 ⋃︀ 𝑟3 6 𝑄 . 𝑟2 Вычислим поток вектора 𝐸Ñ через произвольную замкнутую поверхность 𝑆, окружающую заряд 𝑄: 𝑛 𝐸 𝑟Ԧ Ñ 𝑑Ñ𝑆 Ñ, 𝐸, Φ α S Q 𝑆 где 𝑑𝑆Ñ Ñ 𝑑𝑆, ⋃︀Ñ 𝑛 𝑛⋃︀ 1. Вычислим скалярное произведение: Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝐸, Ñ 𝑛 Ñ 𝑑𝑆 𝐸, Ñ ⋃︀⋃︀Ñ Ñ 𝑛 Ñ 𝑑𝑆 ⋃︀𝐸 𝑛⋃︀ cos \ 𝐸, Ñ ⋃︀ 𝑑𝑆 cos \ Ñ 𝑛 Ñ , ⋃︀𝐸 𝐸, )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝑑𝑆сф Ñ 𝑛 Ñ на поверхность Ñ - проекция элемента площади 𝑑𝑆 где 𝑑𝑆сф 𝑑𝑆 cos \ 𝐸, сферы радиуса 𝑟. 𝑑𝑆сф 𝑟2 𝑑Ω. Рисунок помогает разобраться в поняz dΩ тии телесного угла. Здесь 𝑑𝜃 - полярный угол, 𝑑𝜙 - аксиальный угол. 𝑑Ω sin 𝜃𝑑𝜃𝑑𝜙. - элемент телесного угла Ñ dθ в направлении 𝐸. θ Тогда получим: Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝐸, Ñ ⋃︀𝑑𝑆 ⋃︀𝐸 сф Ñ ⋃︀𝑟 2 𝑑Ω. ⋃︀𝐸 y x ϕ dϕ Вычислим интеграл Φ: Ñ 𝑑Ñ𝑆 Ñ 𝐸, Φ 𝑆 𝑄 2 𝑟 𝑑Ω 𝑟2 Ñ ⋃︀𝑟 2 𝑑Ω ⋃︀𝐸 𝑆сф Ñ 𝑑Ñ𝑆 Ñ 𝐸, 𝜌Ñ 𝑟𝑑𝑉, 4𝜋 𝑆 𝑉 div 𝐸Ñ Ñ 𝑟𝑑𝑉 𝜌Ñ 𝑟𝑑𝑉, 4𝜋 𝑉 𝑉 7 𝜌Ñ 𝑟𝑑𝑉, 𝑉 2𝜋 sin 𝜃𝑑𝜃 4𝜋𝑄, где 𝑄 𝑆 𝑄 0 𝑆сф Получили, что выполняется равенство: Ñ 𝑑Ñ𝑆 Ñ 𝐸, 𝑑Ω 𝑄 𝑆сф 𝜋 𝑑𝜙 0 4𝜋𝑄. Ñ Ñ (︀div 𝐸 𝑟 4𝜋𝜌Ñ 𝑟⌋︀𝑑𝑉 0, 𝑉 Так как объем 𝑉 - произвольный, то div 𝐸Ñ Ñ 𝑟 4𝜋𝜌Ñ 𝑟. Несмотря на то, что равенство получено для статического распределения заряда, экспериментальные данные указывают на его справедливость и в динамическом случае. Окончательно получим: div 𝐸Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 4𝜋𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 . В. Следствия закона Био-Савара-Лапласа. Возмем частную производную по времени от этого выражения. div 𝜕 𝐸Ñ 𝜕𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑡 4𝜋 4𝜋 div Ñ𝑗. ⃒ div Ñ𝑗 Тогда: div 𝜕 𝐸Ñ 𝜕𝑡 4𝜋Ñ𝑗 0. Так как div rot 𝐴Ñ 0, то можно сказать, что выражение под дивергенцией является ротором некоторого векторного поля 𝑥Ñ. rot 𝑥ÑÑ 𝑟 , 𝑡 4𝜋Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑡 𝜕 𝐸Ñ 𝜕𝑡 В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа: 𝑥Ñ Замечание: Закон Био-Савара-Лапласа: Ñ 𝑐𝐻. z Ñ Ñ 𝑑𝐻 𝑟 𝑟′ 𝐼 (︀𝑑Ñ𝑙, 𝑟Ñ 𝑟Ñ ⌋︀ 𝑐 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀3 4𝜋 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 𝑐 Ñ Ñ rot 𝐻 𝑟 d𝑙Ԧ 𝑥Ñ Окончательно получим: x 𝑟Ԧ y Ñ Ñ rot 𝐻 𝑟 , 𝑡 8 4𝜋 Ñ 1 𝜕 𝐸Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑡 . 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 𝑐𝐻. Г. Закон Фарадея. Рассмотрим некий контур 𝐿. Пусть 𝑆 поверхность, натянутая на контур 𝐿. Ñ 𝑑ÑÑ 𝐸, 𝑙 1 𝑐 S Ñ 𝜕𝐻 𝜕𝑡 , 𝑑𝑆Ñ. d𝑆Ԧ 𝑆 𝐿 Используя теорему Стокса, получим: L Ñ 𝑑ÑÑ 𝐸, 𝑙 𝐿 d𝑙Ԧ Ñ 𝑑𝑆 Ñ . rot 𝐸, 𝑆 Сравнивая правые части двух последних выражений, получим: Ñ rot 𝐸 Ñ 1 𝜕𝐻 , 𝑑𝑆Ñ 𝑐 𝜕𝑡 0. 𝑆 Так как поверхность 𝑆 - произвольная, получим: rot 𝐸Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 Ñ Ñ 1 𝜕𝐻 𝑟 , 𝑡 . 𝑐 𝜕𝑡 Д. Отсутствие магнитных монополей(зарядов). Рассмотрим последнее выражение: rot 𝐸Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 Ñ Ñ 1 𝜕𝐻 𝑟 , 𝑡 . 𝑐 𝜕𝑡 Подействуем дивергенцией на правую и левую часть уравнения и вспомним, что div rot 𝐴Ñ 0: div rot 𝐸Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 0 1𝜕 Ñ Ñ div 𝐻 𝑟, 𝑡. 𝑐 𝜕𝑡 Ñ Ñ Ñ Ñ Тогда для 𝐻 𝑟, 𝑡 получим выражение div 𝐻 𝑟, 𝑡 𝑓 Ñ 𝑟 . Современные экспериментальные данные показывают, что функцию 𝑓 Ñ 𝑟 необходимо выбрать следующим образом: 𝑓 Ñ 𝑟 0, иначе была бы возможность существования магнитных зарядов, или поле было бы распределено равномерно. Хотя работы по поиску магнитных монополей продолжаются до сих пор, принято предполагать их отсутствие. Тогда получим: Ñ Ñ div 𝐻 𝑟, 𝑡 0. 9 Подытожим, выписав уравнения Максвелла для микроскопической электродинамики: )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ div 𝐸Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 1 𝜕 𝐸Ñ 4𝜋 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑡 , 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 , rot 𝐸Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 Ñ Ñ rot 𝐻 𝑟 , 𝑡 Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 1 𝜕𝐻 , 𝑐 𝜕𝑡 0. Ñ Ñ div 𝐻 𝑟 , 𝑡 Запишем выражение для силы Лоренца: 𝐹Ñ 𝑞 Ñ Ñ (︀Ñ 𝑣 𝑡, 𝐻 𝑟, 𝑡⌋︀. 𝑐 𝑞 𝐸Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 Замечание: Плотность силы, действующая на распределённую систему зарядов и токов: ∆𝐹 1 Ñ (︀Ñ Ñ ⌋︀. 𝑓Ñ lim 𝜌𝐸 𝑗, 𝐻 Δ𝑉 0 ∆𝑉 𝑐 Дополнение: Описание точечных зарядов в электродинамике. Рассмотрим точечный заряд 𝑞, располоz женный в точке с радиус-вектором 𝑟Ñ. ПлотdV ность будет определятся выражением: 𝑟Ԧ q 𝑟Ԧ0 𝜌Ñ 𝑟 Δ𝑉 0 Нормировка: y x lim ∆𝑞 ∆𝑉 , 𝑟Ñ 𝑟Ñ0 0, 𝑟Ñ x 𝑟Ñ0 ª 𝜌Ñ 𝑟𝑑𝑉 𝑞. 𝑉 Рассмотрим дельта-функцию Дирака: 𝛿 Ñ 𝑟 𝑟Ñ0 , 𝑟Ñ 𝑟Ñ0 0, 𝑟Ñ x 𝑟Ñ0 ª 𝛿 Ñ 𝑟 𝑟Ñ0 𝑑𝑉 , 1. 𝑉 Тогда: 𝜌Ñ 𝑟 𝑞𝛿 Ñ 𝑟 𝑟Ñ0 . Замечание: В декартовых координатах: 𝛿 Ñ 𝑟 𝑟Ñ0 𝛿 𝑥 𝑥0 𝛿 𝑦 𝑦0 𝛿 𝑧 𝑧0 Замечание: Плотность тока точечного заряда, движущегося по заданному закону 𝑟Ñ0 𝑟Ñ0 𝑡 со скоростью 𝑣Ñ𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑟Ñ0 , имеет вид: Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑡 𝜌Ñ 𝑟, 𝑡Ñ 𝑣 𝑡 10 𝑞𝛿 Ñ 𝑟 𝑟Ñ0 𝑡Ñ 𝑣 𝑡. Замечание: Плотность тока и заряда для системы из 𝑁 точечных зарядов, движущихся по заданному закону 𝑟Ñ𝑎 𝑡 со скоростями 𝑣Ñ𝑎 𝑡 имеют вид: 𝑁 Q 𝑞𝑎𝛿Ñ𝑟 𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑟Ñ𝑎 𝑡, 𝑎 1 𝑁 Q 𝑞𝑎𝛿Ñ𝑟 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑟Ñ𝑎 𝑡Ñ 𝑣𝑎 𝑡. 𝑎 1 1.2. Закон сохранения энергии в микроскопической электродинамике. Рассмотрим уравнения Максвелла: )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ Ñ rot 𝐻 𝑟 , 𝑡 1 𝜕 𝐸Ñ 4𝜋 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑡 , 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 Ñ Ñ 1 𝜕𝐻 𝑟 , 𝑡 , 𝑐 𝜕𝑡 rot 𝐸Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 div 𝐸Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 4𝜋𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 , Ñ Ñ div 𝐻 𝑟 , 𝑡 0. Ñ ⋁︀ 𝐸 Ñ ⋁︀ 𝐻 Ñ и вычтем Домножим скалярно первое и второе уравнения на 𝐸Ñ и 𝐻 одно из другого: Ñ 4𝜋 Ñ Ñ 1 𝜕 𝐸Ñ 𝜕𝐻 Ñ Ñ 𝑗, 𝐸 𝐸, 𝐻, (︀ 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Ñ rot 𝐻 Ñ 𝐻, Ñ rot 𝐸 Ñ 𝐸, Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ Учтем: div(︀𝐸, Ñ Ñ2 1 𝜕𝐻 Ñ 𝜕𝐻 𝐻, 𝜕𝑡 2 𝜕𝑡 . Ñ rot 𝐻 Ñ 𝐸, Ñ rot 𝐸 Ñ , 𝐻, Ñ Ñ 𝜕𝐸 а также 𝐸, 𝜕𝑡 Тогда: Ñ2 1 𝜕𝐸 2 𝜕𝑡 и 4𝜋 Ñ Ñ 1 𝜕 Ñ2 Ñ 2 𝑐 𝐸 𝐻 ⋀︀ 𝑗, 𝐸 𝑐 2𝑐 𝜕𝑡 4𝜋 Ñ2 𝜕 𝐸Ñ 2 𝐻 𝑐 Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ Ñ div(︀𝐸, 𝑗, 𝐸Ñ 0 𝜕𝑡 8𝜋 4𝜋 Последнее выражение представляет собой закон сохранения энергии в дифференциальной форме. Справедливость этого будет сейчас показана. Выясним физический смысл каждого слагаемого. Для этого выполним интегрирование по объему 𝑉 , границы которого неподвижны. 𝑉 Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ div(︀𝐸, Ñ2 𝜕 𝐸Ñ 2 𝐻 𝑑𝑉 𝜕𝑡 8𝜋 𝑐 Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀𝑑𝑉 div(︀𝐸, 4𝜋 𝑉 Ñ 𝑗, 𝐸Ñ 𝑑𝑉 𝑉 11 0 Применив теорему Гаусса-Остроградского (этот прием будет использоваться в дальнейшем очень часто), получим: Ñ2 𝜕 𝐸Ñ 2 𝐻 𝑑𝑉 𝜕𝑡 8𝜋 𝑐 4𝜋 Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀𝑑𝑆 (︀𝐸, 𝑆 𝑉 Ñ 𝑗, 𝐸Ñ 𝑑𝑉 0 𝑉 𝜕 𝑑 Замечание: Так как границы объема неподвижны, то 𝜕𝑡 𝑑𝑡 . Рассмотрим последнее слагаемое: Ñ𝑗, 𝐸Ñ 𝑑𝑉 . Полагаем, что плотность 𝑉 тока образована точечными зарядами. Тогда: Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑁 Q 𝑞𝑎𝛿Ñ𝑟 𝑟Ñ𝑎 Ñ 𝑣𝑎 . 𝑎 1 Тогда получим: Ñ 𝑗, 𝐸Ñ 𝑑𝑉 𝑉 𝑁 Q 𝑞𝑎 𝑎 1 𝑁 Q 𝑞𝑎Ñ𝑣𝑎, 𝐸Ñ Ñ𝑟𝑎, 𝑡 Ñ 𝑣𝑎 , 𝐸Ñ Ñ 𝑟, 𝑡𝛿 Ñ 𝑟 𝑟Ñ𝑎 𝑑𝑉 𝑎 1 𝑉 𝑁 Q 𝑞𝑎 Ñ 𝑣𝑎 , 𝐸Ñ 𝑎 1 𝑁 QÑ𝑣𝑎, 𝐹Ñ𝑎. 1 Ñ ⌋︀ (︀Ñ 𝑣𝑎 , 𝐻 𝑐 𝑎 1 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 0 Ñ𝑎 𝑣 Здесь мы прибавили слагаемое, перпендикулярное 𝑣Ñ𝑎 . Тогда в скалярном произведении слагаемое будет равно нулю, значит его прибавление Ñ ⌋︀. 𝑣𝑎 , 𝐻 справедливо. Кроме того, 𝐹Ñ𝑎 𝑞𝑎 𝐸Ñ 𝑞𝑐𝑎 (︀Ñ Ñ 𝑗, 𝐸Ñ 𝑑𝑉 𝑉 𝑁 Q Ñ𝑣𝑎, 𝐹Ñ𝑎 . 𝑎 1 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ мощность Таким образом, это слагаемое выражает работу, совершаемую электромагнитным полем над зарядами системы за единицу времени. Из закона изменения кинетической энергии, получим: 𝑑𝜀кин 𝑑𝑡 𝑁 Q Ñ𝑣𝑎, 𝐹Ñ𝑎 𝑎 1 Ñ 𝑗, 𝐸Ñ 𝑑𝑉. 𝑉 Тогда запишем: )︀ ⌉︀ 𝑑 ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀𝜀кин 𝑑𝑡 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 𝑉 [︀ ⌉︀ Ñ2 ⌉︀ 𝐸Ñ 2 𝐻 ⌉︀ 𝑑𝑉 ⌈︀ ⌉︀ 8𝜋 ⌉︀ ⌉︀ ⌊︀ 12 𝑆 𝑐 Ñ Ñ Ñ (︀𝐸, 𝐻 ⌋︀, 𝑑𝑆 4𝜋 0. Плотность энергии электромагнитного поля: Ñ2 𝐸Ñ 2 𝐻 , (︀𝑤⌋︀ 8𝜋 𝑤 ]︀ эрг {︀ . см3 Плотность потока энергии (вектор Пойнтинга): Ñ 𝜎 𝑐 Ñ Ñ (︀𝐸, 𝐻 ⌋︀, (︀Ñ 𝜎 ⌋︀ 4𝜋 ]︀ эрг {︀ . см2 с Тогда закон сохранения энергии в дифференциальной и интегральной форме соответственно: 𝜕 𝜕𝑡 𝜕𝑤 𝜕𝑡 𝑤𝑑𝑉 𝑉 Ñ Ñ div 𝜎 𝑗, 𝐸Ñ 0, Ñ 𝜎 , 𝑑𝑆Ñ 𝑆 Ñ 𝑗, 𝐸Ñ 𝑑𝑉 0, 𝑉 Иначе говоря, изменение энергии электромагнитного поля может происходить за счёт передачи энергии через границы объёма, содержащего поле, и совершение полем работы над зарядом системы. 1.3. Потенциалы электромагнитного поля. Уравнение для потенциалов при калибровке Лоренца. А. Замкнутость системы уравнений Максвелла. Рассмотрим систему уравнений Максвелла: )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ div 𝐸Ñ 4𝜋 Ñ 1 𝜕 𝐸Ñ 𝑗 , 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 , rot 𝐸Ñ Ñ rot 𝐻 Ñ div 𝐻 Ñ Ñ 1 𝜕𝐻 𝑟 , 𝑡 , 𝑐 𝜕𝑡 0. Система включает в себя 8 уравнений (в проекциях), но всего 6 неизÑ вестных 𝐸Ñ и 𝐻 уравнения линейно зависимы. Подействуем дивергенцией на третье уравнение и вспомним, что div rot 𝐸Ñ 0, а также учтем последнее уравнение системы: 0 div rot 𝐸Ñ 1𝜕 Ñ div 𝐻 𝑐 𝜕𝑡 13 0. Отсюда видно, что последние два уравнения системы линейно зависимы(первая линейная зависимость). Ñ Подействуем дивергенцией на первое уравнение и вспомним, что div rot 𝐻 0, а также учтем второе уравнение системы и закон сохранения заряда: 0 1𝜕 4𝜋 div Ñ𝑗 div 𝐸Ñ 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 ⧹︀ Ñ div rot 𝐻 4𝜋𝜌 4𝜋 𝜕𝜌 div Ñ 𝑗 𝑐 𝜕𝑡 0. Тогда, первые два уравнения также линейно зависимы. Таким образом, 8 уравнений - 2 скалярных уравнения 6 уравнений и 6 неизвестных система замкнута можно искать решения. Б. Потенциалы электромагнитного поля. Найдем потенциалы электромагнитного поля такие, чтобы однородные уравнения обратились в тождества: Ñ 1) div 𝐻 0, тогда Ñ 𝐻 2) rot 𝐸Ñ rot 𝐴ÑÑ 𝑟, 𝑡, где 𝐴ÑÑ 𝑟, 𝑡 векторный потенциал. Ñ 1 𝜕𝐻 𝑐 𝜕𝑡 , тогда rot 𝐸Ñ 1𝜕 rot 𝐴ÑÑ 𝑟 , 𝑡 𝑐 𝜕𝑡 rot E 1 𝜕A c 𝜕t 0. )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ Ñ𝜙 grad 𝜙 © 𝐸Ñ 1 𝜕 𝐴Ñ , где 𝜙 𝑐 𝜕𝑡 В итоге получим: Ñ 𝜙 © 𝜙Ñ 𝑟, 𝑡скаляный потенциал электромагнитного поля. )︀ 𝐻 Ñ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝐸Ñ ⌉︀ ]︀ Ñ rot 𝐴, Ñ𝜙 © 1 𝜕 𝐴Ñ . 𝑐 𝜕𝑡 В. Калибровочная инвариантность. Определение: Скалярный и векторный потенциалы определены неоднозначно и допускают преобразование вида: 𝜙, 𝐴Ñ 𝜙 , 𝐴Ñ . Такое преобразование называется калибровочным преобразованием потенциала. )︀ 𝐻 Ñ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝐸Ñ ⌉︀ ]︀ rot 𝐴Ñ Ñ𝜙 © rot 𝐴Ñ , 1 𝜕 𝐴Ñ 𝑐 𝜕𝑡 14 Ñ 𝜙 © 1 𝜕 𝐴Ñ . 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 𝜙 , 𝐴 Рассмотрим преобразование 𝜙, 𝐴Ñ 𝐴Ñ вида: Ñ 𝑓 Ñ 𝐴Ñ © 𝑟, 𝑡, где 𝑓 Ñ 𝑟, 𝑡 калибровочная функция. Покажем, что это преобразование является инвариантным: Ñ 𝐻 rot 𝐴Ñ Ñ𝑓 rot 𝐴Ñ rot © rot 𝐴Ñ . )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 0, rot grad 𝐸Ñ Ñ𝜙 © 1 𝜕 𝐴Ñ 𝑐 𝜕𝑡 1𝜕 Ñ𝑓 © 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 𝜙 © 1 𝜕𝑓 1 𝜕 𝐴Ñ 𝑐 𝜕𝑡 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 𝜙 © )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 1 𝜕 𝐴Ñ . 𝑐 𝜕𝑡 𝜙 Таким образом, мы получили преобразования, которые меняют потенциалы, но не меняют напряженностей полей: )︀ Ñ 𝐴 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ 𝜙 ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ 𝑓, 𝐴Ñ © 1 𝜕𝑓 𝜙 . 𝑐 𝜕𝑡 Г. Уравнения для потенциалов электромагнитного поля. Ñ 𝐻 Ñ 𝐸 Ñ rot 𝐴, Ñ𝜙 © 1 𝜕 𝐴Ñ . 𝑐 𝜕𝑡 1) Уравнение для векторного потенциала: Ñ Выпишем уравнение Максвелла и подставим в нее выражение для 𝐻: 4𝜋 Ñ 1 𝜕 𝐸Ñ 𝑗 , тогда: 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 Ñ rot 𝐻 4𝜋 Ñ 1 𝜕 1 𝜕 2 𝐴Ñ Ñ 𝑗 ©𝜙 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 𝑐2 𝜕𝑡2 Ñ ∆𝐴, Ñ тогда: Ñ div 𝐴 © rot rot 𝐴Ñ Учтем, что rot rot 𝐴Ñ Ñ © div 𝐴Ñ ∆𝐴Ñ 4𝜋 Ñ 1 𝜕𝜙 Ñ 𝑗© 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 1 𝜕 2 𝐴Ñ , 𝑐2 𝜕𝑡2 4𝜋 Ñ 1 𝜕𝜙 1 𝜕 2 𝐴Ñ Ñ Ñ div 𝐴 𝑗 © . 𝑐2 𝜕𝑡2 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 2) Уравнение для скалярного потенциала: ∆𝐴Ñ div 𝐸Ñ 4𝜋𝜌, 𝐸Ñ 15 Ñ𝜙 © 1 𝜕 𝐴Ñ , 𝑐 𝜕𝑡 Ñ𝜙 div © 1 𝜕 𝐴Ñ (︀ 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋𝜌 ∆𝜙 1𝜕 div 𝐴Ñ 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋𝜌 Добавим слева и справа одинаковые слагаемые, чтобы привести уравнение к виду, аналогичному для векторного потенциала: 1 𝜕 2𝜙 ∆𝜙 2 2 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋𝜌 1𝜕 1 𝜕𝜙 Ñ div 𝐴 . 𝑐 𝜕𝑡 𝑐 𝜕𝑡 Подытожим, выписав уравнения для векторного и скалярного потенциала: )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 1 𝜕 2 𝐴Ñ 𝑐2 𝜕𝑡2 1 𝜕 2𝜙 ∆𝜙 2 2 𝑐 𝜕𝑡 ∆𝐴Ñ 4𝜋 Ñ 1 𝜕𝜙 Ñ Ñ div 𝐴 𝑗© , 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 1𝜕 1 𝜕𝜙 Ñ 4𝜋𝜌 div 𝐴 . 𝑐 𝜕𝑡 𝑐 𝜕𝑡 Д. Уравнения для потенциалов в калибровке Лоренца. Ñ . 𝜙 , 𝐴 Вновь рассмотрим преобразование: 𝜙, 𝐴Ñ ложение: div 𝐴Ñ 1𝑐 𝜕𝜙 𝐹 Ñ 𝑟, 𝑡 x 0. 𝜕𝑡 Выполним калибровочные преобразования: 𝐴Ñ Ñ 𝑓, 𝜙 𝐴Ñ © 𝜙 Сделаем предпо- 1 𝜕𝑓 . 𝑐 𝜕𝑡 Тогда наше предположение будет иметь вид: div 𝐴Ñ 1 𝜕𝜙 𝑐 𝜕𝑡 div 𝐴Ñ Ñ 𝑓 div © ⧹︀ 1 𝜕𝜙 𝑐 𝜕𝑡 1 𝜕 2𝑓 𝑐2 𝜕𝑡2 𝐹 Ñ 𝑟 , 𝑡 . Δ Ñ ]︀div 𝐴 1 𝜕𝜙 {︀ ∆𝑓 𝑐 𝜕𝑡 1 𝜕 2𝑓 𝑐2 𝜕𝑡2 𝐹 Ñ 𝑟 , 𝑡 . )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ всегда есть f - решение 𝐹 Ñ 𝑟, 𝑡 §𝑓 Ñ 𝑟, 𝑡, для которой выполняется ∆𝑓 Тогда будет выполнено: ¦ 1 𝜕2𝑓 𝑐2 𝜕𝑡2 𝐹 Ñ 𝑟, 𝑡. 1 𝜕𝜙 0, Калибровочное условие Лоренца. 𝑐 𝜕𝑡 Тогда уравнения для потенциалов: div 𝐴Ñ )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 1 𝜕 2 𝐴Ñ 𝑐2 𝜕𝑡2 1 𝜕 2 𝜙 ∆𝜙 2 2 𝑐 𝜕𝑡 ∆𝐴Ñ 16 4𝜋 Ñ 𝑗, 𝑐 4𝜋𝜌. 2 𝜕 ∆ 𝑐12 𝜕𝑡 2 Или перепишем иначе, используя оператор Д’Аламбера: 𝐴 )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 4𝜋 Ñ 𝑗, 𝑐 4𝜋𝜌. 𝐴Ñ 𝜙 Замечание: В дальнейших вычислениях штрихи в обозначениях потенциалов будем опускать. Замечание: Калибровочное условие Лоренца не фиксирует калибровку потенциалов однозначно и допускает дополнительные калибровочные преобразования с калибровочными функциями 𝑓1 𝑓1 0. 1.4. Уравнения для потенциалов и их решение в виде запаздывающих потенциалов. Пусть 𝑟Ñ - точка наблюдения в текущий момент времени. Решение для 𝜙Ñ 𝑟 , 𝑡 Ñ и 𝐴Ñ 𝑟, 𝑡 получим из уравнений: )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 𝐴ÑÑ 𝑟 , 𝑡 𝜙Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑧 dV’ 4𝜋 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟, 𝑡, 𝑐 4𝜋𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 . 𝑗Ԧ ≠ 0 ρ≠0 𝑦 𝑑𝑉 ª 𝑟Ԧ 𝑑𝑡 𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 𝐺Ñ 𝑟, 𝑡, 𝑟Ñ , 𝑡 , 𝜙Ñ 𝑟 , 𝑡 𝐴ÑÑ 𝑟 , 𝑡 ª ª 4𝜋 𝑑𝑉 𝑑𝑡Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑡 𝐺Ñ 𝑟, 𝑡, 𝑟Ñ , 𝑡 , 4𝜋 𝑐 𝑟Ԧ − 𝑟’ Ԧ 𝑥 Будем искать решение в виде: 𝑟’ Ԧ ª где 𝐺 - функция Грина, построенная с учетом принципа причинности: изменение потенциала электромагнитного поля в каждой точке пространства должно запаздывать по отношению к изменению источника. Выполним подстановку: ª 𝑟Ñ,𝑡 𝜙Ñ 𝑟 , 𝑡 4𝜋 ª 𝑑𝑉 ª 𝑑𝑡 𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑟Ñ,𝑡 𝐺Ñ 𝑟, 𝑡, 𝑟Ñ , 𝑡 ª ª 4𝜋 ª 17 𝑑𝑉 ª ª 4𝜋𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑑𝑡 𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 𝛿 Ñ 𝑟 𝑟Ñ 𝛿 𝑡 𝑡 . Приравняв подынтегральные выражения, получим: 𝑟Ñ,𝑡 𝐺Ñ 𝑟, 𝑡, 𝑟Ñ , 𝑡 𝛿 Ñ 𝑟 𝑟Ñ 𝛿 𝑡 𝑡 . )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ трехмерная Воспользуемся преобразованием Фурье для 𝛿-функции. В одномерном случае: 1 2𝜋 𝛿 𝑥 𝑥0 ª 𝑑𝑥𝑒𝑖𝑘𝑥𝑥0 . ª Выполним обобщение на трехмерный случай: 1 2𝜋 3 𝛿 Ñ 𝑟 𝑟Ñ Ñ 𝑖𝑘,𝑟Ñ𝑟Ñ , где 𝑑𝑘 Ñ 𝑑𝑘𝑒 Ñ 1 2𝜋 𝛿 𝑡 𝑡 ª 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 𝑑𝑘𝑧 𝑑𝑘0 𝑒𝑖𝑘0 𝑡𝑡 . ª Тогда: 𝛿 Ñ 𝑟 𝑟Ñ 𝛿 𝑡 𝑡 1 2𝜋 4 ª 𝑑𝑘Ñ 𝑑𝑘0 𝑒𝑖𝑘0 𝑡𝑡 𝑘,𝑟Ñ𝑟Ñ Ñ . ª Будем искать решение для функции Грина в виде разложения в интеграл Фурье по переменным 𝑟Ñ и 𝑡. 1 2𝜋 4 𝐺Ñ 𝑟, 𝑡, 𝑟Ñ , 𝑡 ª 𝑑𝑘Ñ Ñ𝑟 Ñ𝑟 Ñ 𝑖𝑘0 𝑡𝑡 𝑘, Ñ 𝑘 ,𝑟 ˆ 𝑘, 𝑑𝑘0 𝐺 0 Ñ , 𝑡 𝑒 1 𝜕 2 𝑖𝑘0 𝑡𝑡 𝑘, Ñ𝑟 Ñ𝑟 Ñ 𝑒 2 2 𝑐 𝜕𝑡 . ª Выполним подстановку: 𝑟Ñ,𝑡 𝐺 ∆𝑟Ñ 1 2𝜋 4 1 2𝜋 4 1 𝜕2 𝐺 𝑐2 𝜕𝑡2 ª 𝑑𝑘Ñ Ñ 𝑘 ,𝑟 ˆ 𝑘, 𝑑𝑘0 𝐺 0 Ñ , 𝑡 ∆𝑟Ñ ª ª 𝑑𝑘Ñ Ñ 𝑘 ,𝑟 ˆ 𝑘, 𝑑𝑘0 𝐺 0 Ñ ,𝑡 ª 𝛿 Ñ 𝑟 𝑟Ñ 𝛿 𝑡 𝑡 18 𝑘02 𝑐2 1 2𝜋 4 𝑘Ñ2 (︀ 𝑒𝑖𝑘0 𝑡𝑡 𝑘,𝑟Ñ𝑟Ñ ª 𝑑𝑘Ñ ª Ñ 𝑑𝑘0 𝑒𝑖𝑘0 𝑡𝑡 𝑘,𝑟Ñ𝑟Ñ Ñ . Справа и слева - разложение в интеграл Фурье, значит, в силу единственности разложения в интеграл Фурье, можно приравнять фурье-образы: 2 ˆ 𝑘0 𝐺 𝑐2 ˆ 𝐺 𝑘Ñ2 (︀ 𝑐2 1 𝑘02 𝑐2 Ñ 2 𝑘02 𝑘𝑐 𝑘Ñ2 1, тогда: фурье-образ функции Грина. Восстановим функцию Грина: 𝐺 1 2𝜋 4 ª 𝑑𝑘Ñ Ñ𝑟 Ñ𝑟 Ñ 𝑖𝑘0 𝑡𝑡 𝑘, ˆ 𝑑𝑘0 𝐺𝑒 ª где обозначено: 𝐼 𝑘Ñ ª ª 𝑐2 2𝜋 4 Ñ 𝑖𝑘,𝑟Ñ𝑟Ñ 𝐼 𝑘 Ñ , 𝑑𝑘𝑒 Ñ 𝑖𝑘0 𝑡𝑡 . 𝑑𝑘0 𝑘𝑒2 𝑘𝑐 Ñ 2 0 Подынтегральная функция имеет две особые точки 𝑘0 𝑘𝑐, 𝑘0 𝑘𝑐, поэтому вычисление интеграла удобно выполнить интегрированием в комплексной плоскости. Будем считать 𝑘0 комплексной переменной. Выполним замыкание контура в комплексной плоскости с помощью полуокружности радиуса 𝑅. Подынтегральная функция имеет вид: 𝑓 𝑘0 𝑒𝑖𝛼𝑘0 . 𝑓 𝑘0 1 𝑘02 𝑘𝑐2 Согласно лемме Жордана: 1 ⋃︀𝑘0 ⋃︀1𝛿 𝑓 𝑘0 𝑒𝑖𝛼𝑘0 𝑑𝑘0 , 𝛿 A 0. 0, при том, что окружность 𝐶𝑅 должна быть выбрана так, что 𝛼 𝑡 𝑡 A 0, 𝐼𝑚𝑘0 A 0 (замыкание в верхнюю полуплоскость), при 𝛼 𝑡 𝑡 𝐼𝑚𝑘0 @ 0 (замыкание в нижнюю полуплоскость). Чтобы избежать нарушения принципа причинности сместим оба полюса подын𝐼𝑚 тегральной функции в положительном наГ+ 𝐶𝑅 правлении мнимой оси на величину 𝑖𝜀 𝜀 A 0. −𝑘𝑐 + 𝑖ε 𝑘𝑐 + 𝑖ε 𝐼 𝑘Ñ 𝑒𝑖𝑘0 𝑡𝑡 . 𝑘0 𝑖𝜀2 𝑘𝑐2 lim 𝜀 0 𝑅𝑒 Г Оба полюса 𝑘0 𝑘𝑐 𝑖𝜀, 𝑘0 𝑘𝑐 𝑖𝜀 первого порядка. Из ТФКП мы знаем, что такой интеграл может быть найден при помощи вычетов в этих точках. 19 Г− 𝐶𝑅 Найдем вычет в полюсах первого порядка по правилу: Res 𝜓𝜙 𝜑𝑘0 𝜓 𝑘0 . 𝑒𝑖𝑘0 𝑡𝑡 2𝜋𝑖 lim Res , 𝑘0 𝑘𝑐 𝑖𝜀, 𝑘0 𝑘𝑐 𝑖𝜀(︀ 𝜀 0 𝑘0 𝑖𝜀2 𝑘𝑐2 𝑒𝑖𝑘0 𝑡𝑡 𝑒𝑖𝑘0 𝑡𝑡 2𝜋𝑖 lim ⋁︀ ⋁︀ (︀ 𝜀 0 2𝑘0 𝑖𝜀 2 𝑘 𝑖𝜀 0 𝑘0 𝑘𝑐𝑖𝜀 𝑘0 𝑘𝑐𝑖𝜀 𝐼 𝑘Ñ 𝑒𝑖𝑘𝑐𝑡𝑡 2𝜋𝑖 lim 𝜀 0 2𝑘𝑐 𝑒𝑖𝑘𝑐𝑡𝑡 (︀ 2𝑘𝑐 2𝜋 𝑒𝑖𝑘𝑐𝑡𝑡 𝑒𝑖𝑘𝑐𝑡𝑡 (︀ 𝑘𝑐 2𝑖 2𝜋 sin 𝑘𝑐𝑡 𝑡 , при 𝛼 𝑡 𝑡 A 0. 𝑘𝑐 Тогда получим: )︀ 2𝜋 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ 𝑘𝑐 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 𝐼 𝑘Ñ sin 𝑘𝑐𝑡 𝑡 , 𝑡 A 𝑡 0, 𝑡 @ 𝑡 Здесть 𝑡 - время наблюдения, 𝑡 - время события. Перепишем, используя функцию Хевисайда: 𝐼 𝑘Ñ 2𝜋 sin 𝑘𝑐𝑡 𝑡 𝐻 𝑡 𝑡 , 𝑘𝑐 1, 𝑥 C 0 0, 𝑥 @ 0 где 𝐻 𝑥 функция Хевисайда. В дальнейших промежуточных вычислениях мы не будем записывать функцию Хевисайда, а вспомним про неё в конце вычислений. Вычислим функцию Грина: 𝑐2 2𝜋 4 𝐺 Ñ 𝑖𝑘,𝑟Ñ𝑟Ñ 𝐼 𝑘 Ñ , 𝑑𝑘𝑒 Ñ Вычисление интеграла выполним в сферической системе координат, ось Ñ 𝑟 Ñ 𝑟 Ñ (фиксированный 𝑘Ñ𝑧 которой совпадает с направлением вектора 𝑅 3 параметр). 𝑘Ñ 𝑘𝑧 𝑅 𝑘 𝑘𝑥 𝑘 sin 𝜃 cos 𝜓, 𝑘𝑦 𝑘 sin 𝜃 sin 𝜓, ϴ 𝑘𝑥 𝑘𝑧 𝑘𝑦 Ψ 20 𝑘 cos 𝜃, 𝑑𝑘Ñ Ñ 𝑟 Ñ 𝑟 Ñ 𝑘, 𝑐2 2𝜋 2𝜋 4 𝑐 𝐺 ª Ñ 𝑅 Ñ 𝑘, 𝜋 2 𝑘 𝑑𝑘 0 𝑘 2 sin 𝜃𝑑𝑘𝑑𝜃𝑑𝜓, 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 𝑑𝑘𝑧 2𝜋 sin 𝜃𝑑𝜃 0 𝑘𝑅 cos 𝜃, sin 𝑘𝑐𝑡 𝑡 𝑖𝑘𝑅 cos 𝜃 𝑑𝜓 𝑒 𝑘 0 𝑐 2𝜋 2 ª 𝑘 sin 𝑘𝑐𝑡 𝑡 𝑑𝑘 0 𝜋 sin 𝜃𝑒𝑖𝑘𝑅 cos 𝜃 𝑑𝜃. 0 Вычислим: )︀𝜉 cos 𝜃 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀𝑑𝜉 sin 𝜃𝑑𝜃 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀𝜉 > (︀1, 1⌋︀ 𝜋 sin 𝜃𝑒 𝑖𝑘𝑅 cos 𝜃 𝑑𝜃 0 [︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌈︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌊︀ 1 𝑒 𝑖𝑘𝑅𝜉 𝑑𝜉 1 𝑒𝑖𝑘𝑅 𝑒𝑖𝑘𝑅 𝑖𝑘𝑅 2 sin 𝑘𝑅 . 𝑘𝑅 Тогда получим: 𝐺 𝑐 4𝜋 2 ª 2 sin 𝑘𝑅 𝑑𝑘𝑘 sin 𝑘𝑐𝑡 𝑡 𝑘𝑅 𝑐 2𝜋 2 𝑅 0 𝑑𝑘 sin 𝑘𝑐𝑡 𝑡 sin 𝑘𝑅. 0 Учтем: sin 𝑘𝑐𝑡 𝑡 sin 𝑘𝑅 )︀ª 𝐺 ª ⌉︀ 𝑐 ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ 4𝜋 2 𝑅 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 0 cos 𝑘𝑐𝑡𝑡 𝑅𝑐 2 𝑅 cos 𝑘𝑐𝑡 𝑡 𝑑𝑘 𝑐 cos 𝑘𝑐𝑡𝑡 𝑅𝑐 . 2 ª 0 [︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝑅 ⌉︀ cos 𝑘𝑐𝑡 𝑡 𝑑𝑘 ⌈︀ . ⌉︀ 𝑐 ⌉︀ ⌉︀ ⌊︀ Воспользуемся разложением 𝛿-функции в интеграл Фурье: 𝛿 𝑥 𝑥0 1 𝜋 𝜋 cos 𝑘 𝑥 𝑥0 𝑑𝑘. 1 Введем переменную 𝜉 𝑘𝑐. Получим: 1 𝑅 𝑅 𝛿 𝑡 𝑡 𝛿 𝑡 𝑡 𝐻 𝑡 𝑡 . 4𝜋𝑅 𝑐 𝑐 Здесь мы снова вспомнили про функцию Хевисайда. Вычислим потенциалы: 𝐺 𝜙Ñ 𝑟 , 𝑡 4𝜋 𝑑𝑉 ª 𝑑𝑡 𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 𝐺Ñ 𝑟, 𝑡, 𝑟Ñ , 𝑡 , ª 21 𝜙Ñ 𝑟 , 𝑡 4𝜋 𝑑𝑉 ª 𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑅 𝑅 𝑑𝑡 𝛿 𝑡 𝑡 𝛿 𝑡 𝑡 𝐻 𝑡 𝑡 4𝜋𝑅 ª 𝑐 𝑐 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑑𝑉 𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 𝐻 𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 𝐻 (︀, где 𝑅 𝑅 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 1 Тогда: 𝜙Ñ 𝑟 , 𝑡 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀. 0 𝑑𝑉 𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 ⋃︀Ñ𝑟𝑐𝑟Ñ ⋃︀ ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ , 𝑉 𝐴ÑÑ 𝑟 , 𝑡 𝑑𝑉 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑡 ⋃︀Ñ𝑟𝑐𝑟Ñ ⋃︀ ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ . 𝑉 Итак мы получили решение для запаздывающего потенциала. 1.5. Разложение потенциала электростатического поля по мультиполям до квадруполя включительно. Приближение электростатики: 𝜌 𝜙Ñ 𝑟 𝑧 ρ=0 dV’ ρ≠0 𝑟’ Ԧ 𝑟Ԧ − 𝑟’ Ԧ 𝑦 𝑥 𝜌Ñ 𝑟 , 𝜙 𝜙Ñ 𝑟, 𝜕𝑡 0. Тогда: 𝜌 Ñ 𝑟 . 𝑑𝑉 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ Рассмотрим локальную систему зарядов: Пусть 𝐿 - максимальный размер системы. Если 𝐿 max ⋃︀Ñ 𝑟 ⋃︀ P ⋃︀Ñ 𝑟⋃︀, то существует ⋃︀Ñ 𝑟 ⋃︀ малый параметр ⋃︀Ñ𝑟⋃︀ 𝜀 P 1, по которому может быть выполнено разложение подынтегральной функции в сходящийся ряд. Такое разложение - мультипольное разложение потенциала. 𝑟Ԧ Вычислим: ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ ⌈︂ Ñ 𝑟 𝑟Ñ 2 (︀Ñ 𝑟 2 𝑟Ñ 2 2Ñ 𝑟, 𝑟Ñ ⌋︀ 2 1 1 𝑟 2 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 2 𝑟 ⌊︀1 2 }︀ 𝑟 𝑟2 22 1 𝑟 (︀1 𝑥⌋︀ 2 , при этом 𝑥 P 1. Тогда: 1 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 1 𝑟 (︀1 𝑥⌋︀ 1 2 . Выполним разложение: 1 (︀1 𝑥⌋︀ 1 2 1 ∫︀∫︀ ∫︀∫︀ ∫︀ 𝑥 3 ∫︀ ∫︀∫︀ 2 ∫︀ 2 (︀1 𝑥⌋︀ ∫︀∫︀𝑥 0 1 ∫︀ ∫︀∫︀ 3 1 ∫︀∫︀ 𝑥2 5 ∫︀ ∫︀∫︀ 2 4 (︀1 𝑥⌋︀ 2 ∫︀∫︀ ∫︀𝑥 0 1 𝑥 3 2 𝑥 .... 2 8 Выполним оценку по малому параметру: 𝑥 1 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 1 1 𝑟 2 1 ⌊︀ 𝑟 2 𝑟 ⧹︀ 𝜀 2 𝑟 2 2Ñ 𝑟, 𝑟Ñ . 𝑟 𝑟2 2Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 3 𝑟 4 }︀ ⌊︀ 𝑟2 8 𝑟 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝜀 ⧹︀ 𝜀4 𝑟, 𝑟Ñ 2 4Ñ 𝑟, 𝑟Ñ Ñ 𝑟 2 4Ñ }︀ 𝑟4 𝑟4 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝜀 3 𝑟, 𝑟Ñ 1 3Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 2 1 Ñ ]︀ 𝑟 𝑟3 2𝑟 𝑟4 . . . (︀ )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝜀 2 𝑟2 {︀ . . . . 𝑟2 К последнему выражению мы перешли, учитывая члены только до второго порядка малости включительно. 𝜙Ñ 𝑟 𝜌 Ñ 𝑟 𝑑𝑉 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 1 2𝑟5 1 𝑟 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝜙0 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 𝑟3 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝜙1 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 (︀3Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 2 𝑟Ñ 2 𝑟Ñ 2 ⌋︀ 𝜙0 𝜙1 𝜙2 . . . . )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝜙2 Таким образом, мы получили мультипольное разложение потенциала. Вычислим каждое из слагаемых в явной форме: 1) Монопольное приближение: 𝜙0 Ñ 𝑟 𝑄 , где 𝑄 𝑟 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 полный заряд системы(скалярная величина). Вычислим: 𝑄𝑟Ñ поле Кулона. 𝑟3 2) Электрическое дипольное приближение. 𝐸Ñ0 𝜙1 Ñ 𝑟 1 𝑟3 Ñ 𝜙0 © 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 𝑟Ñ , 𝑟3 23 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 𝑟Ñ Ñ𝑟 Ñ 𝑑, 𝑟3 𝑜 1 . 𝑟3 где 𝑑Ñ 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 𝑟Ñ - электрический дипольный момент системы. Замечание: Для системы точечных зарядов 𝑞𝑎 , находящихся в точках с радиус-векторами Ñ 𝑟𝑎 . 𝜌Ñ 𝑟 𝑁 Q 𝑞𝑎𝛿Ñ𝑟 𝑟Ñ𝑎 , 𝑎 1 𝑁 Q 𝑞𝑎 𝑑Ñ 𝑁 Q 𝑞𝑎𝑟Ñ𝑎. 𝑑𝑉 𝛿 Ñ 𝑟 𝑟Ñ𝑎 Ñ 𝑟 𝑎 1 𝑧 𝑎 1 Замечание: В общем случае дипольный 𝑧’ момент зависит от выбора начала системы координат. Ñ 𝑟Ñ𝑎 𝑟Ñ𝑎 𝑅. 𝑞𝑎 𝑟Ԧ𝑎 𝑟Ԧ𝑎′ 𝑅 𝑦 𝑥 Тогда: 𝑁 𝑑Ñ 𝑦′Q 𝑞𝑎 𝑟Ñ𝑎 𝑥′ 𝑎 1 𝑁 𝑁 Q 𝑞𝑎𝑟Ñ𝑎 𝑅Ñ Q 𝑞𝑎 𝑎 1 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂)︂ 𝑑Ñ Ñ 𝑑Ñ 𝑄𝑅. 𝑎 1 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝑄 а) Если 𝑄 0 (система электрически нейтральна), тогда 𝑑Ñ 𝑑Ñ (нет зависимости от системы отсчета). б) Если 𝑄 x 0 (система заряжена), то, так как дипольный момент зависит от системы отсчета, может быть выбрана система отсчета такая, что 𝑑Ñ Ñ Ñ 0. Такая система отсчета называется 𝑅 0 𝑄 . Тогда окажется, что 𝑑 системой центра заряда. Вычислим 𝐸Ñ1 : 𝐸1 Ñ 𝜙1 © Ñ © Ñ𝑟 Ñ 𝑑, 𝑟3 (︀ Ñ𝑟 Ñ 𝑑Ñ 𝑑, Ñ𝑟 3 © 3 4 𝑟 𝑟 ⃒ 𝑟Ñ 𝑟 3 Ñ𝑟 ÑÑ 𝑑, 𝑟 𝑟5 𝑑Ñ . 𝑟3 3) Электрическое квадрупольное приближение. 𝜙2 1 2𝑟5 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 (︀3Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 2 𝑟Ñ 2 𝑟Ñ 2 ⌋︀. Воспользуемся индексными обозначеними: 𝑥 𝑥, 𝑥2 𝑦, 𝑥3 𝑧. На данный момент разницы между нижним и верхним индексами нет, так как работаем в декартовой системе координат. Тогда: 𝑥𝛼 > 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , Ñ 𝑟𝛼 𝑥𝛼 , Ñ 𝑟 𝛼 𝑥𝛼 . 24 Здесь 𝛼 1, 2, 3. В дальнейшем греческие символы 𝛼, 𝛽, 𝛾 и.т.д, будем использовать для описания трехмерного пространства, а латинские - для описания четырехмерного пространства-времени. Учтем,что 𝑟Ñ 2 P𝛼 𝑥𝛼𝑥𝛼 𝛼,𝛽P 1 𝑥𝛼𝑥𝛽 𝛿𝛼𝛽 , где 3 𝛿𝛼𝛽 Кроме того: Ñ 𝑟, 𝑟Ñ )︀ ⌉︀ ⌉︀1, ⌋︀ ⌉︀ 0, ⌉︀ ]︀ 𝛼 𝛽, 𝛼 x 𝛽, символ Кронекера. P𝛼 𝑥𝛼𝑥𝛼, тогда: Ñ𝑟, 𝑟Ñ 2 𝛼,𝛽 P 𝑥𝛼𝑥𝛼𝑥𝛽 𝑥𝛽 . Выполним подстановку в подынтегральное выражение: 𝜙2 1 2𝑟5 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 (︀3Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 2 𝑟Ñ 2 𝑟Ñ 2 ⌋︀ 1 2𝑟5 где 𝐷𝛼𝛽 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 (︀3𝑥𝛼 𝑥𝛽 𝛿𝛼𝛽 𝑟Ñ 2 ⌋︀ польного момента. Свойства тензора: 1) 𝐷𝛼𝛽 𝐷𝛽𝛼 , 2) P 𝐷𝛼𝛼 (след равен нулю), 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 (︀3𝑥𝛼 𝑥𝛼 𝑥𝛽 𝑥𝛽 𝑥𝛼 𝑥𝛽 𝛿𝛼𝛽 𝑟Ñ 2 ⌋︀ 1 Q 𝐷𝛼𝛽 𝑥𝛼𝑥𝛽 , 2𝑟5 𝛼,𝛽 тензор электрического квадру- 𝛼 Доказательство: Q 𝐷𝛼𝛼 𝐷11 𝐷22 𝐷33 𝛼 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 ⌊︀3 Q 𝑥𝛼 𝑥𝛼 𝑟Ñ 2 Q 𝛿𝛼𝛼 }︀ 𝛼 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝑟Ñ 2 0. 𝛼 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂]︂⌊︂ ⌊︂ )︂ 3 3) Так как 𝐷𝛼𝛽 𝐷𝛽𝛼 , значит тензор можно привести к диагональному виду, кроме того, так как 𝐷33 𝐷11 𝐷22 2 независимые компоненты. Вычислим напряженность поля: 𝐸Ñ2 Ñ 𝜙2 , 𝜙2 © 1 1 𝐷 𝑥 𝑥 𝑜 . Q 𝛼𝛽 𝛼 𝛽 2𝑟5 𝛼,𝛽 𝑟3 В следующем выражении мы воспользуемся правилом Эйнштейна и не будем писать суммы. Ñ 𝐸 2 𝜇 𝜕𝜙2 𝜕𝑥𝜇 𝜕 𝐷𝛼𝛽 𝑥𝛼 𝑥𝛽 𝜕𝑥𝜇 2𝑟5 𝐷𝛼𝛽 𝛿𝜇𝛼 𝑥𝛽 𝐷𝛼𝛽 𝑥𝛼 𝛿𝜇𝛽 5𝐷𝛼𝛽 𝑥𝛼 𝑥𝛽 𝜕𝑟 2𝑟5 2𝑟5 2𝑟6 𝜕𝑥𝜇 5𝐷𝛼𝛽 𝑥𝛼 𝑥𝛽 𝐷𝜇𝛼 𝑥𝛼 𝜕𝑟 𝑥𝜇 (︀ 𝑥 . 𝜇 𝜕𝑥𝜇 𝑟 2𝑟7 𝑟5 25 Первое слагаемое - центральная часть поля. Второе слагаемое, неожиданно, нецентральная часть поля. Ñ Замечание: Обозначим через 𝐷 P 𝐷𝛼𝛽 𝑥𝛽 . Тогда: 𝛼 𝛽 Ñ Ñ 𝑟 ÑÑ 5𝐷, 𝑟 𝐷 . 2𝑟Ñ 𝑟5 𝐸Ñ𝛼 1.6. Энергия и сила электростатического взаимодействия. А. Энергия электростатического поля локальной системы зарядов. Окружим локальную систему зарядов объема V с максимальным линейным размером 𝐿 поверхностью 𝑆. 𝜀𝑒𝑠 𝐸Ñ Ñ 𝑟 𝐸2 𝑑𝑉 8𝜋 Ñ 𝜙Ñ 𝑟 , © 𝐿 Ñ 𝑑𝑉 Ñ 𝜙, 𝐸 © 𝑉 𝑉 Ñ 𝜙 div 𝐸 Ñ Ñ 𝜙, 𝐸 Учтем: div𝜙𝐸Ñ © Ñ div𝜙𝐸 Ñ 𝜙 div 𝐸. Ñ Ñ 𝜙, 𝐸 © )︀ 𝜀𝑒𝑠 ⌉︀ 1 ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ 8𝜋 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀𝑉 div𝜙𝐸Ñ 𝑑𝑉 [︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ 𝜙 div 𝐸𝑑𝑉 ⌈︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝑉 ⌊︀ 1 8𝜋 ª ⧹︀ 4𝜋𝜌Ñ 𝑟 1 Ñ 𝑟2 , ⋃︀𝑑𝑆 ⋃︀ 1 8𝜋 Ñ 𝜙𝐸 Ñ 𝑑𝑆, 𝑆 𝜙 div 𝐸Ñ 𝑑𝑉 𝑉 Пусть 𝑆 𝑆ª , 𝑟 ª. Так как 𝜙⋃︀𝑆ª 1𝑟 , ⋃︀𝐸Ñ ⋃︀⋂︀𝑆 𝑟Ԧ ρ≠0 1 8𝜋 𝑉 ρ=0 𝑆 → 𝑆∞ 1 8𝜋 Ñ 𝜙𝐸 Ñ 𝑑𝑆, 1 2 𝑆 𝑟2 . Тогда: Ñ 𝜙𝐸 Ñ 𝑑𝑆, 1 𝑟 ÐÐ 𝑟 ª 0. 𝑆ª Поэтому: 𝜀𝑒𝑠 1 2 𝜌Ñ 𝑟𝜙Ñ 𝑟𝑑𝑉. 𝑉 Б. Взаимодействие электростатических зарядов. 26 𝜌𝜙𝑑𝑉. 𝑉 Рассмотрим две локальные системы зарядов максимальными линейными размерами 𝐿1 и 𝐿2 . В силу принципа суперпозиции: 𝜌Ñ 𝑟 𝜌1 Ñ 𝑟 𝜌2 Ñ 𝑟, 𝜙Ñ 𝑟 𝜙1 Ñ 𝑟 𝜙2 Ñ 𝑟 . 𝐿1 𝐿2 𝜌1 ≠ 0 𝜌2 ≠ 0 Тогда: 𝜀𝑒𝑠 1 2 𝜌Ñ 𝑟𝜙Ñ 𝑟𝑑𝑉 1 2 где обозначено: 𝜀11 1 2 𝜀11 𝜀22 𝜀12 𝜀21 , 1 2 𝜌1 𝜙1 𝑑𝑉, 𝜀22 𝑉1 𝜌2 𝜙2 𝑑𝑉, 𝜀12 𝑉2 1 2 𝜌1 𝜙2 𝑑𝑉, 𝜀21 𝑉1 𝜌2 𝜙1 𝑑𝑉. 𝑉2 Определение: 𝜀11 и 𝜀22 - собственные энергии электростатического поля каждой системы в отдельности. При описании взаимодействия 𝜀11 и 𝜀22 имеют характер аддитивных констант и могут быть отброшены выбором системы отсчета. Замечание: Для точечного заряда: 𝜌1 𝑞1 𝛿 Ñ 𝑟, 𝜙1 𝑞𝑟1 . 𝜀11 1 2 𝜌1 𝜙1 𝑑𝑉 Утверждение: Покажем, что 𝜀12 𝜙1 Ñ 𝑟 𝜙2 Ñ 𝑟 𝜀12 1 2 𝑞12 2 1 𝛿 Ñ 𝑟 𝑑𝑉 𝑟 ª . 𝜀21 : 𝑑𝑉 𝜌1 Ñ 𝑟 . ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝜌2 Ñ 𝑟 𝑑𝑉 . ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝜌2 Ñ 𝑟 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 1 𝜌1 Ñ 𝑟 1 𝑑𝑉 𝜌2 Ñ 𝑟 𝑑𝑉 𝜌2 Ñ 𝑟 𝜙1 Ñ 𝑟 𝑑𝑉 2 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ⋃︀ 2 𝜌1 Ñ 𝑟𝜙2 Ñ 𝑟𝑑𝑉 1 2 𝑑𝑉 𝜌1 Ñ 𝑟 𝑑𝑉 𝜀21 . Определение: Будем называть энергией взаимодействия электростатических систем величину: 𝜀𝑖𝑛𝑡 𝜀12 𝜀21 2𝜀12 2𝜀21 27 𝜌1 𝜙2 𝑑𝑉 𝜌2 𝜙1 𝑑𝑉. В. Сила взаимодействия двух систем зарядов. Момент силы. Обозначим через 𝐿 - функцию Лагранжа электромагнитного поля. Для электростатической системы: 𝐿 𝜀𝑒𝑠 . Для магнитостатической системы: 𝐿 𝜀𝑒𝑠 . Пусть 𝑞 - обобщенная координата, описывающая взаимное расположение системы, а 𝐹𝑞 - обобщенная сила, соответствующая этой координате. 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝐹𝑞 𝜕𝜀𝑒𝑠 𝜕𝑞 𝜕 𝜀11 𝜀22 𝜀𝑖𝑛𝑡 𝜕𝑞 𝜕𝜀𝑖𝑛𝑡 , 𝜕𝑞 𝜕𝑞 𝜀11 𝜀22 0 (не зависит от q). 1) Если 𝑞 𝑟Ñ 𝑥, 𝑦, 𝑧 - радиус-вектор центра масс одной из систем. 𝜕 𝜕𝑞 Ñ Ñ, 𝐹 𝑞 𝐹Ñ © Ñ 𝜀𝑖𝑛𝑡 сила, © действующая на систему. 2) Если 𝑞 𝜃 - угол, образованный 𝑟Ñ и осью координат (или любым направлением), тогда: 𝜕 , 𝐹𝑞 𝜕𝜃 𝜕 𝜕𝑞 𝑀𝜃 𝜕𝜀𝑖𝑛𝑡 𝜕𝜃 момент силы, действующей на систему. Г. Сила взаимодействия удаленных точечных систем. Рассмотрим локальные системы, состоя𝑧’ щие из точечных зарядов, размеры которых много меньше расстояния между ними. Ñ ⋃︀. 𝐿1 , 𝐿2 P ⋃︀𝑅 𝐿1 𝑧 𝐿2 𝑟Ԧ𝑎 𝑟Ԧ𝑎′ 𝑁 𝜌0 Ñ 𝑟 𝑦′ 𝑅 𝑥′ 𝑦 𝑥 𝜀𝑖𝑛𝑡 2𝜀21 𝑁 𝜌2 Ñ 𝑟𝜙Ñ 𝑟𝑑𝑉 Q 𝑞𝑎 𝜙1 Ñ 𝑟𝛿 Ñ 𝑟 𝑟Ñ𝑎 𝑑𝑉 𝑁 Q 𝑞𝑎𝜙1𝑅Ñ 𝑎 1 ⋃︀Ñ 𝑟𝑎 ⋃︀ @ 𝐿2 P ⋃︀𝑅Ñ ⋃︀, поэтому ⋃︀Ñ 𝑟𝑎 ⋃︀ Ñ ⋃︀ ⋃︀𝑅 𝑟Ñ𝑎 , P 1. 28 Q 𝑞𝑎𝜙1Ñ𝑟𝑎. 𝑎 1 Ñ𝑟 Ñ𝑎 . 𝑅 𝜀𝑖𝑛𝑡 𝑁 𝑎 1 Учтем: 𝑟Ñ𝑎 Q 𝑞𝑎𝛿Ñ𝑟 𝑎 1 𝑟Ñ𝑎 . Выполним разложение в ряд: Ñ𝑟 Ñ Ñ Ñ . . . . Ñ 𝜙1 𝑅 Ñ𝑎 𝜙1 𝑅 𝜙 𝑅 𝑟𝑎 , © Тогда: 𝑁 𝜀𝑖𝑛𝑡 Q 𝑞𝑎 𝜙1 𝑎 1 Ñ 𝑅 𝑁 Q Q 𝑞𝑎𝑟Ñ𝑎 , Ñ 𝜙1𝑅Ñ © 𝜙1 Ñ 𝑅 𝑎 1 𝑁 Ñ Ñ 𝜙1 𝑅 𝑞𝑎 Ñ 𝑟𝑎 , © 𝑁 Q 𝑞𝑎 𝑎 1 Ñ 𝑑Ñ , 𝐸 Ñ 𝑅 Ñ 𝑞2 𝜙1 𝑅 2 1 Ñ 𝑑Ñ , 𝐸 Ñ 𝑅 Ñ . . . . 𝑞1 𝜙2 𝑅 1 2 𝑎 1 Замечание: Энергия взаимодействия точечной системы с внешним полем. 1 3 𝜕 2 𝑈𝑒𝑥𝑡 Ñ𝐸 Ñ Ñ 𝜀𝑖𝑛𝑡 𝑞𝜙𝑒𝑥𝑡 Ñ 𝑟 𝑑, 𝑟 𝐷 Q 𝛼𝛽 𝜕𝑥𝛼𝜕𝑥𝛽 Ñ𝑟 . . . . 𝑒𝑥𝑡 6 𝛼,𝛽 1 1.7. Магнитостатика. Магнитный момент токов. Векторный потенциал и поля магнитного диполя. Рассмотрим систему токов, не меняющихся во времени Ñ𝑗 Ñ𝑗 Ñ 𝑟, 𝜕𝑡 0, Ñ поэтому div 𝑗 Ñ 𝑟 0 (Из закона сохранения заряда). Это условие стационарности токов. 4𝜋 Ñ Ñ ©𝐴 𝑗 Ñ 𝑟, 𝑐 Ñ 1 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝐴ÑÑ 𝑟 𝑑𝑉 𝑐 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ Ñ 𝐻 Ñ rot 𝐴. А. Мультипольное разложение в магнитостатике. Магнитный дипольный момент токов. Пусть 𝐿 max ⋃︀Ñ 𝑟 ⋃︀ @ ª. (Система локальна) 𝐿 P ⋃︀Ñ 𝑟⋃︀. Тогда можно выполнить разложение в сходящийся ряд по ⋃︀Ñ𝑟𝑟Ñ ⋃︀ P 1. Докажем вспомогательные тождества: div Ñ𝑗 Ñ 𝑟 0 ⋃︀ 𝑓 Ñ 𝑟 производная функция. Ñ 0 𝑓 Ñ 𝑟 div 𝑗 Ñ 𝑟 . Ñ 𝑓, Ñ Учтем, что div𝑓 Ñ 𝑟 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 © 𝑗 𝑓 div Ñ𝑗. Ñ,Ñ Тогда: div𝑓 Ñ𝑗 © 𝑗 . 29 𝑧 dV’ 𝑗Ԧ ≠ 0 𝑟’ Ԧ 𝑟Ԧ − 𝑟’ Ԧ 𝑦 𝑥 𝑟Ԧ Проинтегрируем обе части по объему, охватывающему всю систему токов: 𝑑𝑉 div𝑓 Ñ𝑗 𝑉 𝑉 Ñ Ñ 𝑑𝑆, 𝑗𝑓 Ñ 𝑟 𝑆 Ñ 𝑓, Ñ 𝑑𝑉 © 𝑗 , Ñ 𝑓 Ñ 𝑑𝑉 Ñ𝑗, © 𝑟 . 𝑉 Так как поверхность 𝑆 охватывает всю систему токов, то Ñ𝑗𝑛 ⋂︀𝑆 Ñ 𝑗, 𝑑𝑆Ñ 𝑗𝑛 𝑑𝑆 ⋃︀𝑆 0. Ñ Ñ 𝑑𝑆, 𝑗𝑓 Ñ 𝑟 0 𝑆 0 Ñ 𝑓 Ñ 𝑑𝑉 Ñ𝑗, © 𝑟 , 𝑉 Ñ 𝑟Ñ 𝑓 Ñ 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , © 𝑟 0. 𝑉 Последнее выполняется для любой функции 𝑓 . Рассмотрим это выражение для частных случаев 𝑓 : а) Пусть: 1) 𝑓 Ñ 𝑟 𝑥 𝑑𝑉 𝑗𝑥 Ñ 𝑟 0, 2) 𝑓 Ñ 𝑟 3) 𝑓 Ñ 𝑟 Тогда: 𝑉 𝑦 𝑑𝑉 𝑗𝑦 Ñ 𝑟 𝑉 𝑧 𝑑𝑉 𝑗𝑧 Ñ 𝑟 0, 0. 𝑉 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 0. 𝑉 Ñ 𝑟Ñ Ñ б) Вычислим: Ñ𝑗, © 𝑟, 𝑟Ñ 𝑥 𝑓 Ñ 𝑟 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 𝑥 , Ñ 𝑗, 𝑒Ñ𝑥 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 𝑟Ñ𝑥 𝑗𝑥 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ Ñ𝑗, 𝑟Ñ𝑥 ; 𝑑𝑉 𝑗𝑥 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ Ñ𝑗, 𝑟Ñ𝑥 0, 𝑑𝑉 𝑗𝑦 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ Ñ𝑗, 𝑟Ñ𝑦 0, 𝑑𝑉 𝑗𝑧 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ Ñ𝑗, 𝑟Ñ𝑧 0. 𝑉 𝑓 Ñ 𝑟 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 𝑦 , 𝑉 𝑓 Ñ 𝑟 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 𝑧 , 𝑉 Сопоставив компоненты, получим: 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ Ñ𝑗, 𝑟ÑÑ 𝑟 𝑉 30 0, Разложим в ряд по малому параметру 1 𝑐 𝐴ÑÑ 𝑟 𝑑𝑉 ⋃︀Ñ 𝑟 ⋃︀ 𝑟Ñ P 1 следующее выражение: 𝑗 Ñ 𝑟 . ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝑉 𝐴ÑÑ 𝑟 1 𝑐 1 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ .... 𝑟 𝑟3 1 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝑑𝑉 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 𝑟 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 𝑟3 1 . . . (︀ 𝑟𝑐 1 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 3 𝑟 𝑐 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ . Первое слагаемое равно нулю в силу полученного ранее частного случая для функции 𝑓 . 𝐴ÑÑ 𝑟 1 𝑟3𝑐 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 1 2𝑟3 𝑐 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ Ñ𝑗, 𝑟ÑÑ 𝑟 Ñ𝑗 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ Ñ𝑗, 𝑟ÑÑ 𝑟 . К последнему выражению мы перешли путем прибавления и вычитания одинакового слагаемого. Кроме того, два последних слагаемых дают ноль, в силу полученного ранее частного случая для функции 𝑓 . 𝐴ÑÑ 𝑟 1 1 Ñ Ñ Ñ ÑÑ 𝑟, )︀Ñ𝑗, 𝑟Ñ ⌈︀⌈︀ 𝑑𝑉 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑟 𝑗, 𝑟 𝑟 𝑑𝑉 )︀Ñ 3 3 2𝑟 𝑐 2𝑟 𝑐 1 1 1 𝑑𝑉 )︀)︀Ñ 𝑟 , Ñ𝑗 Ñ 𝑟 ⌈︀ , 𝑟Ñ⌈︀ 𝑑𝑉 )︀Ñ 𝑟 , Ñ𝑗 Ñ 𝑟 ⌈︀ , 𝑟Ñ{︀ ]︀ 3 2𝑟 𝑐 𝑟3 2𝑐 Ñ где 𝑚 1 2𝑐 Ñ 𝑟 Ñ⌋︀ (︀𝑚, 𝑟3 , 𝑑𝑉 )︀Ñ 𝑟 , Ñ𝑗 Ñ 𝑟 ⌈︀ - вектор магнитного дипольного момента. Ñ 𝑟 Ñ⌋︀ (︀𝑚, 𝐴ÑÑ 𝑟 Ñ Ñ 𝐻 𝑟 rot 𝐴Ñ 1 . 𝑟3 𝑟2 Ñ Ñ 𝑟 ÑÑ 1 3𝑚, 𝑟 𝑚 𝑜 . 𝑟5 𝑟3 𝑟3 𝑜 Б. Энергия магнитного поля локальной системы токов в магнитостатике. 𝜀𝑚𝑠 Ñ 𝐻 Ñ2 𝐻 𝑑𝑉 8𝜋 rot 𝐴ÑÑ 𝑟 , 1 8𝜋 Ñ rot 𝐴 Ñ. 𝑑𝑉 𝐻, Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ 𝐻, Ñ rot 𝐴 Ñ 𝐴, Ñ rot 𝐻 Ñ . Учтем, что div(︀𝐴, Ñ rot 𝐴 Ñ div(︀𝐴, Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ 𝐴, Ñ rot 𝐻 Ñ . Тогда 𝐻, 31 1 8𝜋 𝜀𝑚𝑠 1 Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ 𝑑𝑉 div(︀𝐴, 8𝜋 Ñ rot 𝐻 Ñ 𝑑𝑉 𝐴, ⧹︀ 𝑉 4𝜋 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 𝑐 𝑉 𝑆ª . Тогда: ⋃︀𝐴Ñ⋃︀⋂︀𝑆 Пусть 𝑆 1 Ñ 𝑟2 , ⋃︀𝐻 ⋃︀⋂︀𝑆ª ª Ñ (︀𝐴, Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ 𝑑𝑆, Тогда получим: 1 2𝑐 𝜀𝑚𝑠 𝑜 1 Ñ (︀𝐴, Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ 𝑑𝑆, 2𝑐 1 8𝜋 𝑆 Ñ Ñ 𝑑𝑉 𝐴, 𝑗 . 𝑉 𝑟13 , ⋃︀𝑑𝑆Ñ⋃︀ 𝑟2 . 1 𝑟3 ÐÐ 𝑟 ª 0, 𝑑𝑉 Ñ𝑗, 𝐴Ñ. 𝑉ª В. Энергия взаимодействия систем токов. Рассмотрим систему токов с линейными размерами 𝐿1 и 𝐿2 . В силу принципа суперпозиции: Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 𝐴ÑÑ 𝑟 𝐿1 Ñ 𝑗1 Ñ 𝑟 Ñ𝑗2 Ñ 𝑟 , 𝑗Ԧ1 𝐴Ñ1 Ñ 𝑟 𝐴Ñ2 Ñ 𝑟 . Тогда: 𝐿2 𝑗Ԧ2 1 𝑑𝑉 Ñ𝑗, 𝐴Ñ 𝜀11 𝜀22 𝜀12 𝜀21 , 𝜀𝑚𝑠 2𝑐 1 где 𝜀11 2𝑐 𝑑𝑉 Ñ𝑗1 , 𝐴Ñ1 , 𝜀22 2𝑐1 𝑑𝑉 Ñ𝑗2 , 𝐴Ñ2 - собственная энергия си стем, 𝜀12 2𝑐1 𝑑𝑉 Ñ𝑗1 , 𝐴Ñ2 , 𝜀21 2𝑐1 𝑑𝑉 Ñ𝑗2 , 𝐴Ñ1 . Утверждение: Покажем, что 𝜀12 𝜀21 : 1 𝑐 𝐴Ñ2 Ñ 𝑟 𝜀12 1 2𝑐 1 2𝑐 𝑑𝑉 Ñ𝑗1 Ñ 𝑟, 𝐴Ñ2 Ñ 𝑟 1 𝑑𝑉 Ñ𝑗2 Ñ 𝑟 , 𝑐 1 2𝑐2 𝑑𝑉 Ñ 𝑗2 Ñ 𝑟 𝑑𝑉 , ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝑑𝑉 Ñ 𝑗1 Ñ 𝑟 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ⋃︀ Ñ 𝑗1 Ñ 𝑟, Ñ𝑗2 Ñ 𝑟 𝑑𝑉 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 1 2𝑐 𝑑𝑉 Ñ𝑗2 Ñ 𝑟 , 𝐴Ñ1 Ñ 𝑟 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝐴Ñ1 Ñ 𝑟 Определение: Будем называть энергией взаимодействия: 𝜀𝑖𝑛𝑡 𝜀𝑖𝑛𝑡 𝜀12 𝜀21 2𝜀12 2𝜀21 , 1 1 Ñ 𝑗1 , 𝐴Ñ2 𝑑𝑉 Ñ 𝑗2 , 𝐴Ñ1 𝑑𝑉. 𝑐 𝑐 32 𝜀21 , Г. Сила и момент силы, действующие на систему токов. 𝐿 𝜀𝑚𝑠 . Пусть 𝑓𝑞 - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате 𝑞, описывающей взаимное расположение системы. 𝐹𝑞 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝜕𝜀𝑚𝑠 𝜕𝑞 𝜕 𝜀11 𝜀22 𝜀𝑖𝑛𝑡 𝜕𝑞 𝜕𝜀𝑖𝑛𝑡 , 𝜕𝑞 где 𝜕𝑞 𝜀11 𝜀22 0 (не зависит от взаимного расположения). 1) Если 𝑞 𝑟Ñ - радиус-вектор центра масс одной из систем токов, то Ñ Ñ Ñ 𝜀𝑖𝑛𝑡 - силы, действующие на систему токов. 𝐹𝑞 𝐹 © 2) Если 𝑞 𝜃 - угол, между 𝑟Ñ и осью координат, то 𝐹𝑞 𝑀𝜃 𝜕𝜀𝜕𝜃𝑖𝑛𝑡 момент силы. 1.8. Переменные электромагнитного поля. Плоские волны. Пусть 𝜌 0, Ñ𝑗 0. )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 1 𝜕 𝐸Ñ , 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 1 𝜕𝐻 rot 𝐸Ñ , 𝑐 𝜕𝑡 div 𝐸Ñ 0, Ñ rot 𝐻 Ñ div 𝐻 0. 𝐸Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 𝐸Ñ0 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑟Ñ , Ñ Ñ 𝐻 𝑟 , 𝑡 Ñ 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑟Ñ . 𝐻 0 Ñ Ñ Физический смысл имеет только вещественная часть. 𝑐 Ñ Ñ Ñ Замечание: В нелинейных соотношениях, например, 𝜎 4𝜋 (︀𝐸, 𝐻 ⌋︀ 𝑐 Ñ Ñ Ñ 𝜎 4𝜋 (︀𝑅𝑒𝐸, 𝑅𝑒𝐻 ⌋︀ следует предварительно вычислить вещественную часть. 𝜕 𝑖𝜔𝑡 𝑒 𝜕𝑡 Ñ Ñ 𝑒𝑖𝑘,𝑟Ñ © 𝑖𝜔𝑒𝑖𝜔𝑡 , Ñ Ñ 𝑖𝑘,𝑟Ñ . 𝑖𝑘𝑒 Вычислим: Ñ rot 𝐻 Ñ𝑟 Ñ Ñ 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘, Ñ,𝐻 (︀© ⌋︀ 0 Ñ𝑒 (︀© Ñ𝑟 Ñ 𝑖𝑘, Ñ 𝑒𝑖𝜔𝑡 ⌋︀ ,𝐻 0 33 Ñ 𝐻 Ñ 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑟Ñ ⌋︀ 𝑖(︀𝑘, 0 Ñ Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀. 𝑖(︀𝑘, Аналогично можно найти: Ñ 𝐻 Ñ . 𝑖𝑘, Ñ div 𝐻 После подстановки в систему уравнений получим: 𝜔Ñ )︀ Ñ Ñ ⌉︀ 𝐸, (︀ 𝑘, 𝐻 ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝑐 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝜔Ñ ⌉︀ ⌉︀ Ñ 𝐸 Ñ ⌋︀ ⌉︀ (︀𝑘, 𝐻, ⌋︀ 𝑐 ⌉︀ ⌉︀ Ñ Ñ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝑘, 𝐸 0, ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ Ñ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 𝑘, 𝐻 0. Свойства: ÑÙ𝐸 Ñ 𝑘 Ñ это поперечные волны. Ù 𝐻, Ñ это правая тройка векторов. Ñ Ù𝑘 𝐸Ñ Ù 𝐻 1. 𝑘Ñ 2. Закон дисперсии для плоской волны в вакууме. 𝑐 Ñ Ñ 𝜔 (︀𝑘, 𝐸 ⌋︀ Ñ Выразим: 𝐻 Ñ (︀𝑘, Ñ 𝐸 Ñ ⌋︀⌈︀ )︀𝑘, 𝜔2 Ñ 𝑐2 𝐸. Ñ 𝑘, Ñ 𝐸 Ñ 2 Ñ 𝐸 Ñ𝑘 𝑘, и подставим: Раскрываем двойное векторное произведение: 𝜔2 Ñ 𝑐2 𝐸, Первое слагаемое обращается в ноль в силу ортогональности векторов. Тогда: 2 𝐸Ñ 𝜔𝑐2 𝑘Ñ 2 0, Так как 𝐸Ñ x 0, то 𝑘 3. Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀⋂︀ ⋂︀(︀𝑘, Ñ ⋃︀⋃︀𝐻 Ñ ⋃︀ ⋃︀𝑘 Ñ ⋃︀ ⋃︀𝐻 𝜔 𝑐 - закон дисперсии. 𝜔 Ñ 𝑐 ⋃︀𝐸 ⋃︀. 𝜔 Ñ 𝑐 ⋃︀𝐸 ⋃︀, при этом 𝑘 𝜔 𝑐. Тогда: Ñ ⋃︀ ⋃︀𝐸 4. Плотность потока энергии в плоской волне. Ñ 𝐻 Ñ 𝑛 Ñ 𝜎 𝑐 Ñ Ñ 𝜔 (︀𝑘, 𝐸 ⌋︀ 𝑐Ñ Ñ (︀ 𝜔 𝑘, 𝐸 ⌋︀, 𝑐𝑘Ñ 𝑘Ñ Ñ ⋃︀ 𝑛⋃︀ 1, тогда получим: ⋃︀𝐻 𝜔 𝑘 , ⋃︀Ñ 𝑐 Ñ Ñ 𝑐 Ñ 𝑐 𝑛, 𝐸Ñ ⌋︀⌋︀ 4𝜋 Ñ 𝑛𝐸Ñ 2 4𝜋 (︀𝐸, 𝐻 ⌋︀ 4𝜋 (︀𝐸, (︀Ñ Учтем, что ⋃︀𝐸Ñ ⋃︀ Ñ Тогда: 𝜎 Ñ ⋃︀, ⋃︀𝐻 поэтому 𝑤 Ñ 𝐸 (︀Ñ 𝑛, 𝐸Ñ ⌋︀. 𝐻Ñ 8𝜋 2 𝐸Ñ Ñ 𝑛, 𝐸Ñ 2 𝑐 Ñ 2 Ñ. 4𝜋 𝐸 𝑛 Ñ 2 𝐸 4𝜋 . Ñ. 𝑐𝑤𝑛 5) Фронт волны(поверхность равной фазы) - плоскость Ñ 𝑟 Ñ 𝑘, 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑘𝑥 𝑥 𝑘𝑦 𝑦 𝑘𝑧 𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 34 Ù 𝑘.Ñ 1.9. Физические условия применимости мультипольного разложения в задаче об излучении. 𝜙Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 , 𝑡 ⋃︀Ñ𝑟𝑐𝑟Ñ ⋃︀ ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ . Определение: Электромагнитным излучением будем называть часть электромагнитного поля системы, способную передавать энергию от источника на пространственную бесконечность. Вычислим 𝑑𝐼 )︀ эрг 𝑐 ⌈︀ - энергия, проходя𝑧 щая через элемент площади 𝑑𝑆 на поверх𝑑Ω 𝑟Ԧ ности сферы, радиуса 𝑟 за единицу времени в направлении наблюдателя. 𝑑𝑆Ñ 𝑟Ñ , ⋃︀Ñ 𝑛⋃︀ 𝑟 Ñ 𝑑𝑆, где 𝑛 Ñ 𝑛 Кроме того, 𝑑𝑆 1. 𝑛 ρ≠0 𝑗Ԧ ≠ 0 𝑟2 𝑑Ω. 𝑑𝑆 𝑦 𝑥 𝑑𝐼 Ñ 𝜎, 𝑑𝑆 Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝑛, 𝜎 Ñ 𝑟 Ñ 𝑛, 𝜎 2 𝑑Ω, при этом 𝜎 𝑐 Ñ Ñ (︀𝐸, 𝐻 ⌋︀. 4𝜋 Тогда: 𝑐 2 Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀𝑑Ω. 𝑟 Ñ 𝑛, (︀𝐸, 4𝜋 Ñ ⋃︀ в поле излучения должны убывать не Пусть lim 𝑑𝐼 x 0, тогда ⋃︀𝐸Ñ ⋃︀ и ⋃︀𝐻 𝑑𝐼 𝑟 ª быстрее, чем 1𝑟 . Ñ ⋃︀ ⋃︀𝐻 Ñ ⋃︀ 1 - условие излучения Зоммерфельда. ⋃︀𝐸 𝑟 Замечание: Будем описывать излучение в области 𝑟 Q max ⋃︀Ñ 𝑟 ⋃︀ характерный размер системы. Выполним мультипольное разложение: 1 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝜙Ñ 𝑟 , 𝑡 𝐴ÑÑ 𝑟 , 𝑡 1 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 𝑟 𝑟3 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 , 𝑡 ⋃︀Ñ𝑟𝑐𝑟Ñ ⋃︀ ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝑑𝑉 Ñ , 𝑡 ⋃︀Ñ𝑟𝑟Ñ ⋃︀ 𝑗 Ñ 𝑟 1 𝑐 𝑐 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 35 1 𝑟 1 𝑟𝑐 1 𝑟 , ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 ,𝑡 , 𝑐 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑡 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝑐 , 𝐿 - Рассмотрим аргумент выражения: 𝑡 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ (︀𝑟 2 𝑟 2 2Ñ 𝑟, 𝑟Ñ ⌋︀ 2 𝑟 𝑟 2 𝑡 ⌊︀1 2 𝑐 𝑟 1 𝑡 𝑐 𝑐 1 2 2Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 𝑟2 }︀ . )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝑥малый параметр Учтем, что 𝑟 P 𝑟, поэтому 𝑥 P 1. Тогда выполним разложение: 1 (︀1 𝑥⌋︀ 2 1 𝑥 ..., 2 Разложим выражение до члена порядка 𝑥: 𝑡 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝑡 𝑐 𝑟 1 𝑟2 1 ]︀ 𝑐 2 𝑟2 2Ñ 𝑟, 𝑟Ñ {︀ 𝑟2 𝑡 𝑟 𝑐 ⟩︀ 𝑟 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 𝑟𝑐 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝑟 𝑟 ⋃︀ Ñ⋃︀ 𝑟2 . 2𝑟𝑐 ⃦ 1𝑟 Отличный от нуля вклад в разложение обеспечивают: 𝑡 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝑐 𝑟 𝑡 𝑐 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 𝑟𝑐 𝜏 Ñ 𝑟, 𝑟Ñ 𝑟𝑐 . Определение: 𝜏 𝑡 𝑟 𝑐 запаздывающее время. Определение: Ñ 𝑟, 𝑟Ñ Ñ Ñ 𝑟 , 𝑛 𝑟𝑐 𝑐 Тогда: время запаздывания в системе (локальное запаздывание). 1 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ 𝜙Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑑𝑉 𝜌 Ñ 𝑟 , 𝜏 , 𝑟 𝑐 1 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ 𝐴ÑÑ 𝑟 , 𝑡 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 . 𝑟𝑐 𝑐 Выполним разложение в ряд по локальному запаздыванию: 𝜌 Ñ 𝑟 , 𝜏 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ 𝑐 𝜕𝜌Ñ 𝑟 , 𝜏 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ 𝜌Ñ 𝑟 ,𝜏 𝜕𝜏 𝑐 1 𝜕 2 𝜌Ñ 𝑟 , 𝜏 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ 2 ]︀ {︀ . . . . 2 𝜕𝜏 2 𝑐 Установим при каких условиях ряд сходится. Будем считать, что движение источников периодическое с характерной частотой 𝜔. Тогда: 𝜕 2𝜌 𝜕𝜌 𝜔 . 𝜕𝜏 2 𝜕𝜏 36 Выполним оценку: 𝑛,𝑟Ñ 2 1 𝜕 2 𝜌 Ñ [︀ 2 𝜕𝜏 2 𝑐 ⌉︀ )︀ 𝜕 2 𝜌 [︀ 1 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ ⌉︀ 𝑛, 𝑟Ñ 𝜔𝐿 𝐿 ⌉︀ 𝜕𝜏 2 ⌉︀ ⌉︀ Ñ ⌋︀ ⌈︀ 𝜔 , 𝜕𝜌 2 𝑐 ⌉︀ 𝑐 𝑐 𝜆 ⌉︀ 𝜕𝜏 ⌉︀ ⌉︀ 𝑛,𝑟Ñ 𝜕𝜌 Ñ 𝜕𝜏 𝑐 ]︀ ⌊︀ где учтено,что ⋃︀Ñ 𝑟 ⋃︀ 𝐿, ⋃︀Ñ 𝑛⋃︀ 1, 𝜆 - длина волны. Утверждение: Ряд сходится, если 𝐿𝜆 P 1 - длинноволновое приближение. 𝑐 𝜔 𝜌 Ñ 𝑟 , 𝜏 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ 𝑐 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 𝑛, 𝑟Ñ 𝜕𝜌Ñ 𝑟 , 𝜏 Ñ 𝜌Ñ 𝑟 ,𝜏 𝜕𝜏 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ 𝑐 Выполним подстановку: 1 𝜙Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑟 𝑑𝑉 𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑐 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 𝑟 , 𝜏 Ñ 1 𝜕 2 𝜌Ñ 𝑛, 𝑟Ñ 2 ]︀ {︀ . . . . 2 𝜕𝜏 2 𝑐 𝑛, 𝑟Ñ 𝜕 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 Ñ .... 𝜕𝜏 𝑐 𝜕𝜌 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ 1 𝜕 2 𝜌 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ 2 𝜕𝜏 𝑐 2 𝜕𝜏 2 𝑐2 ... 𝜙 0 𝜙 1 0 𝜙 3 . . . . 1 𝜙0 Ñ 𝑟 , 𝑡 2 𝜙1 Ñ 𝑟 , 𝑡 3 𝜙2 Ñ 𝑟 , 𝑡 4 𝜙3 Ñ 𝑟 , 𝑡 1 𝑑𝑉 𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡, 𝑟 1 𝜕𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 , 𝑑𝑉 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ 𝑟𝑐 𝜕𝜏 0, 2 𝑟 , 𝑡 1 2 𝜕 𝜌Ñ Ñ 𝑑𝑉 Ñ 𝑛, 𝑟 . 2𝑟𝑐2 𝜕𝜏 2 Замечание: 1 𝑟 𝜙0 Ñ 𝑟 , 𝑡 𝐸Ñ0 Ñ 𝜙0 © 𝑑𝑉 𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑄𝜏 , где 𝜏 𝑟 𝑟 𝑡 . 𝑐 𝑄𝜏 𝑟 Ñ𝜏 𝑄𝑟Ñ 𝑑𝑄 © 𝑟3 𝑑𝑡 𝑟 𝑄𝑟Ñ , 𝑟3 Ñ © 0, в силу закона сохранения заряда. где учтено, что 𝑑𝑄 𝑑𝜏 Аналогично для вектора 𝐴Ñ получим: 𝐴ÑÑ 𝑟 , 𝑡 1 𝑟𝑐2 1 𝑟𝑐 𝜕 Ñ𝑗 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ Ñ 𝑑𝑉 𝑗 Ñ 𝑟 ,𝜏 𝜕𝜏 𝜕 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 𝑑𝑉 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ 𝜕𝜏 1 𝑟𝑐 𝑐 . . . (︀ 1 𝑟𝑐 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 1 2𝑟𝑐2 𝜕 Ñ𝑗 𝜕 Ñ𝑗 𝜕 Ñ𝑗 Ñ Ñ Ñ Ñ ,𝑛 𝑟 }︀ ⌊︀ Ñ 𝑛, 𝑟Ñ , 𝑛 𝑟 }︀(︀ 𝜕𝜏 𝜕𝜏 𝜕𝜏 37 𝑑𝑉 ⌊︀ 𝜕 Ñ𝑗 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ 𝜕𝜏 𝐴1 𝐴2 𝐴3 . . . . 1 𝐴Ñ1 Ñ 𝑟 , 𝑡 2 𝐴Ñ2 Ñ 𝑟 , 𝑡 3 𝐴Ñ3 Ñ 𝑟 , 𝑡 1 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 , 𝑟𝑐 Ñ 1 ⌊︀ 𝜕 𝑗 Ñ 𝑑𝑉 𝑛, 𝑟Ñ 2 2𝑟𝑐 𝜕𝜏 1 2𝑟𝑐2 𝑑𝑉 ⌊︀ 𝜕 Ñ𝑗 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ 𝜕𝜏 𝜕 Ñ𝑗 Ñ Ñ ,𝑛 𝑟 }︀, 𝜕𝜏 𝜕 Ñ𝑗 Ñ Ñ ,𝑛 𝑟 }︀. 𝜕𝜏 1.10. Электрическое дипольное излучение. Полная интенсивность. Угловое распределение. А. Потенциалы и поля в электрическом дипольном излучении. 1 𝜕𝜌 𝑑𝑉 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ , 𝑟𝑐 𝜕𝜏 1 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 . 𝑟𝑐 𝜙1 𝐴Ñ1 Выполним преобразование: 𝜙1 1 𝑟𝑐 𝜕𝜌Ñ 𝑟 , 𝜏 𝑑𝑉 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ Ñ 𝑛, 𝑟 ,𝜏 𝑑𝑉 𝑟Ñ 𝜕𝜌Ñ𝜕𝜏 𝜕𝜏 𝑟𝑐 𝜕 Ñ 𝑛, 𝜕𝜏 𝑑𝑉 𝑟Ñ 𝜌Ñ 𝑟 , 𝜏 𝑟𝑐 где обозначено: 𝑑Ñ𝜏 𝑟 , 𝜏 , 𝑑Ñ̇ 𝑑𝑉 𝑟Ñ 𝜌Ñ 𝜕 𝑑Ñ , 𝜏 𝜕𝜏 Выполним преобразования для 𝐴Ñ1 : 𝐴Ñ1 Утверждение: 𝑑Ñ̇ Доказательство: 1 𝑟𝑐 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 . 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 . 𝑑ÑÑ 𝑟 𝑑Ñ𝜏 𝑑𝑉 𝑟Ñ 𝜌Ñ 𝑟 , 𝜏 . 38 𝑟 𝑡 . 𝑐 Ñ 𝑛, 𝑑Ñ̇𝜏 𝑐𝑟 , Вычислим: 𝜕 𝑑Ñ 𝜕𝜏 𝑑Ñ̇ 𝑑𝑉 𝑟Ñ 𝜕𝜌 Учтем закон сохранения заряда ( 𝜕𝜏 постоянный вектор 𝑞Ñ. Ñ 𝑞 , 𝑑Ñ̇ 𝑑𝑉 Ñ 𝑞 , 𝑟Ñ div Ñ𝑗 𝜕𝜌 . 𝜕𝜏 div Ñ𝑗 0), а также домножим на 𝑑𝑉 divÑ 𝑞 , 𝑟Ñ , Ñ𝑗 Ñ Ñ 𝑑𝑉 Ñ𝑗, © 𝑞 , 𝑟Ñ )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ Ñ , Ñ 𝑑𝑆 𝑞 , 𝑟Ñ Ñ𝑗 Ñ 𝑗,𝑞Ñ 𝑑𝑉 Ñ𝑗, 𝑞Ñ. 𝑆 Пусть 𝑆 - поверхность, охватывающая систему, тогда Ñ𝑗𝑛 ⋂︀𝑆 Ñ 𝑗𝑛 , 𝑑𝑆Ñ⋂︀𝑆 0. Ñ̇ 𝑑𝑉 Ñ 𝑞 , Ñ𝑗 Ñ 𝑞 , 𝑑𝑉 Ñ𝑗 . Ñ 𝑞 , 𝑑 0 Так как 𝑞Ñ был выбран произвольно, утверждение доказано и выполнено выражение: 𝑑Ñ̇ 𝑑𝑉 Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 . Выпишем выражения для потенциалов в электрическом дипольном приближении (𝐸1 ): Ñ 𝑑Ñ̇𝜏 , 𝑛 𝜙1 Ñ 𝑟 , 𝑟𝑐 𝐴Ñ1 Ñ 𝑟, 𝜏 𝑑Ñ̇𝜏 , 𝑟𝑐 𝑟Ñ Ñ̇ 𝜕 𝑑 Ñ Ñ где 𝑛 𝑑𝑉 𝑟Ñ 𝜌Ñ 𝑟 , 𝜏 . 𝑟, 𝑑 𝜕𝜏 , 𝑑𝜏 Вычислим напряженности полей: Ñ Ñ Ñ 𝐻 𝑟 , 𝑡 rot 𝐴Ñ1 Вычислим rot 𝑑Ñ̇𝜏 Ñ , 𝑑Ñ̇𝜏 ⌋︀ (︀© 𝑐𝑟 𝑐𝑟 Ñ 𝜏, © Ñ 1 © 𝑟𝑐 Ñ𝜏 Ñ ⎨ Ñ̈𝜏 ⎬ ⎝ ⎠ 1 Ñ̇ 𝑑 ⎝© ⎠]︀© Ñ 𝜏, Ñ , 𝑑𝜏 {︀ ⎝ 𝑐𝑟 ⎠⎠ 𝑐𝑟 ⎝ ⎪ ⎮ : © © ⎨ Ñ̇𝜏 ⎬ ⎝ ⎠ 𝑑 ⎝© ⎠ Ñ, ⎝ 𝑐𝑟 ⎠⎠ ⎝ ⎪ ⎮ 1 𝑟𝑐 Ñ 𝑡 © 1 Ñ𝑟 © 𝑟2𝑐 𝑟 𝑐 Ñ𝑟 © 𝑐 Ñ 𝑛 , где 𝑐𝑟2 39 Ñ𝑟 © Ñ 𝑛 , 𝑐 Ñ 𝑛 𝑟Ñ . 𝑟 Тогда: Ñ Ñ 𝐻 𝑟 , 𝑡 Ñ ⌋︀ (︀𝑑Ñ̈𝜏 , 𝑛 (︀Ñ 𝑛, 𝑑Ñ̇⌋︀ . 𝑐2 𝑟 𝑐𝑟2 Первое слагаемое убывает как 𝑟1 и, соответственно, является полем излучения. Второе слагаемое же убывает как 𝑟2 и не является полем излучения, согласно условию излучения Зоммерфельда. Замечание: Ñ̈ 𝑟 ⋂︀(︀Ñ ⋂︀𝑑Ñ̇⋂︀𝑐 𝑛, 𝑑Ñ̇⌋︀⋂︀ (︀𝑑, Ñ⌋︀ 𝑐 𝜆 . 𝑐𝑟2 𝑐2 𝑟 𝜔𝑟 𝑟 Ñ̈ ⋂︀𝑑⋂︀𝑟 Здесь мы учли, что ⋂︀Ñ 𝑛⋂︀ 1, ⋃︀𝑑Ñ̇⋃︀ 𝜔 ⋃︀𝑑Ñ⋃︀, ⋃︀𝑑Ñ̈⋃︀ 𝜔 2 ⋃︀𝑑Ñ⋃︀, а) Если 𝑟 Q 𝜆 - волновая зона, б) 𝑟 𝜆 - ближняя зона. В волновой зоне: Ñ̈ 𝑛 Ñ ⌋︀ (︀𝑑, Ñ Ñ . 𝐻 𝑟 , 𝑡 𝑐2 𝑟 Вычислим: 1 𝜕 𝐴Ñ Ñ 𝜙1 Ñ © 𝑟, 𝑡 𝑐 𝜕𝑡 𝐸Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 Ñ̇ 𝑛 Ñ 𝑑, Ñ © Ñ̈ 𝑛 Ñ Ñ 𝑑, 𝑛 𝑐2 𝑟 𝑐𝑟 )︀ Ñ 𝑑Ñ̈Ñ 𝑛, 𝑛 𝑐2 𝑟 𝜆. [︀ 1 𝜕 ⌉︀ ⌉︀ 𝑑Ñ̇ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌈︀ 𝑐 𝜕𝑡 ⌉︀ ⌉︀ 𝑐𝑟 ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 𝑐 𝜔 ⌊︀ Ñ 𝑑Ñ̈𝜏 , 𝑛 𝑐2 𝑟 Ñ𝑟 © 𝑑Ñ̈ 𝑐2 𝑟 Ñ̈ 𝑛 Ñ Ñ Ñ 𝑑Ñ̈ 𝑑, 𝑛 Ñ 𝑛, 𝑛 (︀Ñ 𝑛, (︀Ñ 𝑛, 𝑑Ñ̈⌋︀⌋︀ 𝑐2 𝑟 𝑐2 𝑟 . Тогда: 𝐸Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 Ñ̈ 𝑛 Ñ ⌋︀⌋︀ (︀Ñ 𝑛, (︀𝑑, Ñ Ñ 𝐻 𝑟 , 𝑡 𝑐2 𝑟 Ñ̈ 𝑛 Ñ ⌋︀ (︀𝑑, 𝑐2 𝑟 . . Ñ ⌋︀, 𝐻 Ñ Замечание: 𝐸Ñ (︀Ñ 𝑛, 𝐻 (︀Ñ 𝑛, 𝐸Ñ ⌋︀. Свойства(в волновой зоне): Ñ Ñ - образуют правую тройку(в ближней зоне может быть 1) 𝐸Ñ 𝐻 𝑛 по-другому), Ñ ⋂︀, 2) ⋂︀𝐸Ñ ⋂︀ ⋂︀𝐻 3) Поверхность равной фазы - сфера. Доказательство: 𝑟 𝜏 𝜏0 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑡 , 𝑐 2 2 2 𝑡 𝜏0 𝑐 𝑟 уравнение сферы, радиус которой растет со временем t. Ù Ù 40 Б. Энергетические характеристики излучения. 𝑑𝑆Ñ Ñ. 𝑟2 𝑑Ω𝑛 Ñ 𝑑𝑆 𝑛 𝑧 𝑑Ω 𝑟Ԧ Элементарная интенсивность: 𝑑𝐼 Ñ 𝜎 , 𝑑𝑆Ñ 𝑑𝐼 𝑑Ω 𝑐 Ñ Ñ (︀𝐸, 𝐻 ⌋︀. 4𝜋 Ñ 𝑑Ω, где 𝜎 Ñ 𝑟2 Ñ 𝑛, 𝜎 ϴ 𝑛 ρ≠0 𝑗Ԧ ≠ 0 𝑐 2 Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀. 𝑟 Ñ 𝑛, (︀𝐸, 4𝜋 Ñ 𝑟2 Ñ 𝑛, 𝜎 𝑑𝑆 𝑦 𝑥 Определение: Будем называть угловым распределением интенсивности излучения энергию, излучаемую системой за единицу времени в единицу телесного угла в направлении наблюдателя. 𝑑𝐼 Вычислим 𝑑Ω : Ñ̈ 𝑛 Ñ ⌋︀ (︀𝑑, Ñ Учтем, что 𝐻 𝑐2 𝑟 Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ (︀𝐸, , 𝐸Ñ Ñ 𝐸 Ñ ⌋︀ (︀𝐻, Ñ ⌋︀, (︀Ñ 𝑛, 𝐻 тогда: Ñ (︀Ñ Ñ ⌋︀⌋︀ (︀𝐻, 𝑛, 𝐻 Ñ2 𝐻 Ñ Ñ Ñ Ñ𝐻 𝑛 𝑛, 𝐻 Ñ2 Ñ𝐻 𝑛 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ Ù Ñ Ñ 𝐻 𝑛 Получим: 𝑐 2 Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ 𝑟 Ñ 𝑛, (︀𝐸, 4𝜋 𝑑𝐼 𝑑Ω Ñ̈ 𝑛 Ñ ⌋︀2 𝑐 2 (︀𝑑, 𝑟 4 2 4𝜋 𝑐𝑟 𝑐 2 2 Ñ2 Ñ 𝐻 𝑟 𝑛 4𝜋 Ñ ⌋︀2 (︀𝑑Ñ̈𝜏 , 𝑛 4𝜋𝑐3 . Определение: Будем называть интенсивностью излучения энергию, излучаемую системой за единицу времени по всем направлениям. (︀𝐼 ⌋︀ (︀ эрг с ⌋︀. 𝐼 Ñ Учтем, что 𝑛 Ñ̈ 𝑛 Ñ ⌋︀ (︀𝑑, 2 𝑑𝐼 𝑑𝜔 𝑑Ω Ñ ⌋︀2 (︀𝑑Ñ̈𝜏 , 𝑛 4𝜋𝑐3 𝑑𝜔. Ñ 𝜃, 𝜙. 𝑛 ⋃︀𝑑Ñ̈⋃︀ ⋃︀Ñ 𝑛⋃︀ 2 2 sin2 𝛼 ⋃︀𝑑Ñ̈⋃︀ ⋃︀Ñ 𝑛⋃︀ 2 2 ⋃︀𝑑Ñ̈⋃︀ ⋃︀Ñ 𝑛⋃︀ 2 2 cos2 𝛼 ⋃︀𝑑Ñ̈⋃︀ ⋃︀Ñ 𝑛⋃︀ Выполнив подстановку, получим: 𝐼 1 4𝜋𝑐3 Ñ̈ 2 𝑑Ω𝑑 Ñ̈ 𝑛 Ñ 𝑑, 3 2 Ñ̈ 𝑛 Ñ . 𝑑Ω𝑑, Q 𝑑¨𝛼𝑛𝛼. 𝛼 1 41 2 2 Ñ̈ 𝑛 Ñ 𝑑, 2 . Так как 𝑑Ñ̈ не зависит от 𝜃 и 𝜙, то: 𝐼 1 2 4𝜋 𝑑Ñ̈ Q 3 4𝜋𝑐 𝛼,𝛽 1 Ñ̈ 2 1 𝑑 Q 𝑑¨𝛼 𝑑¨𝛽 𝑐3 4𝜋 𝛼,𝛽 𝑑Ω𝑑¨𝛼 𝑑¨𝛽 𝑛𝛼 𝑛𝛽 (︀ 𝑑Ω𝑛𝛼 𝑛𝛽 (︀. Учтем следующее соотношение: 1 4𝜋 1 𝛿𝛼𝛽 . 3 𝑑Ω𝑛𝛼 𝑛𝛽 Тогда: 𝐼 1 Ñ̈ 2 1 𝑑 Q 𝑑¨𝛼 𝑑¨𝛽 𝛿𝛼𝛽 (︀ 𝑐3 3 𝛼,𝛽 1 Ñ̈ 2 1 Ñ̈ 2 𝑑 𝑑 (︀ 𝑐3 3 2𝑑Ñ̈ 2 𝜏 , 𝜏 3𝑐2 𝑟 𝑡 . 𝑐 С. Условие отсутствия электрического дипольного излучения для системы точечных зарядов. 2𝑑Ñ̈ 2 𝜏 0 𝑑Ñ̈ 0. 3 3𝑐 В общем случае, условие отсутствия излучения в электрическом диÑ̈ польном приближении (𝐸1) - тождественное равенство нулю 𝑑. Для системы точечных зарядов, движущихся под действием внешней силы 𝐹Ñ𝑎𝑒𝑥𝑡 и внутренней силы 𝐹Ñ𝑎𝑖𝑛𝑡 , условие примет вид: Тогда: 𝑟Ñ̈𝑎 𝑚1𝑎 𝐹Ñ𝑎𝑒𝑥𝑡 𝐹Ñ𝑎𝑖𝑛𝑡 . 𝐼 𝑑Ñ 𝑁 Q 𝑞𝑎𝑟Ñ𝑎, 𝑑Ñ̈ ¦ зарядов 𝑞𝑎 𝑚𝑎 𝑞 𝑚, 𝑑Ñ̈ 𝐹Ñ𝑎𝑖𝑛𝑡 P 𝑎 1 𝑁 𝑁 Q 𝑞𝑎𝑟Ñ̈𝑎 Q 𝑚𝑞𝐴𝑎 𝐹Ñ𝑎𝑒𝑥𝑡 𝑎 1 𝑎 1 Пусть 𝑁 𝐹Ñ𝑎𝑖𝑛𝑡 . 𝑎 1 тогда: 𝑞 𝑁 Ñ 𝑒𝑥𝑡 Ñ 𝑖𝑛𝑡 Q𝐹 𝐹𝑎 . 𝑚𝑎 1 𝑎 0 - в силу законов Ньютона. Тогда: 𝑑Ñ̈ 𝑞 𝑁 Ñ 𝑒𝑥𝑡 Q𝐹 . 𝑚𝑎 1 𝑎 Система не излучает в 𝐸1, если 𝑑Ñ̈ 0 или 42 𝐹Ñ𝑎𝑒𝑥𝑡 P 𝑎 1 𝑁 0. 1.11. Магнитное дипольное излучение. Полная интенсивность. Угловое распределение. А. Потенциалы и поля в магнитном дипольном излучении (М1). 𝜙2 0, 𝐴Ñ2 Ñ 𝑟 , 𝑡 𝐴Ñ2 1 𝜕 2𝑐2 𝑟 𝜕𝜏 1 2𝑐2 𝑟 Ñ 𝜕𝑗 𝑛, 𝑟Ñ 𝜕𝜏 𝑑𝑉 Ñ 𝜕 Ñ𝑗 Ñ 𝑛, 𝜕𝜏 Ñ 𝑟 . 1 𝜕 𝑑𝑉 Ñ 𝑛, 𝑟Ñ Ñ𝑗 Ñ 𝑛, Ñ𝑗 Ñ 𝑟 𝑑𝑉 )︀Ñ 𝑛, (︀Ñ𝑗, 𝑟Ñ ⌋︀⌈︀ 2 2𝑐 𝑟 𝜕𝜏 1 𝜕 1 Ñ {︀ 𝑑𝑉 (︀Ñ 𝑟 , Ñ𝑗 ⌋︀, 𝑛 ]︀ 𝑐𝑟 𝜕𝜏 2𝑐 Ñ̇ 𝑛 Ñ ⌋︀ (︀𝑚, 𝑐𝑟 . Ñ из-под интеграла, Здесь мы вынесли 𝑛 так как он не зависит от 𝑟 . 1 𝑟 , Ñ Ñ 𝜏 Кроме того, было обозначено 𝑚 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 ⌋︀ - дипольный 2𝑐 𝑑𝑉 (︀Ñ магнитный момент. Ñ 𝑟Ñ 𝜕𝑚 Ñ Ñ̇ , 𝑛 . 𝑚 𝜕𝜏 𝑟 Итак, потенциалы в магнитном дипольном излучении: Ñ̇ 𝑛 Ñ ⌋︀ (︀𝑚, 𝜙2 0, 𝐴Ñ2 𝑐𝑟 . Замечание: Оценим отношение потенциалов излучения в магнитном М1 и в электрическом Е1 приближениях. 𝐴Ñ1 𝑑Ñ̇ 𝑐𝑟 Ñ̇ 𝑛 Ñ ⌋︀ (︀𝑚, 𝐴Ñ2 𝐸1, 𝑐𝑟 𝑀 1. Тогда отношение: Ñ ⋃︀ ⋃︀𝐴 2 Ñ̇ 𝑛 Ñ ⌋︀⋃︀ ⋃︀(︀𝑚, Ñ ⋃︀ ⋃︀𝐴 1 ⋃︀𝑑Ñ̇⋃︀ Учтем, что Ñ𝑗 Ñ̇ ⋃︀ ⋃︀𝑚 ⋃︀𝑑Ñ̇⋃︀ Ñ ⋃︀ ⋃︀𝑚 ⋃︀𝑑Ñ⋃︀ 1 ⋃︀ 2𝑐 ⋃︀ 𝑑𝑉 (︀Ñ 𝑟 , Ñ𝑗 ⌋︀⋃︀ ⋃︀Ñ𝑗 ⋃︀ . 𝑐𝜌 𝑑𝑉 𝑟Ñ 𝜌⋃︀ 𝜌𝑣Ñ. Тогда: Ñ ⋃︀ ⋃︀𝐴 2 Ñ ⋃︀ ⋃︀𝐴 1 𝜌⋃︀Ñ 𝑣 ⋃︀ ⋃︀Ñ 𝑣 ⋃︀ P 1. 𝑐𝜌 𝑐 Вычислим напряженности поля: Ñ Ñ 𝐻 𝑟 , 𝑡 rot 𝐴Ñ2 rot Ñ̇ 𝑛 Ñ ⌋︀ (︀𝑚, Ñ , (︀𝑚 Ñ̇ 𝜏 , 𝑛 Ñ ⌋︀⌋︀ (︀© Ñ 𝜏, (︀𝑚, Ñ̈ 𝑛 Ñ ⌋︀⌋︀ (︀© 𝑐𝑟 𝑐𝑟 𝑐𝑟 43 Ñ̈ 𝑛 Ñ ⌋︀⌋︀ (︀Ñ 𝑛, (︀𝑚, 𝑐2 𝑟 , 𝐸Ñ Ñ 𝜙2 © 1 𝜕𝐴22 𝑐 𝜕𝑡 Ñ̇ 𝑛 Ñ ⌋︀ 1 𝜕 (︀𝑚, 𝑐 𝜕𝑡 𝑐𝑟 Ñ̈ 𝑛 Ñ ⌋︀ (︀𝑚, 𝑐2 𝑟 . В волновой зоне: Ñ 𝐻 Ñ̈ 𝑛 Ñ ⌋︀⌋︀ (︀Ñ 𝑛, (︀𝑚, , 𝑐2 𝑟 Ñ̈ 𝑛 Ñ ⌋︀ (︀𝑚, 𝐸Ñ 2 , 𝑐𝑟 Ñ ⌋︀. (︀Ñ 𝑛, 𝐸Ñ ⌋︀, 𝐸Ñ (︀Ñ 𝑛, 𝐻 Ñ 𝐻 Свойства: Ñ Ñ - правая тройка, 1) 𝐸Ñ 𝐻 𝑛 Ñ ⋃︀, 2) ⋃︀𝐸Ñ ⋃︀ ⋃︀𝐻 3) Поверхность равной фазы 𝜏 растет со временем. Ù Ù 𝜏0 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑡 𝑟𝑐 - сфера, радиус которой Б. Интенсивность и угловое распределение. Ñ Учтем, что 𝐻 Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ Ñ 𝑛, (︀𝐸, 𝑑𝐼 Ñ 𝑟Ñ 2 Ñ 𝑛, 𝜎 𝑑Ω (︀Ñ 𝑛, 𝐸Ñ ⌋︀, тогда: Ñ (︀Ñ Ñ 𝑛, )︀𝐸, 𝑛, 𝐸Ñ ⌋︀⌈︀ 𝑐 2 Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀. 𝑟Ñ Ñ 𝑛, (︀𝐸, 4𝜋 Ñ 2𝐸 Ñ Ñ Ñ𝐸 Ñ 𝑛𝑛 𝑛, 𝐸Ñ )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 2Ñ Ñ 𝐸 𝑛 2 𝐸Ñ 2 . Ù Ñ Ñ 𝐸 𝑛 Учтем также, что 𝐸Ñ Ñ̈ 𝑛 Ñ ⌋︀ (︀𝑚, 𝑐2 𝑟 𝑐 2Ñ 𝑟 𝐸 4𝜋 𝑑𝐼 𝑑Ω 2 : Ñ̈ 𝑛 Ñ ⌋︀2 𝑐 2 (︀𝑚, 𝑟 4𝜋 𝑐4 𝑟2 Ñ̈ 𝜏 , 𝑛 Ñ ⌋︀2 (︀𝑚 4𝜋𝑐3 . Интенсивность излучения найдем аналогично интенсивности излучения в электрическом дипольном приближении (Е1). 𝐼 𝑑𝐼 𝑑Ω 𝑑Ω Ñ̈ 𝜏 2𝑚 , 𝜏 3𝑐3 𝑟 𝑡 . 𝑐 С. Условие отсутствия магнитного дипольного излучения для системы точечных зарядов. 𝐼 0, 44 Ñ̈ 0. 𝑚 Для системы точечных зарядов: Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 𝑁 Q 𝑞𝑎𝛿Ñ𝑟 𝑟Ñ𝑎 𝜏 𝑣Ñ𝑎 𝜏 . 𝑎 1 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝜌𝑎 Ñ 𝑟 ,𝜏 Вычислим: Ñ 𝑚 1 2𝑐 𝑑𝑉 (︀Ñ 𝑟 , Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝜏 ⌋︀ 𝑁 𝑞𝑎 Q 2𝑐 𝑎 1 𝑑𝑉 (︀Ñ 𝑟 , 𝑣Ñ𝑎 𝜏 ⌋︀𝛿 Ñ 𝑟 𝑟Ñ𝑎 𝜏 𝑁 𝑁 𝑞𝑎 (︀Ñ 𝑟𝑎 , 𝑣Ñ𝑎 𝜏 ⌋︀ Q 2𝑐 𝑎 1 Q 2𝑚𝑞𝑎𝑎𝑐 (︀Ñ𝑟𝑎, 𝑚𝑎𝑣Ñ𝑎𝜏 ⌋︀ )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝑎 1 𝑁 Q 2𝑚𝑞𝑎𝑎𝑐 Ñ𝑙𝑎, 𝑎 1 𝑝Ñ𝑎 где Ñ𝑙𝑎 Пусть Ñ 𝑚 (︀Ñ 𝑟𝑎 , 𝑝Ñ𝑎 ⌋︀ 𝑞𝑎 𝑚𝑎 𝑞 𝑚, - момент импульса заряда с номером 𝑎. для любого номера 𝑎. 𝑞 𝑁 Ñ Q 𝑙𝑎 2𝑚𝑐 𝑎 1 𝑞 Ñ Ñ 𝐿, где 𝐿 2𝑚𝑐 𝑁 Q Ñ𝑙𝑎 момент импульса системы. 𝑎 1 Условие отсутствия излучения в М1. Ñ̈ 0, 𝑚 Ñ̈ 0. 𝐿 Ñ̇ Ñ 𝑡 Ñ Излучение будет отсутствовать даже если 𝐿 𝛼 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 или 𝐿 Ñ (система раскручивается под действием постоянного момента сил). Ñ 𝐿 𝛼𝑡 0 Замечание: В частном случае 𝐿 𝐿0 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 излучение в М1 отсутствуем. Например, при движении частиц в центральном поле. 1.12. Сила радиационного (лучистого) трения (нерелятивистское приближение). Сила радиационного трения - эффективная сила реакции со стороны излучения, действующая на частицу. Обязательное условие: ускоренное движение частицы. Будем считать, что ⋃︀Ñ 𝑣 ⋃︀ P 𝑐. Будем считать, что в отсутствие излучения частица двигалась од действием силы 𝐹Ñ . 𝑑𝑝Ñ Ñ 𝑑𝜀кин 𝐹, Ñ 𝑣 , 𝐹Ñ . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 С учетом влияния излучения: 𝑑𝑝Ñ 𝑑𝑡 𝐹Ñ 𝐹Ñр.тр , 𝑑𝜀кин 𝑑𝑡 45 Ñ 𝑣 , 𝐹Ñ Ñ 𝑣 , 𝐹Ñр.тр . )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝐼 Второе слагаемое в этих выражениях описывает потери энергии на излучение, поэтому: Ñ 𝑣 , 𝐹Ñр.тр 𝐼 2 𝑑Ñ̈ 2 3 𝑐3 2𝑒2 𝑟Ñ̈ 2 3𝑐3 2𝑒2 𝑣Ñ̇ 2 , где 𝑑Ñ 𝑒𝑟Ñ𝑡. 3𝑐3 Вычислим потери энергии в виде излучения в конечном интервале времени (︀𝑡1 , 𝑡2 ⌋︀: 𝑡2 Ñ 𝑣 , 𝐹Ñр.тр 𝑑𝑡 ∆𝜀 2𝑒2 3𝑐3 𝑡2 Ñ̇ 𝑣 Ñ̇𝑑𝑡 𝑣, 2𝑒2 3𝑐3 𝑡1 𝑡1 𝑡2 ]︀ 𝑑 Ñ 𝑣 , 𝑣Ñ̇ Ñ 𝑣 , 𝑣Ñ̈{︀ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑡1 2𝑒2 2𝑒2 𝑡2 Ñ 𝑣 , 𝑣Ñ̇⋂︀𝑡 3 1 3𝑐3 3𝑐 𝑡2 Ñ 𝑣 , 𝑣Ñ̈𝑑𝑡. 𝑡1 Дополнительное условие: Пусть движение частицы - квазипериодическое, то есть такое, что за период движения Ñ 𝑣 , 𝑣Ñ̇⋂︀𝑡 Ñ 𝑣 , 𝑣Ñ̇⋂︀𝑡 . 1 2 Тогда: 𝑡2 Ñ Ñ𝑑𝑡 𝐹 р.тр , 𝑣 ∆𝜀 2𝑒2 3𝑐3 𝑡1 𝑡2 Ñ 𝑣 , 𝑣Ñ̈𝑑𝑡. 𝑡1 Сопоставляя подынтегральные выражения, найдем: 𝐹Ñр.тр 2𝑒2 𝑣Ñ̈ 3𝑐3 2𝑒2 ... 𝑟Ñ . 3𝑐3 Последнее выражение являет собой формулу Лоренца. Замечание: 1) 𝐹Ñр.тр определена с точностью до вектора перпендикулярного скорости ( 𝑣Ñ). 2) Из равенства интегралов вообще говоря не следует равенство подынтегральных функций. Пример: Рассмотрим частицу, выходящую из действия внешнего поля с постоянным (начальным) ускорением 𝑟Ñ̈0 x 0. Ù 𝑚𝑟Ñ̈ 𝐹Ñр.тр 2𝑒2 ... 𝑟Ñ . 3𝑐3 Это уравнение третьего порядка, так что нам требуется три начальных условия. Будем искать решение в виде: Ñ 𝛼𝑡 , где 𝑅, Ñ 𝛼 𝑟Ñ 𝑅𝑒 46 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Подставляя в уравнение и сокращая, получим: 𝑚𝛼 2𝑒2 3 𝛼. 3𝑐3 2 Выражение имеет двукратный корень 𝛼12 0, а также корень 𝛼 Тогда: 3𝑚𝑐3 Ñ Ñ Ñ 𝑟Ñ𝑡 𝑄 𝑆𝑡 𝑊 𝑒 2𝑒2 𝑡 . 3𝑚𝑐3 2𝑒2 . Рассмотрим начальные условия: Ñ 𝑊 Ñ 1) 𝑟Ñ0 0 𝑄 0, 3 3𝑚𝑐 Ñ 2) 𝑟Ñ̇0 𝑣Ñ0 𝑆Ñ 2𝑒2 𝑊 𝑣Ñ0 2 6 9𝑚 𝑐 Ñ 3) 𝑟Ñ̈ x 0 𝑟Ñ̈0. 4𝑒4 𝑊 2 Ñ x 0, кроме того для электрона: 3𝑚𝑐 𝑐1 . Если 𝑟Ñ̈0 x 0, то 𝑊 2 2𝑒 Тогда ⋂︀Ñ 𝑟𝑡⋂︀ - быстро возрастает со временем, что не наблюдается в эксперименте. Это значит, что формулу Лоренца необходимо использовать с определенными ограничениями. Ограничения на применение формулы Лоренца: 1) Движение квазипериодично, 2) ⋃︀Ñ 𝑣 ⋃︀ P 𝑐, 3) ⋃︀𝐹Ñр.тр ⋃︀ P ⋃︀𝐹Ñ ⋃︀, где 𝐹Ñ - внешняя сила. Замечание: Понижение порядка производной: 2𝑒2 ... 𝑟Ñ . 3𝑐3 𝐹Ñр.тр 𝑚𝑟Ñ̈ 𝐹Ñ 𝑡 𝐹Ñр.тр , Ñ ⋃︀𝐹 р.тр ⋃︀ P Ñ ⋃︀ ⋃︀𝐹 𝑚𝑟Ñ̈ 𝐹Ñ 𝑡 𝑚𝑟Ñ̈ 𝐹Ñ 𝑡 𝐹Ñ 𝑡 𝑟Ñ̈ 𝑚 Тогда: Для осциллятора: 𝐹Ñ 𝑡 𝑚𝑟Ñ̈ 𝑟Ñ̈ 2𝑒2 𝐹Ñ̇ 𝑡 . 3𝑚𝑐3 𝑚𝜔02 𝑟Ñ, 2 𝑚𝜔 𝑟 0Ñ 2𝑒2 𝜔02 𝑟Ñ̇ , 3𝑐3 2𝑒2 𝜔02 𝑟Ñ̇ 𝜔02 𝑟Ñ 0. 3 3𝑚𝑐 47 ... 𝐹Ñ̇ 𝑡 𝑟Ñ . 𝑚 Часть 2. 2.1. Преобразования Лоренца для координат и времени. Интервал. Постулаты относительности: 1) Законы природы одинаковы для всех инерциальных движущихся наблюдателей. 2) Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Принцип форминвариантности: форма фундаментальных уравнений должна быть одинакова во всех инерциальных системах отсчета. В том числе этот принцип работает и для уравнений Максвелла. )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ rot 𝐻 div 𝐸Ñ 4𝜋 Ñ 1 𝜕 𝐸Ñ , 𝑗 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋𝜌, Ñ 1 𝜕𝐻 Ñ rot 𝐸 , 𝑐 𝜕𝑡 Ñ div 𝐻 0. )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ rot 𝐻 div 𝐸Ñ 4𝜋 Ñ 1 𝜕 𝐸Ñ , 𝑗 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋𝜌 , Ñ 1 𝜕𝐻 , 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 0. div 𝐻 rot 𝐸Ñ Здесь без штриха было обозначена неподвижная система отсчета, а со штрихом - движущаяся со скоростью 𝑣Ñ относительно неподвижной. При 𝑡 𝑡 0: 𝑥 𝑥 0, 𝑦 𝑦’ 𝑦 𝑦 0, 𝑧 𝑧 0. 𝐾 Рассмотрим распростра𝐾′ 𝑡 𝑡′ нение фронта электромагнитной волны. 𝑉 В системе отсчета 𝐾 уравнение фронта имеет вид: 𝑥 𝑥′ ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ0 ⋃︀ . 𝜏 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝜏0 𝑡 𝑐 В момент времени 𝑡 𝜏0 фронт волны занимает положение, описываемое положением 𝑟Ñ 𝑟Ñ0 . Через интервал 𝑑𝑡 фронт сместится на 𝑑𝑟Ñ: при 𝑡 𝜏0 𝑑𝑡 𝑟Ñ 𝑟Ñ0 𝑑𝑟Ñ. Уравнение фронта примет вид: 𝑟Ԧ = 𝑟Ԧ0 𝑟Ԧ = 𝑟Ԧ0 + 𝑑 𝑟Ԧ 𝑡 = τ0 𝑡 = τ0 + 𝑑𝑡 𝜏0 𝜏0 𝑑𝑡 48 ⋃︀Ñ 𝑟0 𝑑𝑟Ñ 𝑟Ñ0 ⋃︀ 𝑐 𝑐𝑑𝑡 ⋃︀𝑑𝑟Ñ⋃︀ 0. Перепишем в следующем виде: 𝑑𝑆 2 𝑐𝑑𝑡 2 Ñ 𝑑𝑟 2 𝑐𝑑𝑡 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 𝑑𝑧 2 0. Рассуждая аналогично, с точки зрения наблюдателя в системе 𝐾 , получим: 𝑑𝑆 2 𝑐𝑑𝑡 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 𝑑𝑧 2 0. Определение: Величина 𝑑𝑆 - интервал. Он может быть построен не только для двух последовательных положений фронта электромагнитной волны, но и для любых событий, разделенных отрезком 𝑑𝑡 и расстоянием 𝑑𝑟. )︀A 0, времениподобный, ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ 2 𝑑𝑆 ⌋︀ 0, светоподобный, ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀@ 0, пространственноподобный. Принцип форминвариантности (относительности) требует, чтобы форма квадрата интервала не изменялась при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системы отсчета. Нам необходимо выразить 𝑟Ñ 𝑟ÑÑ 𝑟 , 𝑡 и 𝑡 𝑡Ñ 𝑟 , 𝑡 . 1) Предположим, что связь выполняется преобразованиями Галилея: 𝑇 , 𝑥 𝑋 𝑉 𝑑𝑇 , 𝑦 𝑌 , 𝑧 𝑑𝑇 , 𝑑𝑥 𝑑𝑋 𝑉 𝑇 , 𝑑𝑦 𝑑𝑌 , 𝑑𝑧 𝑡 𝑍 . Вычислим: 𝑑𝑡 𝑑𝑍 . Тогда: 𝑑𝑆 2 𝑐𝑑𝑡 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑍 2 𝑑𝑌 2 𝑑𝑦 2 𝑑𝑧 2 𝑐𝑑𝑇 1 2 𝑐2 𝑑𝑇 2 𝑑𝑋 2 2𝑉 𝑑𝑇 𝑑𝑋 𝑉 2 𝑑𝑇 2 𝑉2 2 2 2 2𝑉 𝑑𝑇 𝑑𝑋 𝑑𝑋 𝑑𝑌 𝑑𝑍 . 2 𝑐 За счет второго слагаемого преобразование Галилея не сохраняет форму уравнения фронта. 2) Преобразования Лоренца. Приведем уравнения фронта к диагональному виду: 𝑑𝑆 2 𝑉2 2𝑉 2 𝑐 ]︀𝑑𝑇 1 2 2 𝑑𝑇 𝑑𝑋 {︀ 𝑑𝑋 2 𝑑𝑌 2 𝑑𝑍 2 2 ⎨ ⎝ 𝑐2 ⎝⎝𝑑𝑇 2 1 ⎝ ⎪ 𝑐 𝑐 ⎬ 𝑉 2 ⎠ 𝑉 𝑑𝑋 2 2𝑉 𝑉2 𝑐4 𝑑𝑋 ⎠ 𝑐2 𝑑𝑇 𝑑𝑋 2 2 ⎠ 2 2 𝑉 𝑐 𝑐 1 𝑐2 ⎠⎮ 1 𝑉𝑐2 2 49 2 2 𝑑𝑋 }︂ ⎨ ⎝ 2 2 𝑐2 ⎝ ⎝𝑑𝑇 𝑑𝑌 𝑑𝑍 1 ⎝ ⎝ ⎪ }︂ ⎨ ⎝ 𝑉2 2 2 2⎝ 𝑑𝑌 𝑑𝑍 𝑐 ⎝𝑑𝑇 1 2 ⎝ 𝑐 ⎝ ⎪ ⎬2 𝑉2 ⎠ 𝑉 𝑉 ⎠ 𝑐2 2 ⎠ 1 𝑑𝑋 ⌉︂ 2 2 2 𝑉 2 ⎠ 𝑐 𝑐 1 𝑐2 1 𝑉𝑐2 ⎠⎮ 2 ⎬2 ⎠ 𝑉 𝑑𝑋 ⎠ 𝑑𝑋 𝑑𝑌 2 𝑑𝑍 2 ⎠ ⌉︂ ⌉︂ 2 ⎠ 2 2 𝑐 1 𝑉𝑐2 ⎠⎮ 1 𝑉𝑐2 𝑑𝑋 2 Обозначим: }︂ 𝑑𝑡 𝑉2 1 2 𝑐 𝑑𝑇 𝑉 𝑑𝑋 , 𝑑𝑥 ⌉︂ 𝑐2 1 𝑉 2 𝑑𝑋 ⌉︂ 1 𝑐2 Учтем, что 𝑉 𝑇 𝑑𝑌 , 𝑑𝑧 , 𝑦 𝑌 , 𝑧 𝑑𝑍 . 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, тогда: }︂ 𝑡 , 𝑑𝑦 𝑉2 𝑐2 𝑉2 1 2 𝑐 𝑉 𝑋 , 𝑥 ⌉︂ 2 2 𝑐 1 𝑉 ⌉︂ 𝑋 𝑍 . 2 1 𝑉𝑐2 𝑐2 Но 𝑋 , 𝑇 можно выразить через 𝑥 и 𝑡. 𝑇 Тогда: 𝑡, 𝑋 𝑥 𝑉 𝑡. 2 𝑡 𝑡1 𝑉𝑐2 𝑐𝑉2 𝑥 𝑉 𝑡 ⌉︂ 1 𝑥 𝑉2 𝑐2 𝑥𝑉𝑡 ⌉︂ 1 , 𝑦 𝑡 𝑥𝑉 𝑐2 ⌉︂ 1 𝑦, 𝑧 . 𝑉2 𝑐2 𝑧. 𝑉2 𝑐2 Эти выражения называются преобразованиями Лоренца. Существуют также и обратные преобразования: 𝑡 𝑡 𝑥𝑐2𝑉 ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝑥 𝑥 𝑉 𝑡 ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝑦 50 𝑦, 𝑧 𝑧 , где 𝛽 𝑉 . 𝑐 2.2. Релятивистская кинематика. Преобразования промежутка времени и длины отрезка. А. Преобразования промежутка времени. Пусть в движущейся со скоростью 𝑣Ñ системе отсчета отрезок времени 𝜏0 𝑡2 𝑡1 . Кроме того, измерение координаты в этой системе отсчета, производимое в разное время дало одинаковый результат: 𝑥1 𝑥2 . Тогда: 𝑦 𝐾 𝑥 1 𝛽2 , 𝑡1 𝑡1 𝑥𝑐12𝑉 ⌈︂ 1 𝛽2 ⟨︀ 𝑡2 𝑡1 𝑐2 1 𝛽2 ⌈︂ 𝑉 . 𝑐 (︁ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂[︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ (︂ 𝑥2 𝑥1 𝑉 ⌈︂ 𝑡2 𝑡1 𝜏 , где 𝛽 𝑥′ 0 𝜏0 𝜏 𝜏0 = 𝑡2′ - 𝑡1′ 𝑉 𝑡2 𝑥𝑐22𝑉 ⌈︂ 𝐾′ τ = 𝑡2 - 𝑡1 − ? 𝑡2 𝑦’ 𝜏0 1 𝛽2 . C 𝜏0 . Таким образом, в неподвижной системе отсчета промежуток времени больше, чем в движущейся. Это называется эффектом замедления времени. Замечание: Для 𝑃 𝑖0 -мезона время жизни в состоянии покоя 𝜏0 106 с. Тогда характерное расстояние - 𝑙 𝑐𝜏0 104 см = 100 м. Однако, в широких атмосферных ливнях Π0 проходит расстояние порядка 90 км. Б. Преобразование длины геометрического отрезка. Пусть в движущейся со скоростью 𝑣Ñ системе отсчета покоится отрезок 𝑙0 𝑥2 𝑥1 . Кроме того, измерение длины отрезка (двух 𝑦 𝑦’ 𝐾 51 𝐾′ 𝑉 𝑙 = 𝑥2 − 𝑥1 − ? 𝑙 = 𝑥2′ − 𝑥1′ = 𝑙0 𝑥1 𝑥1′ 𝑥2 𝑥 𝑥2′ 𝑥′ координат) должно происходить одновременно в неподвижной системе координат: 𝑡1 𝑡2 . 𝑥2 𝑉 𝑡2 ⌈︂ 𝑥2 1 𝛽2 𝑥1 𝑉 𝑡1 ⌈︂ , 𝑥1 1 𝛽2 , 𝑙0 (︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ [︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂(︂ 𝑙 𝑥2 𝑥1 𝑉 𝑡2 𝑡1 ⌈︂ 𝑥2 𝑥1 Найдем 𝑡2 𝑡1 : 1 𝛽2 𝑡2 𝑥𝑐22𝑉 𝑡 ⌈︂ 2 1 𝛽2 𝑡1 𝑥𝑐12𝑉 , 𝑡1 ⌈︂ 1 𝛽2 , , 0 𝑙 𝑉 (︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ [︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂(︂ 𝑡2 𝑡1 𝑐2 𝑥2 𝑥1 ⌈︂ 1 𝛽2 ⟨︀ 𝑡 2 𝑡 1 ⌈︂ 𝑉𝑙 𝑐2 1 𝛽2 @ 0. Тогда получим: 𝑙 𝑙0 𝑉 𝑡2 𝑡1 𝑙0 ⌈︂ 𝑉 2𝑙 2 ⌈︂ 𝑐 1𝛽 2 ⌈︂ 1 𝛽2 1 𝛽2 𝑙 ⌈︂ 1 𝛽2 В итоге: ⌈︂ 𝑙0 1 𝛽2 𝑙0 1 𝛽2 𝛽 2𝑙 . 1 𝛽2 . ⌈︂ 𝑙0 1 𝛽 2 B 𝑙0 . 𝑙 Таким образом, в неподвижной системе отсчета длина меньше, чем в движущейся. Это называется эффектом сокращения длины отрезка. Замечание: Сокращение происходит в силу способа измерения. Деформаций в отрезке не возникает. Замечание: Обозначим: 𝑉Ñ , 𝑉Ñ . Тогда: Õ Õ ⌈︂ 𝑙Õ 1 𝛽 2 , 𝑙Ù 𝑙Õ tg 𝛼 Ù Ù 𝑙Ù 𝑙Õ ⌈︂ 𝑙Ù 𝑙Õ 1 𝛽 2 𝑙Ù , tg 𝛼 ⌈︂ 1 𝛽2 . 𝛼 - угол, образованный направлением скорости и координатной осью. 52 2.3. Релятивистский закон сложения скоростей. Преобразования углов. А. Закон преобразования скоростей. Пусть объект движется со скоростью 𝑣Ñ относительно движущейся системы отсчета и со скоростью 𝑣Ñ относительно неподвижной. 𝑣Ñ 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 , 𝑣Ñ 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 . 𝑦 𝑦’ 𝐾 𝐾′ 𝑣− Ԧ ? 𝑣′ Ԧ 𝑥 𝑣Ñ - задано. 𝑣Ñ - необходимо найти. 𝑑𝑦 , 𝑣𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑥 , 𝑣𝑦 𝑑𝑡 𝑣 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Запишем преобразования Лоренца: 𝑑𝑡 ⌉︂ 1 𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑧 𝑑𝑡 , 𝑑𝑥 𝑉2 𝑐2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑉 𝑑𝑡 ⌉︂ 1 𝑑𝑧 . 𝑑𝑡 1 𝛽2 𝑑𝑡 𝑐𝑉2 𝑑𝑥 ⌈︂ 𝑑𝑧 1 𝛽 2 𝑑𝑡 𝑐𝑉2 𝑑𝑥 , 𝑑𝑦 𝑑𝑦 , 𝑑𝑧 𝑉 𝑣𝑥 𝑉 𝑑𝑧 . 𝑉2 𝑐2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑉 𝑐𝑑𝑥 2 ⌈︂ 𝑥′ 𝑑𝑧 , 𝑑𝑡 𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑐2𝑉 𝑉 1 𝑐𝑉2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⌈︂ 1 𝛽2 1 𝑐𝑉2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⌈︂ 𝑑𝑧 𝑑𝑡 1 𝛽2 1 𝑐𝑉2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Замечание: При 𝛽 P 1, 𝑣𝑥 𝑣𝑥 𝑉 , 𝑣𝑦 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 1 𝑣𝑐𝑥2𝑉 𝑣 ⌈︂ 𝑦 1 𝛽2 1 ⌈︂ , 𝑣𝑥 𝑉 𝑐2 𝑣𝑧 1 𝛽 2 1 𝑣𝑐𝑥2𝑉 , . 𝑣𝑧 . Б. Закон преобразования квадрата скорости. Утверждение: Пусть в системе 𝐾 скорость частиц 𝑣Ñ, при этом 𝑣Ñ2 𝑐2 @ 0. Покажем, что неравенство сохраняется для любой системы 𝐾 , движущейся инерциально. 53 Доказательство: 2 2 𝑣Ñ 𝑐 2 2 (︀𝑣𝑥 2 𝑣 𝑦 2 2 𝑣 ⌋︀ 𝑐 𝑧 𝑣𝑥2 2𝑣𝑥 𝑉 𝑣𝑥 𝑉 1 𝑣𝑥 𝑉 𝑐2 𝑣𝑦2 𝑣𝑧2 1 𝛽 2 1 𝑐𝑥2 2 𝑉 2 𝑣𝑦2 𝑣𝑧2 1 𝛽 2 𝑐2 2𝑣𝑥 𝑉 𝑣 𝑉 1 𝑐𝑥2 𝑣𝑥2 1 𝛽 2 𝑣𝑦2 𝑣𝑧2 1 𝛽 2 𝑉 2 𝑐2 𝑣 𝑉 𝑣 𝑉 1 𝑐𝑥2 𝑐2 𝑣𝑥2 𝑉 2 𝑐2 2 𝑣𝑥2 𝑣𝑦2 𝑣𝑧2 1 𝛽 2 𝑐2 1 𝛽 2 2 𝑣 𝑉 1 𝑐𝑥2 2 Ñ 𝑣 2 𝑐2 1 𝛽 2 1 𝑣𝑥 𝑉 2 𝑐2 . Таким образом, если 𝑣Ñ2 𝑐2 @ 0 и 1 𝛽 2 A 0, тогда 𝑣Ñ2 𝑐2 @ 0. То есть никаким переходом в другую инерциальную систему отсчёта невозможно добиться превышения скорости частицы скорости движения света в вакууме. Замечание: Если 𝑣 𝑐, то 𝑣 𝑐, но при этом компоненты скорости могут изменятся 𝑣𝑥 𝑐 cos 𝛼, 𝑣𝑦 𝑐 sin 𝛼. В. Закон преобразования угла, образованного вектором скорости. Пусть 𝛼 - угол, образованный вектором скорости в движущейся системе координат. Необходимо найти 𝛼 𝛼𝛼 , 𝑣 в неподвижной системе координат. 𝑣Ñ 𝑣Ñ 𝑣𝑥 𝑣𝑥 𝑣 cos 𝛼, 𝑣𝑦 𝑣 cos 𝛼 , 𝑣𝑦 𝑦 𝐾 𝐾′ 𝑣Ԧ 𝑉 𝑣′ Ԧ α′ α−? 𝑣 sin 𝛼, 0, 𝑥 𝑣 sin 𝛼 , 0, 𝑣𝑥 𝑣𝑥 𝑉 𝑣 cos 𝛼 1 𝑣𝑐𝑥2𝑉 ⌈︂ 𝑣𝑦 𝑦’ 𝑣 sin 𝛼 tg 𝛼 𝑣𝑦 1 𝛽 2 1 𝑣𝑐𝑥2𝑉 𝑣𝑦 𝑣𝑥 𝑣 cos 𝛼 𝑉 , 1 𝑣𝑐2𝑉 cos 𝛼 𝑣 sin 𝛼 ⌈︂ 1 𝑣𝑐2𝑉 ⌈︂ 1 𝛽2 , cos 𝛼 𝑣 sin 𝛼 1 𝛽 2 . 𝑣 cos 𝛼 𝑉 54 𝑥′ Пусть 𝑣 𝑐, тогда 𝑐, 𝑣 cos 𝛼 𝛽 , 1 𝛽 cos 𝛼 cos 𝛼 ⌈︂ sin 𝛼 1 𝛽 2 sin 𝛼 . 1 𝛽 cos 𝛼 𝛼 𝛼𝛼 - закон преобразования угла, образованного волновым вектором и скоростью. 2.4. Пространство Минковского. Примеры тензоров различных рангов. 𝑥0 𝑐𝑡, 𝑥1 𝑥, 𝑥2 𝑦, 𝑥3 𝑧. Обозначения четырехмерного вектора координат: 𝑥𝑖 𝑥 0 𝑐𝑡, 𝑥1 𝑥𝑖 𝑥, 𝑥2 0 𝑧 , 𝑐𝑡, 𝑥𝛼 , 𝑥 𝑥𝑖 𝑦, 𝑥3 0 𝑐𝑡, 𝑟Ñ. 𝑥 Здесь, как и раньше, обозначено: 𝑖, 𝑗, 𝑘 0, 1, 2, 3; 𝛼, 𝛽, 𝛾 Преобразования Лоренца в индексных координатах: 𝑡 𝑥𝑐2𝑉 ⌈︂ 𝑡 1 𝛽2 , 𝑥 𝑐𝑡 𝑐𝑥𝑐2𝑉 ⌈︂ 𝑐𝑡 1 𝛽2 𝑥0 𝛽𝑥1 𝑥0 ⌈︂ , 𝑥 1 𝛽2 𝑥1 𝛽𝑥0 ⌈︂ , 𝑥1 𝑥0 𝛽𝑥1 , 𝑥1 ⌈︂ 1 𝛽2 1 𝛽2 ⌈︂ 1 𝛽2 𝑥1 𝛽𝑥0 ⌈︂ 1 𝛽2 𝑦, 𝑧 , 𝑦 𝑥 𝑉𝑐 𝑐𝑡 1 𝛽2 Аналогично найдем, что: 𝑥0 𝑥 𝑉 𝑡 ⌈︂ 𝑧. 𝑦, 𝑧 , 𝑦 𝑧. , 𝑥2 𝑥2 , 𝑥3 𝑥3 . , 𝑥2 𝑥 2 , 𝑥 3 𝑥3 . Замечание: ch 𝜓 ⌈︂ 1 1 𝛽2 , sh 𝜓 ⌈︂ 𝛽 1 𝛽2 . ch 𝜓𝑥0 sh 𝜓𝑥1 , 𝑥1 ch 𝜓𝑥1 sh 𝜓𝑥0 . 𝑉 th 𝜓 𝛽 , 𝜓 arcth 𝛽 быстрота. 𝑐 𝑥0 55 1, 2, 3. А. Тензорные величины. Выполним произвольное преобразование координат: 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑥. 1) Скаляр. Будем назвать скаляром величину 𝑆 𝑆 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , преобразующуюся по закону: 𝑆 𝑥 𝑆 𝑥 𝑆 𝑥𝑥 . Пример: 𝑑𝑆 2 𝑐𝑑𝑡2 𝑑𝑟Ñ2 𝑐𝑑𝑡 2 𝑑𝑟Ñ 2 𝑑𝑆 2 . 2) Четырехмерный вектор. а)Контрвариантный вектор. 𝑎𝑖 𝑥 0 1 2 3 𝑎 𝑥, 𝑎 𝑥, 𝑎 𝑥, 𝑎 𝑥. Ñ 𝑎0 -временная компонента вектора. 𝑎 𝑎𝛼 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 - пространственные компоненты вектора. Ñ Определение: а) Будем называть контрвариантным вектором 𝑎𝑖 𝑎0 , 𝑎 вектор, преобразующийся следующим образом: 𝑎 𝑚 𝑥 𝜕𝑥𝑚 𝑖 𝑎 𝑥𝑥 . 𝑖 𝜕𝑥 Здесь 𝑚 - свободный индекс. И да, надеюсь, что вы всё ещё помните про правило Эйнштейна суммирования по повторяющемуся индексу. б)Ковариантный вектор. 𝑎𝑖 𝑥 𝑎0 𝑥, 𝑎1 𝑥, 𝑎2 𝑥, 𝑎3 𝑥. Ковариантный вектор преобразуется следующим образом: 𝑎𝑚 𝑥 𝜕𝑥𝑖 𝑎𝑖 𝑥𝑥 . 𝑚 𝜕𝑥 Закон преобразования компонент четырехмерного вектора при преобразованиях Лоренца. Рассмотрим случай контрвариантного тензора: 𝑎𝑚 𝑥 0 1 2 𝑎𝑚 𝑎 𝑚 , 𝑥 2 , 𝑥 3 𝑥3 . 3 𝑎 𝑥, 𝑎 𝑥, 𝑎 𝑥, 𝑎 𝑥, 𝑎 𝑚 𝑥 𝜕𝑥𝑚 𝑖 𝑎 𝑥𝑥 . 𝑖 𝜕𝑥 Кроме того: 𝑥0 𝑥0 𝛽𝑥1 ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝑥1 𝑥1 𝛽𝑥0 ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝑥2 Также, необходимо учесть следующие соотношения: 𝜕𝑥0 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 ⌈︂ 1 1 𝛽2 , 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 𝜕𝑥0 56 ⌈︂ 𝛽 1 𝛽2 , 𝜕𝑥2 𝜕𝑥2 𝜕𝑥3 𝜕𝑥3 1. 1) Пусть m = 0. 𝜕𝑥0 𝑖 𝑎 𝜕𝑥𝑖 𝑎 0 𝜕𝑥0 0 𝜕𝑥0 1 𝑎 𝑎 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 ⌈︂ 1 1 𝛽2 𝑎 0 ⌈︂ 𝛽 1 𝛽2 𝑎 1 𝑎0 𝛽𝑎1 ⌈︂ 1 𝛽2 . Здесь и далее раскрывается сумма по правилу Эйнштейна. Кроме того, нулевые слагаемые сразу опускаются. 2) Пусть m = 1. 𝑎1 𝜕𝑥1 𝑖 𝑎 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥1 0 𝜕𝑥1 1 𝑎 𝑎 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 ⌈︂ 1 𝑎0 ⌈︂ 𝑎1 1 𝛽2 1 𝛽2 𝛽 𝑎1 𝛽𝑎0 ⌈︂ 1 𝛽2 . 3, 4) Пусть m = 2, 3. 𝑎2 𝑎2 , 𝑎 3 𝑎3 . Таким образом, для контрвариантного тензора получили: 𝑎0 𝑎0 𝛽𝑎1 ⌈︂ 1 𝛽2 𝑎1 𝛽𝑎0 , 𝑎1 ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝑎2 𝑎2 , 𝑎3 𝑎3 . Аналогично можно получить для ковариантного тензора: 𝑎0 𝑎0 𝛽𝑎1 ⌈︂ 1 𝛽2 𝑎1 𝛽𝑎0 , 𝑎1 ⌈︂ 1 𝛽2 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎2 𝑎3 . Замечание: Величина 𝑎𝑘 𝑎𝑘 оказывается скаляром и не меняется при преобразовании координат. Доказательство: 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑘 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑚 𝑖 𝑎 𝜕𝑥𝑚 𝜕𝑥𝑖 𝑎𝑘 𝑎𝑖 ⌊︀ 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑚 }︀ 𝜕𝑥𝑚 𝜕𝑥𝑖 𝑎𝑘 𝑎𝑖 3) Тензор второго ранга. а)𝑇 𝑖𝑘 - дважды контрвариантный тензор. 00 𝑇 𝑖𝑘 𝑇 10 𝑇 20 𝑇 𝑇 30 𝑇 01 𝑇 11 𝑇 21 𝑇 31 𝑇 02 𝑇 12 𝑇 22 𝑇 32 𝑇 03 𝑇 13 . 𝑇 23 𝑇 33 Закон преобразования: 𝑇 𝑚𝑛 𝜕𝑥𝑚 𝜕𝑥𝑛 𝑖𝑘 𝑇 . 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 57 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝑎𝑘 𝑎𝑖 𝛿𝑘𝑖 𝑎𝑘 𝑎𝑘 . Здесь и далее, первый индекс обозначает номер строки, а второй - номер столбца элемента. б)𝑇𝑖𝑘 - дважды ковариантный тензор. Закон преобразования: 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 𝑇𝑖𝑘 . 𝑚𝑛 𝜕𝑥𝑚 𝜕𝑥𝑛 в)Один раз ковариантный, один раз контрвариантный тензор. Обозначение: 𝑇𝑖Y Y𝑘 , 𝑇Y𝑖 𝑘Y . Тензорные инварианты: Величины не имеющие свободные индексы оказываются инвариантными относительно преобразования координат. 1) Скаляр. 𝑆 𝑥 𝑆 𝑥𝑥 - инвариант. 2) 𝑎𝑘 - четырехмерный вектор. 𝑎𝑘 𝑎𝑘 𝑎𝑚 𝑎𝑚 - инвариант. 3) 𝑇 𝑖𝑘 - тензор второго ранга. 𝑇𝑖Y Y𝑘 , 𝑇𝑖𝑘 𝑇 𝑘𝑖 , 𝑇𝑖𝑘 𝑇 𝑘𝑙 𝑇𝑙Y Y𝑖 , 𝑇𝑖𝑘 𝑇 𝑘𝑙 𝑇𝑙𝑚 𝑇 𝑚𝑖 - инварианты. 𝑇 Б. Метрический тензор. Определение: "Расстояние"между бесконечно близкими точками 𝑥𝑖 и 𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑖 в четырехмерном пространстве-времени определяется интервалом 𝑑𝑆 𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑘 , где 𝑔𝑖𝑘 - метрический тензор (дважды ковариантный). Если 𝑔 det ∏︁𝑔𝑖𝑘 ∏︁ x 0, то возможно построить обратную матрицу 𝑔 𝑖𝑘 дважды контрвариантный метрический тензор. 𝑔𝑖𝑘 𝑔 𝑘𝑚 𝛿𝑖𝑚 . Замечание: 𝑔𝑖𝑘 𝑔𝑘𝑖 -симметричный тензор. В четырехмерном пространствевремени в общем случае имеет 10 независимых компонент. Опускание и поднятие индексов с помощью метрического тензора. 1) 𝐴𝑘 - четырехмерный вектор. 𝐴𝑚 𝑔𝑚𝑘 𝐴𝑘 . 𝐴𝑚 𝑔 𝑚𝑘 𝐴𝑘 . Замечание: Скалярное произведение. 𝐴𝑘 𝐵 𝑘 𝑔𝑘𝑚 𝐴𝑚 𝐵 𝑘 𝐴𝑚 𝑔𝑚𝑘 𝐵 𝑘 𝐴𝑚 𝐵𝑚 . 2) 𝑇 𝑖𝑘 - тензор второго ранга. 𝑇𝑚Y 𝑘Y 𝑇𝑚𝑛 𝑔𝑚𝑖 𝑇 𝑖𝑘 , 𝑔𝑛𝑘 𝑇𝑚Y 𝑘Y 58 𝑔𝑚𝑖 𝑔𝑛𝑘 𝑇 𝑖𝑘 . В. Пространство Минковского. Запишем квадрат интервала между двумя событиями в декартовых координатах инерциальной системы отсчета. 𝑑𝑆 2 𝑐𝑑𝑡 2 𝑔𝑖𝑘 1 0 0 0 𝑑𝑥 2 2 𝑑𝑦 𝑑𝑧 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 2 𝑑𝑥 1 2 𝑑𝑥 diag1, 1, 1, 1 2 2 𝑑𝑥 3 2 𝑑𝑥 𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑘 . сигнатура матрицы. Определение: Пространство-время, для которого в декартовых координатах инерциальной системы отсчета в каждой точке метрический тензор имеет вид 𝑔𝑖𝑘 𝑔 𝑖𝑘 diag1, 1, 1, 1. Замечание: Поднятие и опускание индексов в пространстве Минковского. 𝑎𝑘 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑔𝑖𝑘 𝑎𝑘 . 𝑎𝑖 Пусть: 1) 𝑖 0 𝑎0 𝑔0𝑘 𝑎𝑘 𝑔00 𝑎0 𝑎0 . 2) 𝑖 𝛼 1, 2, 3 𝑎𝛼 𝑔𝛼𝑘 𝑎𝑘 𝑔𝛼𝛼 𝑎𝛼 𝑎𝛼 . При поднятии временного индекса, знак компоненты не меняется, а при поднятии пространственного индекса меняется. 𝑎𝑘 𝑎 0 Ñ ,𝑎 𝑎𝑘 Ñ. 𝑎0 , 𝑎 Г. Описание движения частиц в четырехмерном пространстве-времени. Четырехмерные векторы скорости и ускорения. Пусть в момент времени 𝑡 частица занимает положение с координатами 𝑥𝛼 𝑟Ñ𝑡. Такому положению частицы можно сопоставить точку в четырехмерном пространстве-времени. 𝑥𝑖 0 𝑥 𝑥0 Мировая линия неподвижной частицы Мировая линия движущейся частицы 𝑐𝑡, 𝑟Ñ𝑡. В процессе движения частицы 𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑖 𝑥0 𝑑𝑥0 , 𝑟Ñ 𝑑𝑟Ñ частица движется вдоль линии пространства Минковского(мировой линии). 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖 +d𝑥𝑖 𝑥 1 = x 59 Построим четырехмерный вектор скорости: 𝑈𝑖 𝑈 0 , 𝑈 1 , 𝑈 2 , 𝑈 3 . 𝑈 1 , 𝑈 2 , 𝑈 3 должны быть пропорциональны скоростям 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 . Учтем, что 𝑑𝑥𝑖 - бесконечно малый, четырехмерный контрвариантный 𝑖 вектор, при том 𝑑𝑆 - скаляр. Потому с геометрической точки зрения 𝑈 𝑖 𝑑𝑥 𝑑𝑆 - четырехмерный вектор. Вычислим: 𝑑𝑆 2 𝑖 𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑘 𝑐𝑑𝑡 2 1 𝑑𝑟Ñ 2 𝑐𝑑𝑡 ⌊︀1 }︀ 𝑐2 𝑑𝑡 2 2 Ñ 𝑑𝑟 )︀A ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀@ 𝑑𝑆 2 2 𝑐𝑑𝑡 ]︀1 𝑣2 {︀ . 𝑐2 0, если ⋃︀Ñ 𝑣 ⋃︀ @ 𝑐, 0, если ⋃︀Ñ 𝑣 ⋃︀ 𝑐, 0, если ⋃︀Ñ 𝑣 ⋃︀ A 𝑐. Будем использовать 𝑑𝑆 A 0 для построения 𝑈 0 , при условии, что ⋃︀Ñ 𝑣 ⋃︀ @ 𝑐. Тогда: }︂ ⌈︂ 𝑣2 𝑑𝑆 𝑐𝑑𝑡 1 2 𝑐𝑑𝑡 1 𝛽 2 , 𝑐 𝑑 1 𝑑 1 𝑑 ⌈︂ ⌈︂ . 𝑑𝑆 𝑐 1 𝛽 2 𝑑𝑡 1 𝛽 2 𝑑𝑥0 Вычислим 𝑈 𝑖 : 𝑈 𝑖 )︀ ⌉︀ ⌉︀ 0 ⌋︀𝑈 ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑆 𝑑𝑥0 𝑑𝑆 1 ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝑈Ñ 𝑑𝑟Ñ 𝑑𝑆 [︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌈︂ ⌈︀ . ⌉︀ 𝑐 1 𝛽 2 ⌉︀ ⌊︀ 𝑣Ñ Окончательно получим четырехмерный вектор скорости: 𝑈 𝑖 )︀ ⌉︀ ⌉︀ 0 ⌋︀𝑈 ⌉︀ ⌉︀ ]︀ ⌈︂ 1 1 𝛽2 Замечание: 1) 𝑈 𝑖 - безразмерная. 2) При 𝛽 𝑣𝑐 P 1 𝑈 0 1, 𝑈Ñ Вычислим: 𝑈𝑖 𝑈 𝑖 𝑘 𝑔𝑖𝑘 𝑈 𝑈 𝑖 , 𝑈Ñ [︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌈︂ ⌈︀ . ⌉︀ 𝑐 1 𝛽 2 ⌉︀ ⌊︀ 𝑣Ñ 𝑣Ñ𝑡 𝑐 . 𝑑𝑥𝑘 𝑑𝑥𝑖 𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑆 𝑑𝑆 𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑘 𝑑𝑆 2 Построим четырехмерный вектор ускорения: 𝑊𝑖 𝑊 0 Ñ ,𝑊 60 𝑑𝑈 𝑖 . 𝑑𝑆 𝑑𝑆 2 𝑑𝑆 2 1. Вычислим компоненты вектора: 𝑊 𝑑𝑈 0 , где 𝑈 0 𝑑𝑆 0 𝑑 𝑐 1 𝛽 2 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑆 ⌈︂ 1 ⌈︂ 1 1 𝛽2 ⌈︂ , 1 𝑑 . 1 𝛽 2 𝑑𝑥0 Тогда: 𝑊 0 𝑑 1 ⌉︂ ⌉︂ 𝑣 2 𝑑𝑡 𝑣2 𝑐 1 1 Ñ Ñ 𝑣, 𝑎 1 𝑐2 2 𝑐3 1 𝑣𝑐2 𝑐2 Ñ , где 𝑎 2 𝑑𝑣Ñ . 𝑑𝑡 Вычислим: Ñ 𝑊 𝑑𝑈Ñ 𝑑𝑆 𝑑 𝑣Ñ ⌉︂ ⌉︂ 𝑣 2 𝑑𝑡 𝑣2 𝑐 1 1 Ñ Ñ 𝑣ÑÑ 𝑣, 𝑎 𝑎 . 2 𝑐2 1 𝑣𝑐2 𝑐4 1 𝑣22 2 1 𝑐2 𝑐 𝑐2 Ñ 𝑎Ñ . Замечание: При 𝑣𝑐 P 1 𝑊 0 0, 𝑊 𝑐2 Утверждение: Четырехмерные векторы скорости и ускорения ортогональны. 𝑈𝑘 𝑊 𝑘 0. Доказательство: 𝑈𝑘 𝑈 𝑘 1, ⋀︀ 𝑑 𝑑𝑆 𝑑𝑈𝑘 𝑘 𝑑𝑈 𝑘 𝑈 𝑈𝑘 0, 𝑑𝑆 𝑑𝑆 𝑑𝑈 𝑘 𝑑𝑈 𝑖 𝑘 𝑔𝑖𝑘 𝑈 𝑈𝑘 0, 𝑑𝑆 ⧹︀ 𝑑𝑆 𝑈𝑖 𝑑𝑈 𝑖 𝑑𝑈 𝑘 𝑈𝑘 0, 𝑈𝑖 𝑑𝑆 𝑑𝑆 Так как индексы обозначают сумму, то неважно, какие они. Заменим индекс 𝑖 на индекс 𝑘. 𝑈𝑘 𝑑𝑈 𝑘 𝑑𝑆 0 61 𝑈𝑘 𝑊 𝑘 0. 2.5. Закон преобразования плотности заряда и тока и его обоснование. Так как 𝑥0 𝑐𝑡, 𝑥1 𝑥, 𝑥2 𝜕𝜌 Ñ 0, div 𝑗 𝜕𝑡 𝑦, 𝑥3 𝑧, то: 𝜕𝜌 𝜕𝑗𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑥 Обозначим: 𝑗 1 Тогда: 𝑗𝑥 , 𝑗 2 𝜕𝑗𝑦 𝜕𝑦 𝑗𝑦 , 𝑗 3 𝜕𝑗𝑧 𝜕𝑧 0. 𝑗𝑧 . 𝜕 𝑐𝜌 𝜕𝑗 1 𝜕𝑗 2 𝜕𝑗 3 0. 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥3 Последние три слагаемых представляют собой трехмерную свертку по индексам, значит нет свободных индексов. В любом тензорном равенстве все слагаемые должны иметь одинаковую природу, а значит первое слагаемое также не должно иметь свободного индекса. Требование можно удовлетворить, если 𝑐𝜌 𝑗 0 . Пусть 𝑗 0 𝜌𝑐 - временная компонента четырехмерного вектора. Тогда четырехмерный вектор плотности тока имеет вид: 𝑗𝑘 𝑗 0 𝜌𝑐, 𝑗 1 𝑗𝑥 , 𝑗 2 𝑗𝑦 , 𝑗 3 𝑗𝑧 𝑗 0 𝜌𝑐, Ñ𝑗 . Закон сохранения заряда примет удобный вид: 𝜕𝑗 𝑘 𝜕𝑥𝑘 0. Получим преобразование 𝑗 𝑘 при преобразовании Лоренца. 𝑗𝑘 𝑗 0 𝛽𝑗 1 𝑗0 ⌈︂ Учтем, что 𝑗 𝑘 1 𝛽2 𝑗 1 𝛽𝑗 0 ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝑗2 𝑗 2 , 𝑗 3 𝑗 3 . 𝑗𝑦 , 𝑗𝑧 𝑗𝑧 . 𝜌𝑐, Ñ𝑗 . Тогда: 𝑗 0 𝜌𝑐 , 𝑗1 𝜕𝑥𝑘 𝑚 𝑗 , тогда 𝜕𝑥𝑚 𝜌 𝑐 𝛽𝑗𝑥 ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝑗𝑥 𝑗𝑥 𝛽𝜌 𝑐 ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝑗𝑦 Или получим: 𝜌 𝜌 𝑐𝑉2 𝑗𝑥 ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝑗𝑥 𝑗𝑥 𝜌 𝑉 ⌈︂ 1 𝛽2 62 , 𝑗𝑦 𝑗𝑦 , 𝑗𝑧 𝑗𝑧 . Замечание: 1) Пусть 𝜌 x 0, Ñ𝑗 0. (Заряженное тело покоится в 𝐾 ). ⌈︂ 𝜌 𝜌 C 𝜌 , 𝑗 𝑥 1 𝛽2 ⌈︂ 𝜌 𝑉 1 𝛽2 x 0. 2) Пусть 𝜌 0, Ñ𝑗 x 0. (Проводник с током покоится в 𝐾 ). 𝜌 𝑉 𝑗𝑥 𝑐2 ⌈︂ 1 𝛽2 x 0, 𝑗𝑥 ⌈︂ 𝑗𝑥 1 𝛽2 C 𝑗𝑥 . 2.6. Ковариантная запись условий Лоренца и уравнений для потенциалов. Закон преобразования потенциалов. 1 𝜕𝜙 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑧 1 𝜕𝜙 Ñ div 𝐴 𝑐 𝜕𝑡 𝑐 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Обозначим: 𝐴1 𝐴𝑥 , 𝐴2 𝐴𝑦 , 𝐴3 𝐴𝑧 . Тогда: 𝜕𝜙 𝜕𝑥0 𝜕𝐴1 𝜕𝑥1 𝜕𝐴2 𝜕𝑥2 𝜕𝐴3 𝜕𝑥3 0. 0. Как и раньше, все слагаемые должны иметь одинаковую тензорную природу, потому: 𝐴0 𝜙. Тогда четырехмерный вектор потенциала имеет вид: 𝐴𝑘 𝐴0 𝜙, 𝐴1 𝐴𝑥 , 𝐴2 𝐴𝑦 , 𝐴3 𝐴𝑧 𝐴0 𝜙, 𝐴Ñ. 𝐴𝑘 𝐴0 𝜙, 𝐴1 𝐴𝑥 , 𝐴2 𝐴 𝑦 , 𝐴3 𝐴𝑧 𝐴0 𝜙, 𝐴Ñ. Закон преобразования потенциалов при преобразовании Лоренца. 𝑘 𝐴 𝐴0 𝐴0 𝛽𝐴1 ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝐴1 Или запишем иначе: 𝜙 𝛽𝐴𝑥 𝜙 ⌈︂ , 𝐴𝑥 1 𝛽2 𝜕𝑥𝑘 𝑚 𝐴 , 𝜕𝑥𝑚 𝐴1 𝛽𝐴0 ⌈︂ 1 𝛽2 𝐴𝑥 𝛽𝜙 ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝐴2 , 𝐴𝑦 𝐴2 , 𝐴3 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 𝐴3 . 𝐴𝑧 , Теперь перепишем уравнения для потенциалов в ковариантной форме. )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 𝐴Ñ 𝜙 4𝜋 Ñ 𝑗, 𝑐 4𝜋𝜌. 63 Учтем, что 𝑗 𝑘 𝜌𝑐, Ñ𝑗 , 𝐴𝑘 𝑗 0 4𝜋 0 [︀ ⌉︀ 𝑗 ⌉︀ ⌉︀ 𝑐 ⌉︀ 𝑘 ⌈︀ 𝐴 4𝜋 Ñ ⌉︀ ⌉︀ 𝑗 ⌉︀ ⌉︀ 𝑐 ⌊︀ 𝐴0 𝐴Ñ 𝜙, 𝐴Ñ. 𝐴0 4𝜋 𝑘 𝑗 , где 𝑘 𝑐 0, 1, 2, 3. Получим ковариантное обобщение для оператора Д’Аламбера: ∆ 1 𝜕2 𝑐2 𝜕𝑡2 𝑔 𝑚𝑛 𝜕2 , где 𝑔 𝑚𝑛 𝑚 𝑛 𝜕𝑥 𝜕𝑥 diag1, 1, 1, 1. Тогда получим, при учете калибровочного условия Лоренца 𝑔 𝑚𝑛 𝜕 2 𝐴𝑘 𝜕𝑥𝑚 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝐴𝑘 𝜕𝑥𝑘 0: 4𝜋 𝑘 𝑗 . 𝑐 2.7. Тензор электромагнитного поля. Ковариантная запись уравнений Максвелла для полей в вакууме. А. Тензор электромагнитного поля. )︀ 𝐻 Ñ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝐸Ñ ⌉︀ ]︀ Ñ rot 𝐴, Ñ𝜙 © 1 𝜕 𝐴Ñ . 𝑐 𝜕𝑡 Ñ не могут относится к компонентам четырехмерного Утверждение: 𝐸Ñ и 𝐻 вектора, так как содержат производные от четырехмерного вектора 𝐴𝑘 по компонентам четырехмерного вектора 𝑥𝑛 . Ñ Запишем выражение 𝐻 rot 𝐴Ñ в индексной форме. 𝐴𝑘 𝐴𝑘 0 𝜙, 𝐴1 𝐴 𝐴0 𝜙, 𝐴1 𝐴𝑥 , 𝐴2 𝐴 𝑥 , 𝐴2 𝐴𝑦 , 𝐴3 𝐴𝑧 . 𝐴𝑦 , 𝐴3 Распишем компоненты 𝐻𝛼 : 𝐻𝑥 𝐻𝑦 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝐴2 𝜕𝑥3 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝐴3 𝜕𝑥1 64 𝜕𝐴3 . 𝜕𝑥2 𝜕𝐴1 . 𝜕𝑥3 𝐴𝑧 . 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴1 𝜕𝐴2 . 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥2 𝜕𝑥1 Каждая компонента определяется двумя свободными индексами, а значит они относятся к тензору второго ранга. Обозначим этот тензор 𝐹 . 𝐻𝑧 𝜕𝐴𝛽 𝜕𝑥𝛼 𝐹𝛼𝛽 𝐹32 𝐻𝑥 , 𝐹13 𝜕𝐴𝛼 . 𝜕𝑥𝛽 𝐻𝑦 , 𝐹21 𝐻𝑧 . Рассмотрим четырехмерное обобщение выражения: 𝜕𝐴𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝐹𝑖𝑘 𝜕𝐴𝑖 , где 𝑖, 𝑘 𝜕𝑥𝑘 0, 1, 2, 3. Так как 𝐹𝑖𝑘 𝐹𝑘𝑖 , то тензор имеет 6 независимых компонент. Вычислим независимые компоненты и составим тензор: 1) Пусть 𝑖 0, 𝑘 1: 𝐹01 2) Пусть 𝑖 𝐹02 2) Пусть 𝑖 𝐹03 𝜕𝐴1 𝜕𝑥0 0, 𝑘 𝜕𝐴0 𝜕𝑥1 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝜙 𝜕 𝑐𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝜙 1 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝑥 𝑐 𝜕𝑡 𝐸𝑥 . 𝜕𝐴0 𝜕𝑥2 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝜙 𝜕 𝑐𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝜙 1 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝑦 𝑐 𝜕𝑡 𝐸𝑦 . 𝜕𝐴0 𝜕𝑥3 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝜙 𝜕 𝑐𝑡 𝜕𝑧 𝜕𝜙 1 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝑧 𝑐 𝜕𝑡 𝐸𝑧 . 2: 𝜕𝐴2 𝜕𝑥0 0, 𝑘 3: 𝜕𝐴3 𝜕𝑥0 Так как 𝐹𝑖𝑘 𝐹𝑘𝑖 , то значения тензора на диагонали равны нулю. Независимые компоненты мы нашли, так что можем выписать тензор электромагнитного поля в явном виде: 𝐹𝑖𝑘 0 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸 𝑧 𝐸𝑥 0 𝐻𝑧 𝐻𝑦 𝐸𝑦 𝐻𝑧 0 𝐻𝑥 𝐸𝑧 𝐻𝑦 𝐻𝑥 0 Можно показать (делать я этого, конечно, не буду), что 𝐹 𝑖𝑘 0 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸 𝑧 𝐸𝑥 0 𝐻𝑧 𝐻𝑦 65 𝐸𝑦 𝐻𝑧 0 𝐻𝑥 𝐸𝑧 𝐻𝑦 𝐻𝑥 0 Б. Уравнения Максвелла в ковариантной форме. Получим однородные уравнения Максвелла в ковариантной форме: )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ 1 𝜕𝐻 , 𝑐 𝜕𝑡 0. rot 𝐸Ñ Ñ div 𝐻 Вычислим(в вычислениях снова будем прибавлять и отнимать одинаковые слагаемые): 𝜕𝐹𝑖𝑘 𝜕𝑥𝑛 𝜕 𝜕𝐴𝑘 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝐴𝑖 𝜕 𝜕𝐴𝑘 𝜕 𝜕𝐴𝑖 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑛 𝜕 𝜕𝐴𝑘 𝜕𝐴𝑛 𝜕 𝜕𝐴𝑛 𝜕 𝜕𝐴𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑛 𝜕 𝜕𝐴𝑘 𝜕𝐴𝑛 𝜕 𝜕𝐴𝑛 (︀ 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝐹𝑘𝑛 𝜕𝐴𝑖 (︀. 𝜕𝑥𝑛 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝐹𝑛𝑖 𝜕𝐹𝑖𝑘 𝜕𝐹𝑘𝑛 𝜕𝐹𝑛𝑖 0, где 𝑖, 𝑘, 𝑛 0, 1, 2, 3. 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 Замечание: Нетривиальными будут только уравнения, у которых все три индекса различны. Если 𝑖 𝑘 x 𝑛 : 𝜕𝐹𝑖𝑖 𝜕𝐹𝑖𝑛 𝜕𝐹𝑛𝑖 0. 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖 ⧸︀ ⧸︀ 𝐹𝑖𝑛 0 Таким образом, уравнение тривиально. Число независимых уравнений в четырехмерном пространстве-времени 3 𝐶4 4. Замечание: Пусть 𝑖 1, 𝑘 2, 𝑛 3: 𝜕𝐹12 𝜕𝑥3 𝜕𝐹23 𝜕𝑥1 𝜕𝐹31 𝜕𝑥2 0, 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝐻𝑦 Ñ 0 div 𝐻 0. 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Получим неоднородные уравнения Максвелла в ковариантной форме: )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ rot 𝐻 div 𝐸Ñ 4𝜋 Ñ 1 𝜕 𝐸Ñ 𝑗 , 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋𝜌. 1) Уравнение в ковариантной форме должны содержать Ñ𝑗 и иметь один свободный индекс. 66 2) Уравнения должны быть построены из первых производных тензора электромагнитного поля по координатам пространства-времени. 𝜕𝐹 𝑛𝑘 4𝜋 𝑛 𝛼𝑗 . 𝑘 𝑑𝑥 𝑐 Определим 𝛼 из сопоставления с уравнением в векторной форме. 0𝑘 4𝜋 0 1) Пусть 𝑛 0, тогда 𝜕𝐹 𝑐 𝛼𝑗 . 𝑑𝑥𝑘 𝜕𝐹 00 𝜕𝐹 01 𝜕𝐹 02 𝜕𝐹 03 𝑑𝑥0 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑧 4𝜋𝛼𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Отсюда получим, что 𝛼 1. 1𝑘 4𝜋 1 2) Пусть 𝑛 1, тогда 𝜕𝐹 𝑐 𝑗 . 𝑑𝑥𝑘 4𝜋 𝛼𝜌𝑐, 𝑐 div 𝐸Ñ 4𝜋𝛼𝜌. 𝜕𝐹 10 𝜕𝐹 11 𝜕𝐹 12 𝜕𝐹 13 4𝜋 1 𝑗 , 𝑑𝑥0 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3 𝑐 4𝜋 1 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑦 𝑗𝑥 , 𝑐 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑐 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑦 1 𝜕𝐸𝑥 4𝜋 𝑗𝑥 . 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑐 𝑑𝑡 𝑐 Это выражение соответствует выражению: Ñ rot 𝐻 𝑥 1 𝜕𝐸 4𝜋 Ñ 𝑗 𝑥 . 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 𝑥 Таким образом, уравнения Максвелла в ковариантной форме примут вид: )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 𝜕𝐹𝑖𝑘 𝜕𝐹𝑘𝑛 𝜕𝐹𝑛𝑖 0, 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝐹 𝑛𝑘 4𝜋 𝑛 𝑗 . 𝜕𝑥𝑘 𝑐 Замечание: Проверим согласованность с законом сохранения заряда. 𝜕𝑗 𝑛 0 закон сохранения заряда. 𝜕𝑥𝑛 Возьмем производную от второго уравнения: 𝜕 2 𝐹 𝑛𝑘 4𝜋 𝜕𝑗 𝑛 . 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑘 𝑐 𝜕𝑥𝑛 Левая часть представляет собой свертку антисимметричного и симметричного тензоров, тогда: 𝜕𝑗 𝑛 0. 𝜕𝑥𝑛 67 Ñ 2.8. Законы преобразования векторов 𝐸Ñ и 𝐻. Инварианты электромагнитного поля. А. Законы преобразования электромагнитного поля при преобразованиях Лоренца. 0 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸 𝐹𝑖𝑘 𝐸𝑥 0 𝐻𝑧 𝐻𝑦 𝑧 𝐸𝑦 𝐻𝑧 0 𝐻𝑥 𝐸𝑧 𝐻𝑦 𝐻𝑥 0 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 𝐹𝑖𝑘 . 𝜕𝑥𝑚 𝜕𝑥𝑛 𝐹 𝑚𝑛 Преобразования Лоренца: 𝑥0 𝛽𝑥1 0 ⌈︂ 𝑥 1 𝛽2 , 𝑥 1 𝑥1 𝛽𝑥0 ⌈︂ 1 𝛽2 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥2 𝑥3 . Также, необходимо учесть следующие соотношения: 𝜕𝑥0 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 ⌈︂ 1 1 𝛽2 , 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 𝜕𝑥0 ⌈︂ 𝛽 1 𝛽2 , 𝜕𝑥2 𝜕𝑥2 𝜕𝑥3 𝜕𝑥3 1. Независимые компоненты определяются индексами из таблицы: m 0 0 0 1 1 2 n 1 2 3 2 3 3 1) Пусть 𝑚 0, 𝑛 1. 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 𝐹𝑖𝑘 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝐹01 ⌊︀ 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥3 𝜕𝑥𝑘 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 }︀ 0𝑘 1𝑘 2𝑘 3𝑘 𝜕𝑥0 𝜕𝑥0 𝜕𝑥0 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 ⧸︀ ⧸︀ 0 𝜕𝑥0 ⌊︀ 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝐹0𝑘 }︀ 𝜕𝑥1 ⌊︀ 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝐹1𝑘 }︀ 0 𝜕𝑥0 𝜕𝑥0 ⌊︀ 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝐹00 1 𝐹01 }︀ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥 ⧸︀ 0 𝜕𝑥1 ⌊︀ 𝜕𝑥0 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝐹10 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 ⧸︀ 0 𝐹11 }︀ 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 𝜕𝑥0 𝐹01 𝐹10 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 ⃦ 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 ⃦ 𝐸𝑥 𝐸𝑥 𝐸𝑥 𝛽 2 𝐸𝑥 1 𝛽2 1 𝛽2 𝐸𝑥 . Здесь при втором раскрытии суммы слагаемые с индексами 2 и 3 были опущены сразу. Итак, было получено: 𝐸𝑥 𝐸𝑥 . 68 2) Пусть 𝑚 0, 𝑛 𝐹 02 2. 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 𝐹𝑖𝑘 𝜕𝑥0 𝜕𝑥2 𝜕𝑥𝑖 𝐹𝑖2 𝜕𝑥0 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝐹02 𝐹12 . 𝜕𝑥0 ⃦ 𝜕𝑥0 ⃦ 𝐻𝑧 𝐸𝑦 Здесь было опущено все, что только можно при раскрытии сумм. Все это достаточно очевидно, однако требует внимания. Таким образом: 𝐸𝑦 𝛽𝐻𝑧 ⌈︂ . 𝐸𝑦 1 𝛽2 Проводя аналогичные громоздкие вычисления, можно получить другие компоненты полей. Приведем законы преобразования полей: Обозначим: 𝐸𝑥 𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 𝐸𝑦 𝛽𝐻𝑧 𝐻𝑥 𝐻𝑥 , 𝐻𝑦 𝐻𝑦 𝛽𝐸𝑧 ⌈︂ 1 𝛽2 ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝐸𝑧 𝐸𝑧 𝛽𝐻𝑦 , 𝐻𝑧 𝐻𝑧 𝛽𝐸𝑦 ⌈︂ 1 𝛽2 ⌈︂ 1 𝛽2 . . Õ Õ 𝑉Ñ , Ù Ù 𝑉Ñ . 𝐸Ñ Õ 𝐸Ñ 𝐸Ñ Ñ ⌋︀ 𝐸ÑÙ 1𝑐 (︀𝑉Ñ , 𝐻 Ñ 𝐻 Ñ 𝐻 Ñ 𝐻 Ñ 1 (︀𝑉 𝐻 Ù 𝑐 Ñ , 𝐸Ñ ⌋︀ Õ Õ, Õ, Ù ⌈︂ Ù 1 𝛽2 ⌈︂ 1 𝛽2 . . Б. Инварианты тензора электромагнитного поля. Построим инвариантные комбинации из 𝐹𝑖𝑘 , 𝑔𝑖𝑘 . 1) 𝐹𝑖𝑘 𝑔 𝑘𝑖 0, 2) 𝐹𝑖𝑘 𝐹 𝑘𝑖 𝐽2 , 3) 𝐹𝑖𝑘 𝐹 𝑘𝑙 𝐹𝑙𝑚 𝑔 𝑚𝑖 0, - нечетное число 𝐹 . 4) 𝐹𝑖𝑘 𝐹 𝑘𝑙 𝐹𝑙𝑚 𝐹 𝑚𝑖 𝐽4 , - четное число 𝐹 . Утверждение: В 𝑁 -мерном пространстве можно построить )︀ 𝑁2 ⌈︀ независимых инвариантов для антисимметричного тензора второго ранга. Для 𝑁 4 )︀ 𝑁2 ⌈︀ 2. 𝐽2 𝐽4 𝐹𝑖𝑘 𝐹 𝑘𝑖 𝐹𝑖𝑘 𝐹 𝑘𝑙 𝐹𝑙𝑚 𝐹 𝑚𝑖 2𝐸Ñ 2𝐸Ñ 2 2 69 Ñ 𝐻 Ñ 𝐻 2 2 2 inv . Ñ 𝐻 Ñ 2 4𝐸, inv . Можно выбрать в качестве независимых инвариантов: 𝐸Ñ 𝐼1 2 Ñ 2, 𝐼 𝐻 2 Ñ 𝐻 Ñ 𝐸, 2 . Замечание: Ñ 𝐼 1) Если в инерциальной системе отсчета 𝐸Ñ 𝐻 0, то в любой 2 Ñ Ñ другой инерциальной системе отсчета 𝐸 𝐻 , за исключением случая, Ñ когда 𝐸Ñ 0 или 𝐻 0. 2) Если 𝐼1 x 0 и 𝐼2 x 0, то существует система отсчета 𝐾 , в которой Ñ . 𝐸Ñ 𝐻 3) Для электромагнитной волны оба инварианта равны нулю: 𝐼1 0, 𝐼2 0. Ù Ù Õ 2.9. Принцип стационарного действия в электродинамике. Лагранжиан заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле. а) Всякая физическая система может быть q(t) +δ𝑞(𝑡) 𝑡𝐵 охарактеризована некоторой функцией 𝐿 B 𝐿𝑞 𝑡, 𝑞˙𝑡, 𝑡, с помощью которой может быть построен функционал действия: 𝑡𝐵 q(t) 𝑡𝐴 𝐿𝑞 𝑡, 𝑞˙𝑡, 𝑡𝑑𝑡. 𝑆 A 𝑡𝐴 б) Истинное движение системы соответствует траекториям 𝑞 𝑡, для которого функционал действия стационарен в первом приближении по 𝛿𝑞. 𝑆 𝑞 𝛿𝑞 𝑆 𝑞 𝛿𝑆 𝑡𝐵 𝑆 𝐿𝑑𝑡 𝛿𝑆 0 0, 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝑑𝑡 𝜕 𝑞˙ 𝜕𝑞 0. 𝑡𝐴 Общие требования при построении функции Лагранжа: 1) 𝐿 𝐿 - вещественная (важнейшее условие). 2) Релятивистская инвариантность функции 𝐿. 3) Локальность и причинность. 4) Принцип минимальности (простота функции 𝐿). 5) Принцип соответствия. Релятивизм должен переходить в классику при малых скоростях. Построим функционал действия и Лагранжа: 𝑆 𝑆𝑓 𝑆𝑝 𝑆𝑖𝑛𝑡 . 70 Здесь 𝑆𝑓 - вариация поля, 𝑆𝑝 - вариация частиц, 𝑆𝑖𝑛𝑡 - вариация взаимодействия. Построим уравнение движения частицы в заданном электромагнитном поле 𝛿𝑆𝑓 0. 𝑥0 Время t - не выделенная координата с точки зрения четырехмерного пространства-времени. Действие следует искать в виде криволинейного интеграла вдоль мировой линии. B Мировая линия 𝐵 A 𝑆 𝑥1 = x 𝑓 𝑑𝑆. 𝐴 Действие инвариант скаляр 𝑓 - скалярная функция. 𝑓 𝑚, 𝑒, 𝑈 𝑖 , 𝑊 𝑖 , 𝐴𝑖 , 𝐹 𝑖𝑘 . 𝑓 Различные инвариантные комбинации: 𝑈𝑖 𝑈 𝑖 0; 𝑈𝑖 𝑊 𝑖 𝐹𝑖𝑘 𝑈 𝑖 𝑈 𝑘 0; 𝐴𝑖 𝑈 𝑖 ; 𝐴𝑖 𝑊 𝑖 ; 𝐴𝑖 𝐴𝑖 ; 0; 𝐹𝑖𝑘 𝐴𝑖 𝑈 𝑘 ; 𝐹𝑖𝑘 𝐹 𝑘 𝑈 𝑖 𝑈𝑙 . Руководствуясь принципом минимальности, выберем: 𝑓 𝛼0 𝛼1 𝐴𝑖 𝑈 𝑖 , где 𝛼0 , 𝛼1 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Учтем, что 𝐵 𝑆 𝑡𝐵 𝑓 𝑑𝑆 𝑓 𝑡𝐵 𝑑𝑆 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐿𝑑𝑡 𝐿 𝑓 𝑑𝑆 . 𝑑𝑡 𝑡𝐴 𝑡𝐴 𝐴 Вычислим 𝑑𝑆: 1 𝑑𝑆 𝑖 (︀𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑥 Тогда 𝑘 21 ⌋︀ 𝑑𝑥 (︀𝑐𝑑𝑡 2 2 1 Ñ ⌋︀ 2 𝑑𝑟 1 𝑑𝑟Ñ 2 2 𝑐𝑑𝑡 ⌊︀1 2 }︀ 𝑐 𝑑𝑡 ⌈︂ 𝑑𝑆 𝑑𝑡 𝑐 1 𝛽 2 , поэтому: 𝐿 𝑓 𝑑𝑆 𝑑𝑡 ⌈︂ 𝑐 1 𝛽 2𝑓 ⌈︂ ⌈︂ 𝛼0 𝑐 1 𝛽 2 𝛼1 𝐴𝑖 𝑈 𝑖 𝑐 1 𝛽 2 . 71 ⌈︂ 𝑐𝑑𝑡 1 𝛽 2 . Учтем, что 𝐴𝑖 Ñ, 𝜙, 𝐴 𝑈 )︀ ⌉︀ ⌉︀ 0 ⌋︀𝑈 ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 𝑖 Тогда: 𝐴𝑖 𝑈 𝑖 ⌊︀𝜙 ⌈︂ 1 𝑐 }︀ ⌈︂ 1 𝛽2 𝑚𝑣Ñ 2 𝐿𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑖𝑐 2 𝑐 ⋃︀Ñ 𝑣 ⋃︀ 𝑐 }︀. P 1. 𝑒 Ñ 𝑣 , 𝐴Ñ 𝑒𝜙. 𝑐 𝑒 𝛼0 𝑣 2 Ñ 𝑣 , 𝐴Ñ 𝑒𝜙 𝛼0 𝑐 𝑐 𝑐 2 2 , Ñ 𝑣 , 𝐴Ñ 𝛼0 𝑐 1 𝛽 2 𝛼1 𝑐⌊︀𝜙 Воспользуемся принципом соответствия: 𝑚𝑣Ñ 2 1 ⌈︂ 𝐿 𝐿 , 𝑈Ñ 1 𝛽2 Ñ 𝑣 , 𝐴Ñ [︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌈︂ ⌈︀ . ⌉︀ 𝑐 1 𝛽 2 ⌉︀ ⌊︀ 𝑣Ñ 𝛼1 𝑐⌊︀𝜙 Ñ 𝑣 , 𝐴Ñ 𝑐 }︀. Сопоставляя, найдем: 𝛼0 𝑚𝑐, 𝛼1 𝑒 . 𝑐 Тогда получим функцию Лагранжа для релятивистской частицы: 𝐿 𝐵 𝑆 𝑚𝑐 𝐴 𝑒 𝑑𝑆 𝑐 2 𝑚𝑐 ⌈︂ 1 𝛽2 𝐵 𝐴𝑖 𝑈 𝑖 𝑑𝑆 𝑈 𝑖 𝐴 𝑒 Ñ 𝑣 , 𝐴Ñ 𝑒𝜙. 𝑐 𝑑𝑥𝑖 (︀ 𝑑𝑆 𝐵 𝑚𝑐 𝐴 𝑒 𝑑𝑆 𝑐 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂)︂ 𝑆𝑝 72 𝐵 𝐴𝑖 𝑑𝑥𝑖 . 𝐴 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂)︂ 𝑆𝑖𝑛𝑡 2.10. Уравнения движения релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле в четырехмерном виде. А. Движение частицы. 𝑥0 𝐵 δ𝑥 𝑖 (B)= 0 B 𝑆 𝑚𝑐 𝑒 𝑑𝑆 𝑐 𝐴 0, при 𝛿𝑆 𝑖 A δ𝑥 (A)= 0 𝑥1 = x 𝐵 𝐴𝑘 𝑑𝑥𝑘 . 𝐴 )︀ 𝑖 ⌉︀ ⌉︀𝛿𝑥 𝐴 ⌋︀ ⌉︀ 𝛿𝑥𝑖 𝐵 ⌉︀ ]︀ 0, 0. 1) Вычислим 𝛿 𝑑𝑆 . 𝑑𝑆 2 2𝑑𝑆𝛿 𝑑𝑆 𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑘 . 𝛿 𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑘 𝑔𝑖𝑘 𝛿 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑘 𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑥𝑖 𝛿 𝑑𝑥𝑘 ⧹︀ )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 2𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑥𝑘 𝛿 𝑑𝑥𝑖 . 0 𝑖 𝑘 𝛿 и 𝑑 можно поменять местами. Получим: 𝑑𝑆𝛿 𝑑𝑆 𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑥𝑘 𝑑𝛿𝑥𝑖 , 𝑑𝑥𝑘 𝑑𝛿𝑥𝑖 𝛿 𝑑𝑆 𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑆 Выделим полный дифференциал: 𝛿 𝑑𝑆 𝑔𝑖𝑘 𝑈 𝑘 𝑑𝛿𝑥𝑖 . 𝑑𝑔𝑖𝑘 𝑈 𝑘 𝛿𝑥𝑖 𝑑𝑔𝑖𝑘 𝑈 𝑘 𝛿𝑥𝑖 . 2) Вычислим 𝛿 𝐴𝑘 𝑑𝑥𝑘 : 𝛿 𝐴𝑘 𝑑𝑥𝑘 Учтем, что 𝛿𝐴𝑘 𝛿𝐴𝑘 𝑑𝑥𝑘 𝐴𝑘 𝛿𝑑𝑥𝑘 . 𝜕𝐴𝑘 𝑖 𝛿𝑥 . 𝜕𝑥𝑖 Тогда: 𝛿 𝐴𝑘 𝑑𝑥𝑘 𝜕𝐴𝑘 𝑖 𝑘 𝛿𝑥 𝑑𝑥 𝐴𝑘 𝑑𝛿𝑥𝑘 𝑖 𝜕𝑥 Учтем, что 𝑑𝐴𝑘 𝜕𝐴𝑘 𝑖 𝑘 𝛿𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝐴𝑘 𝛿𝑥𝑘 𝑑𝐴𝑘 𝛿𝑥𝑘 . 𝑖 𝜕𝑥 𝜕𝐴𝑘 𝑖 𝑑𝑥 . 𝜕𝑥𝑖 73 𝜕𝐴𝑘 𝑖 𝑘 𝜕𝐴𝑘 𝑖 𝑘 𝛿𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝛿𝑥 𝑑𝐴𝑘 𝛿𝑥𝑘 𝑖 𝑖 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝛿 𝐴𝑘 𝑑𝑥𝑘 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝑖 𝑘 ]︀ 𝜕𝐴𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝐴𝑖 𝑖 𝑘 𝑘 {︀ 𝛿𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝐴𝑘 𝛿𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝐹𝑖𝑘 𝛿𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑘 𝑑𝐴𝑘 𝛿𝑥𝑘 . Тогда, учитывая полученное раньше: 𝐵 𝛿𝑆 0 𝑚𝑐 𝑒 𝛿 𝑑𝑆 𝑐 𝐴 𝑒 𝑐 𝐵 𝛿 𝐴𝑘 𝑑𝑥𝑘 𝑖 𝑑𝑔𝑖𝑘 𝑈 𝑚𝑐 𝐴 𝐴 𝑑𝑥𝑘 𝑑𝐴𝑘 𝛿𝑥𝑘 𝐵 𝑘 𝑚𝑐𝑔𝑖𝑘 𝑈 𝛿𝑥𝑖 ⋂︀𝐴 𝐵 𝐹𝑖𝑘 𝛿𝑥 𝐵 𝐴 𝑒 𝑐 𝐵 𝑘 𝛿𝑥𝑖 𝑑𝑔𝑖𝑘 𝑈 𝑘 𝛿𝑥𝑖 𝑒 𝐵 𝑑𝑚𝑐𝑔𝑖𝑘 𝑈 𝑘 𝛿𝑥𝑖 𝐴𝑘 𝛿𝑥𝑘 ⋂︀𝐴 𝑐 𝐴 𝐵 𝐵 𝐹𝑖𝑘 𝛿𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑘 𝑖 𝛿𝑥𝑖 𝐵 𝛿𝑥 𝐴 0(︀ 𝐴 𝑚𝑐𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑈 𝑘 𝑒 𝐹𝑖𝑘 𝑑𝑥𝑘 𝛿𝑥𝑖 𝑐 0. 𝐴 Так как это выполняется для любого 𝛿𝑥𝑖 , то подынтегральное выражение равно нулю: 𝑒 𝑚𝑐𝑔𝑖𝑘 𝑑𝑈 𝑘 𝐹𝑖𝑘 𝑑𝑥𝑘 0, 𝑐 𝑒 𝑑 𝑚𝑐𝑑𝑈𝑖 𝐹𝑖𝑘 𝑑𝑥𝑘 , ⋂︀ 𝑐 𝑑𝑆 𝑑𝑈 𝑖 𝑒 𝑑𝑥𝑘 𝑚𝑐 𝐹𝑖𝑘 , 𝑑𝑆 𝑐 𝑑𝑆 𝑘 Учтем, что 𝑑𝑥 𝑈 𝑘 и получим уравнение движения релятивистской 𝑑𝑆 частицы в заданном электромагнитном поле. 𝑑𝑈 𝑖 𝑚𝑐 𝑑𝑆 𝑒 𝑖Y 𝑘 𝐹 𝑈 , где 𝑑𝑆 𝑐 Y𝑘 ⌈︂ 𝑐𝑑𝑡 1 𝛽 2 . В последнем выражении: 𝑈𝑖 𝑈 0 ⌈︂ 1 1 𝛽2 , 𝑈Ñ ⌈︂ 𝑣Ñ 1 𝛽2 , 𝐹Y𝑖 𝑘Y 0 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸 𝑧 𝐸𝑥 0 𝐻𝑧 𝐻𝑦 𝐸𝑦 𝐻𝑧 0 𝐻𝑥 Б. Энергия и импульс релятивистской частицы. 1) Пусть 𝑖 0 𝑚𝑐 𝑑𝑈 0 𝑑𝑆 𝑒 0Y 𝑘 𝐹 𝑈 . 𝑐 Y𝑘 74 𝐸𝑧 𝐻𝑦 𝐻𝑥 0 𝑚𝑐 𝑑 1 ⌈︂ 𝑐 1 𝛽 2 𝑑𝑡 1 𝛽2 𝑒 𝐸𝑧 𝑣𝑥 𝐸𝑦 𝑣𝑦 𝐸𝑧 𝑣𝑧 ⌈︂ . 𝑐 1 𝛽2 𝑒 0Y 0 Y 0 Y 𝐹Y 1 𝑈1 𝐹Y 2 𝑈2 𝐹Y 3 𝑈3 𝑐 ⧸︀ ⧸︀ ⧸︀ ⌈︂ 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸𝑧 𝑑 𝑚𝑐2 ⌈︂ 𝑑𝑡 1 𝛽2 Ñ 𝑣 Ñ. 𝑒𝐸, Выражение в правой части есть мощность силы Лоренца. 2 Определение: 𝜀 ⌈︂𝑚𝑐 2 - энергия релятивистской частицы. 1𝛽 Проверим принцип соответствия: ⌈︂ 1 1 𝛽2 1 ⋃︀Ñ 𝑣 ⋃︀ 𝑐 P 1. 𝑥 3 2 𝑥 . . . , при 𝑥 P 1. 2 8 1 2 3 4 𝑚𝑣 2 3 𝑚𝑣 4 2 𝜀 𝑚𝑐 1 𝛽 𝛽 𝑚𝑐 . 2 8 2 8 𝑐2 𝜀 𝑚𝑐2 - энергия покоя частицы. 𝑇 𝜀 𝑚𝑐2 - кинетическая энергия частицы. 2) Пусть 𝑖 1 𝑑𝑈 1 𝑒 1 Y 𝑘 𝑚𝑐 𝐹 𝑈 , 𝑑𝑆 𝑐 Y𝑘 𝑚𝑐 𝑣𝑥 𝑒 1Y 𝑑 1 Y 1 Y ⌈︂ ⌈︂ 𝐹Y 0 𝑈0 𝐹Y 2 𝑈2 𝐹Y 3 𝑈3 , 𝑐 𝑐 1 𝛽 2 𝑑𝑡 𝑐 1 𝛽 2 2 ⌈︂ 𝐸𝑥 𝑒 1 𝛽 2 ⌈︂ 1 𝛽2 𝑚𝑣𝑥 𝑑 ⌈︂ 𝑑𝑡 1 𝛽2 𝑚𝑣𝑥 𝑑 ⌈︂ 𝑑𝑡 1 𝛽2 𝑑 𝑚𝑣𝑥 ⌈︂ 𝑑𝑡 1 𝛽2 𝑒𝐸𝑥 𝑑 𝑚𝑣Ñ ⌈︂ 𝑑𝑡 1 𝛽2 Определение: 𝑝Ñ 𝑚𝑣Ñ 1𝛽 2 ⌈︂ ⌈︂ 𝐻𝑦 𝑣𝑧 𝑐 1 𝛽2 ⌈︂ 𝑐 1 𝛽2 , 𝑒 𝐻𝑧 𝑣𝑦 𝐻𝑦 𝑣𝑧 , 𝑐 𝑒𝐸𝑥 Аналогичным вычислением для 𝑖 движения на оси 𝑦, 𝑧. 𝐻𝑧 𝑣𝑦 𝑒 Ñ ⌋︀ (︀Ñ 𝑣, 𝐻 𝑥 𝑐 𝐹Ñ𝑥 . 2, 𝑖 3 получим проекции уравнения 𝑒𝐸Ñ 𝑒 Ñ ⌋︀. (︀Ñ 𝑣, 𝐻 𝑐 - импульс релятивистской частицы. 75 В. Четырехмерные векторы импульса и силы. 𝑑𝑈 𝑖 𝑚𝑐 𝑑𝑆 𝑈𝑖 𝑈 0 ⌈︂ 1 1 𝛽2 , 𝑈Ñ ⌈︂ 𝑒 𝑖Y 𝑘 𝐹 𝑈 , 𝑐 Y𝑘 𝑣Ñ 1 𝛽2 , 0 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸 𝐹Y𝑖 𝑘Y 𝐸𝑥 0 𝐻𝑧 𝐻𝑦 𝑧 Определение: 𝑝𝑖 𝑝𝑖 𝐸𝑦 𝐻𝑧 0 𝐻𝑥 𝐸𝑧 𝐻𝑦 𝐻𝑥 0 𝑚𝑐𝑈 𝑖 - четырехмерный вектор импульса. 𝑝 0 ⌈︂ 𝑚𝑐 1 𝛽2 , 𝑝Ñ ⌈︂ 𝑚𝑣Ñ 1 𝛽2 (︀ 𝑝 𝜀 , 𝑝Ñ(︀. 𝑐 0 Вычислим инвариант: 2 𝑝𝑖 𝑝𝑖 0 2 𝑝 Ñ 𝑝 𝑚2 𝑐2 2 1 𝛽2 𝑚2 𝑣 2 𝑚2 𝑐2 1 𝑣𝑐2 1 𝛽2 1 𝑣2 𝑐2 𝑚2 𝑐2 . Уравнение движения примет вид: 𝑑 𝑖 𝑝 𝑑𝑆 𝑒 𝑖Y 𝑘 𝐹 𝑈 𝑐 Y𝑘 𝑓 𝑖, Определение: 𝑓 𝑖 𝑒𝑐 𝐹Y𝑖 𝑘Y 𝑈 𝑘 - четырехмерный вектор силы. Замечание: 𝑓 𝑖 𝑈𝑖 𝑒𝑐 𝐹Y𝑖 𝑘Y 𝑈 𝑘 𝑈𝑖 𝑒𝑐 𝐹𝑖𝑘 𝑈 𝑖 𝑈 𝑘 0. Выражение равно нулю, так как это свёртка симметричного и антисимметричного тензора. Вычислим 𝑓 𝑖 : Пусть 𝑖 0, тогда 𝑓0 𝑒 0Y 𝑘 𝐹 𝑈 𝑐 Y𝑘 𝑒 0Y 1 0 Y 2 0 Y 3 𝐹Y 1 𝑈 𝐹Y 2 𝑈 𝐹Y 3 𝑈 𝑐 𝑒 1 𝐸𝑥 𝑣𝑥 𝐸𝑦 𝑣𝑦 𝐸𝑧 𝑣𝑧 ⌈︂ 𝑐 𝑐 1 𝛽2 Аналогично можно получить для 𝛼 𝑓 𝛼 1, 2, 3. Ñ ⌋︀𝛼 𝑒𝐸 𝛼 1𝑐 (︀Ñ 𝑣, 𝐻 ⌈︂ 𝑐 1 𝛽2 76 . Ñ 𝑣 Ñ 𝑒𝐸, ⌈︂ 𝑐2 1 𝛽 2 . Часть 3. 3.1. Усреднение микроскопических уравнений Максвелла. А. Детальное и статистическое описание. x Детальное описание (микроскопическая электродинамика): Достоинства: точность и полнота. Недостатки: а) Большое число слагаемых в источниках 𝜌, Ñ𝑗 при описании вещества. 𝑁 1023 шт. б) Невозможность аналитического определения законов движения для большого числа частиц. 𝑁 1023 шт. в) Существенная неоднородность поля на масштабах порядка радиуса атома. 𝑟𝐵 108 см. г) Избыточность описания в силу объема датчика и отрезка времени измерения. Переходим от детального описания к статистическому. Для этого произведем усреднение уравнений Максвелла по конечному объему пространству и отрезку времени. Рассмотрим систему из большого числа частиц, достаточного для обеспечения статистической достоверности результата усреднения. Пусть 𝐿 - характеристический размер системы, 𝑇 - характеристическое время макроскопических процессов; 𝑙 z линейный размер объема усреднения 𝑉 , 𝜏 - характеристическое время усреднеV 𝑙 a ния; 𝑎 - характеристическое расстояние между атомами среды, 𝜏0 - харакL теристическое время изменения микро𝑟Ԧ0 полей. Пусть 𝑎 P 𝑙 P 𝐿, 𝜏0 P 𝜏 P 𝑇 . Замечание: 𝑙 и 𝜏 должны быть выy браны так, чтобы после усреднения по ним исчезали все быстрые изменения полей в пространстве и времени, обусловленные атомно-молекулярным строением вещества. Правило усреднения: @ 𝑓 Ñ 𝑟0 , 𝑡0 A - среднее значение функции 𝑓 Ñ 𝑟 , 𝑡 , вычисленное по физически бесконечно малому объему 𝑉 с центром в точке 77 𝑟Ñ0 и отрезку времени 𝜏 : @ 𝑓 Ñ𝑟0 , 𝑡0 A 1 𝑉 𝑑𝑉 1 𝜏 𝑡0 𝑑𝑡𝑓 Ñ 𝑟, 𝑡. 𝑡0 𝜏 𝑟 , 𝑡 . Замечание: Возможно использование весовой функции 𝑤Ñ 1 𝑉 @ 𝑓 Ñ𝑟0 , 𝑡0 A 𝑑𝑉 1 𝜏 𝑡0 𝑑𝑡𝑓 Ñ 𝑟, 𝑡𝑤Ñ 𝑟 𝑟Ñ0 , 𝑡 𝑡0 . 𝑡0 𝜏 Как правило, при ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ0 ⋃︀ ª, ⋃︀𝑡 𝑡0 ⋃︀ ª, 𝑤 Вычислим среднее значение от производной: 1 𝜕𝑓 A @ 𝜕𝑡 𝑉 1 𝑑𝑉 𝜏 𝑡0 𝑡0 𝜏 𝜕𝑓 Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑡 1 𝑉 𝑑𝑉 0. (︀𝑓 Ñ 𝑟, 𝑡0 𝑓 Ñ 𝑟, 𝑡0 𝜏 ⌋︀ 𝜏 . Вычислим: 1 𝜕 @ 𝑓 Ñ𝑟, 𝑡0 A 𝜕𝑡0 𝑉 1 𝜕 𝑑𝑉 𝜏 𝜕𝑡0 𝑡0 𝑑𝑡𝑓 Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑡0 𝜏 1 𝑉 𝑑𝑉 (︀𝑓 Ñ 𝑟, 𝑡0 𝑓 Ñ 𝑟, 𝑡0 𝜏 ⌋︀ 𝜏 . Тогда получили: 𝜕 𝜕𝑓 @𝑓 A @ A. 𝜕𝑡0 𝜕𝑡 Аналогично можно показать, что grad @ 𝑓 A @ grad 𝑓 A . Выполним усреднение законов сохранения заряда: 𝜕𝜌полн 𝜕𝑡 div Ñ𝑗полн 𝜌своб 𝜌связ , Ñ𝑗полн 𝜌полн 0. Ñ 𝑗своб Ñ𝑗связ . 𝜌связ , Ñ𝑗связ - плотность заряда и тока связанных источников зарядов, входящих в состав вещества. 𝜌своб , Ñ𝑗своб - плотность заряда и тока свободных источников (сторонних), не входящих в состав вещества. Замечание: Свободные заряды не переходят в связанные и обратно. Тогда получим: 𝜕𝜌своб 𝜕𝑡 div Ñ𝑗своб 0, 𝜕𝜌связ 𝜕𝑡 78 div Ñ𝑗связ 0. Усредним эти выражения: 𝜕 @ 𝜌своб A 𝜕 @ 𝜌связ A Ñ Ñ div @ 𝑗своб A 0, div @ 𝑗связ A 0. 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Обозначим: @ 𝜌своб A 𝜌, @ Ñ𝑗своб A Ñ𝑗. Тогда для свободных источников: 𝜕𝜌 Ñ div 𝑗 𝜕𝑡 Обозначим: @ 𝜌связ A 0. div 𝑃Ñ , где 𝑃Ñ - вектор поляризации вещества. div @ Ñ𝑗связ A 𝜕 𝑃Ñ (︀ 𝜕𝑡 0. )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂)︂ Ñ 𝑐 rot 𝑀 Тогда получим: 𝜕 𝑃Ñ . 𝜕𝑡 Ñ - вектор намагниченности (намагничивания). Здесь 𝑀 Замечание: Полученная подстановка обращает закон сохранения заряда в тождество. 𝜕 𝑃Ñ Ñ Ñ Ñ @ 𝜌связ A div 𝑃 , @ 𝑗связ A 𝑐 rot 𝑀 . 𝜕𝑡 Замечание: Ñ @ Ñ𝑗связ A 𝑐 rot 𝑀 Ñ 𝑗𝑀 Ñ 𝑐 rot 𝑀 плотность тока намагничивания. 𝜕𝑃 плотность тока поляризации. 𝜕𝑡 Ñ - определены неоднозначно. Замечание: 𝑃Ñ , 𝑀 Ñ Потребуем, чтобы 𝑃Ñ 0, 𝑀 0 вне вещества. Ñ 𝑗𝑃 Б. Усреднение уравнений Максвелла. )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 1 𝜕 @ 𝑒Ñ A 4𝜋 Ñ @ 𝑗полн A , 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 div @ 𝑒Ñ A 4𝜋 @ 𝜌полн A, Ñ A rot @ ℎ Ñ A 1𝜕 @ ℎ rot @ 𝑒Ñ A , 𝑐 𝜕𝑡 Ñ A 0. div @ ℎ 79 Ñ - микроскопические параметры. Здесь 𝑒Ñ, ℎ Обозначим: 1) @ 𝑒Ñ A 𝐸Ñ - макроскопическая напряженность электрического поля, Ñ A 𝐵 Ñ - макроскопическая индукция магнитного поля, 2) @ ℎ 3) 𝜌своб 𝜌, 4) Ñ𝑗своб Ñ𝑗, 5) @ 𝜌связ div 𝑃Ñ , Ñ 𝜕 𝑃Ñ . 6) @ Ñ𝑗связ A 𝑐 rot 𝑀 𝜕𝑡 )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ div 𝐸Ñ 1 𝜕 𝐸Ñ 4𝜋 Ñ @ 𝑗своб A @ Ñ 𝑗связ A , 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋 @ 𝜌своб A @ 𝜌связ A, rot 𝐸Ñ Ñ rot 𝐵 Ñ div 𝐵 Ñ 1 𝜕𝐵 , 𝑐 𝜕𝑡 0. Ñ 4𝜋 𝑀 Ñ rot𝐵 div𝐸Ñ 4𝜋 𝑃Ñ rot 𝐸Ñ Ñ div 𝐵 1𝜕 Ñ 4𝜋 Ñ Ñ 𝐸 4𝜋 𝑃 𝑗, 𝑐 𝜕𝑡 𝑐 4𝜋𝜌, Ñ 1 𝜕𝐵 , 𝑐 𝜕𝑡 0. Определение: Ñ 𝐸 Ñ 4𝜋 𝑃 Ñ - вектор электрической индукции. 𝐷 Ñ Ñ 4𝜋 𝑀 Ñ - вектор напряженности магнитного поля. 𝐻 𝐵 )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ rot 𝐻 Ñ div 𝐷 rot 𝐸Ñ Ñ div 𝐵 Ñ 4𝜋 Ñ 1 𝜕 𝐷 𝑗 , 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋𝜌, Ñ 1 𝜕𝐵 , 𝑐 𝜕𝑡 0. Полученные уравнения называются уравнениями Максвелла-Лоренца. Ñ. С. Физический смысл векторов 𝑃Ñ и 𝑀 Рассмотрим конечный объём диэлектрика в электростатическом поле. Диэлектрик во внешнем поле поляризован @ 𝜌связ Ax 0. 𝑑Ñ 𝑑𝑉 @ 𝜌связ A 𝑟Ñ 𝑉ª 80 по определению. Рассмотрим любой постоянный вектор 𝑞Ñ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡: 𝑑𝑉 @ 𝜌связ AÑ 𝑞 , 𝑟Ñ Ñ 𝑞 , 𝑑Ñ Ñ 𝑞 , 𝑑Ñ 𝑑𝑉 Ñ 𝑞 , 𝑟Ñ div 𝑃Ñ , )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂)︂ div 𝑃Ñ 𝑉ª Ñ 𝑞 , 𝑟Ñ div 𝑃Ñ 𝑉ª Ñ Ñ divÑ 𝑞 , 𝑟Ñ 𝑃Ñ 𝑃Ñ , © 𝑞 , 𝑟Ñ divÑ 𝑞 , 𝑟Ñ 𝑃Ñ 𝑑𝑉 𝑉ª Ñ , 𝑞Ñ𝑑𝑉 𝑃 Ñ , Ñ 𝑑𝑆 ª 𝑞 , 𝑟Ñ 𝑃Ñ 𝑉ª divÑ 𝑞 , 𝑟Ñ 𝑃Ñ 𝑃Ñ , 𝑞Ñ, 𝑆ª ª бовали, чтобы 𝑃Ñ 0 вне вещества. Тогда: 𝑃Ñ 𝑑𝑉 Ñ 𝑞 , 𝑑Ñ Ñ , 𝑞Ñ𝑑𝑉 𝑃 , 𝑉ª Первое слагаемое обращается в ноль, так как 𝑃Ñ ⋂︀𝑆 0, ведь мы потре- 0. 𝑉 Так как равенство выполняется для любого 𝑞, то 𝑃Ñ 𝑑𝑉 . 𝑑Ñ 𝑉 По теореме "О среднем": 𝑑Ñ 𝑃Ñ 𝑉 . Тогда: 𝑃Ñ 𝑑Ñ . 𝑉 Таким образом, вектор поляризации вещества имеет смысл плотности электрических диполей в веществе. Ñ (намагниченность). Выясним теперь физический смысл вектора 𝑀 Ñ 𝑚 1 2𝑐 𝑑𝑉 (︀Ñ 𝑟 , @ Ñ𝑗связ A⌋︀ по определению. 𝑉ª Рассмотрим любой постоянный вектор 𝑞Ñ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и учтем выражение Ñ: A 𝑐 rot 𝑀 1 Ñ ⌋︀. Ñ 𝑑𝑉 Ñ Ñ 𝑞, 𝑚 𝑞 , (︀Ñ 𝑟 , rot 𝑀 2 @ Ñ𝑗связ 𝑉ª Ñ ⌋︀ Ñ 𝑞 , (︀Ñ 𝑟 , rot 𝑀 Ñ . (︀Ñ 𝑞 , 𝑟Ñ ⌋︀, rot 𝑀 Воспользуемся следующим соотношением: div(︀Ñ 𝑎, Ñ𝑏⌋︀ Ñ Ñ Ñ 𝑏, rot 𝑎 𝑎, rot Ñ𝑏. Тогда: Ñ (︀Ñ 𝑞 , 𝑟Ñ ⌋︀, rot 𝑀 Ñ , (︀Ñ Ñ , rot(︀Ñ div )︀𝑀 𝑞 , 𝑟Ñ ⌋︀⌈︀ 𝑀 𝑞 , 𝑟Ñ ⌋︀ 81 Ñ , (︀Ñ Ñ , 𝑞Ñ, div )︀𝑀 𝑞 , 𝑟Ñ ⌋︀⌈︀ 2𝑀 Ñ Ñ 𝑞, 𝑚 1 2 Ñ , (︀Ñ div )︀𝑀 𝑞 , 𝑟Ñ ⌋︀⌈︀𝑑𝑉 𝑉ª Ñ , 𝑞Ñ𝑑𝑉 𝑀 1 2 Ñ , )︀𝑀 𝑑𝑆 𝑞 , 𝑟Ñ ⌋︀⌈︀ ª Ñ , (︀Ñ 𝑉ª 𝑉ª Ñ Ñ 𝑞, 𝑚 Ñ 𝑑𝑉 𝑀 Ñ , 𝑞Ñ𝑑𝑉 . 𝑀 𝑉ª Ñ ⋂︀ Первое слагаемое обращается в ноль, так как 𝑀 𝑆 ª Ñ 0 вне вещества. Тогда: бовали, чтобы 𝑀 0, ведь мы потре- 0. 𝑉ª Так как равенство выполняется для любого 𝑞, то Ñ 𝑑𝑉 . 𝑀 Ñ 𝑚 𝑉 Ñ 𝑉 . Тогда: Ñ 𝑀 По теореме "О среднем": 𝑚 Ñ 𝑚 . 𝑉 Таким образом, вектор поляризации вещества имеет смысл плотности магнитных диполей в веществе. Ñ 𝑀 3.2. Материальные уравнения для полей в неподвижном веществе. )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ rot 𝐻 Ñ div 𝐷 rot 𝐸Ñ Ñ div 𝐵 Ñ 4𝜋 Ñ 1 𝜕 𝐷 𝑗 , 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋𝜌, Ñ 1 𝜕𝐵 , 𝑐 𝜕𝑡 0. Данная система включает в себя 8 уравнений для 12 неизвестных, поэтому система недоопределена. Необходимо ввести уравнения, описывающие свойства вещества. Ñ 𝐷 Ñ 𝐻 Ñ . 𝐸Ñ 4𝜋 𝑃Ñ 𝐸, Ñ 𝐵 Ñ 4𝜋 𝑀 Ñ 𝐸, Ñ 𝐻 Ñ . 𝐻 Ñ 𝐻 Ñ , 𝑀 Ñ 𝐸, Ñ 𝐻 Ñ - не являются независимыми и характеризуют от𝑃Ñ 𝐸, клик вещества на внешние поля. Тогда: [︀ Ñ 𝐷 Ñ 𝐸, Ñ 𝐻, Ñ 𝐸 ⌉︀ 𝐷 𝑒𝑥𝑡 ⌉︀ Ñ 𝐵 Ñ 𝐸, Ñ 𝐻, Ñ 𝐸 ⌉︀ 𝐵 𝑒𝑥𝑡 ⌉︀ ⌊︀ ⌈︀ Материальные уравнения. 82 Материальные уравнения зависят от свойств вещества и от внешних условий. Будем считать, что внешние условия неизменны. Ñ малы по сравнению с характерным Утверждение: Если поля 𝐸Ñ и 𝐻 атомным полем (𝐸𝑎 𝑟𝑒2 108 ед. СГС) и изменяются медленно по сравне𝐵 нию с релаксационными процессами в веществе, то материальные уравнения можно разложить в ряд. Ñ ⋃︀ ⋃︀𝐸 𝐸𝑎 P 1, Ñ ⋃︀ ⋃︀𝐻 𝐸𝑎 P 1. 𝐷𝛼 𝑑𝛼 𝜀𝛼𝛽 𝐸𝛽 𝜔 𝛼𝛽 𝐻𝛽 . . . , 𝐵𝛼 𝑏𝛼 𝜇𝛼𝛽 𝐻𝛽 𝜆𝛼𝛽 𝐸𝛽 . . . . Замечание: В общем случае 𝑑𝛼 - полярный вектор, 𝑏𝛼 - аксиальный вектор. 𝜀𝛼𝛽 , 𝜇𝛼𝛽 - обычные тензоры (не изменяются при отражении), 𝜔 𝛼𝛽 , 𝜆𝛼𝛽 аксиальные тензоры. Установим физический смысл слагаемых в разложении. Ñ 1) Если 𝐸Ñ 0, 𝐻 0, то 𝐷𝛼 𝑑𝛼 (остаточная электрическая индукция). 𝐵 𝛼 𝑏𝛼 (остаточная магнитная индукция). 2) 𝜀𝛼𝛽 - тензор диэлектрической проницаемости. 𝜇𝛼𝛽 - тензор магнитной проницаемости. Из термодинамических соотношений следует, что 𝜀𝛼𝛽 𝜀𝛽𝛼 , 𝜇𝛼𝛽 𝜇𝛽𝛼 , откуда следует, что они имеют по три независимые компоненты 𝜀𝛼 C 1, 𝜇𝛼 C 0 (в статике). Для изотропной среды: 𝜀𝛼𝛽 𝜀𝛿 𝛼𝛽 , 𝜀 - диэлектрическая проницаемость. 𝜇𝛼𝛽 𝜇𝛿 𝛼𝛽 , 𝜇 - диэлектрическая проницаемость. Ñ 𝜀𝐸, Ñ 𝐵 Ñ 𝜇𝐻, Ñ при этом будем считать в большинстве случаев, Тогда 𝐷 что 𝜀, 𝜇 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (однородное вещество). 3) 𝜔 𝛼𝛽 𝐻𝛽 , 𝜆𝛼𝛽 𝐸𝛽 - определяют магнитно-электрические свойства веÑ Ñ 𝐻 Ñ , 𝐵 Ñ Ñ 𝐸 Ñ . Перекрестная зависимость щества. Таким образом, 𝐷 𝐷 𝐵 возникает из-за движения вещества и характерных свойств кристаллов. Из-за этого возникает, например, эффект оптической невзаимности. 4) 𝜀𝛼𝛽𝜈 𝐸𝛽 𝐸𝜈 , 𝜇𝛼𝛽𝜈 𝐻𝛽 𝐻𝜈 - определяют эффекты нелинейной оптики, такие как удвоение частоты 𝜔 0, 2𝜔 и генерация комбинаций частот 𝜔1 , 𝜔2 𝜔1 𝜔2 , 𝜔1 𝜔2 . 83 )︀ Ñ ⌉︀ 4𝜋 Ñ 1 𝜕 𝐷 ⌉︀ Ñ ⌉︀ 𝑗 , rot 𝐻 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ 4𝜋𝜌, ⌉︀ div 𝐷 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ ⌉︀ 1 𝜕𝐵 ⌉︀ Ñ rot 𝐸 , ⌋︀ 𝑐 𝜕𝑡 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ 0, ⌉︀ div 𝐵 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ 𝜀𝐸, Ñ ⌉︀ 𝐷 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ Ñ ⌉︀ ]︀ 𝐵 𝜇𝐻. 3 ур. 1 ур. 3 ур. 1 ур. 3 ур. 3 ур. Ñ 𝐷, Ñ 𝐵, Ñ 𝐻 Ñ . Поэтому поПолучили 14 уравнений на 12 неизвестных 𝐸, кажем зависимости: 1) Подействуем дивергенцией на первое уравнение: Ñ div rot 𝐻 0 div div Ñ 1 𝜕𝐷 4𝜋 Ñ 𝑗 div . 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋 Ñ 1 𝜕 4𝜋 Ñ 1 𝜕 Ñ div 𝑗 div 𝐷 𝑗 4𝜋𝜌. 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 𝜕𝜌 4𝜋 ⌊︀ div Ñ 𝑗 }︀ 0. 𝑐 𝜕𝑡 Последнее выражение выполняется в силу закона сохранения заряда. Таким образом, первая связь найдена. 2) Подействуем дивергенцией на третье уравнение: div rot 𝐸Ñ div Ñ 1 𝜕𝐵 . 𝑐 𝜕𝑡 1𝜕 Ñ 0. div 𝐵 𝑐 𝜕𝑡 Последнее выражение выполняется также за счет четвертого уравнения, что дает вторую связь. Таким образом, мы получили 12 уравнений на 12 неизвестных. Замечание: Несмотря на то, что 𝜌 и Ñ𝑗 считаются заданными, часто Ñ𝑗 выражают через внешние поля в веществе. Например, Ñ𝑗 𝜎 𝐸Ñ - материальные уравнения для токов в веществе. 0 84 3.3. Уравнения для потенциалов в однородном покоящимся веществе. Калибровочная инвариантность. Решение в виде запаздывающих потенциалов. А. Потенциалы электромагнитного поля. )︀ Ñ ⌉︀ 4𝜋 Ñ 1 𝜕 𝐷 ⌉︀ Ñ ⌉︀ 𝑗 , rot 𝐻 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ 4𝜋𝜌, ⌉︀ div 𝐷 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ ⌋︀ 1 𝜕𝐵 Ñ ⌉︀ rot 𝐸 , ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝑐 𝜕𝑡 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ 0, ⌉︀ div 𝐵 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ Ñ Ñ Ñ ⌉︀ ]︀ 𝐷 𝜀𝐸, 𝐵 𝜇𝐻. Будем полагать, что 𝜀, 𝜇 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Ñ 0 Ñ rot 𝐴. Ñ 1) div 𝐵 𝐵 2) rot 𝐸Ñ 1 𝜕𝐵 𝑐 𝜕𝑡 Ñ rot 𝐸Ñ 1𝑐 𝜕𝜕𝑡𝐴 (︀ 0. )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ Ñ𝜙 © 𝐸Ñ Ñ𝜙 © 1 𝜕 𝐴Ñ . 𝑐 𝜕𝑡 Получим уравнения для потенциалов: Ñ 𝐻 Ñ 𝐷 𝜀𝐸Ñ Ñ 𝐵 𝜇 1 Ñ rot 𝐴. 𝜇 Ñ𝜙 𝜀 © 1 𝜕 𝐴Ñ (︀. 𝑐 𝜕𝑡 Вычислим подстановку в первое уравнение системы: 1 rot rot 𝐴Ñ 𝜇 Учтем, что rot rot 𝐴Ñ Ñ © Ñ © 4𝜋 Ñ 𝜀 𝜕 𝜀 𝜕 2 𝐴Ñ Ñ𝜙 𝑗 © 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 𝑐2 𝜕𝑡2 ⋁︀ 𝜇. Ñ div 𝐴Ñ ∆𝐴. div 𝐴Ñ ∆𝐴Ñ 4𝜋 Ñ 𝜀𝜇 𝜕𝜙 Ñ 𝜇𝑗 © 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 85 𝜀𝜇 𝜕 2 𝐴Ñ . 𝑐2 𝜕𝑡2 Тогда получим: ∆𝐴Ñ 𝜀𝜇 𝜕 2 𝐴Ñ 𝑐2 𝜕𝑡2 Ñ 𝐷 Ñ div 𝐷 Ñ Ñ div 𝐴 © 𝜀𝐸Ñ 𝜀𝜇 𝜕𝜙 4𝜋 Ñ (︀ 𝜇𝑗. 𝑐 𝜕𝑡 𝑐 Ñ𝜙 𝜀 © Ñ𝜙 𝜀 div © (1) 1 𝜕𝜙 (︀. 𝑐 𝜕𝑡 1 𝜕𝐴 (︀ 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋𝜌. Тогда получим: ∆𝜙Ñ 𝜀𝜇 𝜕 2 𝜙 𝑐2 𝜕𝑡2 1𝜕 𝜀𝜇 𝜕𝜙 4𝜋 Ñ div 𝐴 (︀ 𝜌. 𝑐 𝜕𝑡 𝑐 𝜕𝑡 𝜀 (2) Здесь мы вычли одинаковые слагаемые справа и слева, чтобы добиться вида уравнения, аналогичного (1). Б. Калибровочная инвариантность. Как и раньше, допускается преобразование вида: 𝜙, 𝐴Ñ 𝜙 , 𝐴Ñ . Такое преобразование называется калибровочным преобразованием потенциала. Снова рассмотрим калибровочную функцию 𝑓 такую, что: )︀ Ñ 𝐴 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ 𝜙 ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ 𝑓, 𝐴Ñ © 1 𝜕𝑓 𝜙 . 𝑐 𝜕𝑡 Такие преобразования не меняют напряженности полей: Ñ 𝐵 rot 𝐴Ñ rot 𝐴Ñ . 1 𝜕 𝐴Ñ 1 𝜕 𝐴Ñ Ñ © 𝜙 . 𝑐 𝜕𝑡 𝑐 𝜕𝑡 Выполнив вычисления аналогичные тем, что были проделаны для нахождения (1) и (2), получим: 𝐸Ñ Ñ𝜙 © 2 Ñ 𝜀𝜇 𝜕 𝐴 ∆𝐴Ñ 2 𝑐 𝜕𝑡2 ∆𝜙 𝜀𝜇 𝜕 2 𝜙 𝑐2 𝜕𝑡2 4𝜋 Ñ 𝜀𝜇 𝜕𝜙 Ñ Ñ div 𝐴 𝜇𝑗 © (︀. 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 (3) 4𝜋 1𝜕 𝜀𝜇 𝜕𝜙 Ñ 𝜌 div 𝐴 (︀. 𝜀 𝑐 𝜕𝑡 𝑐 𝜕𝑡 (4) Пусть в первоначальной записи выполняется равенство: div 𝐴Ñ 𝜀𝜇 𝜕𝜙 𝑐 𝜕𝑡 86 𝐹 Ñ 𝑟 , 𝑡 . Выполним калибровочные преобразования вида: 𝐴Ñ Ñ 𝑓, 𝜙 𝐴Ñ © 𝜙 1 𝜕𝑓 . 𝑐 𝜕𝑡 𝜀𝜇 𝜕𝜙 𝜀𝜇 𝜕 2 𝑓 ∆𝑓 𝐹 Ñ 𝑟, 𝑡. 𝑐 𝜕𝑡 𝑐2 𝜕𝑡2 Пусть выполняются калибровочные условия Лоренца: div 𝐴Ñ 𝜀𝜇 𝜕𝜙 div 𝐴Ñ 𝑐 𝜕𝑡 0. Условие может быть выполнено всегда, так как полученное уравнение 𝜕2𝑓 ∆𝑓 𝜀𝜇 𝐹 Ñ 𝑟, 𝑡 имеет решение для любой функции 𝐹 . 2 𝑐 𝜕𝑡2 После выполнения калибровочного условия Лоренца уравнения (3) и (4) примут вид (из обозначений исключим штрих): ∆𝐴Ñ 𝜀𝜇 𝜕 2 𝐴Ñ 𝑐2 𝜕𝑡2 4𝜋 Ñ 𝜇𝑗. 𝑐 𝜀𝜇 𝜕 2 𝜙 4𝜋 ∆𝜙 2 2 𝜌. 𝑐 𝜕𝑡 𝜀 Выполним сравнение с уравнениями микроскопической электродинамикой. 1) Скорость распространения излучения в однородной изотропной среде: 𝑐 ⌋︂𝑐𝜀𝜇 . 2) Эффективные источники в уравнениях для потенциалов: Ñ𝑗полн 𝜇Ñ𝑗своб , 𝜌полн 𝜌своб 𝜀 . Решение для запаздывающих потенциалов в однородной изотропной среде примут вид (не будем считать функцию Грина, а воспользуемся полученным сравнением): 𝜙Ñ 𝑟 , 𝑡 𝐴ÑÑ 𝑟 , 𝑡 1 𝜀 𝜇 𝑐 ⌋︂ ⋃︀Ñ 𝑟𝑟Ñ ⋃︀ 𝜀𝜇 𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑐 𝑑𝑉 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ , ⌋︂ 𝑑𝑉 , 𝑡 ⋃︀Ñ𝑟𝑟Ñ ⋃︀ 𝜀𝜇 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 𝑐 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ . Так как уравнения описывают бесконечное, однородное, изотропное пространство, то необходимо построить граничные условия. 87 3.4. Граничные условия для полей в покоящейся кусочно-однородной среде. А. Уравнения Максвелла в интегральной форме. Ñ 0. 1) div 𝐵 Рассмотрим объем 𝑉 , ограниченный поверхностью 𝑆: Ñ 𝑑𝑉 div 𝐵 0 𝑉 Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝐵, V Q≠0 0. S d𝑆Ԧ 𝑆 Ñ 4𝜋𝜌Ñ 2) div 𝐷 𝑟 , 𝑡 . Вновь рассмотрим объем 𝑉 , ограниченный поверхностью 𝑆: Ñ 4𝜋 Ñ 𝑑𝑆 Ñ 4𝜋𝑄, 𝑑𝑉 div 𝐷 𝜌𝑑𝑉 𝐷, 𝑉 𝑉 𝑆 где 𝑄 𝜌𝑑𝑉 - свободный заряд в объеме V. Ñ 3) rot 𝐸Ñ 1𝑐 𝜕𝜕𝑡𝐵 . Рассмотрим незамкнутую поверхность, натянутую на контур без самопересечений. Возьмем поверхностный интеграл: d𝑆Ԧ S 1 𝑐 Ñ 𝑑𝑆 Ñ rot 𝐸, Ñ 𝜕𝐵 , 𝑑𝑆Ñ, 𝜕𝑡 𝑆 𝑆 L Так как поверхность 𝑆 не изменяется, то Ñ 𝑑Ñ 𝐸, 𝑙 1𝜕 𝑐 𝜕𝑡 𝐿 Ñ 𝑑𝑆 Ñ , 𝐵, 𝑆 Левая часть представляет собой циркуляцию вектора, а правая - производную от потока вектора. Ñ 1 𝜕𝐷 4𝜋 Ñ Ñ 4) rot 𝐻 𝑗 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 . Возьмем поверхностный интеграл: Ñ 𝑑𝑆 Ñ rot 𝐻, 𝑆 Здесь 𝐼 1𝜕 Ñ 𝑗, 𝑑𝑆Ñ 𝑐 𝜕𝑡 𝑆 Ñ 𝑑Ñ 𝐻, 𝑙 4𝜋 𝑐 4𝜋 1𝜕 𝐼 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 𝐿 Ñ 𝑗, 𝑑𝑆Ñ Ñ 𝑑𝑆 Ñ . 𝐷, - ток через поверхность 𝑆. 88 Ñ 𝑑𝑆 Ñ. 𝐷, 𝑆 𝑆 𝑆 Получили систему уравнений Максвелла-Лоренца в интегральном виде: )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝐵, 0, Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝐷, 4𝜋𝑄, 𝑆 𝑆 Ñ 𝑑Ñ 𝐸, 𝑙 1𝜕 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 𝑑𝑆 Ñ, 𝐵, 𝑆 𝐿 Ñ 𝑑Ñ 𝐻, 𝑙 4𝜋 1𝜕 𝐼 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 𝑑𝑆 Ñ , 𝐷, 𝑆 𝐿 Б. Граничные условия. z d𝑆Ԧ1 d𝑆Ԧбок Г Рассмотрим две среды с различными электромагнитными свойствами, разделенные гладкой и строгой границей. Ñ 𝑑𝑆 Ñ 0. 1) 𝐵, 𝑆 Выберем в качестве 𝑆 поверхность цилиндра: h𝑛 I ε1 μ1 x II ε2 μ2 𝑆 𝑆1 𝑆2 𝑆бок , 𝑆бок h Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝐵, 1 y 𝑆1 d𝑆Ԧ2 2𝜋𝑅 2ℎ 0, 𝑆1 Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝐵, 2 𝑆2 Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝐵, бок 𝜋𝑅2 . 𝑆2 0. 𝑆бок Последнее слагаемое равно нулю в силу стремления 𝑆бок к нулю. Ñ Ñ , 𝑑𝑆 Ñ. Учтем, что 𝑑𝑆Ñ1 𝑑𝑆1 𝑛 𝑑𝑆2 𝑛 2 Выполним подстановку: Ñ ,𝑛 Ñ 𝑑𝑆1 𝐵 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ Ñ ,𝑛 Ñ 𝑑𝑆2 𝐵 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝐼𝐼 𝐼 𝑆1 𝐵𝑛𝐼 𝑆2 𝐵𝑛𝐼𝐼 По теореме "О среднем": 𝜋𝑅2 𝐵𝑛𝐼 𝜋𝑅2 𝐵𝑛𝐼𝐼 ⋃︀Г Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝐷, 2) 𝐵𝑛𝐼 ⋂︀Г 0. 0. Тогда: 𝐵𝑛𝐼𝐼 ⋂︀Г . 4𝜋 𝜌𝑑𝑉 𝑆 𝑉 Снова выберем в качестве 𝑆 поверхность цилиндра: Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝐷, 1 𝑆1 Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝐷, 2 𝑆2 ℎ Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝐷, бок 𝑆бок 89 4𝜋 lim ℎ 0 2𝜋 𝑑𝑧 ℎ 𝑅 𝑟𝑑𝑟𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 . 𝑑𝜙 0 0 Последнее слагаемое равно нулю в силу стремления 𝑆бок к нулю. Если на границе раздела нанесены свободные заряды, то их плотность можно задать в виде: 𝜌Ñ 𝑟 , 𝑡 Учтем, что 𝑑𝑆Ñ1 Ñ Ñ , 𝑑𝑆 𝑑𝑆1 𝑛 2 Ñ. 𝑑𝑆2 𝑛 Ñ ,𝑛 Ñ 𝑑𝑆1 𝐷 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ ℎ Ñ ,𝑛 Ñ 𝑑𝑆2 𝐷 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝐼 𝑆1 𝜌пов 𝜙, 𝑟, 𝑡𝛿 𝑧 . 𝐷𝑛𝐼 𝐼𝐼 𝑆2 4𝜋 lim ℎ 0 𝐷𝑛𝐼𝐼 𝑑𝑧 ℎ 𝐷𝑛𝐼𝐼 𝑑𝑆2 4𝜋 0 𝑅 𝑑𝜙 0 𝑆2 𝑟𝑑𝑟𝜌пов . 0 По теореме "О среднем": 𝜋𝑅2 𝐷𝑛𝐼 𝜋𝑅2 𝐷𝑛𝐼𝐼 ⋃︀Г 𝐼 𝐼𝐼 𝐷𝑛 𝐷𝑛 ⋂︀ Ñ 𝑑Ñ 𝐸, 𝑙 3) 𝐿 1 𝜕 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋𝜌полн 𝐸𝑛𝐼 𝑆 A x 4𝜋𝜌пов полн Выберем в качестве 𝑆 прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, так, что 𝐴𝐵 𝐶𝐷 2𝑙1 , 𝐵𝐶 𝐴𝐷 2𝑙2 . Пусть 𝑙2 0, тогда 𝑆 2𝑙1 2𝑙2 0, Ñ Ñ Ñ Ñ поэтому 𝐵, 𝑑𝑆 0. Тогда 𝐸, 𝑑𝑙 0. C D 𝑛 𝐸𝑛𝐼𝐼 ⋃︀Г Ñ 𝑑𝑆 Ñ . 𝐵, z I ε1 μ1 Г II ε2 μ2 4𝜋𝜌пов 𝜋𝑅2 . Тогда: 4𝜋𝜌пов ⋃︀Г . Г Замечание: div 𝐸Ñ 𝑟𝑑𝑟𝜌пов 𝜙, 𝑟, 𝑡𝛿 𝑧 . 𝑑𝜙 2𝜋 𝐷𝑛𝐼 𝑑𝑆1 𝑅 0 𝑆1 2𝜋 𝑆 𝐿 2𝐿2 Распишем уравнение: τ y ν 𝑙1 𝑙1 Ñ 𝐼𝐼 , 𝑑Ñ 𝐸 𝑙 𝑙1 B 2𝐿1 Ñ 𝐼 , 𝑑Ñ 𝐸 𝑙 𝑙1 Учтем, что 𝑑Ñ𝑙 𝑑𝑦 𝜏Ñ. Тогда: 𝑙1 𝑙1 Ñ , 𝜏Ñ 𝑑𝑦 𝐸 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝐼𝐼 𝑙1 𝐸𝜏𝐼𝐼 Ñ , 𝜏Ñ 𝑑𝑦 𝐸 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂)︂ 𝐼 𝑙1 𝐸𝜏𝐼 По теореме "О среднем": 𝐸𝜏𝐼𝐼 2𝑙1 𝐸𝜏𝐼 2𝑙1 ⋃︀Г 𝐸𝜏𝐼 𝐸𝜏𝐼 ⋂︀Г , 𝐸𝜈𝐼 90 0. 0. Тогда: 𝐸𝜈𝐼 ⋂︀Г . 0. Ñ 𝑑Ñ 𝐻, 𝑙 4) 𝐿 4𝜋 𝑐 𝑆 𝜕 Ñ 𝑗, 𝑑𝑆Ñ 1𝑐 𝜕𝑡 Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝐷, 𝑆 Выберем в качестве 𝑆 прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Пусть 𝑙2 Ñ 𝑑𝑆 Ñ 2𝑙1 2𝑙2 0, поэтому 𝐷, 0. Тогда: 0, тогда 𝑆 𝑆 4𝜋 𝑐 Ñ 𝑑Ñ 𝐻, 𝑙 𝐿 Ñ 𝑗, 𝑑𝑆Ñ, 𝑆 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜈Ñ, 𝑑Ñ𝑙 𝜏Ñ𝑑𝑦. Учтем, что 𝑑𝑆Ñ 𝑙1 𝑙1 Ñ , 𝜏Ñ 𝑑𝑦 𝐻 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝐼𝐼 𝑙1 𝐻𝜏𝐼𝐼 4𝜋 lim 𝑐 𝑙2 0 Ñ , 𝜏Ñ 𝑑𝑦 𝐻 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝐼 𝑙1 𝑙2 𝑙2 𝐻𝜏𝐼 𝑙1 𝑑𝑧 𝑑𝑦 Ñ𝑗, 𝜈Ñ. 𝑙1 Если по границе раздела протекают поверхностные токи, то их плотность можно представить в виде Ñ𝑗 Ñ 𝑟, 𝑡 Ñ𝑖пов 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝛿 𝑧 . 𝑙1 𝑙1 𝐻𝜏𝐼𝐼 𝑑𝑦 𝑙1 𝐻𝜏𝐼 𝑑𝑦 𝑙1 4𝜋 lim 𝑐 𝑙2 0 𝑙1 𝑙1 𝑙1 𝐻𝜏𝐼𝐼 𝑑𝑦 𝑑𝑦 Ñ𝑖пов 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝜈Ñ𝛿 𝑧 . 𝑑𝑧 𝑙2 𝑙1 𝑙1 𝑙2 4𝜋 𝑐 𝐻𝜏𝐼 𝑑𝑦 𝑙1 𝑙1 𝑑𝑦 Ñ𝑖пов , 𝜈Ñ. 𝑙1 Согласно теореме о среднем: 4𝜋 Ñ Ñ. 𝑖пов , 𝜈 𝑐 𝐻𝜏𝐼𝐼 𝐻𝜏𝐼 ⋂︀Г Замечание: Если выполнить поворот контура вокруг оси 𝑧 на угол часовой стрелке, то 𝜏Ñ 𝜈Ñ, 𝜈Ñ 𝜏Ñ, тогда 𝐻𝜈𝐼𝐼 𝐻𝜈𝐼 ⋂︀Г 𝜋 2 по 4𝜋 Ñ 𝑖пов , 𝜏Ñ. 𝑐 Обе проекции могут быть записаны в виде общего векторного равенства: 4𝜋 Ñ Ñ 𝐼𝐼 𝐻 Ñ 𝐼 ⌋︀⋂︀ (︀Ñ 𝑛, 𝐻 𝑖пов . Г 𝑐 Замечание: 4𝜋 Ñ Ñ 𝐼𝐼 𝐻 Ñ 𝐼 ⌋︀⋂︀ Ñ Ñ . 𝜈 , (︀Ñ 𝑛, 𝐻 𝑖пов , 𝜈 Г 𝑐 4𝜋 Ñ Ñ 𝐼𝐼 𝐻 Ñ 𝐼 ⋂︀ Ñ 𝐼𝐼 𝐻 Ñ 𝐼 ⋂︀ (︀Ñ Ñ , ⌋︀𝐻 Ñ . 𝜈, 𝑛 𝐻 𝑖пов , 𝜈 𝜏 𝜏 Г Г 𝑐 91 Граничные условия: 𝐸𝜏𝐼 𝐸𝜏𝐼 ⋂︀Г , 𝐸𝜈𝐼 𝐸𝜈𝐼 ⋂︀Г , 𝐼 𝐼𝐼 𝐷𝑛 𝐷𝑛 ⋂︀ Г 4𝜋𝜌пов , 4𝜋 Ñ 𝑖пов . 𝑐 Кроме того, существуют естественные граничные условия: ⋃︀𝐸Ñ ⋃︀ @ ª, Ñ ⋃︀ @ ª во всех точках, где нет точечных зарядов (особенно нас будут ⋃︀𝐻 интересовать случаи 𝑟 0 и 𝑟 0). 𝐵𝑛𝐼 ⋂︀Г 𝐵𝑛𝐼𝐼 ⋂︀Г , Ñ 𝐼𝐼 (︀Ñ 𝑛, 𝐻 Ñ 𝐼 ⌋︀⋂︀ 𝐻 Г 3.5. Энергия и импульс электромагнитного поля в макроскопической электродинамике. А. Энергия электромагнитного поля. )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ rot 𝐻 rot 𝐸Ñ Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ div(︀𝐸, Ñ 1 𝜕𝐵 , 𝑐 𝜕𝑡 Ñ div 𝐷 4𝜋𝜌, Ñ div 𝐵 0. Ñ rot 𝐻 Ñ 𝐻, Ñ rot 𝐸 Ñ 𝐸, Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ Учтем, что div(︀𝐸, Ñ 4𝜋 Ñ 1 𝜕 𝐷 𝑗 , 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 Ñ ⋁︀ 𝐸 Ñ ⋁︀ 𝐻 Ñ Ñ 4𝜋 Ñ Ñ 1 Ñ 𝜕𝐷 𝜕𝐵 Ñ 𝑗, 𝐸 𝐸, 𝐻, (︀, 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Ñ 𝐻 Ñ 𝐸, Ñ rot 𝐻 Ñ . rot 𝐸, Тогда: Ñ Ñ 4𝜋 Ñ Ñ 1 Ñ 𝜕𝐷 𝜕𝐵 Ñ 𝑗, 𝐸 𝐸, 𝐻, (︀, 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Ñ Ñ 𝜕𝐷 𝜕𝐵 𝑐 Ñ Ñ 1 Ñ Ñ 𝐸, 𝐻, (︀ div (︀𝐸, 𝐻 ⌋︀ Ñ 𝑗, 𝐸Ñ 4𝜋 𝜕𝑡 𝜕𝑡 4𝜋 𝜕𝑤 𝜕𝑡 0, Ñ Ñ 1 𝜕𝐷 𝜕𝐵 Ñ Ñ 𝐸, 𝐻, (︀. 4𝜋 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Замечание: В общем случае для диспергирующих сред невозможно ввести определение электромагнитного поля как функции состояния. Будем Ñ 𝜀𝐸, Ñ 𝐵 Ñ 𝜇𝐻, Ñ при этом 𝜀, 𝜇 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Тогда: считать, что 𝐷 𝜕𝑤 𝜕𝑡 Ñ 1 𝜕 𝐸Ñ 𝜕𝐻 Ñ Ñ 𝜀𝐸, 𝜇𝐻, (︀ 4𝜋 𝜕𝑡 𝜕𝑡 92 𝜕 𝜀𝐸 2 𝜇𝐻 2 . 𝜕𝑡 8𝜋 Определение: Плотностью энергии электромагнитного поля называют величину: 𝜀𝐸 2 𝜇𝐻 2 𝑤 . 8𝜋 Определение: Плотностью потока энергии (вектором Пойнтинга) называют величину: 𝑐 Ñ Ñ Ñ 𝜎 (︀𝐸, 𝐻 ⌋︀. 4𝜋 Определение: Ñ𝑗, 𝐸Ñ - работа, совершаемая полем над свободными зарядами единицы объема вещества за единицу времени. Закон сохранения энергии в дифференциальной форме: 𝜕𝑤 𝜕𝑡 Ñ Ñ div 𝜎 𝑗, 𝐸Ñ 0. Закон сохранения энергии в интегральной форме: 𝜕 𝜕𝑡 𝑤𝑑𝑉 𝑉 Ñ 𝜎 , 𝑑𝑆Ñ 𝑆 Ñ 𝑗, 𝐸Ñ 𝑑𝑉 0. 𝑉 Б. Закон изменения импульса электромагнитного поля. Рассмотрим плотность силы, действующей со стороны поля на вещество: 1 Ñ ⌋︀. 𝑓Ñ 𝜌𝐸Ñ (︀Ñ𝑗, 𝐵 𝑐 Из уравнений Максвелла выразим: 𝜌 1 Ñ Ñ div 𝐷, 𝑗 4𝜋 Ñ 𝑐 1 𝜕𝐷 Ñ rot 𝐻 (︀. 4𝜋 𝑐 𝜕𝑡 Подставив, получим: 𝑓Ñ Ñ 1 Ñ 1 1 𝜕𝐷 Ñ Ñ Ñ }︀. 𝐸 div 𝐷 ⌊︀ rot 𝐻 ,𝐵 4𝜋 4𝜋 𝑐 𝜕𝑡 Построим вспомогательное равенство: 0 Ñ 1 Ñ 1 1 𝜕𝐵 Ñ Ñ Ñ }︀. 𝐻 div 𝐵 ⌊︀ rot 𝐸 ,𝐷 4𝜋 4𝜋 𝑐 𝜕𝑡 Сложим последние два равенства: 𝑓Ñ Ñ Ñ 1 Ñ 1 Ñ 1 𝜕𝐷 𝜕𝐵 Ñ (︀rot 𝐸, Ñ 𝐷 Ñ ⌋︀ Ñ (︀rot 𝐻, Ñ 𝐵 Ñ ⌋︀ Ñ }︀⌊︀𝐷, Ñ 𝐸 div 𝐷 𝐻 div 𝐵 ⌊︀ ,𝐵 }︀(︀. 4𝜋 4𝜋 4𝜋𝑐 𝜕𝑡 𝜕𝑡 93 Перепишем выражение в виде: 𝑓Ñ 1 Ñ 1 Ñ 𝜕 1 Ñ Ñ Ñ (︀𝐷, Ñ rot 𝐸 Ñ ⌋︀ Ñ (︀𝐵, Ñ rot 𝐻 Ñ ⌋︀ 𝐸 div 𝐷 𝐻 div 𝐵 (︀𝐷, 𝐵 ⌋︀(︀. 4𝜋 4𝜋 𝜕𝑡 4𝜋𝑐 Тогда получим: Ñ где 𝑎 Ñ 𝑏 Ñ 𝜕𝐺 , 4𝜋 𝜕𝑡 Ñ 𝑎 4𝜋 𝑓Ñ Ñ (︀𝐷, Ñ rot 𝐸 Ñ ⌋︀, Ñ 𝐸Ñ div 𝐷 𝑏 Ñ div 𝐵 Ñ 𝐻 Ñ Ñ Ñ (︀𝐵, rot 𝐻 ⌋︀, 𝐺 Ñ 𝐵 Ñ ⌋︀ (︀𝐷, 4𝜋𝑐 . Выполним преобразование: Ñ 𝑎 Ñ )︀𝐷, Ñ (︀© Ñ ⌋︀⌈︀ Ñ,𝐸 𝐸Ñ div 𝐷 Ñ © Ñ 𝐸 Ñ 𝐷, Ñ © Ñ Ñ 𝐷, Ñ 𝐸. 𝐸Ñ div 𝐷 Запишем выражение в нашей любимой индексной форме (помним о сумме по повторяющемуся индексу): 𝑎𝛼 𝐸𝛼 𝜕𝐷𝛽 𝜕𝑥𝛽 𝛿 𝛼𝛽 𝐷𝜇 𝛼 𝜕 𝐸 𝛼 𝐷 𝛽 𝜕𝐸 𝜇 𝛽 𝜕𝐸 𝛼𝛽 𝑎 𝐷 𝛿 𝐷𝜇 𝛽 𝜕𝑥𝛽 𝜕𝑥𝛽 𝜕𝑥 Аналогично, получим: 𝛼 𝛼 𝑏 𝜕𝐸 𝜇 𝜕𝑥𝛽 𝐷𝛽 𝛼 𝛽 𝜕𝐸 𝐷 𝜕𝑥𝛽 𝜕𝐸 𝛼 , 𝜕𝑥𝛽 𝜕 𝜕𝐸 𝜇 𝛼 𝛽 𝛼𝛽 𝐸 𝐷 𝛿 𝐷𝜇 . 𝜕𝑥𝛽 𝜕𝑥𝛽 𝜕 𝜕𝐻 𝜇 𝛼 𝛽 𝛼𝛽 𝐻 𝐵 𝛿 𝐵𝜇 . 𝜕𝑥𝛽 𝜕𝑥𝛽 Выполним подстановку в следующее выражение: 𝑓 𝑎𝛼 4𝜋 𝛼 𝑏𝛼 4𝜋 𝜕𝐺𝛼 , 𝜕𝑡 После подстановки получим: 𝑓𝛼 Ñ Пусть 𝐷 𝜕 𝐸 𝛼 𝐷𝛽 𝐻 𝛼 𝐵 𝛽 𝛿 𝛼𝛽 𝜕𝐸 𝜇 𝐷𝜇 𝜕𝑥𝛽 4𝜋 4𝜋 𝜕𝑥𝛽 Ñ 𝐵 Ñ 𝜀𝐸, Ñ при этом 𝜀, 𝜇 𝜇𝐻, 𝐷𝜇 𝜕𝐸 𝜇 𝜕𝑥𝛽 𝜕𝐻 𝜇 𝐵𝜇 𝛽 𝜕𝑥 Подставив, получим: 𝑓 𝛼 𝐵𝜇 𝜕𝐻 𝜇 𝜕𝐺𝛼 (︀ , 𝜕𝑥𝛽 𝜕𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, тогда: 𝜕𝐸 𝜇 𝜕𝑥𝛽 1 𝜕 Ñ 2 , 𝜀𝐸 𝛽 2 𝜕𝑥 𝜕𝐻 𝜇 𝜇𝐻𝜇 𝛽 𝜕𝑥 1 𝜕 Ñ 2 . 𝜇𝐻 𝛽 2 𝜕𝑥 𝜀𝐸𝜇 𝜕 1 𝛿 𝛼𝛽 Ñ 2 𝜕𝐺𝛼 𝛼 𝛽 𝛼 𝛽 2 Ñ 𝜀𝐸 𝜇𝐻 }︀ ⌊︀ 𝜀𝐸 𝐸 𝜇𝐻 𝐻 , 𝜕𝑥𝛽 4𝜋 2 𝜕𝑡 94 Определение: Следующее выражение называется тензором напряжений Максвелла. 𝜎 𝛼𝛽 1 𝛿 𝛼𝛽 Ñ 2 𝛼 𝛽 𝛼 𝛽 Ñ 2 , 𝜎 𝛼𝛽 𝜀𝐸 𝜇𝐻 𝜀𝐸 𝐸 𝜇𝐻 𝐻 4𝜋 2 𝜎 𝛽𝛼 . Тогда выражение примет вид: 𝑓𝛼 𝜕𝜎 𝛼𝛽 𝜕𝑥𝛽 𝜕𝐺𝛼 𝜕𝑡 0, Определение: Плотность импульса электромагнитного поля: Ñ 𝐺 Ñ 𝐵 Ñ ⌋︀ (︀𝐷, 4𝜋𝑐 , 𝛼𝛽 Замечание: Пусть 𝜕𝑡 0, тогда 𝑓 𝛼 𝜕𝜎 . 𝜕𝑥𝛽 Сила, действующая на конечный объем вещества 𝑉 в статическом поле: 𝐹 𝜕𝜎 𝛼𝛽 𝑑𝑉 𝜕𝑥𝛽 𝛼 𝜎 𝛼𝛽 𝑑𝑆𝛽 . 𝑆 3.6. Постановка задачи (основные уравнения и граничные условия) для электростатики кусочно-однородной среды. А. Краевая задача электростатики. Ñ 1) Пусть Ñ𝑗 0, 𝐻 0; Ñ 2) Пусть 𝜌 𝜌Ñ 𝑟, 𝐸 𝐸Ñ Ñ 𝑟 . )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ 𝜙Ñ Учтем: 𝐸Ñ Ñ 𝑟 © 𝑟 , Тогда получим: rot 𝐸Ñ Ñ 𝑟 0, Ñ Ñ div 𝐷 𝑟 4𝜋𝜌Ñ 𝑟 . Ñ Ñ 𝐷 𝑟 𝜀𝐸Ñ Ñ 𝑟 Ñ 𝜙Ñ 𝜀© 𝑟 . 4𝜋 𝜌Ñ 𝑟 . 𝜀 Чтобы окончательно поставить задачу необходимо дополнить уравнение для потенциала граничными условиями. ∆𝜙Ñ 𝑟 95 а) Диэлектрик-диэлектрик. Г I ε1 II ε2 ρ1 ≠ 0 𝑛 τ ρпов ρ2 ≠ 0 𝐷𝑛𝐼 𝐷𝑛𝐼𝐼 ⋂︀Г 𝐸𝜏𝐼 Рассмотрим границу раздела между диэлектриком 𝐼 и диэлектриком 𝐼𝐼 . 𝐸𝜏𝐼 ⋂︀Г 𝜕𝜙𝐼 𝜕𝜏 𝐸𝜏𝐼 𝐸𝜏𝐼𝐼 ⋂︀Г , 𝐼 𝐼𝐼 𝐷𝑛 𝐷𝑛 ⋂︀ 4𝜋𝜌пов , Г Учтем, что в статическом поле: Ñ Ñ Ñ 𝜙Ñ Ñ 𝜙Ñ © 𝑟, 𝐷 𝑟 𝜀© 𝑟 . 𝐸Ñ Ñ 𝑟 4𝜋𝜌пов 𝜀2 𝜕𝜙𝐼𝐼 ⋁︀ 𝜕𝜏 Г 𝜕 𝐼 𝐼𝐼 𝜙 𝜙 ⋂︀ Г 𝜕𝜏 𝜕𝜙𝐼𝐼 𝜕𝑛 𝜀1 𝜕𝜙𝐼 ⋁︀ 𝜕𝑛 Г 4𝜋𝜌пов , 0 𝜙𝐼 𝜙𝐼𝐼 ⋂︀Г . Вообще говоря из равенства нулю производной выражения не следует равенство нулю самого выражения, но будем считать так. Замечание: Условие непрерывности на границе необходимо использовать осмотрительно, так как оно выполняется не всегда, например, потенциал двойного электрического слоя испытывает скачок, а напряжённость на границе бесконечна. Итак, краевая задача электростатики диэлектриков: ∆𝜙𝐼,𝐼𝐼 Ñ 𝑟 4𝜋 𝜌1,2 Ñ 𝑟. 𝜀1,2 С граничными условиями: 𝜙𝐼 𝜕𝜙𝐼𝐼 𝜀2 𝜕𝑛 𝜙𝐼𝐼 ⋂︀Г , 𝜕𝜙𝐼 𝜀1 ⋁︀ 𝜕𝑛 Г 4𝜋𝜌пов . б) Диэлектрик-проводник. Рассмотрим границу раздела между диэлектриком 𝐼 и проводником 𝐼𝐼 . 𝜙𝐼 𝜙𝐼𝐼 ⋂︀Г 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Диэлктрик Г Выражение для вычисления поверхностных зарядов: 𝜀1 𝜕𝜙𝐼 ⋁︀ . 𝜌пов 4𝜋 𝜕𝑛 Г Ñ 𝐼𝐼 В проводнике выполняются равенства: 𝐷 96 I ε1 𝑛 II Проводник 0, 𝐸Ñ 𝐼𝐼 0, 𝜌 0. ρ1 ≠ 0 τ ρ2 = 0 Б. Энергия электростатического поля, создаваемого локальный системы зарядов, находящихся в диэлектрике. Рассмотрим систему зарядов, находящихся в диэлектрике. 𝑑𝑆Ԧ 𝑆∞ 𝑉∞ ε ρ≠0 𝐸Ñ 𝜀𝑒𝑠 L Ñ 𝜙. © 1 8𝜋 Ñ 𝐸 Ñ 𝑑𝑉 𝐷, 𝑉ª 1 8𝜋 ∇ε = 0 1 Ñ 𝑑𝑉 div𝜙𝐷 8𝜋 𝑉ª Ñ 𝜙 div 𝐷𝑑𝑉 𝑉ª 1 Ñ 𝜙𝐷 Ñ 𝑑𝑆, 2 1 8𝜋 𝑆ª 𝜌𝜙𝑑𝑉. 𝑉ª Для локальной системы зарядов: 1 Ñ 1 𝜙⋃︀𝑆ª , ⋃︀𝐷 ⋃︀⋂︀ , ⋃︀𝑑𝑆Ñ⋃︀ 𝑟2 . 2 𝑆 ª 𝑟 𝑟 Ñ 𝜙𝐷 Ñ 𝑑𝑆, Тогда: 𝑆ª 𝜀𝑒𝑠 1 2 1 𝑟 0, при 𝑟 ª . 𝜌𝜙𝑑𝑉, при условии, что 𝜙 ÐÐ 𝑟 ª 0. 𝑉ª 3.7. Силы в электростатике диэлектриков. V ρ(𝑟) Ԧ 𝐸(𝑟) Ԧ Получим выражение для сил, действующих на объем диэлектрика. Пусть поле 𝐸Ñ не вызывает пробоя диэлектрика. Будем считать процесс взаимодействия диэлектрика с внешним полем изотермическим. Тогда: 𝛿𝜀𝑒𝑠 𝑓𝑎 𝛿𝑎𝑑𝑉. Здесь 𝛿𝜀𝑒𝑠 - изменение энергии, 𝑓𝑎 - плотность обобщенной силы, 𝛿𝑎 изменение обобщенной координаты. Если 𝛿𝑎 𝛿 𝑟Ñ (декартовы координаты), то плотность ньютоновской силы: 𝑓𝑎 𝑓Ñ. 𝛿𝜀𝑒𝑠 Ñ𝑑𝑉. 𝑓Ñ, 𝛿 𝑟 97 Воспользуемся выражением для энергии электростатического поля локальной системы зарядов. 1 2 𝜀𝑒𝑠 1 8𝜋 𝜌𝜙𝑑𝑉 𝑉ª Ñ 𝐸 Ñ 𝑑𝑉 𝐷, 1 8𝜋 𝑉ª 𝜀𝐸Ñ 2 𝑑𝑉. 𝑉ª Учтем, что выполняется равенство: ⌊︀ 𝜌𝜙 ⃒ 𝜀𝑒𝑠 2𝜀𝑒𝑠 𝑉ª 𝜀𝐸Ñ 2 }︀𝑑𝑉. 8𝜋 ⧸︀ 𝜀𝑒𝑠 При приращении 𝛿 𝑟Ñ будет изменятся каждое слагаемое в подынтегральном выражении. 𝛿𝜀𝑒𝑠 Ñ 𝐸 Ñ 𝐸Ñ 2 𝜀𝛿 𝐸, 𝛿𝜀 }︀𝑑𝑉. ⌊︀𝜙𝛿𝜌 𝜌𝛿𝜙 8𝜋 4𝜋 𝑉ª Ñ Преобразуем следующее выражение, учитывая 𝐷 Ñ 𝛿𝐸 Ñ 𝜀𝐸, Ñ 𝛿© Ñ 𝜙 𝐷, Ñ © Ñ 𝛿𝜙 𝐷, Ñ 𝐸 Ñ 𝜀𝐸, Ñ 𝛿𝜙 div 𝐷 Ñ div𝛿𝜙𝐷 Ñ 𝜙: © Ñ 4𝜋𝜌𝛿𝜙. div𝛿𝜙𝐷 Тогда получим: ⌊︀𝜙𝛿𝜌 𝜌𝛿𝜙 𝛿𝜀𝑒𝑠 Ñ div𝛿𝜙𝐷 𝐸Ñ 2 𝛿𝜀 𝜌𝛿𝜙}︀𝑑𝑉. 8𝜋 4𝜋 𝑉ª Ñ Учтем, что 𝑑𝑆Ñ 𝑟2 , 𝛿𝜙 1𝑟 , 𝐷 1 𝑟2 ⌊︀𝜙𝛿𝜌 𝛿𝜀𝑒𝑠 Ñ 𝛿𝜙𝐷 Ñ 𝑑𝑆, 𝑆𝑖𝑛𝑓 𝑡𝑦 1 𝑟 0. Тогда: 𝐸Ñ 2 𝛿𝜀}︀𝑑𝑉. 8𝜋 𝑉ª Вычислим 𝛿𝜌 - изменение плотности свободных зарядов в точке с радиусвектором 𝑟Ñ 𝑓 𝑖𝑥𝑒𝑑. 𝛿𝜌Ñ 𝑟 𝛿1 𝜌Ñ 𝑟 𝛿2 𝜌Ñ 𝑟. Здесь 𝛿1 𝜌Ñ 𝑟 - изменение плотности свободных зарядов, связанное с перемещением диэлектрика, 𝛿2 𝜌Ñ 𝑟 - изменение плотности свободных зарядов, вызванное деформацией. 1) Вычислим 𝛿1 𝜌Ñ 𝑟 : 𝛿1 𝜌Ñ 𝑟 𝜌после Ñ 𝑟 𝜌до Ñ 𝑟 . 98 До перемещения в точке с радиус-вектором 𝑟Ñ находится заряд с плотностью 𝜌до Ñ 𝑟 𝜌Ñ 𝑟. После перемещения в точку с радиус-вектором 𝑟Ñ 𝛿 𝑟Ñ переходит заряд 𝜌после Ñ 𝑟 𝜌Ñ 𝑟 𝛿 𝑟Ñ. Тогда: 𝛿1 𝜌Ñ 𝑟 Ñ 𝜌Ñ 𝜌Ñ 𝑟 𝛿 𝑟Ñ 𝜌Ñ 𝑟 𝜌Ñ 𝑟 𝛿 𝑟Ñ, © 𝑟 𝜌Ñ 𝑟 Ñ 𝜌Ñ Ñ 𝜌Ñ 𝛿 𝑟Ñ, © 𝑟 𝛿 𝑟Ñ, © 𝑟, 𝜌после Ñ 𝑟 𝜌до Ñ 𝑟 2) Вычислим 𝛿2 𝜌Ñ 𝑟 : 𝛿2 𝜌Ñ 𝑟 𝜌после Ñ 𝑟 𝜌до Ñ 𝑟. Учтем, что "свободные"заряды (внесенные в диэлектрик) жестко связаны с каждой точкой диэлектрика. Тогда: 𝜌до 𝑉 𝑞до 𝑞после Ñ 𝛿𝑟 Ñ, 𝑑𝑆, Учтем, что 𝛿𝑉 𝜌после 𝑉 𝑑𝑉 𝜌до 𝑉 . 𝑉 𝛿𝑉 𝜌после Ñ 𝛿𝑟 Ñ - объем элемента цилиндритак как 𝑑𝑆, 𝑆 Ñ ческой формы с высотой 𝛿 𝑟Ñ и основанием 𝑑𝑆. Ñ 𝛿𝑟 Ñ 𝑑𝑆, 𝛿𝑉 𝑆 div 𝛿 𝑟Ñ𝑑𝑉 𝑉 div 𝛿 𝑟Ñ 𝑂𝛿 𝑟Ñ 2 . 𝑉 Тогда с точностью до линейного члена по 𝛿 𝑟Ñ: 𝛿𝑉 𝜌после 𝜌до 𝑉 𝑉 𝛿𝑉 𝜌до 𝑉 𝑉 1 div 𝛿 𝑟Ñ 𝜌после 𝑉 div 𝛿 𝑟Ñ, поэтому: 𝜌Ñ 𝑟 𝑉 . 𝑉 1 div 𝛿 𝑟Ñ 𝜌Ñ 𝑟1 div 𝛿 𝑟Ñ. Тогда получим: 𝛿2 𝜌Ñ 𝑟 𝜌после Ñ 𝑟 𝜌до Ñ 𝑟 𝜌Ñ 𝑟1 div 𝛿 𝑟Ñ 𝜌Ñ 𝑟 𝜌 div 𝛿 𝑟Ñ. Ñ 𝜌Ñ Итак, 𝛿1 𝜌Ñ 𝑟 𝛿 𝑟Ñ, © 𝑟, 𝛿2 𝜌Ñ 𝑟 𝜌 div 𝛿 𝑟Ñ. Общее изменение плотности заряда: 𝛿𝜌 𝛿1 𝜌 𝛿2 𝜌 Ñ 𝜌 𝜌 div 𝛿 𝑟 Ñ, © Ñ 𝛿 𝑟 div𝜌𝛿 𝑟Ñ. Вычислим 𝛿𝜀: 𝛿𝜀Ñ 𝑟 𝛿1 𝜀Ñ 𝑟 𝛿2 𝜀Ñ 𝑟 . Здесь 𝛿1 𝜀Ñ 𝑟 - изменение, связанное с перемещением диэлектрика, 𝛿2 𝜀Ñ 𝑟 - изменение, вызванное деформацией и изменением плотности вещества 𝜏 . 1) Аналогично вычислению 𝛿1 𝜌 получим: 𝛿1 𝜀 Ñ 𝜀. Ñ, © 𝛿 𝑟 99 2) При изотермической деформации диэлектрика его диэлектрическая проницаемость будет изменятся в соответствии с её плотностью 𝜏 : 𝜀𝜏 𝜀 Здесь 𝛿2 𝜏 𝛿2 𝜀 𝜕𝜀 𝛿2 𝜏. 𝜕𝜏 𝜏 div 𝛿 𝑟Ñ - вычисляется аналогично вычислению 𝛿2 𝜌. Тогда: 𝛿2 𝜀 𝜕𝜀 𝜏 div 𝛿 𝑟Ñ. 𝜕𝜏 Вычислим общее изменение 𝛿𝜀: 𝛿1 𝜀Ñ 𝑟 𝛿2 𝜀Ñ 𝑟 𝛿𝜀 Ñ 𝜀 Ñ, © 𝛿 𝑟 𝜕𝜀 𝜏 div 𝛿 𝑟Ñ. 𝜕𝜏 Подставим всё в искомое выражение: 𝐸Ñ 2 𝛿𝜀}︀𝑑𝑉 ⌊︀𝜙𝛿𝜌 8𝜋 𝛿𝜀𝑒𝑠 𝑉ª 𝐸Ñ 2 𝜕𝜀 𝐸Ñ 2 Ñ Ñ, ©𝜀 Ñ 𝛿 𝑟 𝜏 div 𝛿 𝑟Ñ}︀𝑑𝑉. ⌊︀ 𝜙 div𝜌𝛿 𝑟 8𝜋 8𝜋 𝜕𝜏 𝑉ª Выделим полную дивергенцию: 𝜙 div𝜌𝛿 𝑟Ñ Ñ 𝜙. div𝜙𝜌𝛿 𝑟Ñ 𝜌𝛿 𝑟Ñ, © 𝐸Ñ 2 𝜕𝜀 𝐸Ñ 2 𝜕𝜀 𝐸Ñ 2 𝜕𝜀 Ñ 𝜏 div 𝛿 𝑟Ñ div 𝜏 𝛿 𝑟Ñ 𝛿 𝑟Ñ, © 𝜏 . 8𝜋 𝜕𝜏 8𝜋 𝜕𝜏 8𝜋 𝜕𝜏 После подстановки получим: Ñ 𝜙 Ñ 𝜌𝛿 𝑟 Ñ, © ⌊︀ div𝜙𝜌𝛿 𝑟 𝛿𝜀𝑒𝑠 𝑉ª 𝐸Ñ 2 𝜕𝜀 Ñ Ñ, © 𝛿 𝑟 𝜏 }︀𝑑𝑉 8𝜋 𝜕𝜏 𝐸Ñ 2 𝐸Ñ 2 𝜕𝜀 Ñ 𝜀 div Ñ, © 𝛿 𝑟 𝜏 𝛿 𝑟Ñ 8𝜋 8𝜋 𝜕𝜏 Ñ𝜙 Ñ, 𝜌© 𝛿 𝑟 𝐸Ñ 2 𝐸Ñ 2 𝜕𝜀 Ñ Ñ ©𝜀 © 𝜏 𝑑𝑉 8𝜋 8𝜋 𝜕𝜏 𝑉ª Ñ 𝑑𝑆, 𝐸Ñ 2 𝜕𝜀 Ñ 𝜌𝜙𝛿 𝑟 Ñ. 𝜏 𝑑𝑟 8𝜋 𝜕𝜏 𝑆ª Так как 𝑆ª выходит за границы вещества, то 𝜌⋃︀𝑆ª Тогда: 𝛿𝜀𝑒𝑠 𝐸Ñ 2 𝐸Ñ 2 𝜕𝜀 Ñ Ñ Ñ Ñ, 𝜌©𝜙 𝛿 𝑟 ©𝜀 © 𝜏 𝑑𝑉 8𝜋 8𝜋 𝜕𝜏 𝑉ª 0, 𝜀⋃︀𝑆ª 𝑉ª 100 1, Ñ, 𝑓Ñ𝑑𝑉. 𝛿 𝑟 𝜕𝜀 𝜕𝜏 ⋂︀𝑆ª 0. Ñ2 Ñ2 Ñ Ñ 𝐸 𝜕𝜀 Ñ𝜙 𝐸 © Здесь 𝑓Ñ 𝜌© 8𝜋 𝜀 © 8𝜋 𝜕𝜏 𝜏 . Первое слагаемое являет собой плотность сил свободных зарядов, второе - плотность сил за счет неоднородности диэлектрика, третье суть есть плотность электрострикции. Ñ 𝜙. Получим: Учтем: 𝐸Ñ © 𝑓Ñ 𝜌𝐸Ñ 𝐸Ñ 2 𝐸Ñ 2 𝜕𝜀 Ñ𝜀 © Ñ © 𝜏 . 8𝜋 8𝜋 𝜕𝜏 Замечание: Плотность силы, действующей на изотропный магнетик: Ñ2 Ñ 2 𝜕𝜇 𝐻 𝐻 𝜇 Ñ Ñ Ñ Ñ (︀𝑗, 𝐻 ⌋︀ ©𝜇 © 𝜏 . 𝑐 8𝜋 8𝜋 𝜕𝜏 𝑓Ñ 3.8. Энергия системы проводников. Силы в электростатике проводников. А. Энергия системы проводников островного типа. ε 1 𝑉1 𝑞1 Пусть объем проводников ограничен, а проводники расположены локально. V 2 𝑁 𝑉2 𝑞2 𝑉𝑁 𝑞𝑁 𝑁 𝑉 𝑁 𝑉ª Q 𝑉𝑎 , 𝑆 𝑆ª Q 𝑆𝑎 . 𝑎 1 𝜀𝑒𝑠 𝑎 1 Ñ 𝐸 Ñ 𝐷, 8𝜋 𝑑𝑉. 𝑉 Кроме того, в статике 𝐸Ñ 𝜀𝑒𝑠 Ñ Ñ 𝜙, 𝐷 © 8𝜋 𝑑𝑉 1 8𝜋 Ñ 𝜙. © Тогда: 1 Ñ 𝑑𝑉 div𝜙𝐷 8𝜋 𝑉 𝑉 Ñ 𝑑𝑉 𝜙 div 𝐷 ⧹︀ 0 𝑉 1 8𝜋 Ñ 𝜙𝐷 Ñ . 𝑑𝑆, 𝑆 В каждой точке объема 𝑉 объемная плотность свободных зарядов равна Ñ 0. нулю, следовательно div 𝐷 Учтем, что 𝑆 P 𝑆𝑎. Тогда: 𝑁 𝑆ª 𝜀𝑒𝑠 𝑎 1 1 8𝜋 Ñ 𝜙𝐷 Ñ 𝑑𝑆, 𝑆ª 1 𝑁 Q 𝜙𝑎 8𝜋 𝑎 1 Ñ 𝐷 Ñ . 𝑑𝑆, 𝑆𝑎 Здесь учитывалось, что делается разрез, как это делалось в курсе ТФКП. 101 На поверхности 𝑆ª выполняется оценка: 1 Ñ 1 𝜙⋃︀𝑆ª , ⋃︀𝐷 ⋃︀⋂︀ , ⋃︀𝑑𝑆Ñ⋃︀⋂︀𝑆 𝑟2 . 2 𝑆 ª ª 𝑟 𝑟 Ñ 𝜙𝐷 Ñ 𝑑𝑆, Тогда 𝑆ª ÐÐª 1 𝑟 𝑟 0. Учтем, что на поверхности проводника: 𝜙⋃︀𝑆𝑎 𝜀𝑒𝑠 (𝑎) 𝑑𝑆Ԧ 𝑑𝑆Ԧ𝑎 Учтем: 𝑑𝑆 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Тогда: 𝜙𝑎 1 𝑁 Q 𝜙𝑎 8𝜋 𝑎 1 Ñ 𝐷 Ñ . 𝑑𝑆, 𝑆 Ñ ,𝐷 Ñ 𝑑𝑆 𝑎 𝑑𝑆𝑎 , тогда 4𝜋𝑞𝑎 . 𝑆𝑎 𝜀𝑒𝑠 1 𝑁 Q 𝜙𝑎 8𝜋 𝑎 1 Ñ ,𝐷 Ñ 𝑑𝑆 𝑎 𝑆𝑎 1 𝑁 Q 𝜙𝑎 𝑞 𝑎 . 2𝑎 1 Утверждение: Потенциал проводника с номером 𝑎 должен быть линейной однородной функцией зарядов всех проводников: 𝜙𝑎 P 𝑆𝑎𝑏𝑞𝑏, где 𝑆𝑎𝑏 𝑁 𝑏 1 потенциальные коэффициенты. Они количественно совпадают с потенциалом проводника с номером 𝑎 при условии, что заряд проводника с номером 𝑏 равен 1, а все остальные проводники разряжены. Утверждение: Заряд, индуцированный на проводнике с номером 𝑎 должен быть линейной однородной функцией потенциалов всех проводников: P 𝐶𝑎𝑏𝜙𝑏, где 𝐶𝑎𝑏 - емкостные коэффициенты. 𝑁 𝑞𝑎 𝑏 1 а) Если 𝑎 𝑏, то 𝐶𝑎𝑏 - собственная ёмкость проводника, то есть заряд, который необходимо сообщить уединённому проводнику, чтобы его потенциал относительно бесконечности был равен 1. б) Если 𝑎 x 𝑏, то 𝐶𝑎𝑏 - взаимная емкость, которая количественно совпадает с зарядом проводника с номером 𝑎, если проводник с номером 𝑏 имеет потенциал 𝜙𝑏 1, а остальные проводники заземлены: 𝜙𝑏 0. Если 𝜙𝑏 1, то 𝑞𝑏 A 0, тогда заряд, индуцированный на заземленном проводнике с номером 𝑎: 𝑞𝑎 @ 0. 𝑞𝑎 𝐶𝑎𝑏 𝜙𝑏 𝐶𝑎𝑏 @ 0. Энергия электростатического поля системы проводников примет вид: 𝜀𝑒𝑠 1 𝑁 𝑁 Q Q 𝑆𝑎𝑏𝑞𝑎𝑞𝑏 2 𝑎 1𝑏 1 1 𝑁 𝑁 Q Q 𝐶𝑎𝑏𝜙𝑎𝜙𝑏. 2 𝑎 1𝑏 1 Кроме того, выполняются следующие соотношения: 𝑆𝑎𝑏 𝑆𝑏𝑎 , 𝐶𝑎𝑏 𝐶𝑏𝑎 , 𝑆𝑎𝑏 1 , 𝑆 𝑆 A 𝑆 2 , 𝐶 𝐶 A 𝐶 2 . 𝐶𝑎𝑏 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏 102 Б. Сила, действующая на проводник в электростатическом поле. Пусть 𝐸Ñ - суммарное электростатическое Ñ поле, 𝐻 0. 𝐸 𝑑𝑆Ԧ 𝐹 𝛼 𝛼𝛽 𝜎 𝑑𝑆𝛽 , где 𝜎 𝜀 𝛿 𝛼𝛽 Ñ 2 𝛼 𝛽 𝐸 (︀ . 𝐸 𝐸 4𝜋 2 𝛼𝛽 𝑆 Учтем, что напряжённость электрического поля на поверхности проводника направлена по нормали: 𝐸 𝛼 𝐸𝑛𝛼 , кроме того 𝑑𝑆𝛽 𝑛𝛽 𝑑𝑆. Тогда: 𝜎 𝛼𝛽 𝜀 Ñ 2 𝛼 𝛽 𝛿 𝛼𝛽 Ñ 2 𝐸 𝑛 𝑛 𝐸 (︀ 4𝜋 2 𝜀𝐸Ñ 2 𝛼 𝛽 𝛿 𝛼𝛽 𝑛 𝑛 (︀ . 4𝜋 2 Подставив, вычислим: )︀ 𝐹𝛼 𝜎 𝛼𝛽 𝑑𝑆𝛽 𝑆 𝑆 [︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝛿 𝛼𝛽 ⌉︀ 𝜀𝐸Ñ 2 ⌉︀ ⌉︀ 𝛼 𝛽 ⌉︀ ⌋︀𝑛 𝑛 𝑛𝛽 𝑛𝛽 ⌈︀ ⌉︀ 4𝜋 ⌉︀ 2 ⌉︀ ⌉︀ ⧸︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ ⌊︀ 1 𝜀𝐸Ñ 2 𝑛𝛼 𝑑𝑆. 4𝜋 2 𝑆 Тогда получим выражение для силы, действующей на проводник в электростатическом поле. 𝜀𝐸Ñ 2 Ñ Ñ 𝑑𝑆. 𝑛 𝐹 8𝜋 𝑆 3.9. Постановка задачи (уравнение и граничные условия) для стационарных токов в кусочно-однородных проводниках. А. Уравнения магнитостатики. 𝜕 В магнитостатике: 𝜕𝑡 0, Ñ𝑗 Ñ𝑗 Ñ 𝑟. Тогда из закона сохранения заряда получим условие стационарности тока: 𝜕𝜌 Ñ div 𝑗 𝜕𝑡 0 103 div Ñ𝑗 Ñ 𝑟 0. Уравнения Максвелла в магнитостатике примут вид: )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ rot 𝐸Ñ Ñ 𝑟 4𝜋 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑐 0, Ñ Ñ div 𝐷 𝑟 4𝜋𝜌Ñ 𝑟, Ñ Ñ div 𝐵 𝑟 0. Ñ Ñ rot 𝐻 𝑟 Добавим материальные уравнения для тока: Ñ𝑗 𝐸𝑥𝑝 - условия эксперимента. Ñ 𝐻, Ñ 𝐸𝑥𝑝. Ñ 𝑗 𝐸, Здесь Б. Материальные уравнения. Для поддержания стационарного тока свободных зарядов, необходимо существование источника сторонних электродвижущих сил не электромагнитного происхождения (механические, оптические, . . . ). Работа по переносу заряда по замкнутому контуру: Э 𝑙 𝑙 𝑙 Ñ Ñ 𝐸 стор , 𝑑𝑙 𝑑𝜙 Ñ Ñ 𝐸 стор , 𝑑𝑙 Ñ 𝜙, 𝑑Ñ © 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 Ñ Ñ 𝐸 стор , 𝑑𝑙 Ñ 𝑑Ñ 𝐸, 𝑙 Ñ Ñ 𝐸 Ñ 𝐸 стор , 𝑑𝑙 𝑞 𝑙 Ñ Ñ 𝐸 стор , 𝑑𝑙 . 𝑙 Для изотропных проводников при относительно слабых напряжённостей поля, материальные уравнения примут вид: Ñ 𝑗 𝜎 𝐸Ñ 𝐸Ñстор , где 𝜎 𝜎 𝐸𝑥𝑝 проводимость среды. Закон Ома в дифференциальной форме: Ñ Вне области локализации источника ЭДС: Ñ𝑗 𝜎 𝐸. Замечание: Тепловая мощность электрического тока равна работе, совершаемой полем при перемещении зарядов в пространстве за единицу времени. 𝑑𝑄 Ñ 𝑗, 𝐸Ñ 𝑑𝑉 𝜎 𝐸Ñ 2 𝑑𝑉. 𝑑𝑡 𝑉 𝑉 С. Уравнение для векторного потенциала и его решение. )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ Ñ rot 𝐻 𝑟 Ñ Ñ div 𝐵 𝑟 104 4𝜋 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑐 0. Ñ 𝐵 Ñ 𝐵 𝜇 Ñ rot 𝐴ÑÑ 𝑟 , 𝐻 rot 𝐴Ñ , 𝜇 𝜇 Ñ 𝐻 4𝜋 Ñ Ñ ∆𝐴 Ñ Ñ div 𝐴 𝜇𝑗 Ñ 𝑟 , © 𝑐 Учтем калибровочное условие Лоренца: rot rot 𝐴ÑÑ 𝑟 div 𝐴ÑÑ 𝑟 4𝜋 𝜕𝜙 𝑐 𝜕𝑡 0 div 𝐴ÑÑ 𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 4𝜋 Ñ 𝜇𝑗 Ñ 𝑟 . 𝑐 0. ⃦ 0 С учетом калибровочного условия Лоренца, уравнение для векторного потенциала примет вид: 4𝜋 𝑟 . ∆𝐴Ñ 𝜇Ñ𝑗 Ñ 𝑐 Решение для векторного потенциала имеет вид: 𝜇 𝑐 𝐴ÑÑ 𝑟 𝑑𝑉 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ . Замечание: Граничные условия для поля должны быть переписаны в Ñ rot 𝐴. Ñ терминах 𝐴Ñ с учётом того, что 𝐵 Кроме того, необходимо добавить граничное условие для плотности тока, следующее из условия стационарности тока. div Ñ𝑗 Ñ 𝑟 0 𝑗𝑛𝐼 𝑗𝑛𝐼𝐼 ⋂︀Г . Д. Условие стационарности для линейного проводника с током. 𝐿 𝑑𝑆Ԧбок 𝑑 𝑆Ԧ1 𝑑𝑆Ԧ2 𝑗Ԧ τ Определение: Линейный проводник - такой проводник, у которого линейные размеры значительно превышают поперечное се⌋︂ чение: 𝑎 𝑆 P 𝐿. Воспользуемся условием стационарности тока: div Ñ𝑗 Ñ 𝑟 0 Ñ 𝑗, 𝑑𝑆Ñ 0, где 𝑆 Ñ 𝑗, 𝑑𝑆Ñ1 𝑆1 105 Ñ 𝑗, 𝑑𝑆Ñ2 𝑆2 𝑆1 𝑆2 𝑆бок . 𝑆бок Ñ 𝑗, 𝑑𝑆Ñбок 0. Последнее слагаемое равно нулю, так как векторы Ñ𝑗 и 𝑑𝑆Ñбок перпендикулярны. Тогда: Ñ 𝑗, 𝑑𝑆Ñ1 𝑆1 Учтем, что 𝑑𝑆Ñ1 Ñ 𝑗, 𝑑𝑆Ñ2 0. 𝑆2 𝜏Ñ𝑑𝑆1 , 𝑑𝑆Ñ2 𝜏Ñ𝑑𝑆2 . Тогда: Ñ 𝑗, 𝜏Ñ𝑑𝑆1 𝑆1 Ñ 𝑗, 𝜏Ñ𝑑𝑆2 0. 𝑆2 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝐼1 𝐼2 Утверждение: Условие стационарности линейного проводника с током: 𝐼1 𝐼2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, то есть ток, протекающий через сечение проводника, должен быть одинаков. В любом сечении проводника плотность тока Ñ𝑗 постоянна и сонаправлена с вектором 𝑑Ñ𝑙, касательным проводнику Ñ𝑗𝑑𝑙 𝑗𝑑Ñ𝑙. 3.10. Энергия магнитного поля стационарных токов. Магнитный поток. Коэффициенты самоиндукции и взаимной индукции. А. Энергия магнитного поля стационарных токов. Ñ 𝐵 Ñ 𝐻, 𝜀𝑚𝑠 8𝜋 𝑑𝑉 𝜀𝑚𝑠 1 8𝜋 8𝜋 𝑑𝑉. 𝑉 𝑉 Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ Учтем, что div(︀𝐴, Ñ rot 𝐴 Ñ 𝐻, Ñ rot 𝐴 Ñ 𝐴, Ñ rot 𝐻 Ñ . 𝐻, 1 Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀𝑑𝑉 div(︀𝐴, 8𝜋 𝑉 Ñ rot 𝐻 Ñ 𝑑𝑉. 𝐴, 𝑉 Преобразуя, получим: 𝜀𝑚𝑠 1 8𝜋 1 Ñ (︀𝐴, Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ 𝑑𝑆, 2𝑐 𝑆ª Ñ 𝑗, 𝐴Ñ𝑑𝑉. 𝑉 Учтем, что выполняется оценка: 𝑆ª Ñ⋃︀⋂︀ ⋃︀𝐴 1 1 Ñ ⋃︀⋂︀ , ⋃︀𝐻 , ⋃︀𝑑𝑆Ñ⋃︀ 𝑟2 . 2 3 𝑆 ª 𝑟 𝑟 106 Ñ (︀𝐴, Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ 𝑑𝑆, Тогда: 𝑆ª ÐÐ 1 𝑟3 𝑟 0 0. Получим: 1 2𝑐 𝜀𝑚𝑠 Ñ 𝑗, 𝐴Ñ𝑑𝑉. 𝑉 Б. Энергия системы контуров с токами. (1) 𝑗Ԧ1 Ñ 𝑗 Ñ 𝑟 𝑁 Q 𝑁 Q 𝐴Ñ𝑏Ñ𝑟, Ñ 𝑗𝑎 Ñ 𝑟, 𝐴ÑÑ 𝑟 𝑎 1 где 𝐴Ñ𝑏 Ñ 𝑟 𝜇 𝑐 𝑏 1 𝑗Ԧ2 (𝑁) Ñ 𝑗𝑏 Ñ 𝑟 𝑑𝑉 . ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ Выполним подстановку: 𝜀𝑚𝑠 1 2𝑐 Ñ 𝑗, 𝐴Ñ𝑑𝑉 𝑉 𝜇 𝑁 𝑁 QQ 2𝑐2 𝑎 1 𝑏 1 𝑑𝑉 𝑑𝑉 Ñ 𝑗𝑎 Ñ 𝑟, Ñ𝑗𝑏 Ñ 𝑟 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 1 𝑁 𝑁 Q Q 𝐿𝑎𝑏𝐼𝑎𝐼𝑏. 2𝑐2 𝑎 1 𝑏 1 Утверждение: Плотность тока Ñ𝑗𝑎 в контуре с номером 𝑎 должна быть линейной функцией полного тока в этом контуре. Тогда энергия магнитного поля должна быть однородной формой относительно токов в контурах. Если 𝑎 𝑏, то 𝐿𝑎𝑎 𝐿𝑎𝑎 A 0 - коэффициент самоиндукции (индуктивность).. Если 𝑎 x 𝑏, то 𝐿𝑎𝑏 𝐿𝑎𝑏 C 0, 𝐿𝑎𝑏 B 0 - коэффициент взаимной индукции. 𝐿𝑎𝑎 C 0. Замечание: 𝐿𝑎𝑏 𝐿𝑏𝑎 . Из условия положительной определённости энергии магнитного поля следует: 𝐿𝑎𝑎 𝐿𝑏𝑏 A 𝐿2𝑎𝑏 . Вычислим 𝐿𝑎𝑏 для линейных проводников с токами: 𝜇 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝐿𝑎𝑏 𝑑𝑉 Ñ 𝑗𝑎 Ñ 𝑟, Ñ𝑗𝑏 Ñ 𝑟 𝑑𝑉 . ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ Учтем, что для линейного проводника с током: 𝑑𝑆𝑎Ù 𝑑𝑙𝑎 , 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝐿𝑎𝑏 𝜇 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝑑𝑆 Ù 𝑎 𝑑𝑆𝑏Ù 𝑑𝑙𝑏 . 𝑑𝑙𝑎Ñ 𝑗𝑎 Ñ 𝑟, 𝑑𝑙𝑏 Ñ𝑗𝑏 Ñ 𝑟 𝑑𝑆 Ù ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝑏 𝑙𝑎 𝑙𝑏 107 . Учтем приближение линейного проводника: 𝑑𝑙𝑎Ñ𝑗𝑎 Ñ 𝑟 𝑑Ñ𝑙𝑎 𝑗𝑎 Ñ 𝑟, 𝑑𝑙𝑏 Ñ𝑗𝑏 Ñ 𝑟 𝑑Ñ𝑙𝑏 𝑗𝑏 Ñ 𝑟 . 𝐿𝑎𝑏 𝜇 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝑑𝑆 Ù 𝑎 𝑏 Ñ Ñ , 𝑑𝑙 𝑑𝑙 𝑎 𝑏 𝜇 𝐼𝑎 𝐼𝑏 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝑙𝑎 𝑙𝑏 𝑙𝑎 𝑙𝑏 𝑑𝑆 Ù 𝑗𝑎 Ñ 𝑟 𝑎 𝑑𝑆𝑏Ù 𝑗𝑏 Ñ 𝑟 𝑑𝑙𝑎 ,𝑑𝑙𝑏 ⋃︀Ñ 𝑟𝑟Ñ ⋃︀ Ñ Ñ , 𝑑𝑙 𝑑𝑙 𝑎 𝑏 𝜇 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂)︂ )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝑗Ԧ𝑏 (𝑏) ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝐼𝑎 Здесь 𝑟Ԧ Ñ Ñ , 𝑑𝑙 𝑑𝑙 𝑎 𝑏 𝑗𝑎 Ñ 𝑟𝑗𝑏 Ñ 𝑟 𝑑𝑆 Ù 𝑗Ԧ𝑎 (𝑎) 𝑗Ԧ1 ⋃︀Ñ 𝑟 𝑟Ñ ⋃︀ 𝑑 𝑙Ԧ𝑎 𝑟Ԧ − 𝑟′ Ԧ 𝑟′ Ԧ 𝑑𝑙Ԧ𝑏 . 𝑙𝑎 𝑙𝑏 𝐼𝑏 - слабо изменяется в сечении проводника. В. Магнитный поток. (1) Пусть 𝑆𝑎 - произвольная незамкнутая поверхность, натянутая на контур. Вычислим энергию магнитного поля: 𝑗Ԧ2 (2) 𝑗Ԧ1 𝑙1 1 2𝑐 𝜀𝑚𝑠 𝑙2 𝑑𝑉 Ñ𝑗, 𝐴Ñ. 𝑉 (𝑎) 𝑗Ԧ𝑁 (𝑁) 𝑗Ԧ𝑎 𝑙𝑁 𝑙𝑎 𝜀𝑚𝑠 1 𝑁 Q 2𝑐 𝑎 1 P Ñ𝑗𝑎Ñ𝑟 а также 𝑑𝑉 𝑎 1 𝑁 Учтем, что Ñ𝑗 Ñ 𝑟 𝑑𝑆𝑎Ù 𝑑𝑙𝑎 . Тогда получим: 𝑑𝑉 Ñ𝑗𝑎 , 𝐴ÑÑ 𝑟 𝑉 1 𝑁 Q 2𝑐 𝑎 1 𝑑𝑆𝑎Ù 𝑑𝑙𝑎Ñ 𝑗𝑎 , 𝐴ÑÑ 𝑟. 𝑙𝑎 Учтем, что для линейного проводника: 𝑑𝑙𝑎Ñ𝑗𝑎 Ñ 𝑟 𝑑Ñ𝑙𝑎 𝑗𝑎 Ñ 𝑟 . Тогда выражение примет вид: 𝜀𝑚𝑠 1 𝑁 Q 2𝑐 𝑎 1 𝑑𝑆𝑎Ù 𝑗𝑎 𝐴ÑÑ 𝑟, 𝑑Ñ𝑙𝑎 . 𝑙𝑎 Снова вспомним про приближение линейного проводника и учтем: 𝐴Ñ⋂︀𝑆 Ù 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑎 108 𝜀𝑚𝑠 1 𝑁 Q 2𝑐 𝑎 1 𝑗𝑎 𝑑𝑆𝑎Ù ÑÑ 𝐴 𝑟, 𝑑Ñ𝑙𝑎 𝑆𝑎Ù 𝑙𝑎 1 𝑁 Q 𝐼𝑎 2𝑐 𝑎 1 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝐼𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 1 𝑁 Q 𝐼𝑎 2𝑐 𝑎 1 ÑÑ 𝐴 𝑟, 𝑑Ñ𝑙𝑎 𝑙𝑎 Ñ 𝑑𝑆 Ñ rot 𝐴, 𝑎 𝑆𝑎 1 𝑁 Q 𝐼𝑎 2𝑐 𝑎 1 Ñ 𝑑𝑆 Ñ . 𝐵, 𝑎 𝑆𝑎 Здесь мы воспользовались теоремой Стокса. Обозначим: Ñ 𝑑𝑆 Ñ 𝐵, 𝑎 Φ𝑎 поток вектора через поверхность контура. 𝑆𝑎 𝜀𝑚𝑠 1 𝑁 Q Φ𝑎𝐼𝑎. 2𝑐 𝑎 1 С другой стороны, мы ранее получили: 𝜀𝑚𝑠 1 𝑁 𝑁 Q Q 𝐿𝑎𝑏𝐼𝑎𝐼𝑏. 2𝑐2 𝑎 1 𝑏 1 Так как это выполняется для любого 𝐼𝑎 , то: Φ𝑎 1 𝑁 Q 𝐿𝑎𝑏𝐼𝑏. 𝑐𝑏 1 3.11. Квазистационарное приближение. Основные уравнения, границы применимости. А. Квазистационарное приближение. )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ 4𝜋 Ñ 1 𝜕 𝐷 𝑗 , 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 1 𝜕𝐵 Ñ rot 𝐸 , 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 4𝜋𝜌, div 𝐷 Ñ rot 𝐻 Ñ div 𝐵 0. Ñ 𝐷, Ñ 𝐵, Ñ 𝐻 Ñ зависят от времени, но с ограничениями. Будем считать, что 𝐸, Кроме того, будем считать Ñ𝑗 𝜎 𝐸Ñ (при этом 𝐸Ñстор 0). Накладываемые ограничения: 109 Ñ 1 𝜕𝐷 4𝜋 ⨄︀ 𝜕𝑡 ⨄︀. 1) Будем считать, что: ⋃︀Ñ𝑗 ⋃︀ Q ⋃︀Ñ𝑗смещ ⋃︀ Условие приведет к ограничению: Ñ ⋃︀ ⋃︀𝐷 𝜀⋃︀𝐸Ñ ⋃︀, ⋃︀Ñ𝑗 ⋃︀ 𝜎 ⋃︀𝐸Ñ ⋃︀, Тогда получим: 𝜕 𝜕𝑡 𝜔 (частота изменения поля). 𝜎 ⋃︀𝐸Ñ ⋃︀ Q 𝜀𝜔 ⋃︀𝐸Ñ ⋃︀. Ограничение на частоту изменения поля: 𝜔P 𝜎 . 𝜀 2) Пусть 𝐿 -характерный размер системы. 𝜔𝐿 𝐿 P 1. 𝑐 𝜆 Ñ ⋃︀ ⋃︀𝐸 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑟Ñ 𝑒𝑖𝜔𝑡 . Ñ 3) 𝜀𝜔 𝜀0, 𝜇𝜔 𝜇0, 𝜎 𝜔 𝜎 0. Б. Уравнения электромагнитного поля в случае квазистационарности. )︀ 4𝜋 Ñ ⌉︀ Ñ ⌉︀ 𝑗, rot 𝐻 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝑐 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ ⌉︀ 1 𝜕𝐵 ⌉︀ ⌉︀ Ñ ⌉︀ , rot 𝐸 ⌉︀ ⌉︀ 𝑐 𝜕𝑡 ⌋︀ ⌉︀ Ñ 4𝜋𝜌, ⌉︀ div 𝐷 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ 0, ⌉︀ div 𝐵 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ Ñ Ñ Ñ ⌉︀ ]︀ 𝐵 𝜇𝐻, 𝑗 𝜎 𝐸, 𝜇, 𝜎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Замечание: Для согласованности с первым уравнением системы, закон сохранения заряда должен иметь вид: div Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑡 0. Получим уравнения, описывающие поля и токи в веществе: Ñ rot rot 𝐻 4𝜋 rot Ñ𝑗 Ñ 𝑟 , 𝑡 𝑐 110 4𝜋 Ñ 𝜎 rot 𝐸. 𝑐 Ñ Учтем, что rot rot 𝐻 Ñ Кроме того, 𝐻 Ñ 𝐵 𝜇, Ñ ∆𝐻. Ñ Тогда: div 𝐻 4𝜋 Ñ ∆𝐻 Ñ Ñ Ñ div 𝐻 © 𝜎 rot 𝐸. 𝑐 Ñ © потому: 1 Ñ ∆𝐻 Ñ Ñ div 𝐵 © 𝜇 ⧹︀ 0 Ñ ∆𝐻 Ñ 4𝜋 𝜕 𝐵 𝜎 𝑐2 𝜕𝑡 Ñ 4𝜋𝜎𝜇 𝜕 𝐻 . 𝑐2 𝜕𝑡 Ñ 4𝜋𝜎𝜇 𝜕 𝐻 . 𝑐2 𝜕𝑡 Аналогично можно получить: ∆𝐸Ñ 4𝜋𝜎𝜇 𝜕 𝐸Ñ . 𝑐2 𝜕𝑡 ∆Ñ𝑗 4𝜋𝜎𝜇 𝜕 Ñ𝑗 . 𝑐2 𝜕𝑡 Здесь было учтено, что Ñ 𝑗 𝑐 Ñ 𝐸 Ñ rot 𝐻, 4𝜋 Ñ 𝑗 𝜎 𝑐 Ñ rot 𝐻. 4𝜋𝜎 3.12. Проникновение периодически меняющихся полей в проводник. Скин-эффект. Изучим распространение квазистацонарного периодического электромагнитного поля в проводящей диссипирующей среде при наличии плоской границы. y I 𝐻0 𝑒 −𝑖ω𝑡 II σ=0 (вакуум) σ≠0 (проводник) x 111 )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ𝐼 ∆𝐻 0, Ñ 𝐼𝐼 4𝜋𝜎𝜇 𝜕 𝐻 , 𝑐2 𝜕𝑡 Ñ 𝐼𝐼 ∆𝐻 Граничные условия: 𝐻𝜏𝐼 𝐻𝜏𝐼𝐼 ⋂︀𝑧 0 . Замечание: Нормальной составляющей у поля на границе нет. Ñ 𝑒𝑖𝜔𝑡 𝐻 0 Ñ𝐼 𝐻 𝐻0 𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑒Ñ𝑦 . Будем искать решение для поля внутри проводника в виде: 𝐻2 𝑧 𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑒Ñ𝑦 . Ñ 𝐼𝐼 𝐻 После подстановки получим: 𝑑2 𝐻2 𝑧 𝑑𝑧 2 Пусть 𝐻2 𝑧 𝑒𝛼𝑧 , где 𝛼 𝑖 4𝜋𝜎𝜇𝜔 𝐻2 𝑧 . 𝑐2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Тогда: 𝛼2 4𝜋𝜎𝜇𝜔 𝑖. 𝑐2 Будем называть толщиной скин-слоя величину: ⌋︂ 𝛿 Тогда: 𝛼2 Тогда получим: 𝑐 . 2𝜋𝜎𝜇𝜔 2 𝑖 𝛿2 2 𝑖 𝜋 𝑒 2. 𝛿2 ⌋︂ 2 𝑖 𝜋 1𝑖 𝑒 4 . 𝛿 𝛿 Решение для амплитуды поля в проводнике примет вид: 𝛼1,2 𝐻2 𝑧 𝐶1 𝑒𝛼1 𝑧 𝐶2 𝑒𝛼2 𝑧 𝐶1 𝑒 1𝑖 𝑧 𝛿 ÐÐ 𝐶2 𝑒 1𝑖 𝑧 𝛿 . Обеспечим выполнение условия 𝐻2 𝑧 0 в диссипирующей среде, 𝑧 0 поэтому 𝐶1 0. Тогда: 1𝑖 Ñ 𝐼𝐼 𝐶 𝑒 𝛿 𝑧 𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑒 Ñ𝑦 . 𝐻 2 Граничные условия: 𝐻𝜏𝐼 𝐻𝜏𝐼𝐼 ⋂︀𝑧 0 112 𝐶2 𝐻0 . Поле внутри проводника определяется выражением: 𝐻0 𝑒 Ñ 𝐼𝐼 𝐻 1𝑖 𝑧 𝛿 𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑒Ñ𝑦 . )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ 𝐻 𝐼𝐼 𝑧 Замечание: Оценим значение модуля поля на глубине скин-слоя: ⋁︀ ⋁︀ 𝐻 𝐼𝐼 𝑧 𝐻 𝐼𝐼 𝑧 𝛿 ⋁︀ 0 𝑒1 𝐻 𝐼𝐼 𝑧 10𝛿 ⋁︀ 𝐻 𝐼𝐼 𝑧 0 1 . 2, 7 𝑒10 104 . Замечание: Для Си при комнатной температуре: 𝜔 50 Гц, 𝛿 1 см. 𝜔 500 кГц, 𝛿 0, 1 мм. 𝜔 2, 4 ГГц, 𝛿 1, 5 мкм. Замечание: Вычислим 𝐸Ñ 𝐼𝐼 : Ñ 𝐼𝐼 rot 𝐻 4𝜋 Ñ 𝑗 𝑐 𝑐 Ñ 𝐼𝐼 rot 𝐻 4𝜋 Ñ 𝑗 𝑐 𝑐 Ñ 𝐼𝐼 rot 𝐻 rot 𝐻 𝐼𝐼 𝑧 Ñ 𝑒𝑦 4𝜋𝜎 4𝜋𝜎 Выполним преобразование: 𝐸Ñ 𝐼𝐼 𝐻 𝐼𝐼 𝑒Ñ𝑥 𝐻 𝐼𝐼 (︀Ñ 𝑒𝑦 , 𝑒Ñ𝑧 ⌋︀ (︀𝐻 𝜎 𝐸Ñ 𝐼𝐼 , 𝑐 𝜕𝐻 𝐼𝐼 𝑒Ñ𝑥 4𝜋𝜎 𝜕𝑧 𝐼𝐼 𝑒Ñ𝑦 , 𝑒Ñ𝑧 ⌋︀ Ñ (︀𝐻 𝐼𝐼 𝑐 𝐼𝐼 Ñ𝑥 . 1 𝑖 𝐻 𝑒 4𝜋𝜎𝛿 Ñ ⌋︀. ,𝑛 Подставив, получим: 𝐸Ñ 𝐼𝐼 𝑐 Ñ 𝐼𝐼 , 𝑛 Ñ ⌋︀. 1 𝑖(︀𝐻 4𝜋𝜎𝛿 Подставим выражение для толщины скин-слоя: 𝐸Ñ 𝐼𝐼 𝑐 4𝜋𝜎 ⌋︂ 2𝜋𝜎𝜇𝜔 Ñ 𝐼𝐼 , 𝑛 Ñ ⌋︀ 1 𝑖(︀𝐻 𝑐 {︂ 𝜉 𝐸Ñ𝜏𝐼𝐼 𝜇𝜔 1 𝑖 8𝜋𝜎 {︂ {︂ 𝜇𝜔 Ñ 𝐼𝐼 , 𝑛 Ñ 𝐼𝐼 Ñ ⌋︀ или 𝐸 1 𝑖(︀𝐻 𝜏 8𝜋𝜎 Ñ 𝐼𝐼 , 𝑛 𝜉 (︀𝐻 𝜏 Ñ ⌋︀, Ñ 𝐼𝐼 , 𝑛 𝜉 (︀𝐻 𝜏 Ñ ⌋︀, где 𝜇𝜔 𝑖 𝜋 𝑒 4 4𝜋𝜎 113 поверхностный импеданс. 3.13. Уравнение макроскопической электродинамики в ковариантной форме. )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ rot ℎ div 𝑒Ñ 1 𝜕 𝑒Ñ 4𝜋 Ñ 𝑗полн , 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋𝜌полн , Ñ 1 𝜕ℎ , rot 𝑒Ñ 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 0. div ℎ вторая пара. первая пара. 1) Уравнения первой пары могут быть записаны в ковариантной форме с помощью тензора электромагнитного поля. 0 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒 𝑓𝑖𝑘 𝑧 𝑒𝑥 0 ℎ𝑧 ℎ𝑦 𝜕𝑓𝑖𝑘 𝜕𝑓𝑘𝑛 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑖 Усредняем последнее выражение: 𝜕𝐹𝑖𝑘 𝜕𝑥𝑛 𝑒𝑦 ℎ𝑧 0 ℎ𝑥 𝑒𝑧 ℎ𝑦 ℎ𝑥 0 𝜕𝑓𝑛𝑖 𝜕𝑥𝑘 0. 𝜕𝐹𝑛𝑖 𝜕𝑥𝑘 0, 𝜕𝐹𝑘𝑛 𝜕𝑥𝑖 где введено обозначение: 𝐹𝑖𝑘 @ 𝑓𝑖𝑘 A 0 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸 𝑧 𝐸𝑥 0 𝐵𝑧 𝐵𝑦 𝐸𝑦 𝐵𝑧 0 𝐵𝑥 𝐸𝑧 𝐵𝑦 , 𝐵𝑥 0 Ñ A 𝐵. Ñ @ℎ Ñ а также учтено, что @ 𝑒Ñ A 𝐸, 2) Усредним неоднородное уравнение Максвелла. Учтём: 𝑘 𝑗полн 𝑗 0 𝜌полн 𝑐, Ñ𝑗полн Ñ 𝑗своб Ñ𝑗связ , где закон сохранения заряда выполняется независимо для свободных и связанных зарядов: 𝑘 𝜕𝑗полн 𝜕𝑥𝑘 𝑘 𝜕𝑗своб 0, 𝜕𝑥𝑘 0, 𝑘 𝜕𝑗связ 𝜕𝑥𝑘 0. Выполним усреднение четырехмерного вектора плотности тока. 114 𝑘 1*) @ 𝑗своб A 𝑗 𝑘 (переобозначение), 2*) Для усреднения плотности тока связанных зарядов учтем: @ 𝜌связ A @ Ñ𝑗связ Ñ div 𝑃 , 𝜕 𝑃Ñ A 𝜕𝑡 Ñ. 𝑐 rot 𝑀 𝑘 Ñ . A должна выражаться через 6 независимых величин 𝑃Ñ , 𝑀 а) @ 𝑗связ 𝑘 A должна содержать производные по четырем координатам не б) @ 𝑗связ старше первого порядка. 𝑘𝑛 𝑘 𝑘𝑛 𝑛𝑘 (6 независимых компонент в A 𝑐 𝜕𝑀 Пусть @ 𝑗связ 𝑀 𝜕𝑥𝑛 , где 𝑀 четырёхмерном пространстве). Замечание: Выражение согласовано с законом сохранения заряда: 𝑘 A 𝜕 @ 𝑗связ 𝜕𝑥𝑘 𝑐 𝜕 2 𝑀 𝑘𝑛 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑛 𝑘 𝑛 𝑐 𝜕 2 𝑀 𝑛𝑘 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑘 𝑐 𝜕 2 𝑀 𝑘𝑛 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑛 0. Усредим неоднородное уравнение Максвелла: 𝜕𝑓 𝑘𝑛 𝜕𝑥𝑛 4𝜋 𝑘 𝑗 𝑐 полн 𝜕 @ 𝑓 𝑘𝑛 A 𝜕𝑥𝑛 4𝜋 𝑘 𝑘 𝑗своб 𝑗связ , 𝑐 4𝜋 𝑘 𝑘 @ 𝑗своб A @ 𝑗связ A. 𝑐 Тогда получим: 𝜕 𝑘𝑛 @ 𝑓 A 4𝜋𝑀 𝑘𝑛 𝑛 𝜕𝑥 4𝜋 𝑘 𝑗 . 𝑐 Уравнения Максвелла примут вид: 𝜕𝑄𝑘𝑛 𝜕𝑥𝑛 4𝜋 𝑘 𝑗 , где 𝑄𝑘𝑛 𝑐 𝐹 𝑘𝑛 4𝜋𝑀 𝑘𝑛 . Найдем компоненты 𝑀 𝑘𝑛 сопоставлением (Аналогично тому, что мы делали в предыдущем разделе): @ 1) Пусть 𝑘 @ 0 𝑗связ 𝑘 𝑗связ 𝜕𝑀 𝑘𝑛 A 𝑐 . 𝜕𝑥𝑛 0. Тогда: A 𝑐 @ 𝜌связ A Ñ 𝑐 div 𝑃 Сопоставляя, получим: 𝑀 01 𝜕𝑃𝑥 𝑐 𝜕𝑥 𝜕𝑃𝑦 𝜕𝑃𝑧 𝜕𝑀 0𝑛 𝑐 𝑐 𝑐 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑀 00 𝜕𝑀 01 𝜕𝑀 02 𝑐 𝑐 𝑐 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝑃𝑥 , 𝑀 02 115 𝑃𝑦 , 𝑀 03 𝑃𝑧 . 𝑐 𝜕𝑀 03 . 𝜕𝑥3 2) Пусть 𝑘 1 @ 𝑗связ A 1. Тогда: 𝜕 𝑃Ñ 𝜕𝑡 Ñ (︀ 𝑐 rot 𝑀 𝑥 𝜕𝑃𝑥 𝜕𝑥 Сопоставляя, получим: 𝑀 10 2) Пусть 𝑘 2. Тогда: @ 1 𝑗связ 𝜕 𝑃Ñ A 𝜕𝑡 Ñ 𝑐 rot 𝑀 (︀ 𝑦 𝑐 𝜕𝑀𝑧 𝜕𝑀𝑦 𝜕𝑀 1𝑛 (︀ 𝑐 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑀 10 𝜕𝑀 11 𝜕𝑀 12 𝑐 𝑐 𝑐 𝜕𝑥0 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝑃𝑥 , 𝑀 12 𝜕𝑃𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑀𝑥 𝑐 𝜕𝑧 𝑐 𝑀𝑧 , 𝑀 13 𝑐 𝑐 𝜕𝑀 13 . 𝜕𝑥3 𝑐 𝜕𝑀 23 . 𝜕𝑥3 𝑀𝑦 . 𝜕𝑀 2𝑛 𝑐 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑀𝑧 (︀ 𝜕𝑥 𝜕𝑀 20 𝜕𝑥0 𝜕𝑀 21 𝜕𝑥1 𝑐 𝜕𝑀 22 𝜕𝑥2 Сопоставляя, получим: 𝑀 20 𝑃𝑦 , 𝑀 21 𝑀𝑧 , 𝑀 23 𝑀𝑥 . Окончательно для тензора 𝑀 𝑘𝑛 получим (последний столбец допишем, учитывая 𝑀 𝑘𝑛 𝑀 𝑛𝑘 ): 𝑀 𝑘𝑛 0 𝑃𝑥 𝑃𝑦 𝑝 𝑃𝑥 0 𝑀𝑧 𝑀𝑦 𝑧 Ñ Учтем, что 𝐷 Ñ 𝐸Ñ 4𝜋 𝑃Ñ , 𝐻 𝑄𝑖𝑘 𝑃𝑦 𝑀𝑧 0 𝑀𝑥 𝑃𝑧 𝑀𝑦 . 𝑀𝑥 0 Ñ 4𝜋 𝑀 Ñ . Тогда: 𝐵 𝐹 𝑖𝑘 4𝜋𝑀 𝑖𝑘 0 𝐷𝑥 𝐷𝑦 𝐷 𝑧 𝐷𝑥 0 𝐻𝑧 𝐻𝑦 𝐷𝑦 𝐻𝑧 0 𝐻𝑥 𝐷𝑧 𝐻𝑦 . 𝐻𝑥 0 Уравнения Максвелла в ковариантной форме: )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 𝜕𝐹𝑖𝑘 𝜕𝐹𝑘𝑛 𝜕𝐹𝑛𝑖 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑄𝑖𝑘 4𝜋 𝑖 𝑗. 𝜕𝑥𝑘 𝑐 0, Здесь 𝑗 𝑖 - четырёхмерный вектор плотности тока свободных зарядов. Б. Преобразование векторов электромагнитного поля при инерциальном движении вещества. 𝑥0 𝑥0 𝛽𝑥1 ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝑥1 𝑥1 𝛽𝑥0 ⌈︂ 1 𝛽2 116 , 𝑥2 𝑥2 , 𝑥3 𝑥3 . Здесь 𝑉Ñ 𝑉 𝑒Ñ𝑥 , 𝛽 𝑉𝑐 . Ñ 1) Получим закон преобразования для 𝐸Ñ и 𝐵. 0 𝐸𝑥 𝐸 𝑦 𝐸 𝐹𝑖𝑘 𝑧 Õ Õ 𝐸𝑥 0 𝐵𝑧 𝐵𝑦 𝐸𝑦 𝐵𝑧 0 𝐵𝑥 𝐸𝑧 𝐵𝑦 , 𝐵𝑥 0 Ù Ù Обозначим: 𝑉Ñ , 𝑉Ñ . Тогда, действуя аналогично тому, как было сделано в разделе 2, получим: Ñ ⌋︀ 𝐸ÑÙ 1𝑐 (︀𝑉Ñ , 𝐵 𝐸Ñ Ù ⌈︂ 1 𝛽2 , Ñ 1 (︀𝑉 𝐵 Ù 𝑐 Ñ , 𝐸Ñ ⌋︀ Ñ 𝐵 Ù ⌈︂ 1 𝛽2 , 𝐸ÑÕ Ñ 𝐸ÑÕ , 𝐵 Õ Ñ . 𝐵 Õ Ñ и 𝐷. Ñ 1) Получим закон преобразования для 𝐻 0 𝐷𝑥 𝐷𝑦 𝐷 𝑄𝑖𝑘 𝑧 𝑄 𝑚𝑛 𝐷𝑥 0 𝐻𝑧 𝐻𝑦 𝐷𝑦 𝐻𝑧 0 𝐻𝑥 𝐷𝑧 𝐻𝑦 , 𝐻𝑥 0 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 𝑄𝑖𝑘 . 𝜕𝑥𝑚 𝜕𝑥𝑛 Тогда получим: Ñ 𝐷 Ù Ñ 1 (︀𝑉 𝐷 Ù 𝑐 Ñ , 𝐻Ñ ⌋︀ ⌈︂ 1 𝛽2 , Ñ 𝐻 Ù Ñ ⌋︀ Ñ 1 (︀𝑉 𝐻 Ù 𝑐 Ñ,𝐷 ⌈︂ 1 𝛽2 Ñ , 𝐷 Õ Ñ , 𝐻 𝐷 Õ Ñ Õ Ñ . 𝐻 Õ 3.14. Материальные уравнения для движущихся диэлектриков и магнетиков. 𝐾 𝑦 𝑦’ 𝐾′ 𝑉 В системе отсчета 𝐾 выполняются материальные соотношения для изотропного вещества. Ñ 𝐷 ε, μ ≠ 1 Обозначим: 𝑥 𝑥′ Ñ 𝜀𝐸Ñ , 𝐵 Ñ . 𝜇𝐻 Õ Õ 𝑉Ñ , Ù Ù 𝑉Ñ . Для продольной составляющей поля выполняются соотношения: Ñ 𝐷 Õ Ñ , 𝐻 𝐷 Õ Ñ Õ Ñ , 𝐸 𝐻 Õ ÑÕ Ñ 𝐸ÑÕ , 𝐵 Õ Ñ . 𝐵 Õ Кроме того, в силу выполнения материальных соотношений в системе 𝐾 найдём: Ñ 𝐷 Õ Ñ 𝐷 Õ 𝜀𝐸ÑÕ 117 𝜀𝐸ÑÕ . Ñ 𝐵 Õ Ñ 𝐵 Õ Ñ 𝜇𝐻 Õ Ñ . 𝜇𝐻 Õ Таким образом, для продольной составляющей поля в системе отсчёта 𝐾 материальные уравнения примут вид: Ñ 𝐷 Õ Ñ 𝜀𝐸ÑÕ , 𝐵 Õ Ñ . 𝜇𝐻 Õ Для поперечных составляющих поля выполняются соотношения: 𝐸Ñ Ñ ⌋︀ 𝐸ÑÙ 1𝑐 (︀𝑉Ñ , 𝐵 Ù Ñ 𝐷 Ñ 1 (︀𝑉 𝐷 Ù 𝑐 Ñ , 𝐻Ñ Ù⌋︀ Ù Ù ⌈︂ 1 𝛽2 ⌈︂ 1 𝛽2 , Ñ 𝐵 Ñ 1 (︀𝑉 𝐵 Ù 𝑐 Ñ , 𝐸ÑÙ⌋︀ , Ñ 𝐻 Ñ 1 (︀𝑉 Ñ ⌋︀ 𝐻 Ù 𝑐 Ñ,𝐷 Ù Ù Ù ⌈︂ 1 𝛽2 ⌈︂ 1 𝛽2 . . Кроме того, в системе 𝐾 выполняются материальные соотношения: Ñ 𝐷 Ù Ñ 𝜀𝐸ÑÙ , 𝐵 Ù Выполним подстановку и учтем, что )︀ ⌉︀ 1 Ñ Ñ ⌉︀ Ñ (︀𝑉 ⌉︀ , 𝐻Ù ⌋︀ 𝐷 ⌉︀ Ù ⌉︀ ⌉︀ 𝑐 ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ 1 Ñ Ñ ⌉︀ ⌉︀ Ñ (︀𝑉 ⌉︀ 𝐵 , 𝐸Ù ⌋︀ Ù ⌉︀ ⌉︀ 𝑐 ⌉︀ ]︀ Ñ. 𝜇𝐻 Ù ⌈︂ 1 𝛽 2 x 0. Получим: 1 Ñ Ñ (︀𝑉 , 𝐵Ù ⌋︀, 𝑐 1 Ñ (︀𝑉 Ñ ⌋︀. 𝜇𝐻 Ù 𝑐 Ñ,𝐷 Ù 𝜀𝐸ÑÙ Ñ относятся к тензору 𝐹 , а векЗамечание: Учтем, что векторы 𝐸Ñ и 𝐵 𝑖𝑘 Ñ Ñ торы 𝐷 и 𝐻 составляют компоненты тензора 𝑄𝑖𝑘 . Ñ а 𝐷 Ñ и 𝐻 Ñ выразим Выберем в качестве "независимых"векторы 𝐸Ñ и 𝐵, Ñ 𝐷 Ñ 𝐸, Ñ 𝐵 Ñ , 𝐻 Ñ Ñ 𝐸, Ñ 𝐵 Ñ . через них: 𝐷 𝐻 Ñ 𝐸, 1) Вычислим компоненты 𝐷 Ù Ñ 𝐵Ñ , выразив 𝐻Ñ Ù из второго уравнения системы: Ñ 𝐵 1 Ù 1 Ñ Ñ ⌋︀. 𝐻 Ù 𝜇 𝜇𝑐 (︀𝑉Ñ , 𝐸ÑÙ⌋︀ 𝑐 (︀𝑉Ñ , 𝐷 Ù Выполнив подстановку в первое уравнение системы, получим: Ñ 𝐷 Ù Ñ 𝐷 Ù 1 Ñ Ñ 1 Ñ Ñ Ñ 1 Ñ Ñ Ñ )︀𝑉 , (︀𝑉 , 𝐸Ù ⌋︀⌈︀ )︀𝑉 , (︀𝑉 , 𝐷Ù ⌋︀⌈︀ (︀𝑉 , 𝐵Ù ⌋︀ 𝜇𝑐 𝜇𝑐2 𝑐2 𝜀𝐸ÑÙ 1 Ñ Ñ 1 Ñ Ñ Ñ 1 Ñ Ñ Ñ Ñ 𝑉 2 𝑉 Ñ 𝑉 2 𝑉 𝑉 , 𝐸Ù 𝐸 (︀𝑉 , 𝐵Ù ⌋︀ 𝑉 , 𝐷Ù 𝐷 Ù Ù 2 2 𝜇𝑐 𝜇𝑐 𝑐 Ñ,𝐸 Ñ 𝑉 Ù 1 Ñ Ñ (︀𝑉 , 𝐵Ù ⌋︀, 𝑐 𝜀𝐸ÑÙ Ñ равны нулю, так как векторы ортогональны. и 𝑉Ñ , 𝐷 Ù 118 1 Ñ Ñ (︀𝑉 , 𝐵Ù ⌋︀, 𝑐 Сгруппируем слагаемые: Ñ 1 𝐷 Ù 𝑉2 1 Ñ Ñ 𝑉2 Ñ (︀𝑉 , 𝐵Ù ⌋︀ 𝐸Ù 𝑐2 𝜇𝑐 𝜇𝑐2 Ñ 1 𝐷 Ù 𝑉2 𝑐2 𝜀𝐸ÑÙ 1 𝑉 𝑐 , 𝑛2 𝜀𝜇. Обозначим: 𝛽 𝜀 Ñ 𝐷 Ù 1 𝛽2 Ñ 1 𝐸 Ù 𝜀𝐸ÑÙ 1 Ñ Ñ (︀𝑉 , 𝐵Ù ⌋︀, 𝑐 Ñ ⌋︀ 𝑉2 1 (︀𝑉Ñ , 𝐵 Ù (︀, 1 2 𝜀𝜇𝑐 𝜇𝜀 𝑐 Ñ ⌋︀ 𝛽2 1 (︀𝑉Ñ , 𝐵 Ù (︀. 1 𝑛2 𝑛2 𝑐 Ñ 𝐸, Ñ из первого уравнения системы: 2) Вычислим 𝐻 Ù Ñ 𝐵Ñ , исключив 𝐷 Ù Ñ 𝐷 Ù 𝜀𝐸ÑÙ 1 Ñ Ñ 1 Ñ Ñ (︀𝑉 , 𝐵Ù ⌋︀ (︀𝑉 , 𝐻Ù ⌋︀. 𝑐 𝑐 Выполним подстановку во второе уравнение системы: 1 Ñ Ñ 1 Ñ 𝐵Ù (︀𝑉 , 𝐸Ù ⌋︀ 𝜇 𝑐 Ñ 𝐻 Ù 𝜀 Ñ Ñ 1 Ñ Ñ Ñ 1 Ñ ⌋︀⌈︀. (︀𝑉 , 𝐸Ù ⌋︀ )︀𝑉 , (︀𝑉 , 𝐵Ù ⌋︀⌈︀ 2 )︀𝑉Ñ , (︀𝑉Ñ , 𝐻 Ù 𝑐 𝑐 𝑐 Выполним преобразование: 1 Ñ 1 Ñ Ñ 𝐵Ù (︀𝑉 , 𝐸Ù ⌋︀ 𝜇 𝑐 Ñ 𝐻 Ù 1 Ñ Ñ Ñ 𝜀 Ñ Ñ 𝜀 Ñ Ñ Ñ Ñ 𝑉 2 𝑉 Ñ 𝑉 2 . (︀𝑉 , 𝐸Ù ⌋︀ 𝑉 𝑉 , 𝐵Ù 𝐵 𝑉 , 𝐻Ù 𝐻 Ù Ù 2 𝑐 𝑐 𝑐2 Ñ,𝐵 Ñ 𝑉 Ù Ñ равны нулю, так как векторы ортогональны. и 𝑉Ñ , 𝐻 Ù Сгруппируем слагаемые: 1 Ñ 1 Ñ Ñ 𝐵Ù (︀𝑉 , 𝐸Ù ⌋︀ 𝜇 𝑐 Ñ 1 𝐻 Ù 𝑉2 𝜀 Ñ Ñ 𝜀𝑉 2 Ñ (︀𝑉 , 𝐸Ù ⌋︀ 𝐵Ù . 𝑐2 𝑐 𝑐2 Тогда получим: Ñ 1 𝐻 Ù Ñ 𝐻 Ù Ñ 𝐻 Ù 1 Ñ 1 Ñ Ñ 𝜇𝜀 Ñ Ñ 𝜇𝜀𝑉 2 Ñ 𝐵Ù (︀𝑉 , 𝐸Ù ⌋︀ (︀𝑉 , 𝐸Ù ⌋︀ 𝐵Ù (︀, 𝜇 𝑐 𝑐 𝑐2 𝑉2 𝑐2 1 2 𝜇1 𝑉𝑐2 Ñ 1 𝐵 Ù 1 𝜇1 𝛽 2 Ñ,𝐸 Ñ ⌋︀ 𝜇𝜀𝑉 2 (︀𝑉 Ù (︀, 1 𝜇𝜀 2 𝑐 𝑐 Ñ 1 𝑛2 𝛽 2 1 𝑛2 𝐵 Ù 119 Ñ,𝐸 Ñ ⌋︀ (︀𝑉 Ù 𝑐 (︀. Материальные уравнения в движущемся веществе: 𝜀 Ñ 𝐷 Ù 1 𝛽2 1 Ñ 𝐻 Ù 𝜇1 𝛽 2 Ñ Замечание: 𝐷 Ñ ⌋︀ 𝛽2 1 (︀𝑉Ñ , 𝐵 Ù (︀, 1 2 2 𝑛 𝑛 𝑐 Ñ 1 𝐸 Ù Ñ 1 𝑛2 𝛽 2 1 𝑛2 𝐵 Ù Ñ 𝐸, Ñ 𝐵 Ñ , 𝐻 Ñ 𝐷 Ñ,𝐸 Ñ ⌋︀ (︀𝑉 Ù 𝑐 (︀. Ñ 𝐵, Ñ 𝐸 Ñ . 𝐻 3.15. Материальные уравнения для движущихся проводников. 𝐾 𝑦 В системе отсчета 𝐾 : Ñ𝑗 𝜎 𝐸Ñ , и проводник не заряжен: 𝜌 0. Получим Ñ 𝐵 Ñ . материальное уравнение: Ñ𝑗 Ñ𝑗 𝐸, 1) Воспользуемся законом преобразования четырехвектора плотности тока при преобразовании Лоренца. 𝑦’ 𝐾′ 𝑉 𝑗Ԧ 𝑥 𝑥′ 𝜌 𝜌 𝑐𝑉2 𝑗𝑥 ⌈︂ 1 𝛽2 Обобщим выражение, используя обозначения 𝜌 Ñ ,Ñ 𝑉 𝑗Õ ⌈︂ 𝜌 𝑐2 1 𝛽2 Ñ 𝑗 𝑗𝑥 𝜌 𝑉 ⌈︂ , 𝑗𝑥 1 𝛽2 , 𝑗𝑦 𝑗𝑦 , 𝑗𝑧 Õ Õ 𝑉Ñ , Ù Ù 𝑉Ñ . Тогда: 𝜌 𝑉Ñ Õ , 𝑗Õ ⌈︂ , Ñ𝑗Ù Ñ𝑗Ù . 2 1𝛽 2) Воспользуемся материальным соотношением в системе 𝐾 : Ñ𝑗 Кроме того 𝜌 0. Тогда: 𝜌 𝜎 𝑉Ñ , 𝐸ÑÕ ⌈︂ 𝑐2 1 𝛽 𝑗𝑧 . 𝜎 𝐸ÑÕ , 𝑗Õ 2 ⌈︂ 1𝛽 , Ñ𝑗Ù 2 𝜎 𝐸Ñ . 𝜎 𝐸ÑÙ . Выразим компоненты поля в системе отсчёта 𝐾 через компоненты поля в системе 𝐾: Ñ ⌋︀ 𝐸ÑÙ 1𝑐 (︀𝑉Ñ , 𝐵 Ñ Ñ Ñ ⌈︂ 𝐸Õ 𝐸Õ , 𝐸Ù . 1 𝛽2 Кроме того: 𝑉Ñ , 𝐸ÑÕ 𝜌 Ñ,𝐸 Ñ 𝑉 Õ 𝜎 𝑉Ñ , 𝐸Ñ ⌈︂ 𝑐2 1 𝛽 2 , 𝑗Õ Ñ,𝐸 Ñ . 𝑉 𝜎 𝐸ÑÕ ⌈︂ 1 𝛽2 120 , Выполним подстановку: Ñ 𝑗Ù Ñ ⌋︀ 𝜎 𝐸ÑÙ 1𝑐 (︀𝑉Ñ , 𝐵 ⌈︂ 1 𝛽2 ; 𝜌 2 𝑉 𝑐2 𝜎 𝑉Ñ , 𝐸Ñ ⌈︂ 𝑐2 1 𝛽 2 Ñ 𝑗 , Ñ ⌋︀ 𝜎 𝐸Ñ 1𝑐 (︀𝑉Ñ , 𝐵 𝑗Õ 𝑗Ù ⌈︂ 1 𝛽2 . Замечание: Как правило, движение нерелятивистское, поэтому 𝛽 2 ⌈︂ P 1, 1 𝛽 2 1. Тогда материальные уравнения движения проводника примут вид: 𝜌 0, Ñ𝑗 𝜎 𝐸Ñ 1 Ñ Ñ (︀𝑉 , 𝐵 ⌋︀(︀. 𝑐 3.16. Основные уравнения магнитной гидродинамики идеально проводящей жидкости. Исследуем движение идеальной жидкости с высокой проводимостью 𝜎 ª в электромагнитном поле. Состояние идеальной жидкости можно задать, определив 𝑣Ñ 𝑣ÑÑ 𝑟 , 𝑡 , 𝑝 𝑝Ñ 𝑟, 𝑡, 𝜏 𝜏 Ñ 𝑟 , 𝑡 . А. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости. 1) Уравнение неразрывности. 𝑑𝑚 𝑑𝑡 0 𝜕𝜏 𝜕𝑡 div𝜏 𝑣Ñ 0, где 𝜏 плотность. 2) Уравнение движения. 𝑑𝑃Ñ 𝑑𝑡 𝐹Ñ 𝜏 𝜕 𝑣Ñ 𝜕𝑡 Ñ 𝑝 𝑓Ñ, © где 𝑓Ñ плотность силы. Здесь используется субстанциональная (конвективная) производная: 𝑑 𝑑𝑡 𝜕 Ñ . Ñ 𝑣, © 𝜕𝑡 3) Уравнение состояния. 𝑝 𝑝𝜏, 𝐸𝑥𝑝, где 𝐸𝑥𝑝 внешние условия. Б. Уравнения электродинамики. Ограничения: 121 1) Плотность тока смещения много меньше плотности тока проводимости. Ñ 1 𝜕𝐷 ⋃︀Ñ 𝑗смещ ⋃︀ ⋁︀ ⋁︀ P ⋃︀Ñ 𝑗 ⋃︀. 4𝜋 𝜕𝑡 2) Жидкость незаряжена: 𝜌 0. 3) Движение нерелятивистское: )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ ⋃︀𝑣 ⋃︀ 𝑐 P 1. Ñ 𝑐 4𝜋 Ñ 1 𝜕 𝐷 Ñ Ñ 𝑗 , 𝑗 rot 𝐻, 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 4𝜋 Ñ 1 𝜕𝐵 , rot 𝐸Ñ 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 4𝜋𝜌, Ñ 0 div 𝐷 div 𝐷 Ñ rot 𝐻 Ñ div 𝐵 0. В. Материальные уравнения. Ñ 𝐵 Будем считать, что 𝜎 Ñ 𝐻 Ñ , Ñ 𝐵 𝑗 ª 𝜎 𝐸Ñ 1 Ñ ⌋︀(︀. (︀Ñ 𝑣, 𝐵 𝑐 , при этом Ñ𝑗 остается конечной величиной. Ñ 𝑗 𝐸Ñ 𝜎 1 Ñ ⌋︀ (︀Ñ 𝑣, 𝐵 𝑐 0. Условие может быть выполнено, если 𝐸Ñ 1 Ñ ⌋︀. (︀Ñ 𝑣, 𝐵 𝑐 Уравнения электромагнитного поля примут вид: )︀ Ñ 𝜕𝐵 ⌉︀ ⌉︀ Ñ ⌋︀ ⌉︀ rot (︀Ñ 𝑣 , 𝐵 , ⌉︀ 𝜕𝑡 ⌋︀ 𝑐 ⌉︀ ⌉︀ Ñ Ñ ⌉︀ rot 𝐻. 𝑗 ⌉︀ ]︀ 4𝜋 Г. Плотность силы, действующей на жидкость. 1 Ñ Ñ (︀𝑗, 𝐵 ⌋︀. 𝑐 Подставив полученную ранее Ñ𝑗, получим: 𝑓Ñ 𝜌𝐸Ñ 𝑓Ñ 1 Ñ Ñ ⌋︀. (︀𝐵, rot 𝐻 4𝜋 122 Д. Уравнения магнитной гидродинамики. Итак, выпишем уравнения магнитной гидродинамики: )︀ 𝜕𝜏 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ 0, div 𝜏 𝑣 ⌉︀ ⌉︀ 𝜕𝑡 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝜕 𝑣Ñ 1 Ñ ⌉︀ ⌉︀ Ñ ⌋︀, Ñ𝑝 ⌉︀ 𝜏 © (︀𝐵, rot 𝐻 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝜕𝑡 4𝜋 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ ⌉︀ 𝜕𝐵 ⌋︀ rot(︀Ñ Ñ ⌋︀ , 𝑣 , 𝐵 ⌉︀ ⌉︀ 𝜕𝑡 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ 0, ⌉︀ div 𝐵 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ 𝐵 Ñ 𝐻 Ñ , ⌉︀ 𝐵 ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ 𝑝 𝑝𝜏 . ⌉︀ ]︀ 1 уравнение, 3 уравнения, 3 уравнения, 1 уравнение, 3 уравнения, 1 уравнение, 12 уравнений на 11 переменных. Кроме того, третье и четвертое уравнения зависимы. Таким образом, система замкнута. Следствия: 𝑐 1 Ñ ⌋︀, Ñ Ñ 𝑣, 𝐵 𝑗 rot 𝐻. 𝐸Ñ (︀Ñ 𝑐 4𝜋 3.17. "Вмораживание"магнитного поля в движущийся идеальный проводник. А. Уравнение динамики силовых линий. Ñ Получим уравнение, описывающее динамику силовых линий. 𝐵 )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ ⌋︀ rot(︀Ñ 𝑣, 𝐵 𝜕𝜏 𝜕𝑡 Ñ 𝜕𝐵 , 𝜕𝑡 div𝜏 𝑣Ñ 0, Учтем, что выполняется соотношение: Ñ ⌋︀ rot(︀Ñ 𝑣, 𝐵 Ñ Учтем, что div 𝐵 Ñ 𝐵 Ñ div 𝑣 Ñ © Ñ Ñ Ñ Ñ 𝐵. Ñ 𝐵, 𝑣Ñ div 𝐵 𝑣 Ñ 𝑣, © 0. После подстановки получим: )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ 𝜕𝐵 Ñ © Ñ 𝐵 Ñ div 𝑣 Ñ Ñ Ñ 𝐵 Ñ, 𝐵, 𝑣 Ñ 𝑣, © 𝜕𝑡 𝜕𝜏 Ñ 𝜏, 𝑣 Ñ 𝜏 divÑ © 𝑣 0. 𝜕𝑡 123 Ñ Ñ 𝐵 𝑟 , 𝑡 . Исключим div 𝑣Ñ из второго уравнения и подставим в первое: Ñ 𝜕𝐵 𝜕𝑡 Ñ © Ñ Ñ Ñ Ñ 𝐵 𝐵, 𝑣 Ñ 𝑣, © Ñ 𝜕𝜏 𝐵 ⌊︀ 𝜏 𝜕𝑡 Ñ 𝜏 }︀. Ñ 𝑣, © Разделим выражение на плотность 𝜏 и сгруппируем слагаемые: ⌊︀ Ñ 1 𝜕𝐵 𝜏 𝜕𝑡 Ñ 𝜕𝜏 Ñ 1 𝐵 𝐵 Ñ Ñ 𝐵 Ñ 𝜏 }︀ }︀ ⌊︀ Ñ 𝑣 , © Ñ 𝑣, © 𝜏 2 𝜕𝑡 𝜏 𝜏2 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂)︂ Ñ 𝐵 Ñ𝑣 Ñ. ,© 𝜏 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ )︂ Ñ Ñ 𝑣 ,© 𝜏 Ñ 𝐵 Ñ 𝜕 𝐵 𝜕𝑡 𝜏 Тогда получим: Ñ Ñ 𝜕 𝐵 𝐵 Ñ Ñ 𝑣 , © 𝜕𝑡 𝜏 𝜏 Учтем, что Ñ 𝐵 𝜏 𝑑 𝑑𝑡 𝜕 Ñ . 𝑣, © 𝜕𝑡 Ñ Ñ 𝐵 Ñ Ñ ,© 𝑣. 𝜏 В итоге получим уравнение движения вектора : Ñ 𝑑 𝐵 𝑑𝑡 𝜏 Ñ 𝐵 Ñ Ñ ,© 𝑣. 𝜏 Б. Аналогия с гидродинамикой. Исследуем закон изменения вектора Ñ 𝑙𝑡: 𝑦 1′ Ԧ + ∆𝑡) 𝑙(t Ԧ 𝑣( Ԧ 𝑟Ԧ +𝑙)∆𝑡 𝑣( Ԧ 𝑟)∆𝑡 Ԧ Ԧ 𝑙(t) 1 2 𝑟Ԧ Ԧ 𝑟Ԧ + 𝑙(t) 2′ 𝑑Ñ𝑙 𝑑𝑡 lim Δ𝑡 0 Ñ 𝑙𝑡 ∆𝑡 Ñ𝑙𝑡 ∆𝑡 . Из рисунка следует, что: Ñ 𝑙𝑡 ∆𝑡 Ñ 𝑙𝑡 𝑣ÑÑ 𝑟 Ñ𝑙∆𝑡 𝑣ÑÑ 𝑟∆𝑡. Будем считать, что Ñ𝑙 и ∆𝑡 - малые величины. Тогда: 𝑥 1 Ñ Ñ Ñ 2 𝑣 ÑÑ 𝑣ÑÑ 𝑟 Ñ𝑙 𝑣ÑÑ 𝑟 Ñ𝑙, © 𝑣 Ñ 𝑟 Ñ𝑙, © 𝑟 . . . . 2 Ограничимся линейным слагаемым. Тогда после подстановки разложения получим: Ñ 𝑙𝑡 ∆𝑡 Ñ Ñ Ñ 𝑙𝑡 )︀Ñ 𝑣 Ñ 𝑟 Ñ𝑙, © 𝑣 Ñ 𝑟 . . . ⌈︀∆𝑡 𝑣ÑÑ 𝑟∆𝑡 После подстановки в исходное выражение: 𝑑Ñ𝑙 Ñ Ñ Ñ𝑙, © 𝑣. 𝑑𝑡 124 Ñ Ñ Ñ 𝑙𝑡 Ñ𝑙, © 𝑣 Ñ 𝑟∆𝑡 . . . . Кроме того, вспомним полученное ранее: Ñ 𝑑 𝐵 𝑑𝑡 𝜏 Ñ 𝐵 Ñ Ñ ,© 𝑣. 𝜏 Ñ Таким образом, векторы Ñ𝑙 и 𝐵𝜏 удовлетворяют одинаковым уравнениям движения. Если в начальный момент времени две частицы находились на одной Ñ силовой линии магнитного поля Ñ𝑙0 𝜂 𝐵𝜏 00 , где 𝜂 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, то и в дальнейшем движении они будут оставаться на той же силовой линии магнитного Ñ поля: ¦𝑡 Ñ𝑙𝑡 𝜂 𝐵𝜏 𝑡𝑡 . 3.18. Дисперсия диэлектрической проницаемости для разреженных газов и молекул. А. Дисперсия диэлектрической проницаемости. Вообще говоря, в общем случае: Ñ Ñ 𝐷 𝑟, 𝑡 x 𝜀𝐸Ñ Ñ 𝑟, 𝑡. Ñ отстоит по фазе относительно вектора 𝐸. Ñ Колебание вектора 𝐷 Ñ Ñ 𝐷 𝑟 , 𝑡 𝐸Ñ Ñ 𝑟, 𝑡 4𝜋 𝑑𝑉 ª 𝑑𝑡 𝐺Ñ 𝑟, 𝑡, 𝑟Ñ , 𝑡𝐸Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 𝐸Ñ Ñ 𝑟, 𝑡 4𝜋 𝑃Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 . 𝑡 Ñ Ñ Выполним разложение 𝐷 𝑟, 𝑡 в интеграл Фурье. Ñ Ñ 𝐷 𝑟 , 𝑡 1 4 2𝜋 𝑑𝑘Ñ Ñ 𝑒𝑖 Ñ 𝜔, 𝑘 𝑑𝜔 𝐷 Ñ𝑟 𝜔𝑡𝑘, Ñ . Ñ 𝜀𝜔, 𝑘 Ñ 𝐸 Ñ , где 𝜀𝜔, 𝑘 Ñ - комплексная Ñ 𝜔, 𝑘 Ñ 𝜔, 𝑘 Определение: Пусть 𝐷 диэлектрическая проницаемость. Замечание: Если проницаемость зависит только от частоты, то говорят о временной (частотной) дисперсии. Если же 𝜀 𝜀𝑘Ñ - говорят о пространственной дисперсии. Б. Диэлектрическая проницаемость разреженного газа одноэлектронных газов. Пусть 𝑎 - характерное расстояние между атомами: 𝑎 P 𝜆. Опишем движение одного атома в поле волны. 125 Ñ 𝑡 𝑅 Ñ - смещение электрона из положения равновесия. 𝑅 0 Пусть 𝑟Ñ𝑡 Ñ 𝑡 𝐸Ñ 𝑅, 𝐸Ñ𝑤 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑅 𝐸Ñ𝑤 𝑒𝑖𝑘,𝑅0 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑟Ñ 𝐸Ñ0 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑟Ñ . Ñ 𝑅, Ñ 𝑡 𝐻 Ñ 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑅 𝐻 𝑤 Ñ 𝑒𝑖𝑘,𝑅0 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑟Ñ 𝐻 𝑤 Ñ 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑟Ñ . 𝐻 0 Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Атомы среды поляризуются, приобретая электрический дипольный момент 𝑑Ñ𝑡 𝑒𝑟Ñ𝑡. 𝑅 Если газ разряжен, и движение атома в поле 𝑟(𝑡) Ԧ волны не влияет на движение других атомов, 𝑅0 то электрический дипольный момент единицы объема вещества будет равен: 𝑃Ñ 𝑡 𝑁 𝑑Ñ𝑡 𝑁 𝑒𝑟Ñ𝑡, где 𝑁 - число атомов в единице объема. Опишем движение электрона в поле волны, воспользовавшись осцилляторным приближением: 𝑒𝑚 𝑚𝑟Ñ̈ 𝑚𝛾 𝑟Ñ̇ 𝑚𝜔02 𝑟Ñ 𝐹Ñл 𝑒𝐸Ñ 𝑒 Ñ ⌋︀. Ñ̇ 𝐻 (︀𝑟, 𝑐 В этом выражении: Ñ 𝑡 𝐸Ñ 𝑅, Ñ 𝑅, Ñ 𝑡 𝐸Ñ0 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑟Ñ , 𝐻 Ñ 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑟Ñ . 𝐻 0 Ñ Ñ Ограничения: 1) Пусть ⋃︀𝑟Ñ̇⋃︀ P 𝑐, тогда: Ñ ⌋︀⋃︀ Ñ̇ 𝐻 Ñ̇⋃︀ ⋃︀𝑟 1 ⋃︀(︀𝑟, P 1. 𝑐 ⋃︀𝐸Ñ ⋃︀ 𝑐 Ñ ⋃︀ для электромагнитной волны в вакууме. Здесь учтено, что ⋃︀𝐸Ñ ⋃︀ ⋃︀𝐻 ⋃︀Ñ 𝑟⋃︀ Ñ Ñ 𝑟 Ñ 𝜆 P 1, 𝑒𝑖𝑘,𝑟Ñ 1. 2) Пусть ⋃︀Ñ 𝑟⋃︀ P 𝑎 P 𝜆, тогда 𝑘, Уравнение примет вид: 𝑟Ñ̈ 𝛾 𝑟Ñ̇ 𝜔02 𝑟Ñ 𝑒 Ñ 𝑖𝜔𝑡 𝐸0 𝑒 . 𝑚 Обычно решение неоднородного уравнения ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: 𝑟Ñ𝑡 𝑟Ñобщ.одн 𝑟Ñнеодн . Однако в данном случае так определить решение невозможно. Учтем, 𝛾 что ⋃︀Ñ 𝑟одн ⋃︀ 𝑒 2 𝑡 0, при 𝑡 Q 𝛾1 108 с. Тогда: 𝑟Ñ𝑡 𝑟Ñнеодн . Будем искать решение в виде: 𝑟Ñ𝑡 R𝑒𝑖𝜔𝑡 , где R 126 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Тогда после подстановки получим: 𝑒 Ñ 𝑖𝜔𝑡 𝐸0 𝑒 , 𝑚 R)︀𝜔02 𝜔 2 𝑖𝛾𝜔 ⌈︀𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑒 Ñ 𝑚 𝐸0 . )︀𝜔02 𝜔 2 𝑖𝛾𝜔 ⌈︀ R Тогда получим: 𝑟Ñ𝑡 𝑒 Ñ 𝑖𝜔𝑡 𝑚 𝐸0 𝑒 )︀𝜔02 𝜔 2 𝑖𝛾𝜔 ⌈︀ R𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑒 Ñ 𝑚𝐸 . )︀𝜔02 𝜔 2 𝑖𝛾𝜔 ⌈︀ . Для монохроматической волны в изотропной среде материальное уравнения имеет вид: Ñ 𝑡 𝐷 𝐸Ñ 𝑡 4𝜋𝑁 𝑑Ñ𝑡 𝐸Ñ 𝑡 4𝜋 𝑃Ñ 𝑡 𝐸Ñ 𝑡 4𝜋𝑁 𝑒𝑟Ñ𝑡 𝜀𝜔 𝐸Ñ 𝑡. Выполним подстановку 𝑟Ñ𝑡, получим: Ñ 𝑡 )︀𝜀𝜔 1⌈︀𝐸 4𝜋𝑁 𝑒𝑟Ñ𝑡 4𝜋𝑁 𝑒2 Ñ 𝑚 𝐸 . 𝜔02 𝜔 2 𝑖𝛾𝜔 Так как это выполняется для любого 𝐸Ñ 𝑡 и для любого 𝑡, то 𝜀𝜔 𝜔𝑝2 1 4𝜋𝑁 𝑒2 𝑚 𝜀𝜔 4𝜋𝑁 𝑒2 𝑚 2 𝜔0 𝜔 2 𝑖𝛾𝜔 𝜔𝑝2 1 2 . 𝜔0 𝜔 2 𝑖𝛾𝜔 плазменная частот Ленгмюра. 𝜔𝑝2 1 2 𝜔0 𝜔 2 𝑖𝛾𝜔 𝜀 𝜔 𝑖𝜀 𝜔 . Здесь вещественная и мнимая части комплексной диэлектрической проницаемости: 𝜀 𝜔 𝜔𝑝2 𝜔02 𝜔 2 1 2 , 𝜀 𝜔 2 2 2 2 𝜔0 𝜔 𝛾 𝜔 𝜔𝑝2 𝛾𝜔 . 𝜔02 𝜔 2 2 𝛾 2 𝜔 2 Замечание: 𝜀 𝜔 𝜀 𝜔 - четная функция. 𝜀 𝜔 𝜀 𝜔 - нечетная функция. а) 𝐼, 𝐼𝐼𝐼 - области прозрачного вещества. (𝜀 - мало). Это области нор мальной дисперсии 𝜕𝜀 𝜕𝜔 A 0. б) 𝐼𝐼 - область поглощения. (𝜀 - велико). Это области аномальной дисперсии 𝜕𝜀 𝜕𝜔 @ 0. 127 ε′(ω) ε′(0) 1 𝐼 ε′′(ω) 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 ω2𝑝 ~1 − 2 ω ω ~ ~ω 1 ω3 ω 3.19. Дисперсия диэлектрической проницаемости для полностью ионизированных газов. Рассмотрим движение электрона в полностью ионизированном газе под действием поля монохроматической волны. ⌉︂ 𝑘𝑇 Если расстояния между заряженными частицами 𝑎 Q 𝑟𝐷 4𝜋𝑁 𝑒 , где 𝑟𝐷 - радиус Дебая, то можно считать, что электрон движется только под действием внешнего поля: 𝜔0 0 (свободный электрон). 𝑚𝑟Ñ̈ 𝑚𝛾 𝑟Ñ̇ 𝑒𝐸Ñ 𝜀 𝜔 1 𝜔𝑝2 𝑒 Ñ ⌋︀, Ñ̇ 𝐻 (︀𝑟, 𝑐 , 𝜀 𝜔 2 2 𝜔 𝛾 𝜔𝑝2 𝛾 . 𝜔 𝜔 2 𝛾 2 ε′(ω) 1 ε′(0) ε′′(ω) ω2𝑝 ~1 − 2 ω ω γ ω2𝑝 − γ2 ~ 1 ω3 ω ω2𝑝 − γ2 128 1) Если 𝜔𝑝2 @ 𝜔 2 𝛾 2 , тогда 𝜀 𝜔 A 0, возможно распространение поперечных электромагнитных волн. 2) Если 𝜔𝑝2 𝜔 2 𝛾 2 , тогда 𝜀 𝜔 0, возможно распространение только продольных электромагнитных волн. ⌋︂ 3) Если 𝜔𝑝2 A 𝜔 2 𝛾 2 , тогда 𝜀 𝜔 @ 0, поэтому 𝑛 𝜇𝜀 - мнимый. Распространение электромагнитных волн невозможно (происходит отражение волн от плазмы). Примеры: а) Концентрация ионизированных электронов увеличивается с высотой (ионосфера). ω𝑝 =ω Плазменная частота 𝜔𝑝 зависит от числа ионизованных атомов, так что она тоже растет с высотой. В некоторый момент 𝜔𝑝 𝜔, тогда излучение отражается. б) Резонатор Шумана. Пространство межприемник передатчик ду ионосферой и Землей является оптическим резонатором. В нем образуются стоячие электромагнитные волны. Предполагается, что основной причиной образования этих волн являются грозы (разряды молнии). 3) Можно расчитывать расстояние до пульсара. С распространением излучения в ионизованной космической плазме связана задержка времени прихода импульсов на разных частотах. ∆𝑡 𝐿 Здесь 𝐷𝑀 𝑘𝐷𝑀 1 𝜔12 1 . 𝜔12 𝑁 𝑒𝑑𝑙 - dispersion measure (мера дисперсии). 0 3.20. Физический смысл мнимой части комплексной диэлектрической проницаемости. Утверждение: Если 𝜀 x 0, то среда поглощает энергию электромагнитного поля или переводит энергию возбуждения, запасённую в веществе, в энергию электромагнитного поля. Вычислим поток энергии Φ𝜀 плоской элек𝑉 тромагнитной волны через поверхность, ограничивающую вещество: ρ=0 Ñ 𝜎 , 𝑑𝑆Ñ Φ𝜀 𝑆 𝑗Ԧ = 0 Ñ 𝑑𝑉. div 𝜎 𝑉 129 d𝑆Ԧ 𝑛 0 и Ñ𝑗 При условии, что 𝜌 0 из закона сохранения энергии следует: Ñ Ñ 1 𝜕𝐷 𝜕𝐵 Ñ Ñ 𝐸, 𝐻, (︀ 4𝜋 𝜕𝑡 𝜕𝑡 div 𝜎. Тогда получим: 1 4𝜋 Φ𝜀 Ñ 𝑑𝑉 𝐸, Ñ Ñ 𝜕𝐷 𝜕𝐵 Ñ 𝐻, (︀. 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝑉 Пусть исполняются материальные уравнения: Ñ 𝐷 Ñ 𝐵 Ñ 𝜀𝐸, Ñ 𝜇 𝐻, 1. Ñ 𝐻 Ñ поля монохроматической электромагнитной волны. Здесь 𝐸, Ñ Ñ 𝐸Ñ0 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑟Ñ , 𝐻 𝑟 , 𝑡 Ñ 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑟Ñ . 𝐻 0 Ñ 𝐸Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 Ñ Выражение для Φ𝜀 квадратично по компонентам поля, поэтому перед подстановкой предварительно выделим вещественную часть: Ñ 𝐷 Ñ 𝐷 Ñ , Re 𝐻 2 𝐸Ñ 𝐸Ñ Ñ , Re 𝐷 2 Re 𝐸Ñ Ñ 𝐻 Ñ 𝐻 . 2 Тогда получим: 1 4𝜋 Φ𝜀 Ñ 𝑑𝑉 Re 𝐸, Ñ Ñ 𝜕 Re 𝐷 𝜕 Re 𝐵 Ñ Re 𝐻, (︀, 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝑉 Ñ Ñ 𝜕𝐷 𝜕𝐷 Ñ 𝑖𝜔 𝐷, 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Подставив получим: Φ𝜀 𝑖𝜔 16𝜋 Ñ , 𝑖𝜔 𝐷 Ñ 𝜕𝐻 𝜕𝑡 Ñ 𝑖𝜔 𝐻, Ñ 𝜕𝐻 𝜕𝑡 Ñ . 𝑖𝜔 𝐻 Ñ 𝐷 Ñ 𝐻 Ñ 𝐻 Ñ , 𝐻 Ñ 𝐻 Ñ . 𝑑𝑉 𝐸Ñ 𝐸Ñ , 𝐷 𝑉 Ñ Учтём материальное уравнение 𝐷 Φ𝜀 𝑖𝜔 16𝜋 Ñ 𝐷 Ñ 𝜀𝐸, 𝜀 𝐸Ñ , тогда: Ñ2 𝐻 Ñ 2 , 𝑑𝑉 𝐸Ñ 𝐸Ñ , 𝜀𝐸Ñ 𝜀 𝐸Ñ 𝐻 𝑉 Φ𝜀 𝑖𝜔 16𝜋 Ñ 𝐸 Ñ 𝐻 Ñ2 𝐻 Ñ 2 . 𝑑𝑉 𝜀𝐸Ñ 2 𝜀 𝐸Ñ 2 𝜀 𝜀 𝐸, 𝑉 130 Выполним усреднение потока Φ𝜀 по периоду электромагнитной волны. 1 @ Φ𝜀 A 𝑇 𝑇 2𝜋 . 𝜔 𝑑𝑡Φ𝜀 𝑡, где 𝑇 0 Ñ 𝐻 Ñ 𝑒𝑖𝜔𝑡 ; 𝐸 Ñ , 𝐻 Ñ 𝑒𝑖𝜔𝑡 ; 𝐸 Ñ 2, 𝐻 Ñ 2 𝑒2𝑖𝜔𝑡 ; 𝐸 Ñ 2 , 𝐻 Ñ 2 𝑒2𝑖𝜔𝑡 . Учтем, что 𝐸, Ñ 2 A 0, @ 𝐻 Ñ 2 A 0. Кроме того: Тогда: @ 𝐸Ñ 2 A 0, @ 𝐸Ñ 2 A 0, @ 𝐻 Ñ 𝐸 Ñ A @ 𝐸, 𝑇 1 𝑇 𝑇 𝑑𝑡𝐸Ñ0 , 𝐸Ñ0 𝑒𝑖0 Ñ ,𝐸 Ñ 𝐸 0 0 Ñ ⋃︀2 . ⋃︀𝐸 0 0 Тогда получим: 𝑖𝜔 @ Φ𝜀 A 𝜀 𝜀 16𝜋 𝑑𝑉 𝐸Ñ0 , 𝐸Ñ0 . 𝑉 Интеграл всегда больше нуля. Учтём, что 𝜀 𝜀 𝑖𝜀 , 𝜀 получим: 𝜔𝜀 𝑑𝑉 𝐸Ñ0 , 𝐸Ñ0 . @ Φ𝜀 A 8𝜋 𝜀 𝑖𝜀 . Тогда 𝑉 1) Если 𝜀 2) Если 𝜀 A 0, тогда @ Φ𝜀 A@ 0 и среда диссипирующая. @ 0, тогда @ Φ𝜀 AA 0 и среда антидиссипирующая. Замечание: tg 𝛿 𝜀 𝜀 - тангенс угла потерь. 3.21. Формулы Крамерса-Кронинга. А. Материальные уравнения на высоких частотах. Материальное уравнение должно иметь вид: ª Ñ Ñ 𝐷 𝑟 , 𝑡 𝐸Ñ Ñ 𝑟, 𝑡 4𝜋 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 𝐸Ñ Ñ 𝑟, 𝑡 𝜏 𝐸Ñ Ñ 𝑟, 𝑡 4𝜋 𝑃Ñ Ñ 𝑟 , 𝑡 . 0 Пусть 𝑓 𝜏 - вещественная, гладкая, ограниченная функция, убывающая при 𝜏 ª. ª. Для проводников Замечание: Для диэлектриков ⋃︀𝑓 𝜏 ⋃︀ 0 при 𝜏 ⋃︀𝑓 𝜏 ⋃︀ 4𝜋𝜎. Установим связь между 𝑓 𝜏 и комплексной диэлектрической проницаемости 𝜀𝜔 . Выполним разложение в интеграл Фурье: Ñ 𝑡 𝐷 1 2𝜋 ª Ñ 𝜔 𝑒𝑖𝜔𝑡 , 𝐸 Ñ 𝑡 𝑑𝜔 𝐷 ª 131 1 2𝜋 ª ª 𝑑𝜔 𝐸Ñ 𝜔 𝑒𝑖𝜔𝑡 . Ñ 𝜔 - Фурье-образы. Выполним подстановку в материальЗдесь 𝐸Ñ 𝜔 , 𝐷 ные уравнения: ª ª Ñ 𝜔 𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔 𝐷 𝑑𝜔 𝐸Ñ 𝜔 𝑒𝑖𝜔𝑡 4𝜋 ª 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 ª ª 0 ª ª ª Ñ 𝜔 𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔 𝐷 ª 𝑑𝜔 𝐸Ñ 𝜔 𝑒𝑖𝜔𝑡 4𝜋 ª ª 𝑑𝜔 𝐸Ñ 𝜔 𝑒𝑖𝜔𝑡𝜏 , ª 𝑑𝜔 𝐸Ñ 𝜔 𝑒𝑖𝜔𝑡 ª ª 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 𝑒𝑖𝜔𝜏 . 0 Выполним группировку слагаемых: ª ª Ñ 𝜔 ⌊︀1 4𝜋 𝑑𝜔 𝐷 ª 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 𝑒𝑖𝜔𝜏 }︀𝐸Ñ 𝜔 (︀𝑒𝑖𝜔𝑡 0. 0 В левой части выражения находится Фурье-образ. В силу единственности разложения в интеграл Фурье выражение в фигурной скобке обращается в ноль. Тогда: ª Ñ 𝜔 𝐷 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 𝑒𝑖𝜔𝜏 (︀𝐸Ñ 𝜔 . 1 4𝜋 0 Определение: Будем называть комплексной диэлектрической проницаемостью функцию 𝜀𝜔 , устанавливающую пропорциональность между ФурьеÑ 𝜔 и 𝐸 Ñ 𝜔 . образами 𝐷 ª Ñ 𝜔 𝐷 𝜀𝜔 𝐸Ñ 𝜔 , где 𝜀𝜔 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 𝑒𝑖𝜔𝜏 . 1 4𝜋 0 Здесь 𝑓 𝜏 - вещественная функция, 𝜀𝜔 - комплексная функция. Б. Аналитические свойства комплексной диэлектрической проницаемости. 1) 𝜀𝜔 𝜀 𝜔 𝑖𝜀 𝜔 ª 1 4𝜋 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 𝑒𝑖𝜔𝜏 , где 0 𝜀 𝜔 ª 1 4𝜋 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 cos 𝜔𝜏, 𝜀 𝜔 0 ª 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 sin 𝜔𝜏. 4𝜋 0 132 2) Исследуем аналитические свойства 𝜀 в комплексной плоскости: 𝜔 𝑧 𝑥 𝑖𝑦. ª 𝜀𝜔 𝜀𝑧 1 4𝜋 ª 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 𝑒𝑖𝑥𝑖𝑦𝜏 1 4𝜋 0 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 𝑒𝑖𝑥𝜏 𝑒𝑦𝜏 . 0 Следствия: а) Так как 𝑓 𝜏 - ограничена, то и интеграл сходится в верхней полуплоскости при 𝑦 A 0. б) Для диэлектриков 𝑓 𝜏 0 при 𝜏 ª и интеграл сходится на вещественной оси при 𝑦 0. Поэтому 𝜀𝑧 не имеет особенностей в верхней комплексной полуплоскости. 3) Симметрия в комплексной плоскости. 𝜀 𝑧 ª 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 𝑒 1 4𝜋 𝑖𝑧 𝜏 ª 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 𝑒𝑖𝑧𝜏 1 4𝜋 0 𝜀 𝑧 . 0 В частности 𝑧 𝑖𝑦, тогда 𝑧 𝑖𝑦 и 𝜀𝑖𝑦 𝜀 𝑖𝑦 . 4) В верхней полуплоскости (𝑦 A 0) при ⋃︀𝑧 ⋃︀ ª по любому пути: ⋃︀𝜀𝑧 1⋃︀ 0. ª 1 4𝜋 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 𝑒𝑖𝑥𝜏 𝑒𝑦𝜏 . Учтем, что 𝜀𝑧 0 а) Если ⋃︀𝑧 ⋃︀ ,𝑥 ª 𝑓 𝑖𝑥𝑒𝑑, 𝑦 ª , тогда: ª 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 𝑒𝑖𝑥𝜏 𝑒𝑦𝜏 ÐÐ 𝑦 ª 0. 0 В этом выражении 𝑓 𝜏 𝑒𝑖𝑥𝜏 - ограниченная функция. б)Если ⋃︀𝑧 ⋃︀ ª, 𝑦 𝑓 𝑖𝑥𝑒𝑑, 𝑥 ª, тогда: ª 𝑑𝜏 𝑓 𝜏 𝑒𝑦𝜏 𝑒𝑖𝑥𝜏 ÐÐ 𝑥 ª 0. 0 В этом выражении 𝑓 𝜏 𝑒𝑦𝜏 - ограниченная функция, а 𝑒𝑖𝑥𝜏 - быстро осциллирующая функция (положительные и отрицательные полупериоды обращают друг друга в ноль). 0 при ⋃︀𝑧 ⋃︀ ª в верхней полуплоскости, в Утверждение: ⋃︀𝜀𝑧 1⋃︀ том числе утверждение остаётся справедливо и на вещественной оси, но только для диэлектриков. 133 В. Формулы Крамерса-Кронига. Вычислим интеграл 𝐼 𝜔 по контуру Г в верхней полуплоскости. 𝜀𝑧 1 𝑑𝑧. 𝑧𝜔 𝐼 𝜔 Г Функция 𝜀𝑧 1 - аналитическая в верхней полуплоскости, поэтому подынтегральная функция не имеет полюсов внутри контура Г . Тогда по теореме о вычетах: 𝐼 𝜔 0. Поэтому: 𝐼 𝜔 0 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼4 , где 𝜔𝜌 𝐼1 𝑅 𝑅 𝐼3 𝜔 𝜌 𝜀𝑥 1 𝑑𝑥, 𝐼2 𝑥𝜔 𝜀𝑥 1 𝑑𝑥, 𝐼4 𝑥𝜔 𝐶𝑅 𝐶ρ 𝜀𝑧 1 𝑑𝑧. 𝑧𝜔 ρ ω−ρω ω+ρ 𝜀𝑧 1 𝑑𝑧. 𝑧𝜔 𝐶𝑅 ª , так как его аргумент убывает быстрее, чем . ⋃︀𝑧 ⋃︀ R 𝑐𝜌 0, при 𝑅 𝐼4 Г+ 1 ⋃︀𝑧 ⋃︀ , при ª ⋀︀ 1 𝜀𝑧 1 ⋀︀ , где 𝛿 A 0 𝑧𝜔 ⋃︀𝑧 ⋃︀1𝛿 𝐼4 0. 1) Вычислим 𝐼2 : 𝜀𝑧 1 𝑑𝑧 𝑧𝜔 𝐼2 𝑐𝜌 0 lim 𝜌 0 𝑧 𝜔 𝜌𝑒𝑖𝜙 , 𝜌 𝑓 𝑖𝑥𝑒𝑑, (︀ 𝑑𝑧 𝑖𝜌𝑒𝑖𝜙 𝑑𝜙, 𝜙 > (︀𝜋, 0⌋︀ 0 𝜀𝜔 𝜌𝑒𝑖𝜙 1 𝑖𝜙 𝑖𝜌𝑒 𝑑𝜙 𝜌𝑒𝑖𝜙 (︀𝜀𝜔 1⌋︀𝑑𝜙 𝑖 𝜋 𝑖𝜋 (︀𝜀𝜔 1⌋︀. 𝜋 2) Вычислим 𝐼1 𝐼3 : 𝜔𝜌 𝐼1 𝐼3 ª 𝜀𝑥 1 𝑑𝑥 𝑥𝜔 ª 𝜔 𝜌 ª 𝜀𝑥 1 𝑑𝑥 𝑥𝜔 𝑉.𝑝. ª 𝜀𝑥 1 𝑑𝑥 𝑥𝜔 ª ª 𝜀𝑥 1 𝑑𝑥. 𝑥𝜔 Здесь 𝑉.𝑝 и обозначают интеграл в смысле главного значения. Так как 𝐼 𝜔 𝐼1 𝐼2 𝐼3 0, то ª ª 𝜀𝑥 1 𝑑𝑥 𝑖𝜋 (︀𝜀𝜔 1⌋︀ 𝑥𝜔 0 134 𝜀𝜔 𝑖 1 𝜋 ª ª 𝜀𝑥 1 𝑑𝑥. 𝑥𝜔 Выделим вещественную и мнимую часть: 𝜀𝜔 𝜀 𝜔 𝑖𝜀 𝜔 𝑖 1 𝜋 ª (︀𝜀 𝑥 1⌋︀ 𝑖𝜀 𝑥 𝑥𝜔 ª 1 1 𝜋 ª ª 𝑑𝑥 𝜀 𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑥𝜔 𝜋 ª ª 𝜀 𝑥 1 𝑑𝑥. 𝑥𝜔 Таким образом мы получили формулы Крамерса-Кронига: 𝜀 𝜔 𝜀 𝜔 1 1 𝜋 1 𝜋 ª ª ª ª 𝜀 𝑥 𝑑𝑥. 𝑥𝜔 𝜀 𝑥 1 𝑑𝑥. 𝑥𝜔 3.22. Распространение электромагнитных волн в прозрачной проводящей среде. Связь векторов поля, частоты и волнового вектора. )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Пусть Ñ𝑗 Ñ 4𝜋 Ñ 1 𝜕 𝐷 𝑗 , 𝑐 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 1 𝜕𝐵 rot 𝐸Ñ , 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 4𝜋𝜌 0, div 𝐷 Ñ rot 𝐻 Ñ div 𝐵 0. Ñ 𝜌 0. Будем искать решение в виде: 𝜎 𝐸, Ñ 𝐷, Ñ 𝐵, Ñ 𝐻 Ñ 𝐸, 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑘,𝑟Ñ . Ñ Учтем, что материальные уравнения для монохроматической волны с Ñ 𝑡 Ñ 𝑡 Ñ 𝑡, а также учтем, частотой 𝜔 имеют вид 𝐷 𝜀𝜔 𝐸Ñ 𝑡, 𝐵 𝜇𝜔 𝐻 что 𝜕 𝐸Ñ 𝑖 𝜕 𝐸Ñ Ñ 𝑖𝜔 𝐸 𝐸Ñ . 𝜕𝑡 𝜔 𝜕𝑡 135 Тогда первое уравнение примет вид: Ñ rot 𝐻 1𝜕 4𝜋𝜎𝑖 𝜕 𝐸Ñ Ñ 𝜀𝜔 𝐸 𝑐 𝜕𝑡 𝜔𝑐 𝜕𝑡 4𝜋𝜎𝑖 Ñ 1𝜕 𝜀𝜔 𝐸 (︀ 𝑐 𝜕𝑡 𝜔 1𝜕 4𝜋𝜎 Ñ Ñ 𝜀𝜔 𝐸 𝐸 𝑐 𝜕𝑡 𝑐 1𝜕 Ñ 𝐷. 𝑐 𝜕𝑡 )︁⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ]︂⌊︂⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂ ⌊︂)︂ 𝜀˜𝜔 Ñ 𝜀 Ñ 𝜀 Здесь 𝐷 ˜𝜔 𝐸, ˜𝜔 𝜀𝜔 4𝜋𝜎𝑖 𝜔 . В дальнейшем будем считать, что ток проводимости включён в ток смещения путем переопределения комплексной диэлектрической проницаÑ 𝑡 𝜀𝜔 𝐸 Ñ 𝑡 и емости. Переобозначим 𝜀˜𝜔 𝜀𝜔 . Получим: 𝐷 )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ Ñ 1 𝜕𝐷 , 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 1 𝜕𝐵 , rot 𝐸Ñ 𝑐 𝜕𝑡 Ñ 0, div 𝐷 Ñ rot 𝐻 Ñ div 𝐵 0. Рассмотрим систему: )︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 𝜔 Ñ 𝜀𝜔 𝐸, 𝑐 𝜔 Ñ 𝐸 Ñ ⌋︀ Ñ (︀𝑘, 𝜇𝜔 𝐻, 𝑐 Ñ 𝐸 Ñ 0, 𝜀𝜔 𝑘, Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀ (︀𝑘, Ñ 𝐻 Ñ 𝜇𝜔 𝑘, 0. Замечание: Если 𝜀𝜔 0 или 𝜇𝜔 0, то возможно распространение продольных электромагнитных волн. Свойства: Ñ Ñ Ñ и 𝑘 Ñ но для изотропной среды: 𝑘 Ñ 1) В общем случае 𝑘Ñ 𝐷 𝐵, 𝐸, Ñ 𝑘Ñ 𝐻. 2) Для прозрачной среды 𝜀 P 1, 𝜇 P 1. Ñ образуют правую Ñ 𝐻, Ñ 𝑘 а) Если 𝜀 𝜔 A 0, 𝜇 𝜔 A 0, то векторы 𝐸, тройку. Ñ образуют левую тройку Ñ 𝐻, Ñ 𝑘 б) Если 𝜀 𝜔 @ 0, 𝜇 𝜔 @ 0, то векторы 𝐸, (метаматериалы). 3) Получим закон дисперсии: Ñ из второго уравнения системы: Выразим 𝐻 Ù Ù Ù Ñ 𝐻 𝑐 Ñ Ñ (︀𝑘, 𝐸 ⌋︀. 𝜔𝜇 136 Ù Подставим это выражение в первое уравнение: Ñ (︀𝑘, Ñ 𝐸 Ñ ⌋︀⌈︀ )︀𝑘, 𝜔2 Ñ 𝜀𝜇𝐸 𝑐2 Ñ 𝐸 Ñ2 Ñ 𝐸 Ñ𝑘 𝑘Ñ𝑘, 𝜔2 Ñ 𝜀𝜇𝐸, 𝑐2 Для изотропной среды первое слагаемое равно нулю, тогда получим 2 0. Так как 𝐸Ñ x 0, то 𝜔𝑐2 𝜀𝜇 𝑘Ñ2 . Ñ 2: 4) Установим связь между 𝐸Ñ 2 и 𝐻 Ñ Возведем в квадрат первое уравнение системы и учтем, что 𝑘Ñ 𝐻: 2 Ñ 2 𝐸 Ñ 𝜔𝑐2 𝜀𝜇 𝑘 Ù 𝜔2 2 Ñ 2 𝜀𝐸 , 𝑐2 Ñ 𝐻 Ñ ⌋︀2 (︀𝑘, 𝜔2 𝜀 Ñ2 𝐸 . 𝜀𝜇 𝑐2 𝜇 𝑘2𝐻 2 ⧹︀ 𝑘2 В итоге получили 𝜇𝐻 2 𝜀𝐸 2 . Исследование свойств закона дисперсии: Пусть 𝜇 - вещественная величина, при этом 𝜀 величина. Из закона дисперсии: 𝑘Ñ2 𝜀 𝑖𝜀 - комплексная 𝜔2 𝜇𝜀 𝑖𝜀 . 2 𝑐 Получим уравнения для 𝑘Ñ и 𝑘Ñ : 𝜔2 𝜇𝜀 𝑖𝜀 2 𝑐 𝑘Ñ2 𝑘Ñ2 2𝑖𝑘Ñ , 𝑘Ñ . )︀ ⌉︀ ⌉︀ Ñ 2 𝑘 Ñ 2 ⌉︀ 𝑘 ⌉︀ ⌉︀ ⌋︀ ⌉︀ ⌉︀ ⌉︀ 2𝑘Ñ , 𝑘Ñ ⌉︀ ⌉︀ ]︀ 𝜔2 𝜇𝜀 , 𝑐2 𝜔 2 𝜇𝜀 . 𝑐2 Замечание: Отличие 𝑘Ñ от нуля приводит к экспоненциальному возрастанию или убыванию поля волны в направлении вектора 𝑘Ñ . Ñ 𝑒𝑖𝑘,𝑟Ñ Ñ Ñ ,𝑟 Ñ 𝑒𝑖𝑘 ,𝑟Ñ 𝑒𝑖𝑘 Ñ , 𝑟 Ñ 𝑘 . 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 - поверхность равной фазы (плоскость), 𝑘Ñ , 𝑟Ñ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 поверхность равной амплитуды (плоскость). Замечание: Если 𝜀 x 0, то 𝑘Ñ x 0. Однако возможен случай, для которого 𝜀 0, но 𝑘Ñ x 0. Например при полном внутреннем отражении. Определение: Если 𝑘Ñ x 0, 𝑘Ñ x 0 и 𝑘Ñ Õ 𝑘Ñ , то волны называют неоднородноплоскими волнами. 137 Полученные выше уравнения для 𝑘Ñ и 𝑘Ñ содержат 3 неизвестных: 𝑘Ñ , 𝑘Ñ и угол 𝑘Ñ , 𝑘Ñ определяемый через начальные и граничные условия. Если эти условия таковы, что 𝑘Ñ 𝑘Ñ , то волны называют однородными плоскими волнами. Для однородных волн: Õ 𝑘Ñ 𝜔 𝑛𝜔 Ñ 𝑞. 𝑐 𝑘Ñ 𝑖𝑘Ñ Здесь ⋃︀Ñ 𝑞 ⋃︀ 1 и 𝑛𝜔 𝑛 𝜔 𝑖𝑛 𝜔 - комплексный показатель преломления. Найдем связь между 𝑛 , 𝑛 и 𝜀 , 𝜀 . 𝜔2 𝜀𝜇 𝑐2 𝑘Ñ2 𝑛2 𝜀𝜇. Учтем, что 𝜀 𝜀 𝑖𝜀 и 𝑛 𝑛 𝑖𝑛 . Тогда: 𝑛2 𝑛2 2𝑖𝑛 𝑛 𝜇𝜀 𝑖𝜀 . Приравнивая вещественные и мнимые части получим систему. Возведем уравнения в квадрат и сложим получившиеся выражения. 𝑛2 𝑛2 𝜇𝜀 , 2𝑛 𝑛 𝜇𝜀 . 𝑛4 𝑛4 2𝑛2 𝑛2 4𝑛2 𝑛2 𝜇2 𝜀2 . 𝜇2 𝜀2 , ⌋︂ После сложения получим: 𝑛2 𝑛2 𝜇 𝜀2 𝜀2 . ⌋︂ 𝑛2 𝜇 𝜀2 𝜀2 𝜀 2 𝑛2 𝜇 𝜀2 𝜀2 𝜀 2 показатель преломления. ⌋︂ коэффициент поглощения. Свойства: 1) Для прозрачной среды 𝜀 P 1, 𝑛2 𝜇𝜀 , 𝑛2 0. 2) Для среда с интенсивным поглощением 𝜀 Для проводящей среды 𝜀 𝑘Ñ 𝜔 𝑛𝜔 Ñ 𝑞 𝑐 4𝜋𝜎 𝜔 , 𝑛 𝑛 𝜔 𝜔 𝑞 𝜔 𝑛 1 𝑖Ñ 𝑛 𝑖𝑛 Ñ 𝑞 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 Здесь 𝛿 ⌋︂2𝜋𝜎𝜇𝜔 - толщина скин-слоя. 3) Свяжем 𝐸 и 𝐻 (модули): 138 ⌉︂ }︂ Q 𝜀 , 𝑛 𝑛 ⌉︂ 𝜇𝜀 2 2𝜋𝜇𝜎 𝜔 . 2𝜋𝜇𝜎 1 𝑖Ñ 𝑞 𝜔 ⌋︂ 2𝜋𝜎𝜇𝜔 1 𝑖Ñ 𝑞 𝑐 1 𝑖Ñ 𝑞 𝛿 . ⌋︂ ⌋︂ Пусть 𝜇 ⌋︂1 𝑛 𝜀𝜇 𝜇𝐻 𝐻 𝜀𝐸, тогда: 𝐻 ⌋︂ 𝐸 𝜀 ⌋︂ 𝑛 𝑖𝑛 ⌋︂ 𝑛 𝑛2 𝑛2 𝑒𝑖 arctg 𝑛 . Учтем, что 𝑛 𝑛2 𝑛2 𝑒𝑖 arctg 𝑛 . ⌋︂ а) Модуль 𝐻 превышает модуль 𝐸 на величину 𝑛2 𝑛2 . б) Электрическое поле опережает по фазе магнитное на величину 𝜙 arctg 𝑛𝑛 . В частности для проводника 𝑛 𝑛 , поэтому 𝜙 𝜋4 . 139

Электродинамика Лекции Соколова В.А

Related documents

Products

Support

Электродинамика Лекции Соколова В.А

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib