ТЕМА: Квадратичная функция, ее свойства и график; парабола, ось симметрии параболы, вершина параболы. Применение графика квадратичной функции при решении уравнений и неравенств Разработал Хохлова Л.И. Цель: Выработать умение строить график квадратичной функции и применять графические представления для решения неравенств второй степени с одной переменной. При изучении темы дальнейшее развитие получает умение находить по графику промежутки возрастания и убывания функции, а также промежутки знакопостоянства функции. Цели урока: Образовательные: учить построению графика квадратичной функции и использованию графика для получения ее свойств. Развивающие: развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру, внимание, навыки самостоятельной работы и самоконтроля, поддерживать интерес к математике. Воспитательные: воспитывать последовательность, ответственность, самостоятельность, настойчивость, дисциплинированность. Построение графика функции 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 График функции парабола, ветви которой направленны: если 𝒂 > 𝟎, вверх: если 𝒂 < 𝟎, вниз: y y 0′ (𝑥0 ; 𝑦0 ) 0 0′ (𝑥0 ; 𝑦0 ) x 0 x Построение графика функции 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 График функции парабола, ветви которой направленны: если 𝒂 > 𝟎, вверх: если 𝒂 < 𝟎, вниз: y y x 0 0′ (𝑥0 ; 𝑦0 ) 0′ (𝑥0 ; 𝑦0 ) x 0 𝑏 Вершина 0′ 𝑥0 ; 𝑦0 , где 𝑥0 = − 2𝑎 ; 𝑥0 = 𝑦 𝑥0 . Ось симметрии параболы 𝑥 = 𝑥0 Дополнительные точки графика y - - - - - - - - 0 𝑥1 𝑥2 x 0′ (𝑥0 ; 𝑦0 ) Точки пересечения графика функции с осями: 𝑂𝑦 : 𝑥 = 0; 𝑦 0 = 𝑐, (0; 𝑐) 𝑂𝑥 : 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑥1 ; 0)(𝑥2 ; 0) Построение графика функции 𝑦 = (𝑥 − 𝑎)2 +𝑏 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎) Сдвиг вдоль оси 𝑂𝑥 на 𝑎 ед. Сдвиг вдоль оси 𝑂𝑥 на 𝑎 ед. y y x 0 𝑂′ (𝑎; 0) x 𝑂′ (−𝑎; 0) 0 Построение графика функции 𝑦 = (𝑥 − 𝑎)2 +𝑏 𝑦 =𝑓 𝑥 +𝑏 𝑦 =𝑓 𝑥 −b Сдвиг вдоль оси 𝑂𝑦 на 𝑏 ед. Сдвиг вдоль оси 𝑂𝑦 на 𝑏 ед. y y 0′ (0; 𝑏) x 0 x 0 𝑂′ (0; −𝑏) Построение графика функции 𝑦 = (𝑥 − 𝑎)2 +𝑏 y 𝑂′ (𝑎; 𝑏) 0 x Решение неравенств ; a>0, ветви вверх a<0, ветви вниз 𝑥1 , 𝑥2 - точки пересечения с осью OX y y D>0 𝑥1, 𝑥2 D<0 𝑥1, 𝑥2 𝑥1 0 𝑥2 x 𝑥1 0 𝑥2 x Решение неравенств a>0, ветви вверх a<0, ветви вниз 𝑥1 = 𝑥2 - точка пересечения с осью OX D=0 𝑥1 = 𝑥2 y D=0 𝑥1 = 𝑥2 y 𝑥1 = 𝑥2 𝑥1 = 𝑥20 x 0 x Решение неравенств a>0, ветви вверх a<0, ветви вниз нет точек пересечения с осью OX D<0 Ø y 0 D>0 Ø x y 0 x Решение неравенств 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0; y 𝑥1 , 𝑥2 - точки пересечения с осью OX y D>0 𝑥1, 𝑥2 D<0 𝑥1, 𝑥2 𝑥1 0 𝑥2 x 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0; 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0; 𝑥1 0 𝑥2 x Решение неравенств 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0; 𝑥1 = 𝑥2 - точки пересечения с осью OX D=0 𝑥1 = 𝑥2 y D=0 𝑥1 = 𝑥2 y 0 𝑥1 = 𝑥2 0 x 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0; 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0; 𝑥1 = 𝑥2 x Решение неравенств 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0; 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0; D<0 ∅ y 0 D<0 ∅ x 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0; 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0; y 0 x Свойства функции 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝒂>𝟎 𝒂<𝟎 Область определения: Область значений 1) 2) Функция возрастает на 1) 𝑥 ∈ [𝑥0 ; +∞) Функция убывает на 2) 𝑥 ∈; (−∞; 𝑥0 ] 1) 𝑥 ∈ (−∞; 𝑥0 ] 2) 𝑥 ∈ [𝑥0 ; +∞) y y 2 1 𝑥0 0 𝑦0 𝑦наим = 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 x 𝑦0 𝑥0 𝑦наиб = 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 0 x Дана функция: 𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 − 3 𝑂′ 𝑥0 ; 𝑦0 − вершина параболы −4 𝑥0 = = 2; 𝑦0 = 𝑦 2 = −4 + 8 − 3 = 1 −2 y 𝑥 = 2 − ось симметрии параболы 1 0 1 2 x Координаты точек пересечения графика с осями координат: 𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 − 3 y 𝑂𝑦 ∶ 𝑥 = 0 𝑦 0 = −3; 0; −3 𝑂𝑥 ∶ 𝑦 = 0 − 𝑥 2 + 4𝑥 − 3 = 0 𝐷 = 16 − 12 = 4 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 3 1 0 1 2 x Какие значения принимает функция, если 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 y Если 𝑥𝜖 0; 3 , то 𝑦𝜖 0; 1 1 0 1 2 x Постройте график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) −𝑥 − 3, если 𝑥 ≤ 2 𝑓 𝑥 = 3 − 𝑥 2 , если 𝑥 < 2 𝑥 − 3, если 𝑥 ≥ 2 y 1. 𝑥 ≤ −2 𝑦 = −𝑥 − 3 2. 𝑂3 (0; 3) -4 -2 1 -1 𝑂1 (−4; 1) 𝑥 <2 𝑦 = 3 − 𝑥2 𝑂2 (−2; −1) 2 Парабола 𝑦 = −𝑥 , смещенная вверх на 3 единицы 3. 𝑥 ≥ 2 𝑦 =𝑥−3 2 4 -1 1 1 0 𝑂5 (4; 1) 1 𝑂6 (2; −1) x При каких значениях 𝑚, прямая 𝑦 = 𝑚 имеет с графиком функции 𝑦 = 𝑓 𝑥 три общие точки? y 𝑚 < −1 графики 𝑦 = 𝑚 и 𝑦 = 𝑓 𝑥 Не имеют общих точек 𝑚 = −1 графики 𝑦 = 𝑚 и 𝑦 = 𝑓 𝑥 Имеют 2 общие точки −1 < 𝑚 < 3 графики 𝑦 = 𝑚 и 𝑦 = 𝑓 𝑥 Имеют 4 общие точки 𝒎 = 𝟑 графики 𝒚 = 𝒎 и 𝒚 = 𝒇 𝒙 Имеют 3 общие точки 𝑚 > 3 графики 𝑦 = 𝑚 и 𝑦 = 𝑓 𝑥 Имеют 2 общие точки 1 0 1 2 x Список литературы Виленкин Н.Я. и др. 8 класс: учебное пособие для учащихся и школ с углубленным изучением математики.- М.: Просвещение, 1995. Галицкий и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 кл. 3-изд. – М. Просвещение 1995. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса/ А.С. Чесноков, К.И. Нешков – М.: Просвещение н., 2009 Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. и другие. Государственная итоговая аттестация ГИА. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной аттестации в 9 классе.и др. МакарычевЮ.Н. и др. Алгебра -9. М. «Просвещение», 2012. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. . Учебно-методическое пособие. С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко – М.; Дрофа, 2001. Шарыгин И.Ф., В.И. Голубев, М.: Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы. И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев, М.: Просвещение, 1991.