вокруг оси абсцисс

«Применение
определённого интеграла
для вычисления объёмов
тел.»
Бахшалиев
Тогрул, 2Л21
• Помимо нахождения площади плоской фигуры с помощью
определенного интеграла важнейшим приложением темы является
вычисление объема тела вращения. И чтобы хорошо понять данный
материал, надо конечно же быть подготовленным : необходимо уметь
решать неопределенные интегралы средней сложности и применять
формулу Ньютона-Лейбница в определенном интеграле. Как и для
задачи нахождения площади, нужны уверенные навыки построения
чертежей – это чуть ли не самое важное (поскольку интегралы сами
по себе чаще будут лёгкими). Освоить грамотную и быструю технику
построения графиков можно с помощью методических материалов
Графики и свойства Элементарных функций и Геометрические
преобразования графиков.
• В интегральном исчислении очень много интересных приложений, с
помощью определенного интеграла можно вычислить площадь
фигуры, объем тела вращения, длину дуги, площадь поверхности тела
и многое другое.
• Представим некоторую плоскую фигуру на координатной
плоскости. Данную фигуру можно вращать двумя способами:
• – вокруг оси абсцисс ;
• – вокруг оси ординат .
• Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает
наибольшие затруднения, но на самом деле решение
практически такое же, как и в более распространенном
вращении вокруг оси абсцисс
• Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.
Вычисление объема тела, образованного
вращением
плоской фигуры вокруг оси OX
Пример 1
• Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры,
• ограниченной линиями
, y = 0 вокруг оси OX .
Решение:
Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То
есть, на плоскости необходимо построить фигуру, ограниченную линиями , при этом не
забываем, что уравнение задаёт ось .
Искомая плоская фигура
заштрихована синим цветом,
именно она и вращается вокруг оси
OX. В результате вращения
получается такая немного
яйцевидная летающая тарелка,
которая симметрична
относительно оси .
Как вычислить объем тела вращения?
Объем тела вращения можно вычислить по формуле:
В формуле перед интегралом обязательно присутствует число
. Так повелось –
всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.
Функция
… что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская
фигура ограничена графиком параболы
сверху. Это и есть та
функция, которая подразумевается в формуле.
 В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и
ниже оси OX . Это ничего не меняет – функция в формуле возводится в
квадрат:
, таким образом объем тела вращения всегда
неотрицателен, что весьма логично.
• Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:
Ответ:
В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы .
То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно
кубические единицы? Потому что наиболее универсальная формулировка.
Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры,
могут быть кубические километры и т.д