Приближенные формулы в схеме Бернулли 1

Приближенные формулы
в схеме Бернулли
1
Локальная формула МуавраЛапласа

Если npq  10 , то
1
Pn (k ) 
  ( x),
npq
где
2
k  np
p  0; p  1; p  0,5; x 
npq
Свойства функции  (x )
 ( x) 
1
e
2
1. Четная  ( x)   ( x) .
2. При
3
x  5,  ( x)  0
x2

2
Формула Пуассона

Если npq  10
и p  0,1 , то
Pn (k ) 
где
4
  np
k
k!
 e  ,
Интегральная формула МуавраЛапласа
Pn (k1  k  k2 )  ( x2 )  ( x1 )
k1  np
k2  np
x1 
; x2 
npq
npq
5
Свойства функции Лапласа
1. Нечетная
 (  x )   ( x ) .
2. Возрастающая.
3. При
x  5,  ( x ) 
1
2
(x)
Таблицы значений

Функции  (x )
http://natalymath.narod.ru/plotnost_norm_rasp.html
Распределения Пуассона
http://natalymath.narod.ru/puasson.html

Функции (x)
http://natalymath.narod.ru/laplas.html

Задача 1



Известно, 80% специалистов в районе
имеет высшее образование. Найти
вероятность того, что из 100 наудачу
отобранных человек высшее образование
имеет:
а) 70 человек,
б) от 65 до 90 человек.
Решение
npq  100  0,8  0,2  16  10
а)
Применяем локальную формулу Лапласа
Pn (k ) 
x
1
 ( x)
npq
k  np 70  100  0,8  10


 2,5
4
npq
100  0,8  0,2
1
P100 (70) 
 0,0175  0,0044
16
Решение

б) Применяем интегральную формулу Муавра Лапласа
Pn (k1  k  k2 )  ( x2 )  ( x1 )
x1 
k1  np 65  100  0,8  15


 3,75,
4
npq
100  0,8  0,2
x2 
k 2  np 90  100  0,8 10


 2,5
npq
100  0,8  0,2 4
P100 (65  k  90)  (2,5)  (3,75)  0,49379  0,49991  0,9937
Задача 2




Вероятность того, что при сортировке
изделий одно из них будет разбито, равна
0,005. Найти вероятность того, что из 200
изделий окажутся разбитыми:
а) три изделия,
Б)не более двух,
В) не менее двух
Решение
npq  200  0,005  0,995  0,995  10
p  0,1
Применяем формулу Пуассона, где   np  200  0,005  1
а) при k=3:
13 1 1
P200 (3)   e 
 0,06
3!
6e
б) при k  2 P200 (0  k  2)  P200 (0)  P200 (1)  P200 (2) 
10 1 11 1 12 1 1
  e   e   e  1  1  0,5  0,93
0!
1!
2!
e
в) при k  2 P200 (2  k  200)  1  P200 (0  k  1)  1  P200 (0)  P200 (1) 
10 1 11 1
1
 1   e   e  1  1  1  0,26
0!
1!
e