9 лекция - Томский политехнический университет

7 лекция
Тема: Резонанс в линейных цепях
при гармонических напряжениях и
токах
© 2001 Томский политехнический университет, кафедра ТОЭ,
1
Резонанс – это такой режим
пассивной цепи, содержащей
емкости и индуктивности,
при котором входные ток и
напряжение совпадают по
фазе
2
При резонансе цепь
потребляет только активную
мощность и входное
сопротивление этой цепи
будет вещественной
величиной
3
Различают резонансы:
 напряжений;
 токов;
 в сложной цепи.
4
1. Резонанс
напряжений
5
Резонанс напряжений – это
резонанс при
последовательно
соединенных емкости и
индуктивности
6
d
Rк
UR к
U
jX L
UL
катушка
 jX С
c
b
UС
UН
RН
a
I
а
7
По закону Ома
IU
Z вх
 Ie
j(  )
,
(A)
j
где U  Ue - входное напряжение
8
Комплекс входного
сопротивления цепи
Z вх  (R к  R н )  j(X L  X C ) 
j
 R  jX  Z вх e ,
где R  Rк  Rн ,
(Ом)
X  XL  XC ,
Zвх  R2  X2 ,
  arctgX .
R
9
Из определения резонанса
0
тогда
X  XL  XC  0
10
В результате при
резонансе напряжений
XL  XC
или
1
L 
C
11
Тогда
X0
Z вх  R
0
U j
I e
R
12
Тогда
2
U
P
R
Q  UI sin   0
13
Тогда
cos   1
2
2
S P Q P
14
При этом
UL  UC  I  X L 
 I  XC  U  q
15
Если добротность
X
q L
R


R
 1
16
то
U L  U C  U
где

L ,
C
(Ом)
- Характеристическое (волновое)
сопротивление
17
При резонансе напряжений
входное сопротивление цепи
будет минимальным, а ток
будет максимальным
18
Векторная диаграмма
при резонансе
напряжений
19
+j
UR к  R к I
Uн  R н I
b
U
I
d
Uк
a

+1
U C  ( jX C )I
U L  jX L I
c
20
Резонансные
характеристики
21
I
UL , UC
UС
I
UL
U
резонанс
0
Сp  1
UХ L
UL 
Zк
U
I
Zк
UС  0
С
2L
22
Резонанс напряжений
используется в
радиотехнике для
усиления сигналов
определенной частоты
23
и в электроэнергетике
для увеличения
активной мощности
нагрузки генератора
24
Например
RГ
jX Г
 jX С
RН
EГ
генератор
I
25
а)
XС  0
'
Pн

(С  )
' 2
 (I ) R н 
2
EгRн
2
(R г  R н )

2
Хг
,
(Вт )
26
б)
XС  XГ
"
Pн

(резонанс )
" 2
 (I ) R н 
2
EгRн
(R г  R н )
2

'
Pн ,
(Вт )
27
Примечание
Если Rk=0, то тогда
Zdb=jXL-jXC=0
- это идеальный резонанс
напряжений
28
2. Резонанс
токов
29
Резонанс токов – это
резонанс при параллельно
соединенных емкости и
индуктивности
30
b
Iк
I
IС
Rк
UR к
jX L
UL
 jX С
U
RC
a
31
Расчет цепи
ZK = RK + jωL= RK + jXL = ZKe jφ
XL
2
2
 K  arctg
Z K  RK  X L
RK
ZC = RC – j 1/ωC = RC-jXC = ZCe-jφ
ZC  R  X
2
C
2
C
XC
C  arctg
RC
32
Диаграммы сопротивлений ветвей
+j
ZK
φК
RK
ZK = RK
+jXL
RC
φC
ZC
XL
+1
+1
XC
-j
ZC= RC-jXC
33
Входное напряжение U  U  e
jU
Определяем токи в ветвях
U U j ( U C )
U
j ( U  K )
IC    e
IK   I K e
ZC ZC
ZK
Определим ток во внешней цепи
I  I K  IC
34
Анализ цепи
Проводимость ветви с катушкой
Y1= 1/Z1=1/(RK+jXL)=
=(RK - jXL)/(R2K + X2L )=
=RK/(R2K + X2L) – jXL/(R2K+X2L)=
=RK/ Z21 – jXL/Z21= gK - jbK
35
Проводимость ветви с конденсатором
Y2= 1/Z2 =1/(RС - jXС)=
=(RС + jXС)/(R2С + X2С )=
=RС /(R2С + X2С) + jXC /(R2C + X2C)=
=RC / Z22 + jXC /Z22 = gC + jbC
36
Определение токов в ветвях через
их проводимости
IK  YK U  U  ( gK  jbK )  U  gK  U  jbK  I AK  jI PK
IC  YC U  U  ( gC  jb)  I AC  jI PC
Ток во внешней цепи:
I  (I AK  I AC )  j(I PC  I PK )  U [( gK  gC )  j (bC  bK )]
При bC= bK
Резонанс токов
37
Из определения резонанса
0
тогда
b  bк  bC  0
38
В результате при
резонансе токов
bк  bC
или
XC
XL

2
2
2
2
Rк  X L RC  X C
39
Тогда
b0
Y вх  g
I  U  ge
0
j U
40
Тогда
2
PU g
Q0
cos   1
SP
41
При резонансе токов входная
проводимость цепи и входной
ток минимальны, а в контуре
L-C возникают колебания с
частотой fP≠ fC..В цепи без
сопротивлений
fp
1

2 L  C
42
Резонанс токов
используется в
радиотехнике для
ослабления сигналов
определенной частоты
43
и в электроэнергетике
для уменьшения потерь
энергии в проводах
линии
44
Например
Iн
b I
RЛ
~
IС
U
Rн
 jX С
jX н
a
45
а)
'
PЛ
XС  
' 2
 (I ) R Л 
(С  0)
2
U RЛ
R 2н  Х 2н
,
(Вт )
46
б)
"
Pл
XС
R 2н  X 2н

Хн
(резонанс)
" 2
 (I ) R л 
2


2
U R нR л
2
2 2
(R н  Х н )
'
Pл
Х


1  н
Rн 


2
 Pл' ,
(Вт )
47
3. Резонанс
в сложной
цепи
48
Например
с
I
jX L
UL
 jX С
U
IR
b
IС
UR
R
a
49
Комплекс входного
сопротивления цепи
Z вх
R( jX C )
 jX L 

R  jX C
 jX L 
R( jX C )(R  jX C )
2
R 
2
XС
j
 R вх  jX вх  Z вх e ,

(Ом)
50
Где
Rвх 
2
R  XC
,
2
2
R  XC
(Ом)
- активное сопротивление
Xвх  ХL 
2
R XC
,
2
2
R  XC
(Ом)
- реактивное сопротивление
51
Где
Zвх 
2
Rвх

2
Xвх
- полное сопротивление
X
  arctg вх
Rвх
52
При резонансе
0
и
X вх  0
53
Тогда
Z вх  R вх
2
U
P
R вх
U j
I
e
R вх
Q0
54
Векторная диаграмма
55
+j
I
IС
U
a
с
IR
U R  R  IR

U L  jX L I
+1
b
56
Где
( jXC )
IR  I
R  jXC
R
IС  I
R  jXC
57
Если
R  2,5  X L ,
то
X С  1,25  Х L
и
UR 
5U
58
Таким образом эта цепь в
режиме резонанса может
применяться для увеличения
напряжения на нагрузке R
59