11 резонанс

Резонанс в
линейных цепях
при
гармонических
напряжениях и
токах
1
Резонанс – это такой режим
пассивной цепи, содержащей
емкости и индуктивности,
при котором входные ток и
напряжение совпадают по
фазе
2
При резонансе цепь
потребляет только активную
мощность и входное
сопротивление этой цепи
будет вещественной
величиной
3
Различают резонансы:
 напряжений;
 токов;
 в сложной цепи.
4
1. Резонанс
напряжений
5
Резонанс напряжений – это
резонанс при
последовательно
соединенных емкости и
индуктивности
6
d
Rк
UR
U
a
jX L
UL
катушка
I
 jX С
c
b
UС
а
7
По закону Ома
IU
Z вх
 Ie
j(  )
,
(A)
j
где U  Ue - входное напряжение
8
Комплекс входного
сопротивления цепи
Z вх  R  j ( X L  X C ) 
j
 R  jX  Z вхe , (Ом)
где
X  X L  XC ,
Zвх  R2  X2 ,
  arctgX .
R
9
Из определения резонанса
0
тогда
X  XL  XC  0
10
В результате при
резонансе напряжений
XL  XC
или
1
L 
C
11
Резонансная частота:
1
 0
L C
12
Тогда
X0
Z вх  R
0
U j
I e
R
13
Тогда: активная мощность
2
U
P
R
реактивная мощность
Q  UI sin   0
14
Тогда
cos   1
2
2
S P Q P
15
При этом
UL  UC  I  X L 
 I  XC  U  q
Где q – добротность
резонансного контура
16
Если добротность
X
q L
R


R
 1
17
то
U L  U C  U
где

L ,
C
(Ом)
- характеристическое сопротивление
18
При резонансе напряжений
входное сопротивление цепи
будет минимальным, а ток
будет максимальным
19
Векторная диаграмма
при резонансе
напряжений
20
C  C рез ;   0
j
UL UС
UR
U
I
1
21
C  C рез ;   0
j
UL UС
U

UR
I
1
22
Резонансные
характеристики
23
Выразим ток и напряжения через
частоту:
U
I 
Z
U
1 2
R  (L 
)
C
U L  I  X L  I   L
2
I
UC  I  X C 
 C
24
Сдвиг фазы:
1

L
X

C
  arctg  arctg
R
R
25
Изменяя частоту в диапазоне
0   
получим частотные резонансные
характеристики
26
x
xL
0
x  xL  xC
xС

27
Амплитудно-частотная
характеристика АЧХ: I ( )
28
где:
П   2   1
полоса пропускания резонансного
контура
29
U L UC
UL
U
UC
0
 C  0 L

30
Частоты максимума напряжений
на индуктивности и емкости:
 L  0
C   0
2
2
R
2( )

2
R
2(
)

2
31
Фазо-частотная характеристика
ФЧХ

 ( )

2
0


2
0

32
Резонанс напряжений
используется в
радиотехнике для
усиления сигналов
определенной частоты
33
и в электроэнергетике
для увеличения
активной мощности
нагрузки генератора
34
Например
RГ
jX Г
 jX С
RН
EГ
генератор
I
35
а)
XС  0
'
Pн

(С  )
' 2
 (I ) R н 
2
EгRн
2
(R г  R н )

2
Хг
,
(Вт )
36
б)
XС  XГ
"
Pн

(резонанс )
" 2
 (I ) R н 
2
EгRн
(R г  R н )
2

'
Pн ,
(Вт )
37
Примечание
Если Rk=0, то тогда
Zdb=jXL-jXC=0
- это идеальный резонанс
напряжений
38
I
1
I max
q  0.5
0.707
q 1

0
1
39
При увеличении добротности
резонансного контура q
уменьшается полоса
пропускания П и
увеличиваются избирательные
свойства контура
40
2. Резонанс
токов
41
Резонанс токов – это
резонанс при параллельном
соединении резистора
емкости и индуктивности
42
b
I LC
I
IR
U
R
IС
 jX С
IL
jX L
a
43
По первому закону Кирхгофа
определим входной ток:
I  IR  IL  IC 
 U  Y  U  ( g  j (bC  bL ))
44
Где:
U
IR  U g
R
U
IL 
 U  ( jbL )
jX L
U
IC 
 U  jbC
 jX C
45
По условию резонанса
b  bC  bL  0
Входная проводимость
минимальная и равна
резистивной проводимости:
Yg
46
Резонансную частоту
определим из условия:
1
L 
C
1
0 
LC
47
Входной ток имеет минимальное
значение и равен току в резисторе
U
I  IR  U g
R
Действующие значения токов в L
и C равны по величине и могут
значительно превышать входной
ток
48
I L  IC  I
Добротность резонансного
контура:
I L IC R
R
q  

I I XL XC
49
Ток подходящий к LC контуру
равен нулю
I LC  0
Схема параллельного соединения
LC контура называется «фильтрпробка»
50
Сдвиг фазы:
b
  arctg 
g
1
C 

L
 arctg
0
1
R
51
Векторная диаграмма
j
U
I
IC
IR
IL
1
52
Действующее значение входного
тока:
I
U
1 2
g  (C 
)
L
2
53
Изменяя частоту в диапазоне
0   
получим частотные резонансные
характеристики
54
Амплитудно-частотная
характеристика АЧХ: I ( )
55
где:
П   2   1
полоса пропускания резонансного
контура
56
Фазо-частотная характеристика
ФЧХ

 ( )

2
0


2
0

57
Схема резонансного контура,
содержащего катушку
индуктивности, имеющей активное
сопротивление RK
58
b
Iк
I
IС
U
Rк
UR к
jX L
UL
 jX С
a
59
По закону Ома
I  U  Y вх  Ie
j(  )
,
(A)
j
где U  Ue - входное напряжение
60
Комплекс входной
проводимости цепи
Y вх
1
1



( jX C ) (R к  jX L )
j
R к  jX L



X C (R к  jX L )(R к  jX L )
 g  jb  Yвх е
 j

,1

Ом
61
Где
g
Rк
2
Rк
,
2
 ХL
1Ом
- активная проводимость цепи
62
Где
b  bк  bC 
ХL
1
 2

,
2
Rк  ХL ХС
1Ом
- реактивная проводимость цепи
63
Где
Yвх 
2
2
g b ,
1Ом
- модуль входной проводимости цепи
64
Где
b
  arctg ,
g
Град 
- угол сдвига фаз между
Uи I
65
Из определения резонанса
0
тогда
b  bк  bC  0
66
В результате при
резонансе токов
bк  bC
или
XL
2
Rк

2
XL
1

XC
67
Тогда
b0
0
Y вх  g
I  U  ge
j
68
Тогда
2
PU g
Q0
cos   1
SP
69
При резонансе токов входная
проводимость цепи и
входной ток минимальны
70
Векторная диаграмма
при резонансе токов
71
+j
UR к
b
U
IС
UL
I
  к
a
+1
Iк  Iк е
j0
72
Где
Zк 
2
Rк
Iк  U

2
ХL
Zк
U L  Iк X L
73
Где
UR к  R к Iк
XL
к  arctg
Rк
IС  U
ХС
74
Резонансные
характеристики
75
I
IС
Iк
I
0
Сp  L
С
Z 2к
76
Резонанс токов
используется в
радиотехнике для
ослабления сигналов
определенной частоты
77
и в электроэнергетике
для уменьшения потерь
энергии в проводах
линии
78
Например
Iн
b I
RЛ
~
IС
U
Rн
 jX С
jX н
a
79
а)
'
PЛ
XС  
' 2
 (I ) R Л 
(С  0)
2
U RЛ
R 2н  Х 2н
,
(Вт )
80
б)
"
Pл
XС
R 2н  X 2н

Хн
(резонанс)
" 2
 (I ) R л 
2


2
U R нR л
2
2 2
(R н  Х н )
'
Pл
Х


1  н
Rн 


2
 Pл' ,
(Вт )
81
Примечание
Если Rk=0, то тогда
Zba=jXL(-jXC)/(jXL-jXC)=

- это идеальный резонанс
токов
82
3. Резонанс
в сложной
цепи
83
Резонанс в сложной цепи –
это резонанс, отличающийся
от резонансов напряжений и
токов
84
Например
с
I
jX L
UL
 jX С
U
IR
b
IС
UR
R
a
85
Комплекс входного
сопротивления цепи
Z вх
R( jX C )
 jX L 

R  jX C
 jX L 
R( jX C )(R  jX C )
2
R 
2
XС
j
 R вх  jX вх  Z вх e ,

(Ом)
86
Где
Rвх 
2
R  XC
,
2
2
R  XC
(Ом)
- активное сопротивление
Xвх  ХL 
2
R XC
,
2
2
R  XC
(Ом)
- реактивное сопротивление
87
Где
Zвх 
2
Rвх

2
Xвх
- полное сопротивление
X
  arctg вх
Rвх
88
При резонансе
0
и
X вх  0
89
Тогда
Z вх  R вх
2
U
P
R вх
U j
I
e
R вх
Q0
90
Векторная диаграмма
91
+j
I
IС
U
a
с
IR
U R  R  IR

U L  jX L I
+1
b
92
Где
( jXC )
IR  I
R  jXC
R
IС  I
R  jXC
93
Если
R  2,5  X L ,
то
X С  1,25  Х L
и
UR 
5U
94
Таким образом эта цепь в
режиме резонанса может
применяться для увеличения
напряжения на нагрузке R
95