2ВолнОпт

Л.В. Такунов, кафедра физики
БГТУ
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Волновая оптика – это раздел оптики, в котором изучаются явления интерференции и дифракции световых волн.
Оптические волны (световые волны в узком смысле) – это электромагнитные волны, непосредственно воспринимаемые
глазом. Оптический диапазон – это интервал длин электромагнитных волн, воспринимаемых глазом:
0,4мкм < опт < 0,8мкм .
(1)
Волна – это распространение колебаний в пространстве с течением времени. Электромагнитная волна – это распространение
электромагнитных колебаний, то есть распространение колебаний векторов электрической и магнитной напряженностей E
иH , характеризующих поле электромагнитной волны.
Уравнения электромагнитной волны:
x
Рис. 1
E =Em cos ( t –
)
(2)
E

с

E
m
x
H =Hm cos  ( t –
)
(3)
с
График электромагнитной волны – это график зависимости
векторовE иH (колебания которых распространяются) от
координаты x, отсчитываемой вдоль линии распространения
волны. С течением времени t весь совокупный график волны
O
x
Hm
H
c
движется как единое целое со скоростью распространения волны c . При этом во всех точках пространства, до которых
волна успела распространиться, происходят гармонические колебания векторовE иH . О распространении волны говорят в
том смысле, что с течением времени все новые и новые участки пространства охватываются колебательным процессом.
Поверхность, до которой волна успела распространиться к данному моменту времени, называется фронтом волны. Фронт
волны движется равномерно со скоростью, которая называется скоростью волны.
Световой луч – это бесконечно узкий световой пучок, перпендикулярный фронту волны. Широкий световой пучок можно
рассматривать как совокупность бесконечного множества рядом идущих световых лучей. Пучок лучей, параллельных друг
другу, называется плоскопараллельным пучком и характеризуется плоским фронтом, перпендикулярным пучку. Точечный
источник света излучает сферическую волну, то есть волну, которая характеризуется сферическим фронтом. Эту волну можно
рассматривать как совокупность лучей, идущих радиально от источника и перпендикулярно сферическому фронту.
Длина волны – это расстояние, на которое волна распространяется за один период распространяющихся колебаний. [Иное
определение: длина волны – это расстояние между двумя ближайшими точками, взятыми на линии распространения волны, в
которых колебания происходят в одинаковых фазах. ]
Скорость волны – это расстояние, на которое волна распространяется за единицу времени. Применяя к движению фронта
=
волны формулу скорости равномерного движения, получаем:
С учетом формулы связи частоты и периода колебаний ( v =

T
.
(4)
 = v
1
):
T
.
(5)
Это формула связи скорости, частоты и длины волны. Электромагнитная волна произвольной частоты в вакууме
распространяется со скоростью c = 3108 м/с. ( Отметим, что по современным представлениям эта скорость является
максимальной возможной скоростью движения материальных объектов). Для электромагнитной волны в вакууме формула (5)
принимает вид:
c = v .
(6)
Интерференция – это наложение волн друг на друга. Интерференционная картина – это чередование участков взаимного
усиления и взаимного ослабления волн в области их наложения. Интерференционная картина устойчива, то есть расположение
максимумов и минимумов интерференции в пространстве неизменно, если складываемые волны когерентны. Когерентные
волны – это волны, имеющие одинаковую частоту и постоянную разность фаз.
Условие интерференционного максимума: когерентные световые волны максимально усиливают друг друга, если их
 l  l2 – l1 = к ( к =0, 1, 2, …) .
оптическая разность хода равна целому числу длин волн:
(7)
Иначе: когерентные световые волны максимально усиливают друг друга, если их оптическая разность хода равна четному
числу полуволн:
 l  l2 – l1 = 2к

( к = 0, 1, 2, …) .
2
(8)
Условие интерференционного минимума: когерентные световые волны максимально ослабляют друг друга, если их
l = (2к + 1)
оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн:

2
( к = 0, 1, 2, …) .
(9)
Оптическая длина светового луча – это произведение геометрической длины луча на показатель преломления среды, в
которой он распространяется:
l lопт = lгеом n .
(10)
К этому основному определению имеется важное дополнение: при отражении светового луча от оптически более плотной
среды его оптическая длина изменяется на половину длины волны, то есть на  /2 (не играет роли, – увеличивается она на 
/2 или уменьшается.) .
Кольца Ньютона ( к лаб. раб. №45.) Кольца Ньютона – это интерференционная картина в виде чередующихся темных и
светлых концентрических колец, которые наблюдаются вокруг точки соприкосновения плосковыпуклой линзы с плоской
1
отражающей поверхностью (см. рис.). Плосковыпуклая линза своей выпуклой стороной опирается на плоскопараллельную
стеклянную пластинку в точке О . На верхнюю плоскую поверхность линзы направляется монохроматический пучок
параллельных световых лучей. Кольца Ньютона возникают на выпуклой поверхности линзы в результате интерференции
лучей, приходящих на эту поверхность сверху и снизу. В правой части рисунка показаны два таких луча (лучи 1 и 2). Луч 1 ,
пройдя через линзу, преломляется на ее выпуклой поверхности (в точке а ) и переходит в воздушный зазор. После отражения
от плоского стекла этот луч снова проходит воздушный зазор снизу вверх и на выпуклой поверхности линзы (в точке в )
встречается с лучом 2 , который проходит линзу сверху вниз. В зависимости от оптической разности хода этих лучей в точке в
происходит их взаимное усиление или взаимное ослабление. Условие максимального усиления двух световых лучей:
lопт  l2, опт – l1, опт = к ( к = 0, 1, 2, …)
(11)
Точки, расположенные в горизонтальной плоскости и равноудаленные от точки О , равноправны между собой.
Поэтому
точки
световых
максимумов,
2
1
соответствующих одной и той же разности хода к ,
Рис. 2
образуют светлое кольцо некоторого радиуса rк .
Отчетливо наблюдаются малые кольца Ньютона, радиус
которых много меньше радиуса кривизны линзы ( rк <<
R ) . Для таких колец толщина воздушного зазора много
в
меньше радиуса кольца: dк << rк , а преломляющий
а
участок сферической поверхности (участок ав ) почти
горизонтален. Значит луч 1 в точке а падает почти
dк
перпендикулярно ав , то есть отрезки аm и вm почти
О
rк
m
совпадают: |аm|  |вm| = dк .
rк = |Оm| ; |аm|  |вm| = dк
Геометрическая длина луча 1аmв больше , чем у луча 2в на величину 2dк . Это приводит к оптической разности хода 2dк
nвозд = 2dк (так как nвозд  1) . Но дополнительно надо учесть, что луч 1аmв в точке m отражается от оптически более
плотной среды, то есть его оптическая длина пути изменяется на  /2 . Удобно принять, что она увеличивается на  /2 .
Следовательно, по определению оптической длины луча оптическая разность хода лучей 1аmв и 2в равна
lопт  l2, опт – l1, опт = 2dк +
Подставляем
(12)  (11)

dк = (2к–1)

4

2
.
(12)
( к=1, 2, … )
(13)
По сравнению с (11) значение к=0 отброшено, так как не имеет физического смысла,– толщина воздушного зазора dк не
может быть отрицательной. Теперь число к приобрело смысл номера светлого кольца. Формула (13) – это формула толщины
воздушного зазора в том месте, где наблюдается светлое кольцо Ньютона с номером к . Далее из рис.3 найдем связь искомого
радиуса кривизны линзы R с величинами rк , dк .
По теореме Пифагора :
R 2 = (R – dк )2 + rк2  0 = (–2R + dк ) dк + rк2 .
(14)
R >> dк

–2 R + dк  –2 R

(15)
(13)


(15)
R =

(14)
(2к–1) R
2rк2
( 2к  1)

2
2 R dк =
С
rк2
R–d

= rк2
( к = 1, 2, … )
.
R
dк
Рис.3
rк
(16)
Это расчетная формула для данной лабораторной работы. Она позволяет вычислить радиус кривизны линзы R , измерив
радиус к-го светлого кольца Ньютона и зная длину световой волны.
Задача1. Найти толщину воздушного зазора (между линзой и плоским стеклом ) в точках, где располагается произвольное
темное кольцо Ньютона.
Решение. Условие максимального ослабления двух световых лучей:
Подставляем это в (12)

dк = к
lопт= (2к + 1)

( к = 0, 1, 2, …) .
2

2
( к = 0, 1, 2, …) .
(17)
При к = 0 имеем dк = 0 . Это соответствует темному пятну, которое наблюдается в центре колец Ньютона. В области этого
пятна dк <<  /2 . Поэтому разность хода интерферирующих лучей 1 и 2 возникает только за счет увеличения оптической
длины луча 1 при его отражении от плоского стекла.
Задача 2. Вывести формулу для радиуса произвольного темного кольца Ньютона, считая известным радиус кривизны
линзы R .
2
Дифракция света
Дифракция света – это огибание светом непрозрачной преграды, то есть проникновение света в область геометрической
тени. Теоретическое объяснение дифракции основано на принципе Гюйгенса: каждая точка фронта волны может
рассматриваться как источник вторичной полусферической волны. Это значит, что фронт такой вторичной волны представляет
собой полусферу. Следовательно, световые лучи, испускаемые точечным источником этой вторичной волны, направлены в
любую сторону вдоль радиуса полусферического фронта. Это и позволяет световым лучам попадать в область геометрической
тени. Только в случае, когда размер непрозрачной преграды во много раз больше длины световой волны дифракцией можно
пренебречь, то есть в хорошем приближении выполняются законы геометрической оптики.
Характер дифракционной картины за фронтом, разбитым на гюйгенсовские точечные источники определяется
интерференцией вторичных волн, излучаемых всеми этими источниками. Таким образом, дифракция – это сложный частный
случай интерференции. В точках, где вторичные волны усиливают друг друга, наблюдается дифракционный максимум. В
точках взаимного ослабления вторичных волн имеет место дифракционный минимум.
Дифракционная решетка (к лаб. раб. №46. )
Дифракционная решетка – это плоская система узких, периодически чередующихся прозрачных и непрозрачных полос
(щелей и штрихов). Суммарная ширина прозрачной и непрозрачной полос называется периодом или постоянной
дифракционной решетки (d). На рисунке показано лишь несколько штрихов и щелей (расположенных перпендикулярно
плоскости рисунка). Их число у практически используемой дифракционной решетки ориентировочно составляет несколько
тысяч. Основное назначение дифракционной решетки – измерение длины световой волны.
Обычно световой пучок, направляемый на дифракционную решетку, перпендикулярен (нормален) плоскости решетки. За
решеткой ставится собирающая линза. Если бы постоянная решетки была в огромное число раз больше длины световой волны,
лучи просто собирались бы в заднем фокусе линзы. Если же постоянная решетки d сравнима по порядку величины с длиной
волны  , в фокальной плоскости линзы наблюдается дифракционная картина в виде световых полос, разделенных темными
промежутками. Для объяснения явления применяем принцип Гюйгенса-Френеля к фронту волны, совпадающему с плоскостью
решетки. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, каждую точку щели можно рассматривать как источник вторичной световой
волны с полусферическим фронтом. Тогда каждая точки щели испускает лучи по всевозможным направлениям (в пределах
полусферического фронта). Мысленно выделим на всех щелях соответственные точки, то есть точки, занимающие одинаковое
положение
относительно краев щели. Расстояние между соответственными

d
точками соседних щелей равно постоянной решетки
d .
=ав
Рассмотрим лучи, идущие от соответственных точек всех щелей
параллельно друг другу, – под произвольным углом к главной
l=ас
оптической оси линзы. Из геометрической оптики известно, что
пучок световых лучей, параллельных друг другу, но наклонных по
а  в
вс 
отношению к главной оптической оси собирающей линзы, после
ас
преломления линзой сходится в некоторой точке задней фокальной
с
плоскости FП. Этот пучок собирается там, где FП пересекает
центровой луч, параллельный падающему на линзу пучку. Если
Л
N
фронт исходного пучка перпендикулярен ему, собранные линзой
лучи всегда усиливают друг друга. Отсюда следует, что на рис. 4

лучи сМ и вМ имеют
Рис.4
FП
F
M
одинаковую оптическую длину. Значит оптическая разность хода лучей аМ и вМ , идущих от соответственных точек
соседних щелей, равна
l = |ас| = |ав| sin = dsin .
(18)
Условие взаимного усиления этих лучей:
l = к ( к = 0 , 1 , 2 , …)
(19)
Из (18) и (19) получаем основную формулу дифракционной решетки:
d sin = к ( к = 0 , 1 , 2 , …)
(20)
Эта формула определяет положение световых максимумов, даваемых дифракционной решеткой. Здесь  – угол между
направлением от решетки на точку максимума и нормалью к плоскости решетки ;  – длина световой волны, d – период
решетки. Целое число к называется порядком дифракционного максимума.
При  = 0 имеем центральный максимум, иначе говоря, нулевой максимум, поскольку он соответствует значению
к = 0. Симметрично относительно нулевого максимума (по разные стороны от него) располагаются максимумы более
высокого порядка, соответствующие численно равным, но противоположным по знаку значениям к. Это одноцветные
максимумы (узкие световые линии одинакового цвета), если на дифракционную решетку падает монохроматический световой
пучок, то есть световая волна, имеющая определенную длину  , а значит и определенный цвет.
В общем случае речь идет о немонохроматическом световом пучке, и такой сложный пучок всегда можно рассматривать
как совокупность монохроматических пучков, называемую оптическим спектром изучаемого света. Дифракционная решетка,
согласно (20), обладает способностью разлагать сложный световой пучок на монохроматические пучки, идущие в разных
направлениях,– поскольку для разных  различны углы, под которыми наблюдаются дифракционные максимумы одного и
того же порядка к . Совокупность дифракционных максимумов, соответствующих разным длинам волн, но одному и тому же
к , называется спектром к – го порядка. Таким образом, величина к в формуле (20) при немонохроматичности света,
падающего на решетку, называется порядком спектра. В центре дифракционной картины
3
(при

= 0) в общем случае
расположен нулевой (центральный) дифракционный максимум для всех  , соответствующий к = 0. По разные стороны от
нулевого максимума симметрично расположены спектры, относящиеся к численно равным, но противоположным по знаку
значениям порядка спектра к =  | к |.
Оптический спектр может быть сплошным (непрерывным) или дискретным (линейчатым). Линейчатый спектр выглядит как
совокупность тонких линий разного цвета (максимумов для разных  ), разделенных темными интервалами (дифракционными
минимумами). В случае сплошного спектра линии разного цвета непрерывно переходят друг в друга, то есть темные
интервалы между спектральными линиями отсутствуют.
Поляризация света
Любая электромагнитная волна, в том числе световая волна – это поперечная волна, поскольку напряженностиЕ,Н ,
колебания которых распространяются, перпендикулярны лучу. Если вектор Е в любой точке луча колеблется вдоль одной и
той же оси, волна называется линейно поляризованной. Ось, вдоль которой колеблется вектор электрической напряженности,
называется осью поляризации света. Иначе такая волна называется плоско поляризованной, поскольку вектор Е в любой
точке луча колеблется в одной и той же плоскости, проходящей через луч и ось поляризации. При этом вектор магнитной
напряженности Н также во всех точках колеблется вдоль определенной прямой, перпендикулярной лучу и вектору
Е . Плоскость поляризации – это плоскость, проходящая через луч и вектор электрической напряженностиЕ . График
простейшей электромагнитной волны (рис 1) – это график плоско поляризованной волны.
Нагретые тела излучают неполяризованный свет (его принято называть
Е1
естественным светом). Это значит, что нет преимущественного направления колебаний
Е2
вектора Е . В любой точке неполяризованного луча вектор Е расположен в
плоскости, перпендикулярной данному лучу, но направление вектора Е в этой
Е3
плоскости изменяется со временем хаотически. На рисунке показаны векторы
Е5
электрической напряженности в произвольной фиксированной точке луча в разные
моменты времени: t1 , t2 , t3 , … (луч перпендикулярен плоскости рисунка) .
Е6
Неполяризованность естественного света
Е4
Рис.5
Е7
объясняется тем, что он состоит из элементарных световых волн, излучаемых несогласованно разными атомами и линейно
поляризованных вдоль всевозможных осей. С точки зрения квантовой физики эти злементарные электромагнитные волны – не
что иное, как фотоны.
И электрическую, и магнитную напряженности неполяризованной волны можно представить как векторные суммы двух
соответствующих взаимно перпендикулярных напряженностей : Е =Е1 +Е2 (Е1 Е2 ) ; Н =Н1 +Н2 (H1 H2 ).
Это значит, что неполяризованный луч всегда можно представить как совокупность двух лучей, линейно поляризованных
вдоль взаимно перпендикулярных осей.
Существуют особые оптические системы, называемые поляризаторами , которые преобразуют проходящмй через них
неполяризованный свет в линейно поляризованный. Ось, вдоль которой поляризуется луч, проходя через поляризатор,
называется осью данного поляризатора. Если сквозь поляризатор пропустить луч, поляризованный вдоль оси этого
поляризатора, свойства луча практически не изменятся. Если на поляризатор направить луч, поляризованный
перпендикулярно оси поляризатора, луч будет полностью поглощен поляризатором. Неполяризованный луч, падающий на
поляризатор, можно представить как совокупность двух линейно поляризованных лучей, один из которых поляризован вдоль
оси поляризатора, а второй – перпендикулярно этой оси. Первый из составляющих лучей пройдет сквозь поляризатор почти
без изменения интенсивности, а второй – не пройдет. Поэтому на выходе из поляризатора мы получим луч, линейно
поляризованный вдоль оси поляризатора. Интенсивность этого луча вдвое меньше, чем интенсивность неполяризованного
луча, падающего на поляризатор. Интенсивность светового пучка – это величина, равная энергии световой волны, которая за
единицу времени проходит через единицу площади поперечного сечения пучка.
Если на поляризатор направить световой пучок интенсивности I0 , линейно поляризованный под углом  к плоскости
поляризатора, то на выходе из поляризатора получим пучок, поляризованный вдоль оси поляризатора с инетенсивностью
I =I0 cos2  .
(21)
Это закон Малюса. Он выражает зависимость интенсивности светового пучка,
E2m
прошедшего через поляризатор, от угла между осью поляризатора и осью
E0m
поляризации пучка, падающего на этот поляризатор.
Вывод закона Малюса. Амплитуду электрической напряженности света, падающего
на поляризатор (Em ) , разложим на векторные составляющие, одна из которых ( E1m

O
) направлена вдоль оси поляризатора O P , а вторая (E2m ) – перпендикулярна этой
P
оси.
E1m
Тем самым световой пучок, падающий на поляризатор мы представляем как сумму двух пучков с амплитудами
электрической напряженности E1m и E2m . Первый из составляющих пучков пройдет сквозь поляризатор, а второй будет
поглощен поляризатором. Следовательно, на выходе из поляризатора мы получим световой пучок, поляризованный вдоль оси
поляризатора, и имеющий модуль амплитуды электрической напряженности
E1m =E 0m cos 
E 12m

2
E 0m
= cos2  .
Интенсивность светового пучка пропорциональна квадрату амплитуды электрической напряженности
4

I 1 E 12m
=
= cos2 
2
I 0 E 0m

I  I1 = I0 cos2  .
Для экспериментальной проверки закона Малюса используются два поляризатора (в лаб. раб. № 45 это два поляроида).
Первый поляризатор преобразует исходный неполяризованный световой пучок в пучок, линейно поляризованный вдоль оси
этого поляризатора. Полученный линейно поляризованный пучок интенсивности I0 направляется на второй поляризатор,
который называется анализатором. На выходе из анализатора получаем пучок, линейно поляризованный в плоскости
анализатора. Его интенсивность подчиняется закону Малюса:
I  IA = I0 cos2  .
Теперь можно сказать, что  – это угол между осью первого поляризатора и осью анализатора.
5
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ВОЛНОВОЙ ОПТИКЕ
1.Дать определения следующих понятий: волна, электромагнитная волна, световая волна, когерентные волны, интерференция,
интерференционная картина, амплитуда волны, длина волны, скорость волны, фронт волны, световой луч, гармонические
колебания, частота колебаний, период колебаний, фаза гармонических колебаний, оптическая длина светового луча, абсолютный
показатель преломления, кольца Ньютона, монохроматический свет, дифракционная решетка, постоянная дифракционной
решетки (период решетки), дифракция, угол дифракции, монохроматический свет, оптический спектр, сплошной и линейчатый
оптические спектры, поперечная волна, плоскополяризованный (линейнополяризованный) свет, плоскость поляризации,
естественный (неполяризованный) свет, поляризатор, плоскость поляризатора, ось поляризатора, анализатор, интенсивность
светового пучка, фотон.
Написать формулу связи длины волны и частоты.
2.Написать уравнения простейшей электромагнитной волны [для векторовE(х,t) иH(х,t)]. Нарисовать график этой волны,
относящийся к начальному моменту времени ( t=0 ). Как этот график изменяется с течением времени? Что можно сказать о
поляризации этой волны?
3.Сформулировать принцип Гюйгенса.
4.Сформулировать условия максимального взаимного усиления двух когерентных световых волн. Сформулировать условия
максимального взаимного ослабления двух когерентных световых волн.
5.В каком случае и на какую величину скачкообразно изменяется оптическая длина светового луча при его отражении?
6.Сделать рисунок, поясняющий образование колец Ньютона. Показать на нем ход интерферирующих лучей. Чему равна их
оптическая разность хода? Вывести формулы для радиусов произвольного светлого и произвольного темного колец Ньютона.
7.Как изменится вид колец Ньютона, если вместо монохроматического света использовать белый свет?
8.Почему в центре колец Ньютона наблюдается темный круг?
9.Пояснить, сделав соответствующий рисунок,– как действует дифракционная решетка? Из каких теоретических соображений мы
рассматриваем лучи, идущие от щелей решетки под произвольным углом к первоначальному световому пучку, падающему
перпендикулярно плоскости решетки. В какой плоскости при наличии собирающей линзы наблюдается дифракционная картина?
Вывести основную формулу дифракционной решетки. Почему для получения этой формулы следует рассматривать лучи, идущие
от щелей параллельно друг другу? Показать на рисунке разность хода двух соответственных лучей, идущих от соседних щелей.
Возникает ли разность хода между лучами при их прохождении через линзу?
10.Как в спектре заданного порядка (полученного с помощью дифракционной решетки) взаимно расположены световые
максимумы красного и фиолетового цвета? Какой из этих максимумов ближе к центральному максимуму нулевого порядка?
Ответ обосновать.
11.Какую роль при наблюдении спектра от дифракционной решетки играет собирающая линза? Что такое линза, главная
оптическая ось линзы, фокус линзы, фокальная плоскость?
12.Пусть на собирающую линзу падает пучок световых лучей, параллельных друг другу, но наклонных по отношению к главной
оптической оси линзы. Каков ход этих лучей после их преломления линзой?
13.Пусть исследуемый сложный световой пучок, пройдя через дифракционную решетку, непосредственно падает на экран, то есть
линза между решеткой и экраном отсутствует. Будет ли в этом случае наблюдаться на экране оптический спектр? Справедлива ли
в этом случае основная формула дифракционной решетки?
14.Какая еще оптическая система, кроме дифракционной решетки, способна разлагать сложный (то есть немонохроматический)
световой пучок на монохроматические пучки? На каком явлении основана эта способность? Что такое дисперсия света?
2. Как связана интенсивность света с амплитудой электрической напряженности?
15.Пусть на поляризатор падает световой пучок, поляризованный вдоль оси этого поляризатора. Что можно сказать об
интенсивности пучка на выходе из поляризатора?
16.Пусть на поляризатор падает световой пучок, поляризованный вдоль оси, перпендикулярной оси поляризатора. Что можно
сказать об интенсивности этого пучка на выходе из поляризатора?
17.Почему свет, излучаемый раскаленными телами, не поляризован?
18.Пусть на поляризатор падает естественный световой пучок. Что можно сказать об интенсивности этого пучка на выходе из
поляризатора?
19. Сформулировать и вывести аналитически закон Малюса.
20.Рассказать суть опыта Юнга по дифракции света от двух щелей. Сделать соответствующий рисунок и вывести формулу для
координат световых максимумов.
21. Метод зон Френеля.
6