Лаб. работа "Измерение модуля Юнга методом акустического

ОПРЕЛЕНИЕ
УПРУГИХ
ХАРАКТЕРИСТИК
ТВЕРДЫХ
ТЕЛ.
ИССЛЕДОВАНИЕ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ.
Цель работы
Измерение модуля Юнга различных материалов. Измерение скорости распространения
продольных колебаний в тонких стрежнях. Исследование явления акустического резонанса.
В
работе
используются:
генератор
звуковых
частот,
частотомер,
осциллограф,
электромагнитные излучатель и приемник акустических колебаний, набор образцов в виде
стержней и «толстых» цилиндров из различных материалов (стали, алюминия, латуни,
текстолита и т. д.).
Распространение продольных волн в тонких стержнях. Акустические волны,
распространяющиеся в металлических стержнях, существенно отличаются от волн в
неограниченной среде. Строгий анализ распространения таких волн связан с довольно
громоздкими и трудными математическими расчетами. Будем рассматривать волны, длина
которых λ велика или сравнима с радиусом R стержня. Рассмотрим распространение
продольной волны вдоль оси тонкого стержня постоянного сечения площадью S. Стержень
считается тонким в том случае, когда радиус стержня R мал по сравнению с длиной волны
λ, т.е.
R

 1 . Направим ось x вдоль геометрической оси стержня (рис. 1).
Рис. 1. Силы, действующие на элемент стержня при продольных колебаниях.
Под действием продольной силы F элементарный отрезок стержня Δx, ограниченный
плоскостями Δx и x + Δx , растянется или сожмется на величину Δξ . Относительное
удлинение, т.е. деформация элемента стержня, равна ∂ξ/∂x . Напряжение σ, т.е. сила,
действующая на единицу поперечного сечения стержня, согласно закону Гука, равна:

F

E
S
x
(1)
Коэффициент пропорциональности Е носит название модуля Юнга и имеет размерность
Н/м2.
В результате переменной деформации вдоль оси стержня будет распространяться
продольная волна. Действительно, в сечениях x и x + Δx напряжения будут различными, а
их разность можно записать следующим образом:
 ( x  x)   ( x) 
1 F
 F

x   x 
x
S x
x  S 
x
(2)
Эта разность напряжений вызовет движение элемента стержня массой m = SρΔx вдоль оси x
(ρ - плотность материала стержня). Используя соотношения (1) и (2), на основании второго
закона Ньютона уравнение движения этого элемента можно записать в виде:
S    x 
 2
 2

S

E

 x
t 2
x 2
(3)
Обозначив Ε/ρ через (сст)2, выражение (3) запишем в следующем виде:
2
 2
2  

(
c
)

ст
t 2
x 2
(4)
Это уравнение носит название «волнового уравнения». Оно, в частности, описывает
распространение продольных волн в стержне. Общее решение волнового уравнения можно
представить в форме двух бегущих волн, распространяющихся в обе стороны вдоль оси x со
скоростью сст:
 ( x, t )  f (cст  t  x)  g (cст  t  x)
(5)
где f и g- произвольные функции. В случае гармонического возбуждения колебаний
функции f и g являются синусоидальными  ( x, t )  A sin( cст  t  x)  g (cст  t  x) . Параметр
ccm в выражениях (4) и (5) имеет смысл скорости распространения волны. В
рассматриваемом нами случае
R

 0 скорость распространения упругой продольной
волны стремится к величине
ccm  c 
E

(6)
В данной работе используются именно такие волны. Отметим, что в высокочастотном
пределе при
R

 1 скорость акустических волн в стержне стремится к скорости
продольных волн в неограниченной среде:
ci 
E (1   )
 (1   )(1  2  )
(7)
где, µ - коэффициент Пуассона.
Измерение скорости распространения продольных волн в стержне.
Зная плотность материала и величину скорости cст можно по формуле (6) вычислить
модуль Юнга материала Е. Для определения скорости cст в данной работе используется
метод акустического резонанса. Это явление состоит в том, что при определенных частотах
гармонического возбуждения колебаний волны, распространяющиеся по стержню в
противоположные стороны, оказываются в одинаковой фазе, что приводит к резкому
увеличению амплитуды колебаний.
В данной работе возбуждение колебаний происходит посредством воздействия на торец
стержня периодической силой, направленной вдоль его оси. Возбуждаемая при этом волна
испытывает многократные отражения от торцов стержня. При этом прямая и отраженная
волны оказываются в фазе и усиливают друг друга, если на длине стержня укладывается
целое число полуволн, т.е. L  n   / 2 , где L – длина стержня, а n – произвольное целое
число. Число n называют номером гармоники. Зная номер гармоники и частоту fn, на
которой
наблюдается
периодическим
резонансное
воздействием
на
усиление
торец
амплитуды
стержня
можно
колебаний,
рассчитать
вызванных
скорость
распространения продольных волн в стержне:
cст 
2  L  fn
n
(8)
Таким образом, для того, чтобы измерить скорость сст, нужно измерить частоты, на
которых наблюдаются акустические резонансы и, зная номера гармоник и геометрические
размеры стержня, рассчитать скорость по формуле (8). Далее, по формуле (6) можно
рассчитать и модуль Юнга материала, из которого изготовлен стержень. Этот метод
определения модуль Юнга материала является одним из самых точных.
Описание экспериментальной установки
Схема экспериментальной установки приведена на рисунке 2. Исследуемый образец 5 в
виде тонкого стержня или цилиндра закрепляется при помощи двух опорных призмах на
стойке 10. Рядом с торцами стержня расположены электромагниты 4 и 6. Крепления
электромагнитов (9, 11) дают возможность регулировать их расположение по высоте, а
также перемещать вправо-влево по направляющей 12.
Электромагнит 4 служит для возбуждения упругих механических колебаний в образце. Он
создает переменное синусоидальное магнитное поле, которое воздействует на небольшой
магнит, вмонтированный в торец стержня. Сигнал на возбуждающий электромагнит
подается с генератора звуковой частоты 1. Также сигнал с генератора поступает на
частотомер 2 и вход канала I осциллографа 3.
Приемный электромагнит 6 служит для преобразования механических колебаний в
электрические. Сигнал от него поступает на усилитель звуковой частоты 7, а с выхода
усилителя - на вход канала II осциллографа.
Рис. 2: Схема установки.
1 - генератор звуковой частоты, 2 - частотомер, 3 - осциллограф, 4 -электромагнитвозбудитель, 5 - образец, 6 - электромагнит-приемник, 7 - усилитель звуковой частоты, 8 блок питания усилителя, 9,11 -стойки крепления электромагнитов, 10 - стойка крепления
образца, 12 -направляющая.
Задание
Задания, отмеченные звездочкой, выполняются по указанию преподавателя.
1. Включить питание всех приборов и дождаться их прогрева (3-5 минут). При помощи
осциллографа проконтролировать наличие сигнала генератора. Установить на генераторе
частоту 1000 Гц.
2. Отдодвинув среднюю стойку, сдвинуть электромагниты на расстояние 10-15 см.
Проконтролировать сигнал с приемного электромагнита на экране осциллографа. При этом
как и во всех следующих опытах рекомендуется использовать сигнал генератора в качестве
опорного для синхронизации осциллографа.
3. * Определить рабочий диапазон частот установки. Для этого, понижая частоту
генератора, добиться падения амплитуды принятого сигнала в два раза по сравнению с
амплитудой на частоте 1000 Гц. Найденное значение частоты принять за нижнюю границу
диапазона. Аналогично, повышая частоту, найти верхнюю границу.
4. * Измерить зависимость сдвига фаз между сигналом с генератора и сигналом
приемного электромагнита от частоты.
с
5. Вернуть среднюю стойку в исходное положение. Разместить при помощи опорных
призм один из стержней так, чтобы его центр тяжести находился между призмами. Т.е.
Зафиксировать стержень в точке, являющейся его центром масс. Выставить электромагниты
напротив торцов стержня так, чтобы зазор между полюсами электромагнита и торцевой
поверхностью составлял 1-3 мм. Не допускать соприкосновения электромагнита со
стержнем!
5. Медленно перестраивая звуковой генератор в диапазоне от 2000 до 6000 Гц, найти
резонанс, наблюдая за амплитудой колебаний на экране осциллографа. При приближении к
резонансу амплитуда принятого сигнала резко возрастает. Точно найденный резонанс
характеризуется следующими признаками:
 амплитуда принятого сигнала достигает максимума;
 амплитуда не меняется во времени (отсутствуют «биения»);
Внимание! Для металлических образцов резонансная кривая имеет очень острый пик, его
ширина составляет единицы герц. Перестройку генератора необходимо производить
максимально плавно и медленно.
6.
Считать значение резонансной частоты fрез с индикатора частотомера и записать в
лабораторный журнал.
6б*. Перестраивая генератор в близи частоты равной fрез/2, добиться возбуждения
резонансных колебаний в стержне. Сигнал с приемного электромагнита при этом будет
иметь частоту fрез, т.е. в два раза превышать частоту возбуждающего сигнала. Постарайтесь
объяснить это явление.
7. Получить резонанс на частотах, соответствующих следующим гармоникам Для этого,
плавно перестраивая генератор в районе частоты 2 fрез, добиться резонанса, аналогично п. 5.
Записать точное значение частоты в лабораторный журнал. Пронаблюдать возникновение
резонансов на частотах 3 fрез, и 4 fрез и т. д. в пределах рабочего диапазона, найденного в
п. 3. При этом гармоники четных номеров будут гораздо слабее. Объясните, почему. По
результатам постройте график зависимости fрез(n), где n – номер гармоники.
8. Измерить длину стержня или цилиндра и записать в лабораторный журнал.
9. Повторить п.п. 4-8 со всеми остальными образцами.
10*. Определить декременты затухания из опытов на тонких стержнях.
11. Определить плотность материала каждого из образцов. Для этого необходимо взвесить
образец и измерить его линейные размеры. Диаметр образца измерять в пяти местах: два у
торцов образца, один в середине длины и два между этими точками. Зная массу m, длину l и
средний диаметр d, вычислить плотность по формуле:
ρ  m  4m
V πd 2l
12. Вычислить скорость звука, модуль Юнга для каждого из образцов, используя формулы
(6) и (8) для тонких стержней. Рассчитать погрешности измерения. Представить результаты
в виде таблиц и графиков. Сравнить полученные величины модулей Юнга с табличными
значениями.