1.3. Энергия системы электрических зарядов. Работа ... ремещению зарядов в поле

1.3. Энергия системы электрических зарядов. Работа по перемещению зарядов в поле
1.3.1. Точечный заряд q = 1 нКл, находясь в некоторой точке электрического поля обладает потенциальной энергией П = 10 мкДж.
Определить потенциал поля в этой точке.
Решение
1.Между потенциалом в данной точке поля и потенциальной энергией заряда существует следующая взаимосвязь
6

П 10

 1кВ  м .
q 10 9
(1)
1.3.2. При перемещении электрического заряда q = 20 нКл между
двумя точками поля внешними силами была совершена работа А = 4
мкДж. Определить работу А1 сил поля и разность потенциалов 
между этими точками.
Решение
1.Определим разность потенциалов между заданными точками
6
A 4 10
4

 2 10 В  м .
(1)
q 2 10 10
2. При перемещении заряда в электрическом поле работа внешних
сил равна по модулю работе поля и противоположна ей по знаку
(2)
A  A1    4 мкДж .
 
1.3.3. Электрическое поле создано положительным точечным зарядом q1 = 6 нКл. Положительный заряд q2 переносится из точка А в
точку В этого поля. Каково изменение потенциальной энергии П, приходящееся на единицу переносимого заряда, если r1 = 0,2 м, r2 = 0,5 м?
А
q1
r1
В
r2
Решение
1.Работа по перемещению заряда определяется уравнением
A AB  q 2 2  1  .
52
(1)
2. Подставим значение потенциалов 1 и 2 в уравнение (1)
 q1
q 1  q 1q 2  1 1 

   .
(2)
A AB  q 2 


 4 0 r2 4 0 r1  4 0  r2 r2 
3. Изменение потенциальной энергии, приходящееся на единицу
заряда q2
q 1 1

 1
1 
Дж
.
(3)
 1     6 10 9  9 10 9 

  162
q2
4 0  r2 r1 
Кл
 0,5 0,2 
1.3.4. Электрическое поле создано
точечным зарядом q1 = 50 нКл. Не пользуясь понятием потенциала, вычислить
работу А внешних сил по перемещению
точечного заряда q2 =  2 нКл из точки С
в точку В, если r1 = 0,1 м, r2 = 0,2 м.
Определить изменение потенциальной
энергии системы зарядов.
-q2
С
r1
q1
r2
В
Решение
1. Запишем уравнение элементарной работы, совершаемой внешними силами при перемещении отрицательного заряда q2
qq
dA  Fdr  1 2 2 dr .
(1)
4 0 r
2. Полная работа при перемещении заряда из точки С в точку В
r
q q 2 dr q1q 2  1 1 
  .
(2)
A CB  1 2

4 0 r1 r 2 4 0  r2 r1 
3. Изменение потенциальной энергии при перемещении заряда q2 в
электрическом поле заряда q1 будет равно работе внешних сил
qq 1 1
 1
1 
  1 2     5 10 8   2 10 9  9 10 9 
   45 мкДж . (3)
4 0  r2 r1 
 0,2 0,1 

1.3.5. Электрическое поле создано точечным зарядом q1 = 1 нКл.
Определить напряжённость и потенциал в точке А, удалённой на расстояние r = 0,2 м от заряда. Какую работу необходимо совершить,
чтобы заряд q2 = 0,1 нКл удалить из точки А в бесконечность?
Решение
1. Найдём величину потенциала, создаваемого зарядом q1 в заданной
53
точке
1 q1
10 9
 9 10 9
 45 B .
(1)
4 0 r
0,2
2. Определим модуль напряжённости электрического поля в точке А
  45
В
(2)
E 
 225 .
r 0,2
м
3. Величина работы, совершаемой сторонними силами при перемещении заряда q2 в поле заряда q1 из точки А в бесконечность определится уравнением (2) предыдущей задачи

q q dr q q  1 1 
A A  1 2  2  1 2     9 10 9 10 9 10 10  5  4,5 нДж . (3)
4 0 r r
4 0   r 

d
q1
r1
q2
r2
А
1.3.6. Определить потенциал электрического поля точки, удалённой от
зарядов q1 =  0,2 нКл и q2 = 0, 5 нКл
соответственно на r1 = 0,15 м и r2 =
0,25 м. Определить минимальное и максимальное расстояние между зарядами,
при которых возможно решение.
Решение
1. Потенциал поля в тоске А будет определяться алгебраической
суммой потенциалов 1 и 2
i2
1  q1 q 2 
 0,2
0,5 
     9 
(1)
 A  i 

  6B .
4 0  r1 r2 
0
,
15
0
,25 
i 1

2. Точка А может располагаться от зарядов q1 и q2 на расстоянии r1 и
r2 при d  dmin = r2  r1 = 0,1 м или d  dmax = r2 + r1 = 0,4 м.

Е1
А
1.3.7. Заряды q1 = 1 мКл и q2 =  1 мКл
находятся на расстоянии d = 0,1 м. Определить напряжённость и потенциал поля
в точке, удалённой на расстояние r = 0,1 м
от первого заряда и лежащей на линии,
проходящей через первый заряд перпендикулярно направлению от q1 к q2.
ЕА
r Е2
q1
d
q2
Решение
1. Определим напряжённости электрического поля, создаваемого зарядами
54
q 2
1 q1
1
1 q 2

, E2 
.
(1)
4 0 r 2  d 2 4 0 2r 2
4 0 r 2
2. Модуль результирующего вектора напряжённости поля, создаваемого зарядами в заданной токе А, определится в виде геометрической
суммы
E1 
2
2

 q  q 
 q  q 
E A   k 2    k 2   2 k 2  k 2  cos135 0 ,
 r   2r 
 r  2r 
(2)

q
1
2
1 10 6
кВ
.
(3)
EA  k 2 1  2
 9 10 9
 0,73  660
2
r
4
4
10
м
3. Потенциал поля в точке А будет равен алгебраической сумме потенциалов
i2
1 q
1
q
q
1 
10 6
  9 10 9
   i 

 k 1 
 26,4 кВ . (4)
4 0 r 4 0 2r
r
0,1
i 1
2
1.3.8. Вычислить потенциальную энергию П системы двух точечных
зарядов q1 = 100 нКл и q2 = 10 нКл, находящихся на расстоянии d = 0,1
м друг от друга.
Решение
1. Потенциальная энергия системы заданных зарядов определится
уравнением
1 q 1q 2
10 7 10 8

 9 10 9
 90 мкДж .
(1)
4 0 d
0,1
1.3.9. Найти потенциальную энергию
П системы трёх точечных зарядов q1 =
10 нКл, q2 = 20 нКл, q3 =  30 нКл, расположенных в вершиной равностороннего
треугольника с длиной стороны а = 0,1м.
q1
а
q2
Решение
а
1. Потенциальная энергия системы
зарядов определится в виде суммы энергий их парного взаимодействия
1
q1q 2  q1q 3  q 2 q 3  ,
  12  13   23 
4 0 a
55
а
q3
(1)

9 10 9
2 10 16  3 10 16  6 10 16   63 мДж .
0,1
а
q1
q2
а
а
(2)
1.3.10. Какова потенциальная энергия П
четырёх одинаковых точечных электрических зарядов {q1 = q2 = q3 = q4 = 10  8 Кл },
расположенных в вершинах квадрата с
длиной стороны а = 0,1 м.
Решение
1. Потенциальная энергия заданной системы четырёх зарядов равна алгебраичеq3
а
ской сумме энергий парного взаимодействия зарядов
(1)
  12  13  14   23   24   34 ,
q4


q2 
1
1
q2 
2 
1 
 4 
 ,
11
 1 
4 0 a 
2
2  4 0 a 
2
10 16
  9 10 9
 5,42  48,8 мкДж .
0,1
(2)
(3)
1.3.11. Определить потенциальную энергию системы четырёх одинаковых по модулю точечных зарядов |q| = 10 нКл, расположенных в
вершинах квадрата со стороной а = 0,1 м. Два заряда положительны, а
два других имеют противоположный знак. Рассмотреть два возможных варианта расположения зарядов.
Решение
1. Рассмотрим случай расположения зарядов
одного знака в противоположных вершинах
квадрата
1  12  13  14   23   24   34 ,
а
q1
q2
а
а
1 

q2 
1
1
 1
1 1 
 1 
4 0 a 
2
2 

q2  2
10 16  9 10 9

 4   

. (1)
4 0 a  2
0,1

 23,3 мкДж.
2. Расположим далее отрицательные заряды в смежных вершинах
q4
а
q3
1 
56
а
 2  12  13  14   23   24   34 ,

q2 
1
1
  1 
2 
11
 1 
4 0 a 
2
2 
2
q

 12,7 мкДж .
4 0 a
q1
q2
а
а
(2)
q4
q3
а
1.3.12. Система пяти положительных одинаковых точечных зарядов q = 1 мкКл представляет собой линейную решётку с периодом d =
10 см. Определить потенциальную энергию системы.
d
d
q2
q1
d
d
q3
q5
q4
Решение
1. Как и в предыдущих задачах, потенциальная энергия системы зарядов определится в виде суммы потенциальных энергий, обусловленных парным взаимодействием
 
i10

i
,
(1)
i1
   12  13  14  15   23   24   25   34   35   45 , (2)
 
q2  1 1 1
1 1
1 
1     1    1   1 ,
4 0 d  2 3 4
2 3
2 
(3)
9 10 9 10 12
 6,2  0,6 Дж .
0,1
(4)
 
1.3.13. Система состоит из трех зарядов  двух одинаковых по величине q1 = |q2|
= 1 мкКл и противоположных по знаку и
заряда q = 20 нКл, расположенного в точке
1 посередине между двумя другими зарядами. Определить изменение потенциальной энергии системы П при перемещении
заряда q из точки 1 в точку 2, если эти
точки удалены от отрицательного заряда
на расстояние а = 0,2 м.
57
q
а
q1
1
q
2
а
а
q2
Решение
1. Определим величину потенциальной энергии системы зарядов при
расположении q в точке 1
qq
qq
qq
qq
1  1  1 1  1   1 1
(1)
4 0 a 4 0 2a 4 0 a
4 0 2a
2. Потенциальная энергия при расположении заряда q в точке 2
qq
q 1q
qq
2   1 1 
 1 .
(2)
4 0 2a 4 0 5a 4 0 a
3. Изменение потенциальной энергии при перемещении заряда из
точки 1 в точку 2 составит

qq  1
10 6  2 10 8  9 10 9
   2  1  1 
 1  
 497 ,5 мкДж . (3)
4 0 a  5 
0,2
1.3.14. По тонкому кольцу радиусом R = 0,1 м равномерно распределён заряд с линейной плотностью  = 10 нКл/м. Определить потенциал
 в точке, лежащей на оси кольца, на расстоянии а = 5 см от центра.
Решение
dl

О
а
R

1. Выделим элемент кольца dl, заряд которого
можно считать точечным
(1)
dQ  dl .
2. Полный заряд кольца определится следующим
интегралом
2 R
Q
 dl  2R .
(2)
0
3. Расстояние от плоскости кольца до заданной
точки
(3)
r  R2  a2  a 5 .
4. Потенциал, создаваемый заряженным кольцом
на расстоянии а от центра
2R
0,1 10 8


 505 В .
(4)
1 2
4 0 a 5 2  9 10  0,11
1.3.15. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно распределён заряд с линейной плотностью  = 10 нКл/м. Вычислить потенциал  электрического поля, расположенной на оси проводника и удалённой на расстояние а = 0,2 м от ближайшего конца проводника.
58
Решение
l
l
1. Рассмотрим элементарный


участок стержня протяжённох
стью dх, заряд, которого можно
dx
представить как
dQ  dx .
(1)
2. Определим потенциал, создаваемый выделенным участком проводника на удалении х по оси
1 dQ
1 dx
.
(2)
d 

4 0 x
4 0 x
3. Применим далее принцип суперпозиции, т.е. определим множество значений элементарных потенциалов и сложим их, т.е. проинтегрируем уравнение для элементарного потенциала
2l

dx


   d 

ln x 
ln 2 .
(3)
4 0 l x
4 0
4 0
Подстановка численных значений дает:
  9 10 9 10 8  0,7  63 B .
(4)
1.3.16. Тонкий стержень длиной L = 0,1 м несёт равномерно распределённый заряд Q = 1 нКл. Определить потенциал  электрического
поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии а = 0,2 м от
ближайшего его конца.
Решение
1. Выделим элементарную
длину стержня dx и определим её
электрический заряд
dx
Q
а
x
L
Q
dx .
(1)
L
2. Определим потенциал, создаваемый зарядом dQ в заданной точке
1 Qdx
d 
.
(2)
4 0 Lx
3. Потенциал всего стержня определится посредствам следующего
определённого интеграла
dQ 

Q
4 0 L
a L

a
a L
dx
Q

ln x
x
4 0 L
a


Q
aL
ln
,
4 0 L
a
10 9  9 10 9 0,3
ln
 36,5 В .
0,1
0,2
59
(3)
(4)