7.1. Основные понятия

Тема 7. Колебания и волны
§7.1. Основные понятия
Колебания – это движения или процессы, обладающие той или иной
степенью повторяемости во времени.
Колебания широко распространены в природе и имеют место в самых
разнообразных явлениях, например, качание маятника пружинных часов,
мигание индикатора таймера, изменение значения переменного тока,
величины
напряжения
на
обкладках
конденсатора,
включенного
в
колебательный контур и т. п. Повторяющиеся процессы протекают внутри
живых организмов, например, биение сердца, чередование промежутков сна
и бодрствования, ритмы, сопровождающие работу человеческого мозга.
Таким образом, колебания присутствуют как в живой, так и в неживой
природе; в микроскопических и макроскопических процессах.
Важнейшая особенность колебательного движения состоит в том, что
оно происходит в системах, занимающих ограниченную часть пространства.
Так, совершая колебательное механическое движение, система движется
около некоторого положения равновесия, но энергия системы не выходит за
пределы границ системы. Колеблющаяся величина, заключена в некоторый
интервал, содержащий ее среднее значение. Несмотря на качественное
различие тех или иных колебательных процессов, все они могут быть
описаны одними и теми же количественными законами.
Свободные, или собственные колебания – это колебания, которые
происходят
в
системе,
выведенной
из
состояния
равновесия
и
предоставленной самой себе.
Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых
колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или
косинуса. Гармонические колебания представляют собой простейшие
колебания.
Уравнение гармонически меняющейся величины  может быть как с
помощью функции синуса, так и с помощью функции косинуса следующим
образом:
или
  A cost  0 
(4.1,а)
  A sin t  0  .
(4.1,б)
В формулу (4.1) входят следующие величины:
Амплитуда колебаний А – наибольшее значение колеблющейся
величины  . Из (4.1) следует, что А  0 .
Фаза колебаний –   t  0 – аргумент функции синуса или косинуса
в уравнении гармонического колебания.
Начальная фаза колебаний –  0 значение фазы  в момент времени
t  0.
При необходимости, переход от функции синуса к функции косинуса
осуществляется по формулам приведения, при этом изменяется начальная
фаза колебаний. Например, в формулах 4.1 0   0   2 .
Период колебаний T – это время, за которое совершается одно
полное колебание.
Можно говорить, что период – это наименьший промежуток времени,
по истечении которого колеблющаяся величина  имеет то же самое
значение и ту же скорость изменения.
Частота колебаний  ( n , или f ) – величина обратная периоду
колебаний
 1 T .
Круговая, или циклическая, частота  связана с частотой 
соотношением
  2 .
Измеряется циклическая частота в с–1. Она показывает, какое число
колебаний происходит за 2 секунд.
Используя определение периодичной функции –
запишем:
F x   F x  T  ,
  A cost  0   A cos t  T   0 .
Поскольку функция   A cost  0  имеет период 2 , то сравнение
фаз колебаний позволяет установить связь периода колебаний с циклической
частотой:
 t  T   0  t  0  2 ,
отсюда следует, что
T  2  .
Частота показывает, какое число колебаний совершается за единицу
времени (секунду). Измеряется частота в герцах:    Гц. 1Гц – это такая
частота, при которой в единицу времени совершается одно колебание.


Скорость изменения  и ускорение – a колеблющейся величины 
определяется обычным образом (по формулам (1.4) и (1.7)):
d
 A sin t  0 
dt
(4.2)
d d 2
 2   A 2 cost  0 
dt
dt
(4.3)

a
Начальную фазу колебаний, можно определить с помощью первого из
уравнений (4.1) по известным начальным условиям 0 , 0 :
0   t  0  a cos 0
и
0   t  0 
d
 a sin 0 .
dt
Откуда следует:
tg0 
0
.
 0
(4.4)
Амплитуду гармонически колеблющейся величины можно вычислить
по формуле:
A  02  02  2 .
§7.2. Сложение колебаний одного направления
(4.5)
Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях
1 и 2 одного направления и одной частоты  :
1 t   a1 cost  01 ,  2 t   a2 cost  02  .
(4.6)
По принципу суперпозиции результирующее смещение равно
алгебраической сумме смещений, полученных в каждом из колебаний, т. е.:
A  1   2  a1 cost  01   a2 cost  02  .
(4.7)
Предположим, что амплитуды обоих колебаний равны, т.е. a1  a2  a .
Используем тригонометрическую формулу для суммы двух косинусов и
преобразуем формулу (4.7):
  01   02
A  2a cos
2

   02
 
 sin  t  01
 
2
 
   02


  A РЕЗ sin  t  01


2






(4.8)
Таким образом, при суперпозиции колебаний одной частоты, одного
направления и одинаковой амплитуды возникает гармоническое колебание с
той же самой частотой  , и амплитудой, зависящей от разности начальных
фаз колебаний и равной
   
AРЕЗ  2a cos 01 02  .
2


(4.9)
В частности: при 01  02 имеем AРЕЗ  2a , 01  02   при амплитуда
результирующего колебания равна нулю.
§7.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Сложение колебаний c рациональным отношением частот, но
направленных вдоль взаимно перпендикулярных осей X и Y
 X  a cos1t  1 

Y  b cos2t  2 
(4.14)
экспериментально исследовал А. Лиссажу. Он показал, что точка,
участвующая в таких колебаниях, движется по плоским замкнутым
траекториям, которые получили, в последствии, название фигур Лиссажу.
Пусть материальная точка участвует в двух колебаниях, определяемых
уравнениями (4.15). Найдем уравнение траектории  Х ,У   0 материальной
точки на координатной плоскости Х ,У . Для упрощения предположим, что
частоты колебаний равны, а начальная фаза первого колебания равна нулю
(этого можно добиться соответствующим выбором начального момента
времени), начальную фазу второго колебания обозначим через  . Уравнения
колебаний примут ви