Математический анализ 1, 2

Кружок "Математика, обратная сторона". Третий год обучения.
2009-2010 учебный год.
http://www.kazan-math.info/
Математический анализ 1, пределы и не страшно)
1. Расстояние между Ахиллом и черепахой 1 км. В одно и тоже время они начинают двигаться по прямой в
одну сторону (ахилл в сторону черепахи) с постоянными скоростями. Скорость Ахилла в два раза больше скорости
черепахи. Докажите, что Ахилл никогда не догонит черепаху.
Решение. Когда Ахилл дойдет до места откуда стартовала черепаха, то черепаха уйдет на 0,5 километра. Когда
Ахилл пройдет иди 0,5 километра, то черепаха пройдет 0,25 км. В общем случае получается, что когда Ахилл пройдет
расстояни которое ему осталось до черепахи (x), черепаха успеет уйти на x/2. А значит между ними всегда будет
ненулевое расстояние
Где ошибка этого рассуждения?
2. Докажите равенство 1 + 12 + 14 + . . . = 2.
bq
.
3. Найдите сумму бесконечной геометрической последовательности, т.е. b + qb + qb2 + . . . = q−1
x−1
4. Найдет сумму 1 + 2 + 4 + . . . + 2n + . . .. Пусть она равна x Тогда 2 + 4 + . . . = x − 1, 1 + 2 + . . . = x−1
2 , x= 2 , а
значит x = −1. Где ошибка?
5. Для строгости в доказательстве задаче 2 нужна еще два факта. 1. Доказать, что при добавлении к равенству
очередного числа мы не перескочим числа 2. 2. Доказать, что, прибавляя поочередно несколько членов суммы, мы
сможем подойти к 2 сколь угодно близко к числу 2.
Определение. Говорят, что числа a является пределом последовательности xn если члены последовательности
сколь угодно близко "подходят к числу а". Более строго в любой окрестности числа a с какого-то члена последовательности будут находиться ВСЕ члены последовательности.
6. Найти предел последовательности xn = n−1
n
7. xn = 2nn
n
8. xn = 2n!
9. (*) Чему равна сумма 12 + 24 + 38 + . . . + 2nn + . . .?
Обычно предел послеовательности обозначают так lim xn
x→∞
10. Поймите почему можно преобразовывать подпредельное выражение. Также можно из подпредельного выражения выносить числовой множитель. Что вы можете сказать о пределе суммы двух последовательностей? а о
произведении? а об отношении?
Найдите предел:
n
11. xn = 2n+1
12. xn =
n2 +1
n−1
P (n)
Q(n) .
n
13. xn =
Подумайте как ответ связан со степенью многочленов.
14. xn = q
1
15. lim (n) n = 1.
n→∞
1
16. lim (a) n = 1 (a > 0);
n→∞
17. lim (q)n = 0 при |q| < 1;
n→∞
(−2)n +3n
n+1 +3n+1 ;
(−2)
n→∞
2
n
lim 1+a+a2 +...+an ,
n→∞ 1+b+b +...+b
18. lim
19.
|a| < 1, |b| < 1;
Кружок "Математика, обратная сторона". Третий год обучения.
2009-2010 учебный год.
http://www.kazan-math.info/
Математический анализ 2. Продолжение.
Предполагая, что n пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений.
(−2)n +3n
1. lim (−2)
n+1 +3n+1 ;
n→∞ ¡
¢
1
2. lim n2 + n22 + . . . + n−1
;
2
n
n→∞ ¯
¯
n−1
¯
¯
3. lim ¯ n1 − n2 + . . . + (−1)n n ¯;
n→∞ ³
´
2
2
2
4. lim n1 3 + n2 3 + . . . + (n−1)
;
3
n
n→∞ ³
´
2
2
2
5. lim n1 3 + n3 3 + . . . + (2n−1)
;
n3
n→∞ ³
´
1
1
1
;
6. lim 1·2
+ 2·3
+ . . . + n(n+1)
n→∞ ¡
¢
1
2n−1
3
7. lim 2 + 22 + . . . + 2n .
n→∞
1
Решение. zn ≡ (n) n − 1(> 0) =⇒ n = (1 + zn )n = 1 + nzn +