1. Электростатика Урок 3 1

1. Электростатика
1.
1
Электростатика
Урок 3
Диполь
1.1. (Задача 1.27 из задачника) Найти потенциал и напряженность поля диполя
с дипольным моментом p.
Решение Рассмотрим два одинаковых по величине и разных по знаку заряда,
находящихся на расстоянии a друг от друга (см. рис.).
Потенциал такой системы в некоторой точке можно за
писать (по принципу суперпозиции) как
r1
r2
µ
¶
1
r2 − r1
1
ϕd = q
−
=q
.
r1 r2
r1 r2
-q
q
a
Для вычисления этого выражения предположим, что
r1 À a, r2 À a. Домножим числитель и знаменатель
полученного выражения r1 + r2 и пренебрежем различиями между r1 и r2 в знаменателе
(r2 − r1 ) (r2 + r1 )
r22 − r12
=
.
2r3
2r3
Используя векторное соотношение, a + r1 = r2 ,, можно получить
ϕd =
rp
,
r3
где p = qa и вектор p, который называется дипольным моментом, направлен от −q
к +q. Для системы зарядов потенциал электростатического поля вдали от области их
размещения
Q Rd
ϕ= + 3,
R
R
P
P
ri qi , а R – вектор из начала координат в точку, наблюдения.
где Q = i qi , d =
Начало координат выбрано где-то внутри системы зарядов. Тогда поле в точке R
µ
¶
Rd
d
3R (Rd)
E = −∇
=
−
+
R3
R3
R5
При выводе этого соотношения использовались правила обращения с оператором ∇
∇R = R/R,
∇(ab) = a∇b + b∇a.
2
1.2. (Задача 1.28 из задачника) Найти силу и вращательный момент, приложенные к электрическому диполю с моментом P в поле точечного заряда q.
Решение Сила, действующая на диполь в поле точечного заряда q, является
суммой сил, действующих на заряды диполя со стороны заряда q:
F = F1 + F2 = Q(E2 − E1 ),
(1)
где E1 – напряженность электрического поля, создаваемая зарядом q в точке нахождения отрицательного заряда диполя (−Q); E2 – в точке нахождения положиuur
тельного заряда диполя. Если расстояние между зарядами
F
+Q
диполя мало по сравнению с расстоянием, на котором наur
r P
l
ходится диполь от заряда, то поле E2 можно разложить в
ur r
R+l
r
ряд Тейлора и оставить в нем два первых отличных от нуля
n
члена
-Q
q
2
E2 = E(R + `) =
∂E
∂E
∂E
+ `y
+ `z
≈ E1 + (` ∇)E,
∂x
∂y
∂z
´
³
∂
∂
∂
где (` ∇) – скалярное произведение вектора ` и вектора ∇ = i ∂x + j ∂y + k ∂z .
= E(R) + `x
Подставим E2 в уравнение (1) и учитывая, что P = Q`, E = RQ3 R, находим выражение для силы, действующей на диполь со стороны точечного заряда:
µ
¶
q
R
∂
∂
∂
F = (P∇) 3 R = q Px
+ Py
+ Pz
.
(2)
R
∂x
∂y
∂z R3
Так как
µ ¶
¶
µ
¶
µ
1 ∂R
∂ ³ 1 ´
3R
∂ R
i
Px
= Px
+R
= Px
− 5x ,
∂x R3
R3 ∂x
∂x R3
R3
R
то аналогично
µ ¶
µ
¶
µ ¶
µ
¶
∂ R
j
∂ R
k
3R
3R
Py
= Py
− 5 y , Pz
= Pz
− 5z ,
∂y R3
R3
R
∂z R3
R3
R
где i, j, k – единичные векторы в направлениях соответственно X, Y , Z. Подставляя
вычисленные соотношения в уравнение (2), получаем
¶
µ
3(P R)R
P
−
.
(3)
F=q
R3
R5
1. Электростатика
3
Сила, действующая на диполь в поле точечного заряда, равна по абсолютной величине и противоположна по направлению силе, действующей на заряд в поле диполя.
Поэтому из формулы (3) следует, что поле, создаваемое диполем в точке, определяемой радиус-вектором R на больших расстояниях, будет иметь вид
Eдип = −
P
3(P R)R
+
.
R3
R5
Момент сил, действующий на диполь во внешнем поле E, равен N = [P × E].
Подставляя в эту формулу поле точечного заряда
E = qR/R3 , получаем
[P × R]
N=q
,
R3
где R – радиус-вектор, проведенный из точки нахождения точечного заряда q в точку, где находится диполь.
1.3. (Задача 1.31 из задачника) Найти уравнение силовых линий точечного диполя с дипольным моментом d, помещенного в начале координат. Нарисовать примерный вид силовых линий.
Решение Выберем систему координат так, что диполь располагается вдоль оси
z сферической системы координат. Уравнение силовых линий поля E в произвольной
ортогональной системе координат записывается в виде
h1 dq1
h2 dq2
h3 dq3
=
=
E1
E2
E3
Используя коэффициенты Ламе для сферической системы координат hr = 1, hθ =
r, hφ = r sin θ
dr
rdθ
=
Er
Eθ
Er = −
p
3p cos θ
p
cos
θ
+
=
2
cos θ
r3
r3
r3
p
Eθ = 3 sin θ
r
r4 dθ
r3 dr
=
2p cos θ
p sin θ
dθ cos θ
dr
=2
r
sin θ
4
dr
d sin θ
= C1 = 2
= 2 ln sin θ
r
sin θ
ln r = C1 = ln(sin2 θ)
r
= const
sin2 θ
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Силовые линии диполя
1.4. а)
PПоказать, что дипольный момент P электрически нейтральной системы
зарядов qi = 0 не меняется при смещении начала координат.
i
0
P б) При каком выборе вектора смещения d дипольный момент P = 0, если
qi 6= 0?
i
Решение а) Пусть в некоторой системе координат радиус-вектор положения i-го
заряда qi P
есть Ri , тогда дипольный момент системы зарядов в этой системе координат P =
qi Ri . Сдвинем начало координат на некоторый вектор d, тогда положеi
ние каждого заряда в новой системе будет R0i = Ri − d и
X
X
X
X
P0 =
qi R0i =
qi (Ri − d) =
qi Ri − d
qi = P,
i
i
i
i
1. Электростатика
так как
P
5
qi = 0.
i
0
б) P = 0, если
P
qi Ri
d= P
.
qi
i
i
1.5. (Задача 1.37 из задачника) Три бесконечных заряженных нити (линейная
плотность заряда κ) расположены на расстоянии a друг от друa
га. Найти два первых (отличных от нуля!) члена разложения поa
тенциала на больших расстояниях.
Решение Напряженность электрического поля от бесконечной заряженной
с плотностью κ нити E = (2κ/R2 )R, где R – радиус-вектор,
расположенный в плоскости, перпендикулярной нити, и провеA
ur
1
r
ur
денный от нити в точку наблюдения. Тогда потенциал от одной
r
b
r ur
ur
r
нити равен −2κ ln R + const. Потенциал от трех нитей в обоr
α uur
b
O
значениях рисунка
ur
1
1
3
2
uur
b2
3
b3
a
2
2
ϕ = −2κ ln r1 − 2κ ln r2 − 2κ ln r3 .
Константа выбрана равной нулю. Так как r1 = r − b1 , то
r1 = (r2 + b2 − 2rb sin α)1/2 .
Аналогично
¡
¢1/2
r2 = r2 + b2 − 2rb cos(α + 30◦ )
,
r3 = (r2 + b2 + 2rb cos(α − 30◦ ))1/2 ,
где b = |b1 | = |b2 | = |b3 |. Далее
µ
¶
1
2b
b2
ln r1 = ln r + ln 1 − sin α + 2 .
2
r
r
Разлагая второе слагаемое в ряд Тейлора по степеням b/r, получаем
1
b
b2
b3
2
3
ln r1 ' ln r − sin α + (1 − 2 sin α) 2 + (12 sin α − 16 sin α) 3 .
r
r
3!
r
Сделав аналогичные вычисления для ln r2 и ln r3 и сложив, окончательно найдем,
что
b3
ϕ = −6κ ln r − 2 3 κ sin3 α при b ¿ r,
r
√
где b = a/ 3.