3. Метод сведения уравнения к решению системы уравнений

3. Метод сведения уравнения к решению
системы уравнений относительно новых
переменных.
2.Метод применения универсальной тригонометрической подстановки.
1. Метод оценок.
Пример. Решить уравнение
Пример.Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
cos x + tg
3 sin 3x + 4 cos 3x = 5.
Решение: используя основное тригонометрическое тождество cos2 3x + sin2 3x = 1, данное уравнение можно записать в виде системы:
(
3 sin 3x + 4 cos 3x = 5,
cos2 3x + sin2 3x = 1.
Решение:
ОДЗ: x2 6= π2 + πn, n ∈ Z ⇒ x 6= π + 2πn, n ∈ Z.
Применяем метод универсальной тригонометрической подстановки:
1 − tg2
1 + tg2
(5a − 4)2 = 0.
Тогда
(
a = 45 ,
cos 3x = 45 ,
⇔
⇔
3
b = 5.
sin 3x = 35 .
(
sin 3x = 53 ,
⇔
3x ∈ I четверть.
3
+ 2πn, n ∈ Z,
5
1
3
2πn
, n ∈ Z.
x = arcsin +
3
5
3
3x = arcsin
arcsin
3
5
+
2πn
,
3
n ∈ Z.
Решение: так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено
лишь в том случае, когда они равны единице одновременно:
(
sin 5x = 1,
sin 9x = 1.
Таким образом, должны одновременно выполняться следующие неравенства:
(
(
π
5x = π2 + 2πn,
+ 2πn
,
x = 10
5
⇔
π
π
2πk
9x = 2 + 2πk.
x = 18 + 9 .
Найдём значения x, которые удовлетворяют обоим равенствам:
t(t − 1)2 = 0,
t = 0,
⇔
t = 1;
2πn
π
2πk
π
+
=
+
.
10
5
18
9
25a2 − 40a + 16 = 0,
1
3
x
= 1.
2
sin 5x + sin 9x = 2.
t3 − 2t2 + t = 0,
25 − 40a + 16a2 + 9a2 = 9,
Ответ: x =
+ tg
1 − t2
+ t = 1,
1 + t2
2
1 − t + t + t3 = 1 + t2 ,
a = cos 3x, b = sin 3x, |a| ≤ 1, |b| ≤ 1.
(
,
3b + 4a = 5,
b = 5−4a
3
2
⇔
= 1.
a2 + 5−4a
a2 + b2 = 1.
3
(
x
2
x
2
Пусть t = tg x2 , тогда
Введём новые переменные:
(
x
= 1.
2
tg
tg
x
2
x
2
= 0,
⇔
= 1;
Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:
9 + 36n = 5 + 20k,
x = 2πk, k ∈ Z,
x = π2 + 2πm, m ∈ Z;
Корни уравнения входят в ОДЗ.
Ответ: x = 2πk, x = π2 + 2πm, k, m ∈ Z.
20k = 36n + 4,
5k = 9n + 1.
Правая часть, как видим, должна делиться на 5.
Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь
один из следующих пяти видов: 5m, 5m+1, 5m+
2, 5m + 3, 5m + 4, где m ∈ Z. Для того, чтобы
9n + 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.
Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:
x=
π
2πn
π
2π(5m + 1)
+
=
+
=
10
5
10
5
π
= + 2πm.
2
Ответ: x =
π
2
+ 2πm, m ∈ Z.
НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
1. Метод оценок.
Идея метода:
Недостатки:
2. Метод применения универсальной
тригонометрической
подстановки.
3. Метод сведения уравнения
к решению системы уравнений
относительно новых переменных.
Идея метода:
Идея метода:
Недостатки:
Недостатки: