МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Майкопский государственный технологический университет»
Факультет Инженерно-экономический
Кафедра
Высшей математики и системного анализа
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
______________ Л.И. Задорожная
«_____»__________ 20____г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
В.В.2.2. Планирование эксперимента
по направлению
подготовки бакалавров
090900.62 Информационная безопасность
по профилям подготовки
Организация и технология защиты информации
квалификация (степень)
выпускника
Бакалавр
Майкоп
Рабочая программа составлена на основе ФГОС ВПО и учебного плана МГТУ по
направлению (специальности) 090900.62 Информационная безопасность
Составитель рабочей программы:
кандидат педагогических наук, доцент
(должность, ученое звание, степень)
_____________ Мамадалиева Л.Н.
(подпись)
(Ф.И.О.)
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры
Высшей математики и системного анализа
_____________________________________________________________________________
(наименование кафедры)
Заведующая кафедрой
«___»________20 г.
_____________
(подпись)
Одобрено научно-методической комиссией факультета
(где осуществляется обучение)
Председатель
научно-методического
совета специальности
(где осуществляется обучение)
Демина Т.И.
(Ф.И.О.)
«___»_______20___г.
_____________ ______________
(подпись)
(Ф.И.О.)
Декан факультета
(где осуществляется обучение)
«___»________20 __г.
_____________ ______________
(подпись)
(Ф.И.О.)
СОГЛАСОВАНО:
Начальник УМУ
«___»________20 __г.
Зав. выпускающей кафедрой
по направлению (специальности)
2
___________
(подпись)
Гук Г.А.
(Ф.И.О.)
___________
(подпись)
Чефранов С.Г.
(Ф.И.О.)
Цели и задачи освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины является изучение научных методов проведения активного и
пассивного экспериментов.
Задачи изучения дисциплины состоят в освоении практических методов, используемых проектировщиками и технологами при проведении экспериментов на этапах проектирования и производства ЭВС.
В результате освоения дисциплины студент должен
знать: цели, основные задачи и области применения методов обработки экспериментальных данных; методики экспериментальной оценки свойств изучаемых объектов;
понятия плана эксперимента, критериев оптимальности, экстремальных задач синтеза оптимальных планов; определение информационной матрицы плана эксперимента для линейных моделей, ее свойства; условия оптимальности планов эксперимента для различных критериев оптимальности; алгоритмы синтеза непрерывных планов эксперимента;
алгоритмы синтеза дискретных оптимальных планов эксперимента и их отличия о непрерывных планов; оценку информационной матрицы для нелинейных по параметрам моделей; стратегии планирования эксперимента для нелинейных по параметрам моделей при
различном уровне априорной информации о параметрах модели; численные процедуры
оценивания параметров нелинейных моделей; стратегии и рычаги планирования эксперимента для моделей динамических систем; алгоритмы планирования эксперимента для моделей с качественными факторами;
уметь: адекватно ставить задачу исследования сложных объектов с учетом прикладных целей исследования зависимостей; грамотно обрабатывать результаты измерений, анализировать корреляцию переменных величин; реализовывать и использовать готовые алгоритмы синтеза оптимальных планов; учитывать особенности проведения активных экспериментов при уточнении оценок параметров нелинейных моделей и осуществлять стратегии оптимального планирования эксперимента; учитывать особенности
проведения активных экспериментов при уточнении оценок параметров динамических
моделей и осуществлять наиболее эффективные стратегии оптимального планирования
эксперимента; реализовывать и использовать готовые алгоритмы оценивания параметров
нелинейных моделей; применять известные комбинаторные планы эксперимента для моделей с качественными факторами, осуществлять синтез таких планов в виде оптимальной
подвыборки из полного факторного эксперимента;
владеть: методиками расчета погрешностей результатов измеряемых величин, методом наименьших квадратов для расчета параметров регрессионных моделей.
2. Место дисциплины в структуре ОП по направлению подготовки 090900.62
Информационная безопасность
Дисциплина входит в перечень дисциплин по выбору студента, устанавливаемых
вузом вариативной части математического и естественно-научного цикла. Дисциплина
изучается в IV семестре, способствует формированию фундаментальных и прикладных
знаний.
Для освоения дисциплины необходимы знания теорем математического анализа,
теорию вероятностей и другие разделы высшей математики. Знания, полученные при изучении данной дисциплины, помогут студентам разобраться в использовании специализированных программных пакетах для обработки экспериментальных результатов; они требуются в дальнейшем для успешного овладения таких дисциплин, как Защита и обработка
конфиденциальных документов, Цифровая обработка сигналов, Стадартизация, сертификация и метрология в области защиты информации и др.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен
3
знать: основные естественно-научные законы (ПК-1), как применяются методы анализа изучаемых явлений, процессов и проектных решений (ПК-20);
уметь: обобщать, анализировать информацию, ставить цель и выбирать пути ее достижения (ОК-8), логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную
речь, публично представлять собственные и известные научные результаты, вести дискуссию (ОК-9);
владеть способностью к кооперации с коллегами (ОК-5), культурой мышления
(ОК-8), способностью применять математический аппарат в профессиональной деятельности (ПК-1), способностью собрать и провести анализ исходных данных для проектирования
подсистем и средств обеспечения информационной безопасности (ПК-18), способностью
проводить обработку экспериментальных данных, оценку погрешности и достоверности их
результатов (ПК-22).
4
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
4.1. Объем дисциплины и виды учебной работы по очной форме обучения.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы (144 часа)
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа студентов (СРС) (всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
Другие виды СРС (если предусматриваются, приводится перечень видов СРС)
1. Работа с теоретическим материалом
2. Приобретение навыков решения задач
Форма промежуточной аттестации:
Экзамен
Общая трудоемкость
5
Всего
часов/з.е.
64/1,8
Семестр
4
64/1,8
32/0,9
32/0,9
80/2,2
32/0,9
32/0,9
80/2,2
15/0,4
15/0,4
15/0,4
14/0,4
15/0,4
14/0,4
36/1
144/4
36/1
144/4
5. Структура и содержание дисциплины
5.1. Структура дисциплины для очной формы обучения
№
п/п
Раздел дисциплины
Неделя
семестра
1. Теоретические основы оптимального планирования эксперимента
1-6
Дискретные оптимальные планы
2. эксперимента
7-8
Планирование эксперимента для не3. линейных по параметрам моделей
9-11
Планирование эксперимента для
моделей дисперсионного анализа
12-13
Оптимальное планирование экспе5. римента для моделей динамических
систем
14-15
4.
6. Промежуточная аттестация
экзамен
7. ИТОГО:
16
Виды учебной работы, Формы текувключая самостоящего контроля
тельную и трудоемуспеваемости
(по неделям секость
местра)
(в часах)
Л С/ПЗ ЛР СРС Форма промежуточной аттестации
(по семестрам)
6
8
8
Контрольная
работа, обсуждение рефератов, блицопрос
6
4
Контрольная
10
работа, блицопрос
8
8
Контрольная
8
работа, блицопрос
6
12
Контрольная
работа, обсуж10
дение рефератов, блицопрос
Контрольная
6
работа, обсуждение рефера8
тов, блицопрос
Экзамен в уст36
ной форме
32
6
32
-
80
5.3. Содержание разделов дисциплины «Планирование эксперимента», образовательные технологии
Лекционный курс
№
п/п
1.
Наименование темы
дисциплины
Теоретические
основы оптимального планирования
эксперимента
Трудоемкость
(часы/
зач. ед.)
2/0,056
Содержание
Формируемые
компетенции
Результаты освоения
(знать, уметь, владеть)
Задача оптимального планирования эксперимента. Определение непрерывных и
дискретных планов.
ОК-8
ПК-18
2/0,056
Информационная матрица и ее свойства.
Линейные регрессионные модели. Оценивание параметров.
ОК-9
ПК-20
ПК-22
2/0,056
Критерии оптимальности планов эксперимента. Геометрия эллипсоида рассеяния
оценок параметров и критерии оптимальности. Классификация критериев опти-
ОК-9
ПК-1
ПК-20
Знать: цели, основные задачи и
области применения методов обработки экспериментальных данных; методики экспериментальной оценки свойств изучаемых
объектов; понятия плана эксперимента
Уметь: определять цели моделирования; адекватно ставить задачу исследования сложных объектов с учетом прикладных целей
исследования зависимостей.
Знать: определение информационной матрицы плана эксперимента для линейных моделей, ее
свойства.
Уметь: грамотно обрабатывать
результаты измерений.
Владеть: методами отыскания регрессионной модели исследуемого процесса.
Знать: классификацию критериев
оптимальности планов эксперимента.
Уметь: использовать критерии
7
Образовательные технологии
 Лекция

 Контекстное
обучение
 Лекция

 Творческие
задания
 Контекстное
обучение
 Лекция

 Изучение и
закрепление но-
мальности.
2/0,056
Решение экстремальной задачи поиска оптимального плана. Поиск оптимального
плана как решение экстремальной задачи.
ОК-9
ПК-1
ПК-20
2/0,056
Условия оптимальности планов эксперимента для различных критериев оптимальности. Условия оптимальности (теорема)
для общего случая. Условия D- оптимальности. Теорема эквивалентности D- и Gоптимальных непрерывных планов.
ОК-9
ПК-20
ПК-22
2/0,056
Численные процедуры построение непрерывных оптимальных планов.
Численные методы построения оптимальных непрерывных планов. Последовательный алгоритм и комбинированный алгоритм.
ОК-9
ПК-20
ПК-22
8
оптимальности
для
выбора
наилучшего решения.
Владеть: методами оценки параметров исследуемого процесса с
помощью критериев оптимальности.
Знать: критерии оптимальности
планов эксперимента.
Уметь: составлять математическую модель для исследования
процесса на оптимальность; записывать в формализованном
виде (в виде уравнений, графиков, логических соотношений,
вероятностных законов) данные
наблюдений за системами, использовать компьютерные программы для обработки экспериментальных данных.
Владеть: методами проверки
адекватности и точности модели.
Знать: формулировку теорем эквивалентности D- и G- оптимальных непрерывных планов
Уметь: применять эти теоремы
на практике.
вого материала
 Лекция

 Обсуждение
сложных и дискуссионных вопросов и проблем, проективные техники
 Лекция

 Творческие
задания
 Контекстное
обучение
Уметь: применять последова Лекция
тельный и комбинированный ал- 
горитмы.
 Обсуждение
Владеть: методами составления
сложных и дисматематической модели исследу- куссионных воемого процесса, статистическими просов и про-
2.
Дискретные
оптимальные
планы эксперимента
Алгоритмы замены синтеза дискретных
оптимальных планов. Дискретные оптимальные планы. Алгоритмы построения
дискретных оптимальных планов (алгоритмы Федорова, Митчела, градиентной
замены).
Алгоритм последовательного достраивания синтеза дискретных оптимальных планов. Последовательная схема планирования эксперимента. Оптимальная последовательность наращивания числа наблюдений. Алгоритмы включения и исключения
на дискретном множестве точек. Универсальность схемы последовательного достраивания плана.
ОК-9
ПК-20
ПК-22
Оценка информационной матрицы. Уровни априорной информации о параметрах
модели. Предположения о свойствах модели наблюдения при нелинейно входящих в
нее неизвестных параметрах. Уровни
априорной информации о параметрах модели.
ОК-9
ПК-20
ПК-22
2/0,056
Стратегии планирования эксперимента при
уточнении оценок параметров. Минимаксное, байесовское, локально-оптимальное и
последовательное планирование эксперимента как стратегии при различном уровне
априорной информации о параметрах модели.
ОК-9
ПК-20
ПК-22
2/0,056
Оценивание параметров нелинейных ре-
ОК-9
2/0,056
2/0,056
3.
Планирование
эксперимента
для нелинейных по параметрам моделей
2/0,056
9
ОК-9
ПК-20
ПК-22
методами обработки экспериментальных данных.
Знать: алгоритмы синтеза дискретных оптимальных планов
эксперимента и их отличия от
непрерывных планов.
Уметь: осуществлять наиболее
эффективные стратегии оптимального планирования эксперимента, реализовывать и использовать готовые алгоритмы синтеза оптимальных планов.
Владеть: методом наименьших
квадратов для расчета параметров
моделей.
Знать: стратегии планирования
эксперимента для нелинейных по
параметрам моделей при различном уровне априорной информации о параметрах модели.
Уметь: производить оценку информационной матрицы для нелинейных по параметрам моделей.
Владеть: численными процедурами оценивания параметров нелинейных моделей.
блем, проективные техники
 Лекция

 Творческие
задания
 Лекция

 Обсуждение
сложных и дискуссионных вопросов и проблем, проективные техники
 Лекция

 Обсуждение
сложных и дискуссионных вопросов и проблем,
проективные техники
4.
5.
Планирование
эксперимента
для моделей
дисперсионного анализа
Оптимальное
планирование
эксперимента
для моделей
динамических
систем
Итого
грессионных моделей. Численные процедуры поиска оценок параметров модели по
методу наименьших квадратов, основанные на различных аппроксимациях остаточной суммы и самой модели.
2/0,056 Комбинаторные планы эксперимента для
моделей с качественными факторами. Полный факторный эксперимент (ПФЭ). Реплики от ПФЭ. Латинские квадраты. Греколатинские квадраты.
ПК-20
ПК-22
2/0,056 Итерационные процедуры синтеза оптимальных планов эксперимента для моделей
дисперсионного и ковариационного анализа. Редуцирование модели дисперсионного
анализа к модели полного ранга. Теорема о
существовании насыщенного невырожденного плана эксперимента для редуцированной модели. Использование итерационных
алгоритмов синтеза оптимальных планов.
3/0,086 Рычаги управления экспериментом. Постановки задач оптимального планирования эксперимента при исследовании моделей динамических систем, заданных системой обыкновенных дифференциальных
уравнений.
3/0,086 Вычислительные аспекты синтеза оптимальных планов. Задачи оптимального
планирования моментов наблюдений,
входного сигнала, модели наблюдения.
Алгоритмические и вычислительные аспекты решения этих задач.
ОК-9
ПК-20
ПК-22
32/0,9
10
ОК-9
ПК-20
ПК-22
ОК-9
ПК-20
ПК-22
ОК-9
ПК-20
ПК-22
Знать: принципы случайного отбора, критерии для проверки значимости различий между исследуемыми факторами.
Уметь:
разлагать измеряемый
признак на независимые слагаемые, исследовать влияние и взаимодействие факторов, вычислять дисперсию исследуемых
факторов.
Владеть: методикой анализа влияния различных факторов на исследуемую переменную.
Знать: особенности проведения
активных экспериментов при
уточнении оценок параметров
динамических моделей и.
Уметь: определять стратегии и
рычаги планирования эксперимента для моделей динамических
систем.
Владеть: методикой решения задач оптимального планирования.
 Лекция

 Обсуждение
сложных и дискуссионных вопросов и проблем,
проективные техники
 Лекция

 Обсуждение
сложных и дискуссионных вопросов и проблем,
проективные техники
5.4. Практические занятия, их наименование, содержание и объем в часах
№ разНаименование практических занятий
Объем в чадела
сах / трудодисциемкость в з.е.
плины
1
Регрессионный анализ. Критерии оптимальности пла4/0,11
нов эксперимента.
1
Критерии проверки статистических гипотез
4/0,11
2
Построение дискретных оптимальных планов экспери4/0,11
мента.
3
Оптимальное планирование эксперимента для нели4/0,11
нейных по параметрам моделей.
3
Реализация численных процедур оценивания парамет4/0,11
ров нелинейных моделей.
Полный факторный эксперимент
4
4/0,11
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
4
4
Дисперсионный анализ
Корреляционный анализ
ИТОГО
4/0,12
4/0,12
32/0,9
5.5. Лабораторные занятия, их наименование и объем в часах
№ п/п
№ раздела дисциплины
Наименование лабораторных работ
-
-
-
Объем в
часах /
трудоемкость
в з.е.
-
5.6. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
Курсовой проект (работа) учебным планом не предусмотрены.
5.7. Самостоятельная работа студентов
Содержание и объем самостоятельной работы студентов
Разделы и темы рабочей программы само- Перечень домашних за- Сроки вы- Объем в
стоятельного изучения
даний и других вопросов полнения
чадля самостоятельного
(недели) сах/трудое
изучения
мкость в
з.е.
Теоретические основы оптимального планиро- Составление плана – кон8/0,22
1-6
вания эксперимента
спекта.
Дискретные оптимальные планы эксперимента Выполнение расчетнографических домашних
заданий
11
7-8
10/0,28
Планирование эксперимента для нелинейных
по параметрам моделей
Выполнение
графических
заданий
расчетнодомашних
9-11
Планирование эксперимента для моделей дис- Конспектирование первоперсионного анализа
источников. Выполнение
расчетно-графических
домашних заданий
12-13
Оптимальное планирование эксперимента для
моделей динамических систем
14-15
Проработку учебного материала (по конспектам,
учебной и научной литературе)
Промежуточная аттестация
8/0,22
10/0,28
8/0,22
36/1
Итого:
80/2,22
12
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения
1.
2.
3.
4.
6.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля для
студентов ОФО
Что понимается под задачей оптимального планирования эксперимента.
Приведите пример "хорошего" и "плохого" плана эксперимента, аргументируйте
ответ.
Оцените нижние и верхние границы числа точек в спектре оптимального плана.
Приведите примеры целевых функций, которые могут использоваться при решении
экстремальной задачи при поиске оптимального плана.
Что понимается под линейной комбинацией двух планов, трех планов?
5.
6. При каких условиях эллипсоид рассеивания оценок параметров (его оси) будет ориентирован по своим координатам.
7. Приведите выражение для градиента функционала по весам точек плана. Эти компоненты
положительны (неотрицательны), неположительны или произвольные?
8. Сколько оптимальных дискретных планов существует для заданной модели, области планирования и числа наблюдений – один или несколько, дайте пояснение.
9. Какая информация требуется для того, чтобы априори строить планы эксперимента для нелинейных по параметрам моделей.
10. Критерии оптимальности планов эксперимента. Критерии оптимальности и геометрия эллипсоида рассеивания.
11. Оптимальное планирование эксперимента для моделей динамических систем, заданных в
виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Рычаги управления в эксперименте
(планирование измерений, входных сигналов, начальных условий, модели наблюдения).
Алгоритмические и вычислительные аспекты.
6.2. Контрольные вопросы и задания для проведения промежуточной аттестации
Примерный перечень вопросов к экзамену
по дисциплине «Планирование эксперимента»
1. Задача оптимального планирования эксперимента. Определение непрерывных и дискретных планов.
2. Информационная матрица и ее свойства. Линейные регрессионные модели. Оценивание параметров.
3. Критерии оптимальности планов эксперимента. Геометрия эллипсоида рассеяния оценок параметров и критерии оптимальности. Классификация критериев оптимальности.
4. Решение экстремальной задачи поиска оптимального плана. Поиск оптимального плана как решение экстремальной задачи.
5. Условия оптимальности планов эксперимента для различных критериев оптимальности. Условия оптимальности (теорема) для общего случая. Условия D- оптимальности.
Теорема эквивалентности D- и G- оптимальных непрерывных планов.
6. Численные процедуры построение непрерывных оптимальных планов. Численные методы построения оптимальных непрерывных планов. Последовательный алгоритм и
комбинированный алгоритм.
7. Алгоритмы замены синтеза дискретных оптимальных планов. Дискретные оптимальные планы. Алгоритмы построения дискретных оптимальных планов (алгоритмы Федорова, Митчела, градиентной замены).
8. Алгоритм последовательного достраивания синтеза дискретных оптимальных планов.
Последовательная схема планирования эксперимента. Оптимальная последовательность наращивания числа наблюдений. Алгоритмы включения и исключения на дис-
кретном множестве точек. Универсальность схемы последовательного достраивания
плана.
9. Оценка информационной матрицы. Уровни априорной информации о параметрах модели. Предположения о свойствах модели наблюдения при нелинейно входящих в нее
неизвестных параметрах. Уровни априорной информации о параметрах модели.
10. Стратегии планирования эксперимента при уточнении оценок параметров. Минимаксное, байесовское, локально-оптимальное и последовательное планирование эксперимента как стратегии при различном уровне априорной информации о параметрах модели.
11. Оценивание параметров нелинейных регрессионных моделей. Численные процедуры
поиска оценок параметров модели по методу наименьших квадратов, основанные на
различных аппроксимациях остаточной суммы и самой модели.
12. Комбинаторные планы эксперимента для моделей с качественными факторами. Полный факторный эксперимент (ПФЭ). Реплики от ПФЭ. Латинские квадраты. Греколатинские квадраты.
13. Итерационные процедуры синтеза оптимальных планов эксперимента для моделей
дисперсионного и ковариационного анализа. Редуцирование модели дисперсионного
анализа к модели полного ранга. Теорема о существовании насыщенного невырожденного плана эксперимента для редуцированной модели. Использование итерационных
алгоритмов синтеза оптимальных планов.
14. Рычаги управления экспериментом. Постановки задач оптимального планирования
эксперимента при исследовании моделей динамических систем, заданных системой
обыкновенных дифференциальных уравнений.
15. Вычислительные аспекты синтеза оптимальных планов. Задачи оптимального планирования моментов наблюдений, входного сигнала, модели наблюдения. Алгоритмические и вычислительные аспекты решения этих задач.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература
1. Сидняев Н И. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н.И.
Сидняев. - Москва : Юрайт, 2011. - 219 с.
2. ЭБС «Znanium. сom.» Основы научных исследований / Б.И. Герасимов и др. - М.:
Форум: Инфра-М, 2013. - 272 с. – Режим доступа: http://znanium.com/
б) дополнительная литература
3. ЭБС «Znanium. сom.» Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА-М, 2004. - 287 с. Режим доступа:
http://znanium.com/
4. Куижева С.К. Основы теории вероятностей и математической статистики : учеб.
пособие / С.К. Куижева, Л.Ж. Паланджянц, О.П. Шевякова.- Майкоп : Магарин
О.Г., 2010. - 138 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
http://znanium.com/ - ЭБС
http://ibooks.ru/ - ЭБС
www.mgul.ac.ru Сайт Московского государственного института леса (МГУЛ).
http://ru.wikipedia.org/wiki/ Свободная энциклопедия.
http://www.viniti.msk.su Всероссийский институт научной и технической информации (ВИНИТИ РАН)
6. http://www.vntic.org.ru Всероссийский научно-технический информационный центр
(ВНТИЦ)
7. http://www.rsl.ru Российская государственная библиотека (РГБ)
1.
2.
3.
4.
5.
14
8. http://dc.rsl.ru/dcsrchru_jo.htm Портал российских научных журналов (РГБ)
9. http://www.gpntb.ru Государственная публичная научно-техническая библиотека
России (ГПНТБ РФ)
10. http://www.edu.ru Федеральный образовательный портал. Нормативные материалы
по образованию, учебно-методические материалы и ресурсы по всем направлениям, специальностям.
11. Информационно-справочная система «В помощь студентам» http://dit.isuct.ru.
12. Grapher - Компьютерная программа для исследования функций, построения графиков.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Материально-техническое обеспечение дисциплины включает:
1) библиотечный фонд ФГБОУ ВПО «МГТУ»;
2) мультимедийное оборудование для чтения лекций-презентаций.
15
9. Дополнения и изменения в рабочей программе
за ________/________ учебный год
В рабочую программу ____________________________________________________
(наименование дисциплины)
для направления (специальности)
___________________________________________________
(номер направления (специальности)
вносятся следующие дополнения и изменения:
Дополнения и изменения внес _______________________________________________
(должность, Ф.И.О., подпись)
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры
_____________________________________________________________________________
(наименование кафедры)
«____»___________________20 _г.
Заведующий кафедрой
__________________
(подпись)
16
_____________
(Ф.И.О.)