Документ 990822

Яремко О.Э. Прямые и обратные краевые задачи для круга и шара. // Проблемы
информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей Всерос. научнотехн. конф.– Пенза: ПДЗ, 2008. – С. 48-51.
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ КРУГА И ШАРА
О.Э. Яремко
Пензенский государственный педагогический университет
им. В.Г. Белинского,
г. Пенза
Пусть Bn – единичный, кусочно-однородный шар из R N :
n 1




Bn  S0  I n ; I n  r : r  U rj , rj 1 ; 0  r0  1, rn 1  0,rj 1  rj , j  1,..., n
j 1

,


S0     1 ,..., N  : 2  1  .
Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве Bn решения
системы уравнений Лапласа с постоянными коэффициентами
uk  0, x Vk ; k  1,..., n;
(1)
по краевым условиям
0 u1   f 0  ,  S0
(2)
и условиям однородного контакта на гиперповерхностях сопряжения S k :
kj1 uk   kj 2 uk 1   0 ;  Sk ; k  1,..., n, j  1,2 ,


(3)
S k    1 ,..., N  :  2  rk2 ,
где 0 , jk1 , jk2  j  1,2;k  1,...,n – некоторые операторы, перестановочные с
оператором
d
i1 xi dx .
N
i
Рассмотрим модельную задачу Дирихле в единичном шаре B0 :

2

N
uˆ0  0, x  B0 , B0  x  R : x  1 ,
uˆ0  f0   ,   S0 .
Если функция f 0   непрерывна на сфере, то решение указанной задачи
существует единственно и находится по формуле Пуассона для шара. В работе [1]
получена основная формула u  P0 uˆ0  , в которой P0 – оператор преобразования,
действующий по правилу
n 1
P0 : uˆ0  u0 , u 0 r ,     Vk  u 0 k r ,  ,
k 1
u0 j  r ,    l 0

0
l  N / 2 1 
H j ,1,l  r , r0  r0N 1r l    ClN / 21   ,  uˆ0  r , dS0 .
N / 2 1
 1  S0
Определим граничный оператор преобразования  0 : uˆ0  u00 :
0
l  N / 2  1 N 1 1
r0 1l  r0   
N / 2 1
l 0
1

u00  x, y   
Определим
оператор
 C
S0
N / 21
l
  ,  uˆ  r , dS
0
0
.
Pk : u0 k 1  u0 k , k  1,..., n
преобразования
относительно поверхности S k :
0

u0 j  r ,    l 0 H j ,1,l  r , r0  r l    ClN / 21   ,   u0 k 1  r , dS0 .
 1  S0
Таким образом, проведена факторизация оператора преобразования из [1]:
P0  Pn   P1  0 uˆ  .
Обратная задача Дирихле для единичного круга состоит в определении
  x, y  : x
 y  r .
функции гармонической в круге B , B 
внутренней окружности
  x, y  : x
2
2
2
0
2
 y 2  1 по ее значениям на
Как известно [2], указанная
задача имеет, и при том единственное, решение, которое, однако, неустойчиво.
Приведем формулу, которая дает это решение в явном виде:
r

2

 
1     r0  cos    r

u  r ,    e   2e
cos   sin      1 u  r0 ,  d  d 
 .
2 0  0 
 r0
 


(4)
Формула (1) получена И.И. Бавриным в [2]. Пользуясь его методом, мы
получаем аналогичную формулу для n-мерного шара:
r

J n3   sin 
r

n 3
 cos
r
1
n2 2
r0
 
 u  dS d 
2  0
u  x 
e



e
  


n 1 
n 3

2


0
S
r
.
(5)
2
2


0
 2 
r

  sin 
 r0

Замечание. Формулы (4) – (5) задают также продолжение функции u на
границу круга, шара соответственно, т.е. решают обратную задачу Дирихле.
Оператор продолжения будем обозначать  ,  : u    u  x  .
Обратная краевая задача состоит в определении решения задачи
(1) – (3) вплоть до границы S 0 по известным значениям u   . Будем считать, что
rk 1    rk и k  1,..., n 1 – фиксированное. Из определения операторов
преобразования и оператора продолжения следует формула
u j  Pj  Pj 1  Pn      uˆ  ,
где   – граничный оператор преобразования:
0
l  N / 2  1 N 1 1
 kl     
N / 2 1
l 0
1

r v   
û  P u   ,


S 
(6)

ClN / 21   ,   v  r , dS    ,

P – интеграл Пуассона для шара x : x   2 .
2
Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве B1 решения
системы уравнений Лапласа с постоянными коэффициентами
u1  0, x V1 , u2  0, x V2
по идеальными условиями сопряжения на гиперповерхности сопряжения S1 :
u u
u1  u2 ;  S1 , k 1  2 ,  S1 ,
n n
по известным значениям
u2   на гиперсфере S     1,...,n  : 2   2  ,
0    r1 . Из формулы (5) получаем:



n 3
 k  1 r  cos
1
n

2
 2
 
u1  x  
e  

n 1 
  2k e
2


0
S
2


 2 


r2
k  1 1r  cos

e
2k
u2  x  
1
 2 
r

J n3   sin 


2 
r

   sin 


n 3
2

 r12

J n 3 
 sin 

r

  u  dS  d 
2

n 3  2  
,
2

2
 r1


  r  sin 




e
n 1
2 0

n2

 

2 

n 3
2
 e
S

r
 cos

r

J n3   sin 

 u  dS d 
2 
2 

n 3
2
,
r


sin





если известны значениям u1   на гиперсфере S     1 ,...,n  : 2   2  ,
r1    r0 , то формула для решения обратной задачи имеет тот же самый вид, с
заменой u2   на v   , где v   – решение прямой задачи Дирихле в области
x  B : x
n
2

 2 .
Библиографический список
1. Баврин, И.И., Яремко, О.Э. Дифференциальные уравнения // Журнал РАН. –
М., 2004. – Т. 40. – №8. – С. 1085 – 1095.
2. Баврин, И.И. Операторный метод в комплексном анализе. – М.: Прометей,
1991. – 200 с.