Исследование численных методов вычисления определённого

Научно – исследовательская конференция
«Знатоки»
Тема: «Исследование численных
методов
вычисления определённого
интеграла»
Автор: Темиров Дахир гр. 1997.04.05
МКОУ «СОШ №11» учащийся 10 а класса
дом адрес: пер. Ключевой 27
тел. 8 (928) 388 15 02
Руководители:
Бурняшова Г. А.
МКОУ «СОШ №11»
учитель информатики
Гузко Т. П.
МКОУ «СОШ №11»
учитель математики
2013 год
1
Содержание
Цель ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3
Актуальность--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
Гипотеза--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
Задачи----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
Введение------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4
Методы численного интегрирования------------------------------------------------------------------------ 4
Метод прямоугольников.---------------------------------------------------------------------------------------- 4
Метод трапеций---------------------------------------------------------------------------------------------------- 5
Результаты исследования--------------------------------------------------------------------------------------- 5
Вывод------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 7
Приложения---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8
Литература----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10
2
Цель: практическое изучение методов приближенного вычисления определенного
интеграла.
Актуальность.
В настоящее время численные методы играют важную роль в решении задач в области
математики ,физики и техники. Проблемы автоматизации проектирования технических
устройств в последние годы привлекают внимание все большего числа исследователей.
Развитие численных методов и алгоритмов оптимального проектирования оказывает
решающее влияние на особенности систем автоматизированного проектирования (САПР),
внедряемых в НИИ, КБ и на предприятиях. (Приложение2 .Слайд2)
Задача исследования заключается в создании программы, которая:
1) иллюстрирует метод прямоугольников и метод трапеций.
2) позволяет оценить погрешность методов;
3) позволяет оценить наиболее точный метод вычисления интегралов
Гипотеза: Наименьшую погрешность вычислений интеграла дает метод трапеций.
(Приложение2 .Слайд3)
1. Введение
К сожалению, среди численных методов поиска оптимальных решений, которые
получили название методов оптимального проектирования не существует
универсального, который позволял бы эффективно решать любую задачу
оптимизации. В настоящее время решение каждой задачи оптимального
проектирования требует индивидуального подхода и связано с применением
нескольких методов поиска оптимального решения. В связи с этим в
разрабатываемых системах большое внимание отводится вопросам принятия
оптимальных решений, когда пользователь имеет возможность оперативно
взаимодействовать с ЭВМ на любом этапе решения своей задачи. При этом в
результате диалога «человек—машина» он может менять как число, так и тип
переменных, выбирать наиболее эффективный в сложившейся ситуации метод
поиска, подстраивать численные параметры методов к конкретным особенностям
3
оптимизируемой функции. Поэтому в данном проекте рассмотрены два метода
определения интеграла.
2. Методы численного интегрирования. Определение интеграла с пределами
интегрирования a и b можно рассматривать как вычисление площади фигуры
ограниченной ординатами a и b, осью абсцисс и графиком под интегральной
функции f(x). Рис1. Метод численного интегрирования вытекает из
геометрического смысла определенного интеграла. Численное интегрирование
применяется, когда нахождение функции f(x) сложно или невозможно. Обычно
отрезок [a b] разбивается на несколько частей к каждой из которой применяется
простая формула. В Этом проекте рассмотрены два наиболее простых метода.
Метод прямоугольников и метод трапеций . (Приложение2 .Слайд4)
3. Метод прямоугольников. Этот метод состоит в том , что отрезок разбивается на
несколько частей и к каждому применяется формула нахождения площади
прямоугольника.
S=(b-a)/n*y , где (b-a)/n – высота прямоугольника y- длина. Затем эти площади
суммируются. (Приложение2 .Слайд5)
𝑏−𝑎
S=
𝑛
∑𝑛−1
𝑖=0 𝑦 (𝑖)
Рис. 1. Метод прямоугольников.
S=(b-a)/n * (y0+y1+..+yn), где h= (b-a)/n - высота прямоугольника.
4
4. Метод трапеций состоит в том , что отрезок разбивается на несколько трапеций, а
затем вычисляется их сумма. Рис.2
S= (b-a)/n * ( (y0+yn)/2 + y1+y2+..+yn-1 )
Рис.2. Метод трапеций (Приложение2 .Слайд6)
Величина h= (b-a)/n
представляет собой высоту каждой трапеции. Т. К.
площадь каждой трапеции это полусумма оснований умноженная на высоту, то функции в
точках a и bделятся на 2 . Все остальные точки принадлежат двум соседним трапециям и
вычисляются в полном значении.
S1= h* (ya+yx1)/2
S2= h* (yx1+yx2)/2
S2= h* (yx2+yx3)/2
…. Sn= h* (yxn-
1+yb)/2
S1= h* (ya+yx1)/2 +h* (yx1+yx2)/+ h* (yx2+yx3)/2 + …. +h* (yxn-1+yb)/2
S1= h* ((ya+yx1)/2 + (yx1+yx2)/+ (yx2+yx3)/2 + …. + (yxn-1+yb)/2 )
S= h* ( (y0+yn)/2 + y1+y2+..+yn-1 ) (Приложение2 .Слайд7)
5. Результаты исследования.
5
Расчёты производились при разных значениях количества трапеций и
прямоугольников и сравнивались с аналитическим расчетом интеграла на отрезке
[0 2π] При аналитическом вычислении значение интеграла равно 12.5663706143.
Результаты расчётов показаны на рисунках 3,4,5.
Рис.3 Результат компьютерного исследования при n= 30
6
Рис.4 Результат компьютерного исследования при n= 40
Рис.5 Результат компьютерного исследования при n= 60
6 Вывод: Исследования показали, что точность вычислений зависит от числа
прямоугольников и трапеций. Чем большее число разбивок, тем точнее результат.
Сравнительный анализ этих методов показал, что метод трапеций дает меньшую
погрешность измерений. Он более точный и при большом числе трапеций им можно
вычислять значение интеграла.
Для удобства и точности вычислений расчеты производились на компьютере. Для этого
была составлена программа на языке Паскаль(приложение1).
7
Приложение 1. Программа
Program d;
uses graphabc;
var n,a1:integer;
a,b,h,s,int,f,x,f1,f2,int1:real;
y:real;
begin
setfontcolor(clred);
setfontsize(10);
writeln('Ввести начальный интервал функции');
readln(a);
writeln('Ввести конечный интервал функции');
readln(b);
Writeln('Введите количество прямоугольников и трапеций');
readln(n);
writeln('Ввести числовое значение а');
readln(a1);
h:=(b-a)/n;
x:=a;
s:=0;
repeat f:=a1+2*sin(2*x);
s:=s+f;
x:=x+h;
until x>b;
int:=s*h;
setfontcolor(clgreen);
setfontsize(10);
writeln('Интеграл методом прямоугольников равен=',int);
begin
f1:=a1+2*sin(2*a);
f2:=a1+2*sin(2*b);
s:=(f1+f2)/2;
x:=a+h;
repeat f:=a1+2*sin(2*x);
8
s:=s+f;
x:=x+h;
until x>(b-h);
int1:=s*h;
setfontcolor(clgreen);
setfontsize(10);
writeln('Интеграл методом трапеций равен=',int1);
end;
begin
SetPenWidth(1);
line(0,240,620,240);
line(300,0,300,900);
x:=1;
repeat
y:=a1+20*sin(x/(50));
SetPenWidth(100);
setpixel(round(300+10+x),round(240-y),clRed );
sleep(5);
x:=x+h;
until x>b*2.5*h;
textout(10,200,'y=a1+2*sin(10*x);');
end;
end.
Приложение 2. Презентация.
9
6. Литература.
1 Кушниренко. А. Г.Лебедев Г. В. «Основы информатики и вычислительной
техники»,Москва»Просвещение»1991г.
2 Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. Н.
Кобельков. М.: БИНОМ. Лаб. знаний, 2003. 632 с.
3 Вержбицкий, В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные
дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк., 2001. 383 с.
4 Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука,
1970. – 664 с.
10