История логарифма

История логарифма
Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно
и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древневавилонской
математики (около 2000 до н.э.). В те времена интерполяция между
табличными значениями целых положительных степеней целых чисел
использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже Архимед
(287-212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего
предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить
известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство
показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов:
произведение степеней соответствует сумме показателей степеней. В конце
Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали
обращаться к соотношению между геометрической и арифметической
прогрессиями. М.Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544)
привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2:
Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строке
показателей степени) равна показателю степени двойки, отвечающему
произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке степеней).
В связи с этой таблицей Штифель сформулировал четыре правила,
эквивалентных четырем современным правилам операций над показателями
степеней или четырем правилам действий над логарифмами: сумма в верхней
строке соответствует произведению в нижней строке; вычитание в верхней
строке соответствует делению в нижней строке; умножение в верхней строке
соответствует возведению в степень в нижней строке; деление в верхней строке
соответствует извлечению корня в нижней строке.
Вещественный логарифм
По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели
Дж.Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении
Описание удивительной таблицы логарифмов, опубликованном в 1614 году; в
нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные
таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин
логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке.
Но мысли Непера были заняты проблемой превращения произведений в
суммы еще с тех пор, как более чем за десять лет до выхода своего сочинения
Непер получил из Дании известие о том, что в обсерватории Тихо Браге его
ассистенты располагают методом, позволяющим превращать произведения в
суммы. Метод, о котором говорилось в полученном Непером сообщении, был
основан на использовании тригонометрических формул типа
,
1
поэтому таблицы Непера состояли главным образом из логарифмов
тригонометрических функций. Хотя понятие основания не входило в явном
виде в предложенное Непером определение, роль, эквивалентную основанию
системы логарифмов, в его системе играло число (1 – 10–7)ґ107, приближенно
равное 1/e.
Непер (понятия функции тогда ещё не было) определил логарифм
кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное
движение. В современной записи модель Непера можно изобразить
дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный
множитель, введенный для того, чтобы значение получилось целым числом с
нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого
применения). Непер взял M = 10000000 = 107.
Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас
называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она
связана с натуральным логарифмом следующим образом:
LogNap(x) = M  (ln M – ln x).
Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса» есть нуль –
этого и добивался Непер своим определением. LogNap(0) = ∞.
Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют
геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию
арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции
отличались от правил для современного логарифма.
Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) – LogNap(1).
К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную
ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике
вычислений получить широчайшую популярность, и составлением
логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая
Кеплера.
Независимо от Непера и почти одновременно с ним система логарифмов,
довольно близкая по типу, была изобретена и опубликована Й.Бюрги в Праге,
издавшем в 1620 году Таблицы арифметической и геометрической прогрессий.
Это были таблицы антилогарифмов по основанию (1 + 10–4) ґ104, достаточно
хорошему приближению числа e.
В системе Непера логарифм числа 107 был принят за нуль, и по мере
уменьшения чисел логарифмы возрастали. Когда Г.Бриггс (1561–1631)
навестил Непера, оба согласились, что было бы удобнее использовать в
качестве основания число 10 и считать логарифм единицы равным нулю. Тогда
с увеличением чисел их логарифмы возрастали бы. Таким образом, мы
получили современную систему десятичных логарифмов, таблицу которых
Бриггс опубликовал в своем сочинении Логарифмическая арифметика (1620).
Логарифмы по основанию e, хотя и не совсем те, которые были введены
Непером, часто называют неперовыми. Термины «характеристика» и
«мантисса» были предложены Бриггсом.
2
Первые логарифмы в силу исторических причин использовали
приближения к числам 1/e и e. Несколько позднее идею натуральных
логарифмов стали связывать с изучением
площадей под гиперболой xy = 1. В 17 в. было
показано, что площадь, ограниченная этой
кривой, осью x и ординатами x = 1 и x = a (на
рисунке эта область покрыта более жирными и
редкими точками) возрастает в арифметической
прогрессии,
когда
a
возрастает
в
геометрической прогрессии. Именно такая
зависимость возникает в правилах действий над
экспонентами и логарифмами. Это дало
основание называть неперовы логарифмы
«гиперболическими логарифмами».
В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую
логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов –
незаменимый инструмент инженера.
Близкое к современному понимание логарифмирования – как операции,
обратной возведению в степень – впервые появилось у Валлиса и Иоганна
Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге
Введение в анализ бесконечных (1748) Эйлер дал современные определения как
показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в
степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма. Таким образом,
благодаря трудам Эйлера, сформировалась концепция логарифмической
функции.
Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической
функции на комплексную область.
Комплексный логарифм
Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа
предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли,
однако создать целостную теорию им не удалось – в первую очередь по той
причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма.
Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в
середине XVIII века – между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер
считали, что следует определить log(-x) = log(x). Полная теория логарифмов
отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747-1751
годах и по существу ничем не отличается от современной.
Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и
подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других
трудах), однако точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.
3
Логарифмические таблицы
Из свойств логарифма следует, что
вместо трудоёмкого умножения многозначных
чисел достаточно найти (по таблицам) и
сложить их логарифмы, а потом по тем же
таблицам выполнить потенцирование, то есть
найти значение результата по его логарифму.
Выполнение деления отличается только тем,
что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил,
что изобретение логарифмов «продлило жизнь
астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.
При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение
десятичного логарифма этого числа изменяется на n.
Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3. Отсюда следует, что достаточно
составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.
Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они
содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с
ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг
Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс
опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих
чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже – с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса
обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега
(1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).
В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при
участии Л. Ф. Магницкого.
В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.
– Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М.,
1973. – Таблицы Брадиса использовались в учебных заведениях и в
инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали
мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций,
натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
– Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М., 1971. –
Профессиональные сборники для точных вычислений.
– Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических
величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М.: Наука, 1972.
– Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука,
1971.
4
Приложения логарифмов
Логарифмы первоначально использовались исключительно для упрощения
вычислений, и это их приложение до сих пор остается одним из самых главных.
Вычисление произведений, частных, степеней и корней облегчается не только
благодаря широкой доступности опубликованных таблиц логарифмов, но и
благодаря использованию т.н. логарифмической линейки – вычислительного
инструмента, принцип работы которого основан на свойствах логарифмов.
Линейка снабжена логарифмическими шкалами, т.е. расстояние от числа 1 до
любого числа x выбрано равным log x; сдвигая одну шкалу относительно
другой, можно откладывать суммы или разности логарифмов, что дает
возможность считывать непосредственно со шкалы произведения или частные
соответствующих чисел. Воспользоваться преимуществами представления
чисел в логарифмическом виде позволяет и т.н. логарифмическая бумага для
построения графиков (бумага с нанесенными на нее по обеим осям координат
логарифмическими шкалами). Если функция удовлетворяет степенному закону
вида y = kxn, то ее логарифмический график имеет вид прямой, так как
log y = log k + n log x
– уравнение, линейное относительно log y и log x. Наоборот, если
логарифмический график какой-нибудь функциональной зависимости имеет
вид прямой, то эта зависимость – степенная. Полулогарифмическая бумага
(у которой ось ординат имеет логарифмическую шкалу, а ось абсцисс –
равномерную шкалу) удобна в тех случаях, когда требуется идентифицировать
экспоненциальные функции. Уравнения вида y = kbrx возникают всякий раз,
когда некая величина, такая как численность населения, количество
радиоактивного материала или банковский баланс, убывает или возрастает со
скоростью, пропорциональной имеющемуся в данный момент количеству
жителей, радиоактивного вещества или денег. Если такую зависимость нанести
на полулогарифмическую бумагу, то график будет иметь вид прямой.
Логарифмическая функция возникает в связи с самыми разными
природными формами. По логарифмическим спиралям выстраиваются цветки в
соцветиях подсолнечника, закручиваются раковины моллюска Nautilus, рога
горного барана и клювы попугаев. Все эти природные формы могут служить
примерами кривой, известной под названием логарифмической спирали,
потому что в полярной системе координат ее уравнение имеет вид r = aebq, или
ln r = ln a + bq. Такую кривую описывает движущаяся точка, расстояние от
полюса которой растет в геометрической прогрессии, а угол, описываемый ее
радиусом-вектором – в арифметической. Повсеместность такой кривой, а
следовательно и логарифмической функции, хорошо иллюстрируется тем, что
она возникает в столь далеких и совершенно различных областях, как контур
кулачка-эксцентрика и траектория некоторых насекомых, летящих на свет.
5