ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ АЛГЕБРА
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Вещественное линейное пространство. Определение и примеры.
2. Размерность и базис линейного пространства. Конечномерные и бесконечномерные линейные
пространства. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора в базисе.
3. Определение изоморфных векторных пространств. Теорема об изоморфизме векторных пространств
(с доказательством).
4. Определение матрицы перехода от базиса к базису. Выведите формулы перехода от одного базиса к
другому.
5. Выведите формулы преобразования координат вектора при преобразовании базиса.
6. Подпространство линейного пространства. Определение и примеры. Докажите, что всякое
подпространство линейного пространства само является векторным пространством.
7. Сумма подпространств. Определение. Докажите, что сумма двух подпространств является
подпространством линейного пространства.
8. Пересечение подпространств. Определение. Докажите, что пересечение двух подпространств
является подпространством линейного пространства.
9. Определение евклидова пространства. Примеры. Скалярное умножение векторов. Скалярный квадрат
вектора.
10. Докажите неравенство Коши-Буняковского.
11. Норма вектора. Нормированное линейное пространство. Определения и примеры.
12. Докажите, что любое евклидово пространство является нормированным.
13. Угол между элементами евклидова пространства. Ортогональные векторы. Определения. Докажите
теорему Пифагора.
14. Ортогональная система векторов. Определение. Докажите, что ортогональная система ненулевых
векторов линейно независима.
15. Нормированный вектор. Ортогональный базис. Ортонормированный базис. Определения. Докажите,
что во всяком евклидовом конечномерном линейном пространстве существует ортонормированный
базис.
16. Метод ортогонализации базиса.
17. Оператор, действующий из одного линейного пространства в другое. Образ и прообраз линейного
оператора. Оператор линейного пространства. Определения.
18. Линейный оператор векторного пространства. Определение и примеры.
19. Докажите свойства линейного оператора.
20. Матрица линейного оператора конечномерного векторного пространства в некотором базисе.
Определение и примеры. Теоремы о линейных операторах и их матрицах.
21. Докажите теорему о связи между координатами вектора и его образа.
22. Докажите теорему об изменении матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.
23. Действия над линейными операторами. Определения.
24. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Определения.
25. Сформулируйте свойства собственных векторов. Два из них докажите.
26. Собственное подпространство линейного оператора.
27.
Характеристическая
матрица
линейного
оператора.
Характеристический
многочлен
и
характеристические корни линейного оператора. Определения.
28. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора.
29. Определение диагонализируемого оператора конечномерного пространства.
30. Когда матрица линейного оператора конечномерного векторного пространства диагональная?
Докажите теорему, отвечающую на этот вопрос.
31. Сформулируйте критерий диагонализируемости линейного оператора.
ЛИНЙНАЯ АЛГЕБРА
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.
2. Алгебраическая сумма матриц, свойства суммы.
3. Произведение матрицы на число, свойства произведения матрицы на число.
4. Свойства дистрибутивности умножения числа на сумму матриц и умножения на матрицу суммы
чисел.
5. Умножение матриц. Свойства произведения матриц.
6. Понятие определителей второго и третьего порядков. Доказательство свойств определителей на
примере определителя третьего порядка.
7. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Доказать теорему о разложении
определителя по элементам его строки (столбца).
8. Определитель порядка n. Способы вычисления определителей порядка n.
9. Невырожденная и обратная матрицы. Доказать теорему существования и единственности обратной
матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
10. Понятие ранга матрицы в терминах определителей. Базисный минор.
11.
Элементарные
преобразования
матрицы.
Инвариантность
ранга
матрицы
относительно
элементарных преобразований.
12. Понятие линейной зависимости и линейной независимости строк (столбцов) матрицы.
Доказательство теорем:
1) Необходимое и достаточное условие линейной зависимости строк (столбцов) матрицы;
2) Достаточные признаки линейной зависимости строк (столбцов): наличие нулевой строки (столбца),
наличие линейно зависимой подсистемы строк (столбцов);
3) Теорема о линейной независимости строк (столбцов), входящих в систему линейно независимых
строк (столбцов)
13. Теорема о базисном миноре.
14. Определение ранга матрицы в терминах линейной независимости строк (столбцов) матрицы. Метод
окаймления.
15. Теорема о необходимом и достаточном условиях обращения определителя квадратной матрицы в
нуль.
16. Системы линейных уравнений. Основные понятия; решение системы; совместные и несовместные,
определенные и неопределенные системы; общее и частное решения.
17. Теорема Кронекера-Капелли.(критерий совместности систем линейных уравнений).
18. Понятие невырожденной системы линейных уравнений. Матричный метод решения.
19. Формулы Крамера.
20. Теорема о числе решений системы линейных уравнений.
21. Понятие эквивалентных систем линейных уравнений. Элементарные преобразования системы.
22. Метод Гаусса.
23.
Системы
линейных
однородных
уравнений.
Виды
решений.
Критерий
существования
нетривиальных решений (теорема). Критерий существования нетривиальных решений системы n
линейных однородных уравнений с n неизвестными.
24. Свойства решений системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
25.
Теорема
существования
фундаментальной
системы
решений.
Алгоритм
нахождения
фундаментальной системы решений.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. Определение вектора и основные связанные с этим понятием определения: длины вектора, нулевого
вектора, равных векторов, противоположных векторов.
2. Докажите теорему о вычисление скалярного произведения в декартовых координатах.
3. Линейная комбинация векторов. Базис системы векторов. Координаты вектора в базисе.
Определения.
4. Докажите теорему о вычислении скалярной проекции вектора на ось.
5. Базис системы векторов. Декартов базис. Орт вектора. Декартова система координат. Аффинная
система координат. Определения.
6. Докажите необходимый и достаточный признак компланарности трех векторов.
7. Векторная проекция вектора на ось. Скалярная проекция векторной на ось. Определения.
8. Докажите теорему о вычисление смешанного произведения трех векторов в декартовом базисе.
10. Выведите формулу для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости.
11. Скалярное произведение векторов. Скалярный квадрат вектора. Определения.
12. Докажите теорему о необходимом и достаточном условии линейной зависимости трех векторов.
13. Докажите теорему о вычислении векторного произведения векторов в декартовом базисе.
14. Определение смешанного произведения векторов.
15. Докажите теорему о необходимом и достаточном условии линейной зависимости двух векторов.
16. Выведите формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости.
17. Линейно независимая система векторов. Линейно зависимой системы векторов. Определения.
18. Докажите алгебраические свойства смешанного произведения векторов.
19. Определение направляющих косинусов вектора.
20. Выведите канонические уравнения эллипса.
21. Выведите канонические уравнения параболы.
22. Различные виды уравнений плоскости (вывод).
23. Определения линейных операций над векторами: суммы векторов, разности векторов,
произведения вектора на число.
24. Докажите алгебраические свойства скалярного произведения.
25. Определение векторного произведения векторов.
26. Докажите основную теорему векторной алгебры.
28. Исследование общего уравнения плоскости.
29. Докажите геометрические свойства векторного произведения.
30. Сформулируйте и докажите теорему о связи направляющих косинусов вектора с его ортом.
Свойство направляющих косинусов (с доказательством). Выражение направляющих косинусов через
координаты вектора в декартовом базисе.
32. Докажите теоремы о геометрических свойствах скалярного произведения.
33. Метод параллельных сечений исследования формы поверхности.
34. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Определения.
35. Докажите теоремы о свойствах скалярных проекций вектора на ось.
36. Различные виды уравнений прямой в пространстве (вывод).
37. Различные виды уравнений прямой на плоскости (вывод).
38. Определение радиуса-вектора точки и координат точки.
39. Получите формулы деления отрезка в данном отношении.
40. Докажите теорему о геометрическом смысле смешанного произведения.
41. Взаимное расположение прямых на плоскости при разных способах их задания.
42. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
43. Докажите теорему о разложении вектора по базису и единственности разложения.
44. Докажите теорему о необходимом и достаточном условии коллинеарности двух векторов.
45. Докажите теорему об условии, эквивалентном линейной зависимости векторов.