5 класс (день первый) 1 Из бумажного квадрата 12×12 клеток

5 класс (день первый)
1
Из бумажного квадрата 12×12 клеток вырезали по клеточкам несколько квадратов,
причем любые два из них имеют разные размеры. Какое наибольшее количество
квадратов могло быть вырезано?
2
Даны десять чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. За один ход разрешается к любым двум из них
прибавлять 1. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными?
3
В какой день недели произошла Бородинская битва (26 августа 1812 года)?
4
16 футбольных команд сыграли однокруговой турнир и набрали в сумме 300 очков.
Сколько было ничьих?(В футболе за победу дается 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0).
5
Три ежика делили три кусочка сыра массами 5г, 8г и 11г. Лиса взялась им помочь. Она
может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1г сыра. Может ли
лиса оставить ежикам равные кусочки сыра?
Вывод 5 класс (день первый)
6
Разрезать фигуру на рисунке двумя прямолинейными
разрезами на три части так, чтобы из них можно было
сложить квадрат.
7
Если к некоторому пятизначному числу приписать справа цифру 6, полученное
новое число умножить на 4, то получится первоначальное пятизначное число с
приписанной цифрой шесть впереди. Найти это получившееся число.
8
В классе 30 учеников. Они сидят за 15 партами так, что ровно половина всех
девочек класса сидит с мальчиками. Можно ли их пересадить за те же 15 парт так,
чтобы ровно половина всех мальчиков класса сидели с девочками?
Супервывод 5 класс (день первый)
9
Имеется груз, упакованный в ящики. Общий вес груза не превосходит 13,5 тонн, а
вес каждого ящика не превосходит 350кг. Можно ли весь этот груз перевести на 11ти грузовиках, каждый из которых поднимает не более 1,5 тонны?
10 В тринадцати клетках изображённой на рисунке фигуры
расставить числа так, чтобы сумма чисел в любом
прямоугольнике 1×3 равна 10, а сумма всех чисел равна
66.
5 класс (день второй)
1
Найти несколько натуральных чисел, сумма и произведение которых равна 20.
2
Два человека отправились одновременно из А в В. Один человек ехал на велосипеде, а другой на
автомобиле. Скорость автомобиля в 5 раз больше скорости велосипеда. На полпути автомобиль
сломался, и остаток пути автомобилист прошел пешком со скоро-стью в два раза меньшей, чем
скорость велосипедиста. Кто из них раньше прибыл в В?
3
Имеется 19 каменных глыб весом 1,2 т каждая и 47 глыб весом 1,1 т каждая. Начальник станции
хочет погрузить их в два вагона так, чтобы общий вес камней в них был одним и тем же. Сможет
ли он сделать это, не дробя камни?
4
Играют трое. На столе лежат 2010 кучек конфет, по 100 штук в каждой. За ход разрешается взять
произвольное ненулевое количество конфет из одной кучи. Ходы делаются по очереди: Петя –
Ваня – Тимур – Петя – Ваня – Тимур и т.д. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Могут ли
какие-то двое, объединившись, довести оставшегося игрока до проигрыша?
5
Клетки квадрата 5×5 раскрашены в красный и синий цвета. За ход разрешается взять линию
(строчку или столбец), в которой красных клеток больше чем синих и перекрасить в ней красные
клетки в синие, а синие – в красные. Докажите, что в какой-то момент нельзя будет сделать ход.
Вывод 5 класс (день второй)
6
В ряд выписаны 10 натуральных чисел, оканчивающихся на разные цифры. Первое число
увеличили на 1, второе – на 2, третье – на 3, … , десятое – на 10. Докажите, что после этого
найдутся два числа, у которых последние цифры одинаковы.
7
Разрезать квадрат 4 × 4 без угловой клетки на три равные фигуры.
8
На шахматной доске стоят 8 ладей так, что никакие две из них не бьют друг друга. Доказать, что
количество ладей на чёрных клетках чётно.
Супервывод 5 класс(день второй)
9
Натуральное число n содержит в записи только цифры 1 и 2, причем единиц в четыре раза
больше, чем двоек. Докажите, что число n+6 – составное.
10 В гостиницу приехал путешественник. Денег он не имел, а обладал лишь серебряной цепочкой,
состоящей из 7 звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивался одним
звеном цепочки, при этом хозяин предупредил, что согласен взять не более одного распиленного
звена. Как путешественнику распилить цепочку, чтобы прожить в гостинице неделю и ежедневно
расплачиваться с хозяином?
6 класс (день первый)
1
Найдите все пары простых чисел p и q таких, что p+q и p-q – тоже простые.
2
В классе 30 учеников. Они сидят за 15 партами так, что ровно половина всех
девочек класса сидит с мальчиками. Можно ли их пересадить за те же 15 парт так,
чтобы ровно половина всех мальчиков класса сидели с девочками?
3
Есть квадрат со сторонами, большими единицы. Двое играют в игру: за ход
разрешается закрасить еще не закрашенную до этого клетку и все клетки, которые
правее и ниже ее. Проигрывает тот, кому придется закрасить последнюю клетку.
Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?
4
Разрезать фигуру на рисунке двумя прямолинейными
разрезами на три части так, чтобы из них можно было
сложить квадрат.
5
Если к некоторому пятизначному числу приписать справа цифру 6, полученное
новое число умножить на 4, то получится первоначальное пятизначное число с
приписанной цифрой шесть впереди. Найти это получившееся число.
Вывод 6 класс (день первый)
6
По кругу стоят 22 человека, каждый из которых рыцарь или лжец. Каждый произнес
фразу: «Следующие после меня по часовой стрелке 10 человек – лжецы». Сколько среди
них лжецов?
7
Нарисуйте 6-звенную замкнутую ломаную, пересекающую каждое свое звено ровно 1 раз.
8
Имеется груз, упакованный в ящики. Общий вес груза не превосходит 13,5 тонн, а вес
каждого ящика не превосходит 350кг. Можно ли весь этот груз перевести на 11-ти
грузовиках, каждый из которых поднимает не более 1,5 тонны?
Супервывод 6 класс (день первый)
9
Вася задумал число. Остаток при делении этого числа на 26 равен неполному частному.
Также, остаток при делении этого числа на 29 равен неполному частному. Какое число
задумал Вася? Найти все варианты.
10 В тринадцати клетках изображённой на рисунке фигуры расставить
числа так, чтобы сумма чисел в любом прямоугольнике 1×3 равна 1, и
сумма всех чисел тоже равна 1.
6 класс (день второй)
1
Выписали 10, идущих подряд, натуральных чисел. Одно из них зачеркнули. Сумма
оставшихся девяти чисел оказалась равна 2010. Какое число вычеркнули?
2
У Васи есть 11 одинаковых по внешнему виду монет, среди которых 5 фальшивых и
6 настоящих, причем фальшивые монеты весят одинаково и легче настоящих,
которые тоже весят одинаково. Еще у Васи есть прибор, который по двум
положенным в него монетам определяет, равны монеты по весу, или нет. Вася
выбрал одну монету из 11. Как он может установить, является ли выбранная монета
настоящей, если прибор после пятого использования выходит из строя?
3
Доказать, что если к трёхзначному числу приписать справа такое же число, то
полученное шестизначное число делится на 13.
4
Разрезать квадрат 4 × 4 без угловой клетки на три равные фигуры.
5
На шахматной доске стоят 8 ладей так, что никакие две из них не бьют друг друга.
Доказать, что количество ладей на чёрных клетках чётно.
Вывод 6 класс (день второй)
6
Можно ли у нарисованной фигуры закрасить
несколько клеток так, чтобы каждая клетка
граничила по стороне ровно с одной из окрашенных
соседних клеток ?
7
На шахматной доске стоят фигуры так, что в каждой
горизонтали и в каждой вертикали стоит ровно по
две фигуры. Всегда ли можно ли убрать некоторое
количество фигур так, чтобы в каждой горизонтали и
в каждой вертикали осталось ровно по одной
фигуре?
8
Число, записываемое n единицами – простое. Докажите, что число n – тоже простое.
Супервывод 6 класс (день второй)
9
В гостиницу приехал путешественник. Денег он не имел, а обладал лишь серебряной цепочкой,
состоящей из 7 звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивался одним
звеном цепочки, при этом хозяин предупредил, что согласен взять не более одного распиленного
звена. Как путешественнику распилить цепочку, чтобы прожить в гостинице неделю и ежедневно
расплачиваться с хозяином?
10 Правильный треугольник полностью покрыт пятью меньшими правильными одинаковыми
треугольниками. А можно ли его полностью покрыть четырьмя из них?
7 класс (день первый)
1
Найдите все тройки простых чисел x, y и z такие, что 19x-yz=1995.
2
По кругу стоят 22 человека, каждый из которых рыцарь или лжец. Каждый произнес
фразу: «Следующие после меня по часовой стрелке 10 человек – лжецы». Сколько
среди них лжецов?
3
Из какого наименьшего количества фигурок двух видов,
изображённых на рисунке, можно сложить квадрат, сторона
которого состоит из целого числа клеточек? Фигурки можно
поворачивать и переворачивать.
4
Имеется груз, упакованный в ящики. Общий вес груза не превосходит 13,5 тонн, а
вес каждого ящика не превосходит 350кг. Можно ли весь этот груз перевести на 11ти грузовиках, каждый из которых поднимает не более 1,5 тонны?
5
ABCD – квадрат. Треугольники АМD и AKB – равносторонние
(см. рис.). Верно ли, что точки С, М и K лежат на одной прямой?
Вывод 7 класс (день первый)
6
Злоумышленник переставил кнопки в лифте 13-этажного дома. Теперь номер этажа, на
который отправляется лифт при нажатии на кнопку, не всегда совпадает с числом,
указанным на кнопке. Находясь на некотором этаже, пенсионер N нажимает кнопку с
номером этого этажа и, возможно, перемещается на другой этаж. Он обнаружил, что с
какого бы этажа не начать, после 1313 таких нажатий лифт возвращается на исходный
этаж. Докажите, что действуя указанным образом, можно с любого этажа попасть на
любой.
7
Вася задумал число. Остаток при делении этого числа на 26 равен неполному частному.
Также, остаток при делении этого числа на 29 равен неполному частному. Какое число
задумал Вася? Найти все варианты.
8
Нарисуйте 6-звенную замкнутую ломаную, пересекающую каждое свое звено ровно 1 раз.
Супервывод 7 класс (день первый)
9
В кучке – 64 спички. Двое по очереди делают ходы. За один ход можно взять из кучки
любое нечетное число спичек, меньшее 16, причем запрещается повторять уже
сделанные ходы – как свои, так и соперника (то есть, если кто-то очередным ходом взял
какое-то число спичек, то в дальнейшем ни он, ни его соперник, брать такое число спичек
не могут). Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто выиграет при правильной
игре: тот, кто делает первый ход, или его соперник, и как ему надо играть, чтобы
выиграть?
10
Разрежьте прямоугольник размерами 6×10 клеточек на
несколько фигур (по сторонам клеток) так, чтобы из них
можно было составить прямоугольник размерами 7×9
клеточек с тремя «одноклеточными» дырками, как показано
на рисунке.
7 класс (день второй)
1
Вычислите:
2
На шахматной доске стоят фигуры так, что в каждой горизонтали и в каждой вертикали стоит
ровно по две фигуры. Всегда ли можно ли убрать некоторое количество фигур так, чтобы в
каждой горизонтали и в каждой вертикали осталось ровно по одной фигуре?
3
Выписали 10, идущих подряд, натуральных чисел. Одно из них зачеркнули. Сумма оставшихся
девяти чисел оказалась равна 2010. Какое число вычеркнули?
4
Точка K – середина стороны AB квадрата ABCD, точка L расположена на диагонали AC, причем
AL : LC = 3 : 1. Найдите угол KLD.
5
На шахматной доске стоят 8 ладей так, что никакие две из них не бьют друг друга. Доказать, что
количество ладей на чёрных клетках чётно.
Вывод 7 класс (день второй)
6
Правильный треугольник полностью покрыт пятью меньшими правильными одинаковыми
треугольниками. А можно ли его полностью покрыть четырьмя из них?
7
Произведение 25 чисел оканчивается на 25. Докажите, что среди них найдется 3 числа,
произведение которых тоже оканчивается на 25.
8
Найдите сумму углов при вершинах пятиконечной звезды.
Супервывод 7 класс (день второй)
9
В одной стране каждый город соединен с каждым дорогой. Сумасшедший король хочет ввести на
дорогах одностороннее движение так, чтобы, выехав из любого города, в него нельзя было
вернуться. Можно ли так сделать?
10
На газоне в форме равностороннего треугольника со стороной 3 м растут 10 гвоздик. Доказать,
что найдутся две гвоздики, которые находятся друг от друга на расстоянии, не большем 1 м.