МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Факультет компьютерных наук и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
___________________________
"__" __________________20__ г.
Рабочая программа дисциплины
Алгебра и геометрия
Направление подготовки
231000 Программная инженерия
Профиль подготовки
Разработка программно-информационных систем
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Саратов 2011
1. Цели освоения дисциплины
Дисциплина «Алгебра и геометрия» предназначена для студентов факультета компьютерных наук и информационных технологий, обучающихся
по направлению231000 Программная инженерия. Дисциплина «Алгебра и
геометрия» читается в 1-ом и 2-ом семестрах и является одной из основ изучения математических и ряда прикладных дисциплин. Её целью является
дать основы аналитической геометрии, линейной алгебры и элементов общей
алгебры, научить решать стандартные задачи по данной дисциплине, указать
на ее связи с приложениями.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Данная учебная дисциплина входит в раздел «Математический и естественно научный цикл. Базовая часть» ФГОС-3.
Для изучения дисциплины необходимы компетенции, сформированные
у обучающихся в результате изучения школьной программы.
Сформированные в процессе изучения дисциплины «Алгебра и геометрия» компетенции, необходимы студенту при изучении таких дисциплин как
«Методы вычислений», «Теория вероятностей и математическая статистика».
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины
Данная дисциплина способствует формированию следующих компетенций:
готовность к использованию методов и инструментальных средств исследования объектов профессиональной деятельности (ПК-3);
(наименование в соответствии с ФГОС ВПО).
В результате освоения дисциплины «Алгебра и геометрия» обучающийся должен
Знать:
 Теорию произвольных систем линейных уравнений.
 Теорию матриц и определителей.
 Теорию линейных пространств
 Теорию евклидовых линейных пространств.
 Теорию линейных операторов в линейных пространствах.
 Теорию квадратичных форм.
 Основные понятия теории групп.
 Векторную алгебру.
 Стандартные системы координат и их преобразования.
 Основные формулы аналитической геометрии.
 Основные теоремы об уравнениях фигур.
 Теорию прямых на плоскости и в пространстве.
 Теорию плоскостей в пространстве.
 Элементарную теорию фигур 2-го порядка на плоскости и в пространстве.
Уметь:
 Осуществлять операции над матрицами.
 Вычислять определители.
 Вычислять ранг матрицы.
 Решать системы линейных уравнений методом Гаусса и по правилу Крамера.
 Находить общее решение систем линейных уравнений.
 Находить собственные значения и собственные векторы линейных преобразований.
 Осуществлять ортогонализацию базиса в евклидовом пространстве.
 Приводить к каноническому виду квадратичные формы.
 Производить действия с векторами.
 Осуществлять переход от одних координат к другим.
 Применять основные формулы аналитической геометрии при
решении задач.
 Классифицировать фигуры по их уравнениям.
 Аналитическим способом решать задачи на прямые и плоскости.
 Приводить уравнения второго порядка к каноническому виду.
 На основе анализа уравнений уметь распознавать конусы, цилиндры и поверхности вращения.
Владеть:
 алгебраическими и геометрическими методами построения математической модели профессиональных задач и содержательной интерпретации полученных результатов.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины «Алгебра и геометрия» составляет 12
зачетных единиц (432 часа).
Виды учебной
работы, включая самостоятельную работу
студентов и трудоемкость (в часах)
Самостоятельная работа
Нед
е-ля
семес
тра
Лабора-ные
занятия
Семес
тр
Пактиекие занятия
Раздел дисциплины
лекции
№п/п
Формы текущего
контроля успеваемости (по
неделям семестра)
Формы промежуточной аттестации (по семестрам)
Раздел 1. Алгебраиче1
ские структуры
Тема 1.1. Необходимые
1
сведения из теории множеств и
бинарных отношений
Тема 1.2. Введение в тео- 1
рию групп
1-8
14
18
30
1,2
3
4
6
Опрос, проверка
домашнего задания
3
2
4
6
4.
Тема 1.3. Кольца и поля
4
2
4
5
5.
Тема 1.4. Линейные про- 1
странства
5-6
3
2
5
6.
Тема 1.5. Алгебры
7-8
4
4
8
Опрос, проверка
домашнего задания
Опрос, проверка
домашнего задания
Опрос, проверка
домашнего задания
Опрос, проверка
домашнего задания
7.
Раздел 2.Начала линей- 1
ной алгебры
Тема 2.1. Системы ли- 1
нейных уравнений
9-11
5
8
14
9
2
4
6
Тема 2.2. Определители и 1
их приложения
1011
3
4
8
10. Раздел 3. Аналитиче1
ский метод
11. Тема 3.1. Системы коор- 1
динат
1218
12
17
32
43
2
4
4
12. Тема 3.2. Аналитическое 1
решение
простейших
геометрических задач
13. Тема 3.3. Аналитический 1
метод изучения свойств
фигур
Контрольная работа №1
1
13
2
4
4
1415
3
3
5
2
3
14. Тема 3.4.
плоскости
15
2
4
6
15. Тема 3.5. Плоскость и 1
прямая в пространстве
1516
3
5
6
16. Тема 3.6. Конические се- 1
чения
1617
3
4
6
17. Тема 3.7. Поверхности 1
второго порядка
18
2
4
6
1.
2.
3.
8.
9.
Прямая
1
1
на 1
Опрос, проверка
домашнего задания
Опрос, проверка
домашнего задания
Опрос, проверка
домашнего задания
Опрос, проверка
домашнего задания
Опрос, проверка
домашнего задания
Контрольная работа по разделам
1-2.
Опрос, проверка
домашнего задания
Опрос, проверка
домашнего задания
Опрос, проверка
домашнего задания
Опрос, проверка
домашнего задания
2
3
Контрольная работа по разделу 3
зачет, экзамен
36
54
87
Зачет, экзамен
(54ч.)
1-16
48
48
69
19. Тема 4.1. Начала алгебры 2
многочленов
1-4
10
10
12
20. Тема 4.2. Введение в тео- 2
рию групп
4-7
12
10
15
2
3
18.
.Контрольная работа №2
1
Промежуточная
стация
ИТОГО
1
18
атте- 1
Раздел 4.
2
Контрольная работы №3
2
21. Тема 4.3. Билинейные и 2
квадратичные формы
8-11
10
8
12
22. Тема 4.4. Линейные опе- 2
раторы
1215
12
12
16
23. Тема 4.5. Общая теория 2
кривых и поверхностей
второго порядка
Контрольная работа №4
2
16
4
4
8
2
3
48
48
69
84
102
156
16
Итоговая аттестация
ИТОГО
2
Всего
Опрос, проверка
домашнего задания
Опрос, проверка
домашнего задания
Контрольная работа по темам
4.1.-4.2
Опрос, проверка
домашнего задания
Опрос, проверка
домашнего задания
Опрос, проверка
домашнего задания
Контрольная работа по темам
4.3.-4.5
экзамен
Экзамен (36ч.)
Темы и краткое содержание лекций
Первый семестр
Раздел 1.
Алгебраические структуры
Тема 1.1.
Необходимые сведения из теории множеств и
бинарных отношений
Множества. Подмножества. Операции над множествами. Инъективные,
сюръективные и биективные отображения. Композиция отображений.
Бинарные отношения. Типы отношений. Отношение эквивалентности.
Теорема о разбиении множества с заданным отношением эквивалентности.
Основные примеры отношений эквивалентности: свободный вектор как
класс эквивалентности отношения конгруэнтности на множестве связанных
векторов евклидова пространства; вычет как класс эквивалентности отношения сравнимости по mod n на множестве целых чисел. Понятие алгебраической структуры. Понятие согласованности алгебраической операции с отношением эквивалентности. Основные примеры: согласованность операций
сложения и умножения с отношением конгруэнтности на множестве связанных векторов и отношением сравнимости по mod n на множестве целых чисел. Введение алгебраической структуры на множестве свободных векторов
евклидова пространства и на множестве вычетов по mod n.
Тема 1.2.
Введение в теорию групп
Определение группы. Простейшие следствия из аксиом групп. Абелевы
группы. Основные примеры: числовые множества относительно операций
умножения и сложения, группа свободных векторов по сложению, матричные группы (полная линейная группа, специальная линейная группа), симметрическая группа (группа подстановок).
Тема 1.3.
Кольца и поля
Основные определения. Кольцо вычетов по модулю п. Условия, при
которых кольцо вычетов является полем. Характеристика поля. Понятие изоморфизма алгебраических структур, основные примеры.
Подкольца и подполя. Поле комплексных чисел. Теорема о существовании и единственности поля комплексных чисел. Тригонометрическая форма представления комплексного числа. Формула Муавра. Извлечение корней
из комплексного числа.
Тема 1.4.
Линейные пространства
Линейное пространство геометрических векторов и его обобщение: линейное пространство над произвольным полем K. Основные примеры: арифметическое пространство R n , линейное пространство матриц одного размера.
Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Признаки коллинеарности и компланарности геометрических векторов. Понятие базиса конечномерного линейного пространства. Координаты, действия с векторами в координатах. Изоморфные линейные пространства. Уточнение понятия базиса
для случая пространства геометрических векторов. Скалярное произведение
геометрических векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения в координатах. Применение скалярного произведения в геометрии. Понятие евклидова линейного пространства.
Тема 1.5.
Алгебры
Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов пространства геометрических векторов. Ориентированная плоскость и ориентированное пространство. Операции векторного и смешанного умножения в
ориентированном пространстве и их свойства: антикоммутативность опера-
ции векторного умножения; геометрический смысл модуля векторного произведения; геометрический смысл модуля смешанного произведения и геометрический смысл знака смешанного произведения; выражение в координатах векторного и смешанного произведения; двойное векторное произведение. Определение алгебры над произвольным полем. Основные примеры: алгебра геометрических векторов, алгебра матриц, алгебра кватернионов.
Раздел 2.
Начала линейной алгебры
Тема 2.1.
Системы линейных уравнений
Элементарные преобразования системы линейных уравнений и элементарные преобразования строк матрицы. Приведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду (метод Гаусса). Теорема о системах однородных
линейных уравнений. Основная теорема о линейной зависимости. Понятие
размерности конечномерного линейного пространства. Линейная оболочка
системы векторов. Ранг системы векторов. Ранг матрицы. Невырожденные
матрицы. Теорема Кронекера - Капелли.
Линейные отображения. Матрица линейного отображения. Образ и ядро линейного отображения. Теорема о размерности ядра линейного отображения. Линейные преобразования и полная линейная группа. Обратные матрицы.
Тема 2.2.
Определители и их приложения
Перестановки и их свойства. Определение определителя n-ого порядка.
Полилинейные формы. Симметрические и кососимметрические полилинейные формы. Теорема о п-линейной кососимметрической форме. Определитель как кососимметрическая форма. Свойства определителей: элементарные
преобразования строк определителя; определитель треугольной матрицы;
определитель блочной матрицы; определитель произведения матриц; разложение определителя по строке (столбцу).
Приложения определителей. Формулы Крамера. Формулы для нахождения обратной матрицы. Теорема о ранге матрицы.
Раздел 3.
Аналитический метод
Тема 3.1.
Системы координат
Векторные и арифметические системы координат: векторная система
координат с данным полюсом, аффинные и декартовы системы координат,
полярная, сферическая и цилиндрическая системы координат. Формулы преобразования систем координат.
Тема 3.2.
Аналитическое решение простейших геометрических задач
Вектор, определяемый двумя точками. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника. Объем
тетраэдра.
Тема 3.3.
Аналитический метод изучения свойств фигур
График уравнения. Уравнения фигур. Теоремы об уравнениях фигур.
Классификация фигур. Цилиндры, конусы, фигуры вращения. Изучение
свойств фигуры по её уравнению. Параметрические уравнения фигур.
Тема 3.4.
Прямая на плоскости
Основная теорема о прямой на плоскости. Основные виды уравнений
прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угловой коэффициент прямой на плоскости. Угол между прямыми на плоскости.
Расстояние от точки до прямой на плоскости. Пучок прямых на плоскости.
Тема 3.5.
Плоскость и прямая в пространстве
Основная теорема о плоскости в пространстве. Исследование общего
уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
Расположение точек относительно плоскости в пространстве. Основные виды
уравнений плоскости в пространстве в аффинных и декартовых координатах.
Основная теорема о прямой в пространстве. Условие параллельности вектора
и прямой в пространстве. Основные виды уравнений прямой в пространстве
в аффинных и декартовых координатах. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямыми в пространстве, между плоскостями и между прямой и плоскостью. Расстояние от точки
до плоскости и прямой в пространстве. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми. Пучки прямых и плоскостей.
Тема 3.6.
Конические сечения
Определение и построение эллипса и гиперболы. Канонические уравнения эллипса и гиперболы. Изучение свойств эллипса и гиперболы по каноническим уравнениям. Директориальное свойство. Равносторонняя гипербола. Определение и построение параболы. Каноническое уравнение параболы.
Изучение свойств параболы по каноническому уравнению. Общее определение конических сечений. Полярное уравнение конических сечений.
Тема 3.7.
Поверхности второго порядка
Определения и канонические уравнения эллипсоидов, гиперболоидов,
параболоидов, конусов и цилиндров второго порядков. Простейшие свойства.
Форма конусов. Форма эллипсоидов. Форма гиперболоидов. Форма параболоидов. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида гиперболического параболоида.
Второй семестр
Раздел 4.
Тема 4.1.
Начала алгебры многочленов
Построение и основные свойства многочленов. Деление с остатком,
теорема Безу. Схема Горнера. Общие свойства корней многочленов. Формулы Виета. Основная теорема алгебры комплексных чисел. Корни многочленов с вещественным коэффициентом. Теорема Декарта. Теория делимости в
евклидовых кольцах. Многочлены с рациональными коэффициентами. Лемма Гаусса. Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены. Кубические уравнения. Поле рациональных дробей.
Тема 4.2.
Введение в теорию групп
Группы преобразований множества. Группы преобразований плоскости. Группа движений. Понятие об инварианте группы преобразований. Программа Клейна. Связь между преобразованиями плоскости и преобразованиями координат.
Циклические группы. Изоморфность циклической группы и группы целых чисел. Системы порождающих. Разбиение на смежные классы. Теорема
Лагранжа. Нормальная подгруппа. Условие согласованности отношения
сравнимости по модулю подгруппы с операцией умножения в группе. Гомоморфизмы групп.
Тема 4.3.
Билинейные и квадратичные формы
Прямая сумма линейных пространств. Линейные функции. Билинейные
симметрические формы. Квадратичные формы. Существование ортогонального базиса относительно билинейной симметрической формы. Процесс ортогонализации Грама - Шмидта.
Положительно определенная квадратичная форма. Закон инерции. Метод Якоби. Критерий Сильвестра.
Евклидовы линейные пространства. Неравенство Коши - Буняковского.
Матрица Грама системы векторов. Понятие ортогональной матрицы. Расстояние от вектора до подпространства евклидова пространства. Изоморфные
евклидовы линейные пространства. Эрмитовы пространства.
Тема 4.4.
Линейные операторы
Матрица линейного оператора. Инвариантное подпространство линейного оператора.
Собственные векторы оператора. Характеристический многочлен.
Комплексификация действительного линейного пространства. Теорема о существовании инвариантных подпространств для линейных операторов над
полем действительных чисел. Теорема о собственных подпространствах, отвечающих различным собственным значениям оператора. Необходимое и достаточное условие существования базиса из собственных векторов линейного
оператора.
Линейные операторы и билинейные функции в евклидовом пространстве. Симметрические, кососимметрические и ортогональные операторы.
Теорема о существовании для симметрического оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Приведение к главным осям.
Жорданова форма. Корневое подпространство. Нильпотентный оператор. Теорема о приведении матрицы оператора к жордановой форме. Функции от линейного оператора.
Тема 4.5
Общая теория кривых и поверхностей второго порядка
Инварианты многочлена второй степени. Определение канонических
уравнений кривых и поверхностей по инвариантам.
5. Образовательные технологии
В учебном процессе при реализации компетентностного подхода используются активные и интерактивные формы проведения занятий: деловые
и ролевые игры, разбор конкретных исторических ситуаций.
Активные и интерактивные формы: модельный метод обучения – моделирование в процессе обучения тех или иных ситуаций; кейс-стади – имитация в учебном процессе реального события для демонстрации того или
иного изучаемого явления, студентам предлагается рассмотреть случай; метод проектов – распределение заданий между учащимися, предполагающий
сбор и анализ информации, а также представление полученных результатов;
портфолио – метод анализа собственных достижений; метод развивающей
кооперации – метод формирования взаимодействия между студентами в процессе обучения; деловая игра – метод моделирования деловых ситуаций в
ходе учебного процесса; метод Делфи – метод поиска быстрых решений в
группе.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература:
1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры : учебник. - 16-е изд., стер. - СПб. ;
М. ; Краснодар : Лань ; М. : Физматкнига, 2007. - 431 с .
Экз-ры: ОУОЕН(135), ОХФ(1), ОХФ-ЧЗ-4(1)
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры:
учебник - 11-е изд., испр. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 307 с.
Экз-ры: ОХФ(2), ОУОЕН(25)
3. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учеб.
пособие / под ред. Д. В. Беклемишева. - 2-е изд., перераб. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 494 с. Экз-ры: ОХФ(1), ОХФ-ЧЗ-4(1), ОУОЕН(50)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Дополнительная литература:
Кострикин А. И. Введение в алгебру : учеб. для вузов : [в 2ч.] ; - 3-е
изд. - М. : ФИЗМАТЛИТ. Ч. 2 : Линейная алгебра. - М. : ФИЗМАТЛИТ,
2004. - 367 с. (Рекомендовано М-вом общ. и спец. образования Рос. Федерации в качестве учеб. для студентов ун-тов, обучающихся по специальностям "Математика" и "Прикладная математика"). (3 экз.)
Кострикин, А. И. Введение в алгебру : учеб. для вузов : [в 2ч.] . - 2-е
изд., испр. - М. : ФИЗМАТЛИТ. - Ч. 1 : Основы алгебры. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 271 с.
Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
Веселов А.П., Троицкий Е.В. Лекции по аналитической геометрии, М.,
2002.
Пензов Ю.Е. Аналитическая геометрия, Саратов: Изд-во СГУ, 1972.
Рыжков В.В. Лекции по аналитической геометрии. М.: Факториал
Пресс, 2002.
Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1976.
Сборник задач по векторной алгебре. Под ред. Пензова Ю.Е., Ржехиной Н.Ф. Саратов. Изд. СГУ, 1974.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Лекционные занятия проводятся в аудиториях на 50 посадочных мест,
практические занятия – 25 посадочных мест. В отведенных для занятий аудиториях имеются учебные доски для требуемых визуализаций излагаемой информации.
В ходе лекционных и практических занятий используются учебнодемонстрационные мультимедийные презентации, которые обеспечиваются
следующим техническим оснащением:
1. Компьютеры (в комплекте с колонками).
2. Мультимедийный проектор
3. Экран.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению «231000
Программная инженерия» и профилю подготовки «Разработка программноинформационных систем».
Автор:
доцент кафедры геометрии СГУ
С.В. Галаев
Программа одобрена на заседании геометрии
от 15 февраля 2010 года, протокол № 9
Подписи:
Зав. кафедрой геометрии
профессор
В.В.РОЗЕН
Декан механико-математического
факультета
А.М. ЗАХАРОВ
Декан факультета компьютерных наук
и информационных технологий
А.Г. ФЕДОРОВА