Пример заданий для подготовки к олимпиаде

Тренировочный вариант для подготовки
к Герценовской олимпиаде школьников
по математике в 2015 году
1. Решите неравенство
sin1  cos 2  tg 3  ( x 2  2 x  1)
3  x  ( x 2  7)
 0.
2. В треугольнике ABC: A=30, BC=10, AC=10 3 . Определите
величину угла С.
3. Постройте график уравнения ( x2  y 2 )  ( x2  y 2  1)  0 .
4. Решите уравнение x2  y 2  80 , где x и y – натуральные
числа.
5. Какие правильные многоугольники могут быть сечениями
куба? (Ответ обоснуйте.)
6. В ряд выписаны все натуральные числа от 1 до 25. Можно ли
поставить между ними знаки “+” и “−” так, чтобы значение
выражения оказалось равным 0 ?
7.
Сравните
числа
a
и
b,
если
известно,
что
a2  4b2  b  3  a  4ab .
8. В вазочке лежат 2015 конфет. Двое по очереди берут из нее от
1 до 10 конфет, пока они не кончатся. Кто возьмёт конфеты
последним – тот выигрывает. Может ли в этих условиях победить
делающий первый ход? Как?