Вписанные и описанные окружности (Петров А. 8а)

1. Вписанные и описанные окружности
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается
всех его сторон.
Окружность называется описанной около треугольника, если она
проходит через все его вершины.
Теорема 1
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой
пересечения его биссектрис.
Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник, О — центр
вписанной в него окружности, D, Е и F - точки касания окружности со
сторонами. Прямоугольные треугольники AOD и АОЕ равны по гипотенузе и
катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы.
Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это
значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из
вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других
биссектрисах треугольника. Теорема доказана.
2. Центральные и вписанные углы
Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется
плоским
углом.
Плоские
углы
с
общими
сторонами
называются
дополнительными.
Если плоский угол является частью полуплоскости, то его
градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же
сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная
мера принимается равной 360° - а, где а — градусная мера дополнительного
плоского угла.
Центральным углом в окружности называется плоский угол с
вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри
плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому
центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется
градусная мера соответствующего центрального угла.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают
эту окружность, называется вписанным в окружность. Угол ВАС на
рисунке вписан в окружность. Его вершина А лежит на окружности, а
стороны пересекают окружность в точках В и С. Говорят также, что угол
А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги.
Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не
содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим
данному вписанному углу.
Теорема 2
Угол,
вписанный
в
окружность,
равен
половине
соответствующего центрального угла.
Доказательство. Рассмотрим частный случай, когда одна из сторон
угла проходит через центр окружности. Треугольник АОВ равнобедренный,
так как у него стороны ОА и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы А и В
треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника
при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и
требовалось доказать.
Пример 1. Точки А, В, С лежат на окружности с центром О; угол ABC
равен 66°. Найти центральный угол, соответствующий углу ABC.
Решение. Пусть условию задачи отвечает данный рисунок. Угол ABC
вписан в окружность. Поэтому согласно теореме о вписанном угле
=1/2 АОС или
АОС = 2
ABC. Но
ABC = 66° и, значит,
AOC
ABC
=
132°.
Пример 2. Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС,
если угол ABC равен 30°, а диаметр окружности 10 см?
Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок, где
Так как вписанный угол ABC равен 1/2
АОС, то
ABC = 30°.
АОС=60°.
Следовательно, треугольник АОС равносторонний, и, значит, хорда АС
равна радиусу данной окружности. А так как диаметр равен 10 см, то
радиус равен 5 см.
Следствие. Вписанные углы, стороны которых проходят через
точки А и В окружности, а вершины, лежат по одну сторону от прямой
АВ, равны.
В частности, углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
Список литературы
1. Гусев В.А. Математика: Справочные материалы. – М.: Просвещение,
1990.
2.Учебный справочник школьника. – М.: Дрофа, 1999.
3. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: «Педагогика», 1989.