Цепи трехфазного тока

Цепи трехфазного тока.
Электрические цепи трехфазного тока представляют
собой совокупность трех однофазных источников
одинаковой частоты, смещенных друг относительно
друга на 120°. (с одинаковыми источниками (с
одинаковой частотой)). Практически вся энергия
вырабатывается с помощью электрических цепей
трехфазного тока.
Причины:
1) Передача энергии более экономична, чем через цепи
с другим количеством фаз.
2) Трехфазные асинхронные двигатели и
трансформаторы просты в изготовлении, надежны и
экономичны в работе.
При этой схеме начало следующей фазы соединяется с
концом предыдущей.
Пример1
Дано :
U Л  300( В)
Z A  100(Ом)
Z B   j100  100  e  j 90
Z C  j100  100  e j 90
Найти I A , I B , I C  ? и показания амперметра.
Решение :
При схеме соединения “треугольник” к каждой фазе
приложены линейные напряжения.
UAB, UBC, UCA – линейные напряжения (они же и
фазные).
IAB, IBC, ICA – фазные токи.
IA, IB, IC – линейные токи.
IA 
U A 220

 2, 2( A)
Z A 100
IB 
U B 220  e  j120

 2, 2  e  j 30  1,9  j1,1( A)
Z B 100  e  j 90
IC 
U C 220  e j120

 2, 2  e j 30  1,9  j1,1( A)
Z C 100  e j 90
I N  I A  I B  I C  6( A)
Расчет трехфазных цепей, соединенных по схеме
“Звезда”.
Пример2
1) Симметричная нагрузка
Z A  Z B  Z C  ZÔ .
а – поворотный множитель
0
( a e j 120 )
UÔ
 Z
Ô
0

0
U
U e j 120
IB  B  Ô
 I A e  j 120  a 2  I A
ZB
ZÔ
0
j
120
j 1200
UC
U Ô e
I
 Z

 I
 e
ZÔ
C
C
A
I
e
A
 E
m
sin t
e B  Em sin(t 1200 )
e
C
 E
m
0
sin(t  240 )  E
m
0
sin(t  120 )
Комплексная форма:
E
A
 E
0
E B  E e  j 1 2 0
j 1 2 00
E
C
 E  e
1статор (в пазах уложены обмотки 3-х
фазного тока)
2- ротор
Схемы соединения цепей трехфазного тока.
1) Звезда
2) Треугольник.
Звезда. При такой схеме соединения концы обмоток
генератора соединяются в одну точку, называемую
нейтральной (нулевой).
Различают схемы соединения: звезда с нейтральным
проводом, звезда без нейтрального провода.
Нейтральную точку генератора соединяют с
нейтральной точкой приемника.
Провода, соединяющие фазы А,В,С генератора и
приемника, называются линейными, а токи,
протекающие в них – линейными токами.
UA, UB, UC – фазные напряжения
UAB, UBC, UCA – линейные напряжения
IA, IB, IC – линейные токи.
При схеме соединения звезда линейные и фазные одно
и тоже
Дано :
U Л  300( В )
Z A  100(Ом)
Z B   j100  100  e  j 90
UA
 Z
A
A
Z C  j100  100  e j 90
Найти I A , I B , I C  ?
 a  I
A
Решение :
UЛ
 220 В
3
U A U B U C 220 220  e  j120 220  e j120




 j 90
Z
Z B ZC
100  e j 90  296( B )
U NN '  A
 20 100  e
1
1
1
1
1
1




Z A Z B ZC
20  j100 j100
UA
UÔ
I
 Z
 Z
A
A
A

U
U e j 1 20
IB  B  Ô
ZB
ZB
U Ô e j 1 20
I

ZC
C
UФ 
2) Несимметричная нагрузка Z A  Z B  Z C
IA 
U AN ' U A  U N ' N 220  296


 3,8( A)
ZA
ZA
20
IB 
U BN ' U B  U N ' N 220  e  j120  296


 1,9  j 4, 06( A)
ZB
ZB
 j100
IB 
U CN ' U C  U N ' N 220  e j120  296


 1,9  j 4, 06( A)
ZC
ZC
j100
2а) Звезда с нейтральным проводом при Zn =0.
2б) Звезда с нейтральным проводом Z n  0
В этом случае возникает перекос фазных напряжений
нагрузки, и расчет производится по методу двух узлов.
U A U B UC


Z A Z B ZC
1
1
1
1
Y A  Y B  YC  ( Yn )
nN



Z A Z B ZC
Zn
U An U A U nN
U Bn U B U nN
IA

;I B 

ZA
ZA
ZB
ZB
U Cn U C U nN
IC 

ZC
ZB
U nN
I
 I
 I
 ; I
 Z
N
n
A
B
C
n
U

E AY A  E B Y B  E C YC

 
Расчет трехфазных цепей по схеме “треугольник”.
1) Симметричная нагрузка
Z AB  Z BC  Z CA  Z Ô
I AB  
где UnN – напряжение смещения нейтрали.
U AB U Ф

Z AB Z Ф
I BC 
U BC
 U Ф  e  j120  I A  e  j120  a 2 I A
Z BC
I CA 
U CA U Ф  e j120

 I A  e j120  a  I A
Z CA
ZФ
 I A  I AB  I CA

2
 I B  I BC  I AB  a I A
 I  I  I  aI
C
CA
BC
A

I A  3IÔ - только при симметричной нагрузке.
2) Несимметричная нагрузка
Z AB  Z BC  Z CA ; ( U Ë U Ô )
I
AB

UÔ
Z AB ;
U
U e  j 1 2 0
I BC  BC  Ô
Z BC
Z BC
Схема соединения – треугольник.
U CA
UÔ e j 1 2 0
 Z

ZCA
CA
CA
I A  I AB  ICA
I B  I BC  I AB a 2 I A
IC  ICA I BC a I A

I
Пример
1) Рассмотрим ωt1 = 300:
Дано :
U Л  U Ф  220( В)
Фm
2
ФB  Фm sin( t  120 0 )  Фm
ФA  ФC  Фm sin 300 
Z AB  100(Ом)
Z BC  100  e j 90 (Ом)
ZCA  100  e j 90 (Ом)
Решение
U
I AB  Ф  2, 2( A);
Z AB
I BC
U
U  e j120
 BC  Ф
 1,9  j1,1( A)
Z BC
Z BC
I CA 
U CA U Ф  e j120

 1,9  j1,1( A)
Z CA
Z CA
 I A  I AB  I CA  0,3  j1,1( A)

2
 I B  I BC  I AB  a I A  0,3  j1,1( A)
 I  I  I  aI  j 2, 2( A)
CA
BC
A
 C
1
ФB  ФC  Фm sin( 900  1200 )   Фm
2
3) Рассмотрим ωt3 = 1200:
1
1
1
1
Y11 



Z ЛA Z А Z AB Z CA
ФA  Фm sin 120 0 
I1 y 
UA
Z ЛА
ФC  Фm sin( 120 0  120 0 )  
Мощность трехфазного тока в схемах соединения
“Звезда” и “Треугольник”.
1) Несимметричная нагрузка.
Треугольник: P  P  P  P
Звезда:
AB
BC
CA
P3Ф  PA  PB  PC
Q – реактивная мощность.
Треугольник: Q  Q
3Ф
Звезда: Q
3Ф
Звезда:
3
Фm
2
ФB  0
Y12  Y21  Z AB
3Ф
Расчет трехфазных цепей с учетом сопротивлений
линейных проводов.
а) Симметричная нагрузка.
2) Рассмотрим ωt2 = 900:
ФA  Фm sin 900  Фm
Y111  Y12 2  Y133  Y14 4  I1 y

Y211  Y22 2  Y233  Y24 4  I 2 y

Y311  Y32 2  Y333  Y34 4  I 3 y
Y   Y   Y   Y   I
4y
 41 1 42 2 43 3 44 4
AB
3
Фm
2
Таким образом, вращающееся магнитное поле за
время, равное одному периоду Т совершает один
полный оборот.
- скорость вращающегося магнитного поля
n
60 f
p
об мин
p – число пар полюсов.
f – частота переменного тока.
 QBC  QCA
 QA  QB  QC
PA  Re[ S A ]  Re[U A  I A ]
QA  Im[ S A ]  Im[U A  I A ]
Треугольник: P

AB  Re[U AB  I AB ]
Треугольник: Q



Im[
U

I
AB
AB
A]
Звезда:
Устройство асинхронного двигателя.
Асинхронный двигатель состоит из статора
(неподвижная часть) и ротора (вращающаяся
часть).
а) Статор
2) Симметричная нагрузка.
Звезда:
Z A  Z B  Z C  Z Ô

PA  PB  PC  PÔ
Треугольник: Z AB  Z BC  Z CA  ZФ
1 – Корпус.

PAB  PBC  PCA  PФ
Звезда:
P3Ф  3PФ

Q3Ф  3QФ
Треугольник:
б) Несимметричная нагрузка.
1)
2 – Срдечник (набирается из пластин
электротехнической стали).
;
3 – Обмотки из медного проводника (укладываются в
пазы статора).
P3Ф  3PФ

Q3Ф  3QФ
б) Ротор
Звезда:
P3Ô  3U A  I A cos   3U Ô  I Ô cos   3
 3  U Ë  I Ë cos 
UË
3
 I Ë cos  
Треугольник:
P3Ô  3U AB  I AB cos 
 3U Ô  I Ô cos  3U Ë 
U A U B UC
U


Z'
Z A ' Z B ' ZC '
UN 

1
1
1
1
1
 Z ' Z '  Z '  Z '  (Z )
A
B
C
N
Звезда, треугольник:
U UN
IA  A
Z A  Z ЛA
Звезда, треугольник:
Z A '  Z A  Z ЛА
Z B '  Z B  Z ЛB
 3  U Ë  I Ë cos
IË
 I Ë cos 
3
P3Ф  3 U Л  I Л sin 
Вращающееся магнитное поле (ВМП).
Для получения вращающегося магнитного поля
необходимо выполнение двух условий:
1) Необходимо наличие трех катушек, смещенных друг
относительно друга на 1200
2) Необходимо протекание трехфазного тока по этим
катушкам.
i A  I m sin t
i B  I m sin( t  120 0 )
U
UN 
Z'
1
Z'
3)
2 – Сердечник (собирается из пластин
электротехнической стали).
3 – Обмотка ротора.
P3Ф  3 U Л  I Л cos 
Z C '  Z C  Z ЛC
2)
1 – Вал.
iC  I m sin( t  240 )  I m sin( t  120 )
0
ФA  Фm sin t
ФB  Фm sin( t  120 0 )
ФC  Фm sin( t  120 0 )
0
Принцип действия асинхронного двигателя.
Протекающий по обмоткам статора трехфазный
электрический ток создает вращающееся магнитное
поле. Вращающееся магнитное поле пересекает
обмотку ротора и наводит в них ЭДС. Под
воздействием ЭДС в обмотках ротора протекает
электрический ток. Взаимодействие вращающегося
магнитного поля с током обмоток ротора создает
вращающий момент.
Электродвигатель называют асинхронным, т.к.
скорость вращения ротора немного меньше скорости
вращения вращающегося магнитного поля.
vP  0.95  0.98vВМП
Метод симметричных составляющих.
Метод симметричных составляющих применяется для
расчета несимметричных трехфазных систем
напряжений, токов, и магнитных потоков. Сущность
метода заключается в том, что любая несимметричная
система может быть заменена тремя симметричными:
прямой последовательности, обратной
последовательности и нулевой последовательности,
причем расчет для каждой системы производится в
отдельности.
Система прямой последовательности:
Считается аналогично.
4)
 A1  A1

2
 B1  a A1
C  aA
1
 1
Система обратной последовательности:
 n   C1  I BC  R2
 A2  A2

 B2  aA2

2
C 2  a A2
U v  m  n  0
Подадим на вход фильтра напряжение обратной
последовательности:
Система нулевой последовательности:
A0  B0  C0
A  A1  A2  A0  A1  A 2  A0
- (1)
B  B1  B2  B0  a 2 A1  aA 2  A0 - (2)
C  C1  C2  C0  aA1  a 2 A 2  A0 - (3)
Все величины – КОМПЛЕКСНЫЕ!
 n   B  I BC  ( jX C )
Для получения системы нулевой последовательности
U v   m   n  kU 2
1
A0  ( A  B  C )
3
Для получения системы прямой последовательности
1
A1  ( A  aB  a 2 C )
3
Для получения системы обратной последовательности
1
A2  ( A  a 2 B  aC )
3
1) Раскладываем несимметричную систему
напряжений на три симметричных U , U
A1
A2
, U Ao
2) Определяем сопротивление прямой (Z1), обратной
(Z2) и нулевой последовательности(Z0).
При статической нагрузке:
Z1  Z 2  ZФ

Z 0  ZФ  3Z N
При динамической нагрузке:
 Z1  Z 2  Z 0

Z 0  
3) Находим токи прямой, обратной и нулевой
последовательности независимо друг от друга.
На выходе фильтра появляется напряжение,
пропорциональное напряжению обратной
последовательности.
Расчет трехфазных цепей методом симметричных
составляющих.
Пусть несимметричная система напряжений
приложена на симметричную нагрузку.
I A1 
U A1
Z1
I A2 
U A2
Z2
I Ao 
U Ao
Z0
Поскольку мы рассматриваем симметричную
нагрузку, расчет производится для одной фазы, как
правило, для фазы “A”:
4) Определяют действительные токи как сумму
токов прямой, обратной и нулевой
последовательности.
Z A  Z B  Z C  Z Ф (симметричная нагрузка).
Статическая нагрузка.
Z1  Z 2  ZФ . При статической нагрузке
Фильтр напряжений нулевой последовательности.
Фильтр напряжений нулевой последовательности
состоит из трех одинаковых однофазных
трансформаторов, первичные обмотки которых
соединены по схеме “звезда с нейтральным
проводом”, а вторичные обмотки – разомкнутый
треугольник, на выходе которого включается
вольтметр либо релейная защита.
сопротивление прямой последовательности (Z1)
равно сопротивлению обратной последовательности
(Z2) и равно фазному сопротивлению нагрузки (ZФ).
И тогда схема замещения для прямой
последовательности будет выглядеть следующим
образом:
Zn – отсутствует, при
симметричной нагрузке тока в
нейтральном проводе не будет.
Расчет линейных электрических цепей при
несинусоидальных входных напряжениях.
Причина появления несинусоидальных
напряжений – это несинусоидальность вторичных
источников питания и наличие нелинейной нагрузки.
Последствия наличия несинусоидальных
напряжений и токов.
1) Резонансные явления на высших гармониках
2) Ускоренное старение изоляции.
3) Ложное срабатывание релейной защиты и
автоматики.
Разложение периодичных функций в ряд Фурье.
Любая несинусоидальная функция, удовлетворяющая
условию Дирихле, может быть разложена в ряд
Фурье.
f (t )  A0  A1 sin(t   1 )  A2 sin( 2t   2 )  ... 

 A0   AK sin( kt   K )
K 1
A0
- постоянная составляющая.
A1
- амплитуда основной гармоники.
A2 ... AK - амплитуды высших гармоник.
Для определения сопротивления нулевой
последовательности рассмотрим (составим уравнение
по второму закону Кирхгофа для контура “AnNA”)
U Ao  I Ao Z Ф  I N Z N  I 0 Z Ф  3I 0 Z N  I 0 ( ZФ  3Z N )
I N
 I Ao  I Bo  I Co  3I 0 
Сопротивление нулевой последовательности равно:
Z 0  ZФ  3Z N
Фильтр токов нулевой последовательности.
Фильтр токов нулевой последовательности состоит
из трех одинаковых измерительных трансформаторов
тока, первичные обмотки которых включены в
линейные провода, а вторичные – соединены
параллельно. На выходе включается амперметр либо
релейная защита.
Тогда схема замещения будет выглядеть следующим
образом:
 1 , 2 ,... K
- начальные фазы соответствующих
гармоник.
Рассмотрим “k” – ю гармонику:
AKm sin( kt   K ) 
 AKm sin kt  cos K  AKm cos kt  sin  K 
 ( AKm cos K )  sin( kt )  ( AKm sin  K )  cos(kt ) 
 sin( kt )  AKm
 cos(kt )
 AKm
- амплитуда синусной составляющей.
AKm

AKm
- амплитуда косинусной составляющей.
Вторая форма записи ряда Фурье:
f (t )  A0  A1m sin(t )  A2m sin( 2t )  ....
 A1m cos(t )  A2m cos(2t ) 


 sin( kt )   AKm
 cos(kt )
 A0   AKm
K 1
При присоединении нагрузки по схеме “звезда без
нейтрального провода” и по схеме “треугольник” Z0
будет равно бесконечности ( ) , так как отсутствует
путь для замыкания токов прямой последовательности
(и отсутствует нейтральный провод).
Фильтр напряжений обратной последовательности.
Параметры элементов фильтра подобраны таким
образом, чтобы точка “m” делила R1 пополам, а XC и
R2 подобраны таким образом, чтобы угол сдвига фаз
между напряжением BC и током IBC был равен 300.
 BC  arctg
XC
 300
R2
m – делит R1 на две равные части
Подадим на вход фильтра напряжение прямой
последовательности:
Динамическая нагрузка (Электродвигатели).
Z  Z  Z . При динамической нагрузке
1
2
0
сопротивление прямой последовательности (Z1),
сопротивление обратной последовательности (Z2) и
фазное сопротивление нагрузки (Z0) не равны друг
другу, так как вращающееся магнитное поле,
создаваемое токами прямой последовательности,
совпадает с направлением вращения ротора.
Вращающееся магнитное поле, создаваемое токами
обратной последовательности, не совпадает с
направлением вращения ротора, а токи нулевой
последовательности вообще не создают
вращающегося магнитного поля (не выполняется
второе условие, необходимое для создания
вращающегося магнитного поля – не протекает
трехфазный ток).
При схеме соединения “звезда без нейтрального
провода” и “треугольник” Z0 будет равно
бесконечности
( ) .
Последовательность расчета трехфазных цепей
методом симметричных составляющих.
K 1
Если функция задана аналитически, то коэффициенты
второй формы записи ряда Фурье определяются по
следующим формулам:
A0 
1
2
AK 
1
AK 

1
2
 f (t )d (t );
0
2
 f (t ) sin( kt )d (t );
0
2
 f (t ) cos(kt )d (t ).
 0
Если функция задана графически, то период функции
разбивается на “n” частей и коэффициенты второй
формы записи ряда Фурье определяются по
следующим приближенным формулам:
1 n
A0   yi
n i 1
2 n
AK   yi sin i kt ;
n i 1
2 n
AK   yi cos i kt.
n i 1
где yi, sinikωt, cosikωt – значения функции в середине
“i” – го интервала.
Случаи симметрии несинусоидальных функций.
1) Функция симметрична относительно начала
координат.
Действующее значение несинусоидальных токов и
напряжений.
T
1
U 2 dt
T 0
U
Емкостное сопротивление:

U  U 0   U Km sin( kt   K )
Эта функция – нечетная.
f (t )   f (t ) .

2
U 2  U 02   U Km
sin 2 (kt  K ) 
косинусные составляющие “
  U Pm sin( pt   P )  U qm sin( qt   q )
AK ”:
X KC 
i 1
Возведем ряд в квадрат:
При разложении этой функции в ряд Фурье будут
отсутствовать постоянная составляющая “A0 ” и все


1)
i 1
При определении коэффициентов ряда Фурье
интеграл в данном случае берется за половину
периода.
2) Функция симметрична относительно оси
ординат.
I  I 02  I12  I 32  ...
T
2
0
2
0
T
U
U
1
U 02 dt 
t

(T  0)  U 02
0 T
T 0
T
;
2)
2 T
1 T 2
U Km
2
1  cos( 2kt  2 K )dt 
  U Km sin (t  K )dt 
T 0
T 0

2
2
2
T
 U Km  t  U Km sin( 2kt  2 ) T  U Km
K
 2T 0 2T 2k
0
T

3)
Эта функция – четная.
f (t )  f (t ) .
При разложении этой функции в ряд Фурье будут
отсутствовать все синусные составляющие “ A ”:
K

f (t )  A0   AK cos kt
i 1
В данном случае при определении коэффициентов
ряда Фурье интеграл берется за половину периода.
3) Функция симметрична относительно оси абсцисс
при смещении “+” или “-” полуволны на половину
периода.
1 T
  U Pm  U qm  sin( pt   P )  sin( qt   q )dt 
T 0

T
 U Pm cos[( p  q)t  (   )]  cos[( p  q)t  (   )]dt  0
P
q
P
q
 U qm 
0

U  U 02 
U 12m U 22m

 ...  U 02  U 12  U 22  ...
2
2
2
1
f (t ) 

 A sin kt   A cos kt
i 1, 3, 5...
K
i 1, 3, 5...
K
В данном случае при определении коэффициентов
ряда Фурье интеграл берется за весь период.
При определении коэффициентов ряда начало
координат следует выбирать таким образом, чтобы
была максимальная симметрия.
Пример:
В данном случае имеет место 1-й и 3-й случай
симметрии и поэтому при разложении функции в ряд
Фурье будут отсутствовать постоянные состовляющие
и все четные гармоники.
f (t )   AK 'sin(kt )

2U
2U
4U
2 n
AK '  U m sin(kt )dt   m cos(kt )   m (1  1)   m
0
 i 1
k
k
k
4U
1
1
U (t )  m (sin(t )  sin(3t )  sin(5t )  ...)

3
5
Понятие частотных спектров.
Функцию, разложенную в ряд Фурье, можно
представить как отдельное значение амплитуд и
начальных фаз от соответствующих гармоник.
Согласно этому, различают амплитудочастотные и
фазочастотные характеристики.
Амплитудочастотные и фазочастотные
характеристики составляются для первой формы
записи ряда Фурье.
Дано :
u (t )  U1m sin(t )  U 9 m sin(9t ) 
 90sin(t )  45sin(9t )
X 1C  18(Ом)
Найти I1m , I 9 m  ?
Решение
U
I1m  1m  j 5( A)
 jX C1
X 1C
 2(Ом)
9
U 9m

 j 22,5( A)
 jХ 9С
X 9C 
I9m
Пример2
2
2
Действительное значение несинусоидального
напряжения и тока равно корню квадратному из суммы
квадратов отдельных гармоник.
Ka 
Im ;
I K a 
- для синусоидальных
2

- для несинусоидальных

K a  2
2) Коэффициент формы:
I ; KФ  1.11- для синусоидальных
KФ 

I СР KФ  1.11
- для несинусоидальных
3) Коэффициент искажений:
I ;K H
KH  1
I K
H
Дано
u (t )  80  141sin(1000t )  70,5sin(5000t  30)
R  30(Ом)
L  10( мГн)
С  20( мкФ)
1) Коэффициент амплитуды:

Пример1
I  I  I  I  ...
2
0
Коэффициенты, характеризующие
несинусоидальные величины.
Эта функция – кососимметричная.
При разложении этой функции в ряд Фурье будут
отсутствовать постоянная составляющая “A0 ” и все
четные гармоники:
X 1C
k
3) Определяем действительные значения
интересующих нас токов и напряжений как корень
квадратный из суммы квадратов отдельных
гармоник:
i 1
p 0
q 0
pq
f (t )   AK sin kt.
X KL  kL  kX1L
 X 0L  0

 X 0C  
1
- для синусоидальных
1
- для несинусоидальных
4) Коэффициент гармоник:
I 22  I 32  ... ; K Г  0 - для
I
KÃ  

I1
I1
K Г  0
синусоидальных
- для
несинусоидальных
Мощность несинусоидального тока.
Под активной мощностью понимают среднее
значение мгновенной мощности за период.


n
1
1
P   dt   i 2 Rdt  I 02 R  I12 R  I 22 R  ...  P0   PK
T 0
T 0
i 1
Активная мощность несинусоидального тока:
PАКТ  U 0 I 0  U K I K cos  K
Найти I 0 , I1 , I 5 , i (t )  ? Определить показания приборов.
U0
 0( А), X 0C  (Ом)

U1m
141
2
2
I1 

 2  e j 53 ( А)
R  jX 1L  jX 1C 30  j (10  50)
I0 
X 1L  10 1000 103  10(Ом)
1
 50(Ом)
20 1000 106
U 5m
50  e j 30
2
I5 

 1 e j 23 ( А)
R  jX 5 L  jX 5C 30  j (50  10)
Х 1С 
I A  I 0 2  I12  I 5 2  0  22  12  5( A)
UV  U 0 2 
U12 U 5 2
1412 70,52

 802 

 137, 2( B)
2
2
2
2
i (t )  0  2 2 sin(1000t  53)  2 sin(5000t  23)
Резонансные явления в цепях с несинусоидальным
током.
В электрических цепях, содержащих индуктивности и
емкости, возможно возникновение резонансов не
только для основной, но и для высших гармоник.
Условие резонанса напряжений:
X KL  X KC
Условие резонанса токов (равенство реактивных
проводимостей):
в KL  в KC
Реактивная мощность несинусоидального тока:
n
Явление резонанса напряжения и токов широко
используется при создании фильтров.
Высшие гармоники в трехфазных цепях.
U KA  U Km sin( kt   K )
i 1
Полная мощность несинусоидального тока:
U KB  U Km sin( kt   K  k  1200 )
Q   U K I K sin  K
n
S  U K I K  P  Q
2
2
i 1
P и Q неравны, так как и в P и в Q могут отсутствовать
гармоники, для которых
, но эти

0, 

 K   
.

 2

гармоники будут присутствовать в напряжениях и
токах.
Мощность искажений несимметричного тока равна:
T  S 2  (P 2  Q 2 )
Расчет токов в цепи при несинусоидальных
входных напряжениях.
1) Раскладываем несинусоидальное входное
напряжение в ряд Фурье.
2) Рассчитываем токи и напряжения любым
известным методом для каждой гармоники в
отдельности. При этом учитываем, что индуктивное
сопротивление для “k” –й гармоники равно:
U KC  U Km sin( t   K  k  1200 )
Система прямой последовательности. Ее образуют
гармоники: 1-я, 4-я,7-я, 10-я, 13-я и т.д.
Система обратной последовательности. Ее образуют
гармоники:2-я, 5-я,8-я, 11-я, 14-я
и т.д.
Система нулевой последовательности. Ее образуют
гармоники, кратные “3”.
Рассмотрим токи и напряжения трехфазной цепи при
несинусоидальных входных напряжениях, но при
симметричной нагрузке. В трехфазных электрических
цепях имеет место кососимметричная симметрия, и
поэтому при разложении напряжения в ряд Фурье
будут отсутствовать постоянная составляющая Ао,
косинусная составляющая Ак`` и все четные
гармоники. Поскольку в трехфазных цепях, как
правило, отсутствует постоянная составляющая, то
ограничимся рассмотрением только нечетной
гармоники.
Рассмотрим различные схемы соединения.
Z A  Z B  Z C  ZФ
1) Схема соединения – “звезда без нейтрального
провода”.
Пусть фазное напряжение нечетной гармоники:
E  E12  E32  E52 ...
Тогда:
U ЛИН  3  U12  U 52  U 72 ...
В линейном напряжении отсутствуют гармоники,
кратные “3”.
1а) В линейных и фазных токах будут отсутствовать
гармоники, кратные “3”, т.к. отсутствует
нейтральный провод.
Переходные процессы в линейных электрических
цепях.
Электрические цепи, содержащие энергоемкие
элементы (L и C – индуктивность и емкость). При
подключении таких цепей к источнику или
отключении их от источника они не могут мгновенно
запастись энергией или мгновенно израсходовать ее,
поэтому в таких цепях возникают переходные
процессы.
I ЛИН  I12  I 52  I 72 ...
U ФН  U 12  U 52  U 72 ...
1б) Между нейтральной точкой нагрузки и
генератора возникает напряжение смещения
нейтрали (даже при симметричной нагрузке),
обусловленное гармониками, кратными “3”:
U nN  U 32  U 92 ...
2) Схема соединения – “звезда с нейтральным
проводом”.
EФН  E12  E32  E52 ...
2а) Линейное напряжение:
U Л  U12  U 52  U 72 ...
2б) В линейных (фазных) токах, кроме остальных
появятся гармоники, кратные “3”, т.к. появится
нейтральный провод (путь для замыкания):
I ЛИН  I12  I 32  I 52 ...
U ФН  U 12  U 32  U 52 ...
2в) В нейтральном проводе даже при симметричной
нагрузке будет протекать ток, равный утроенному
значению гармоник, кратных “3”.
I  3  I  I ...
2
2
N
3
9
3) Схема соединения – “разомкнутый треугольник”.
Соединены обмотки генератора. Напряжение на
зажимах будет равно утроенному значению
гармоник, кратных “3”.
U V  3 E32  E92 ...
4) Схема соединения – “треугольник”.
Соединены обмотки генератора.
В фазных обмотках генератора или трансформатора
даже при отсутствии внешней нагрузки будут
протекать токи, обусловленные гармониками,
кратными “3”.
I Ф  I 32  92 ...
В линейных токах и напряжениях будут
отсутствовать гармоники, кратные “3” (даже при
наличии нагрузки)
Пример:
Время начала переходного процесса – (t = 0).
Различают токи и напряжения непосредственно перед
коммутацией t(-0), i(-0), U(-0), и после коммутации
t(+0), i(+0), U(+0).
i(0), U(0) то же самое, что и i(+0), U(+0).
Переходные процессы длятся доли секунд.
Законы коммутации.
Первый закон: ток в индуктивности непосредственно
после коммутации остается таким же, каким он был
перед коммутацией (ток в индуктивности скачком
измениться не может):
iL (0)  iL (0)
Если бы ток в индуктивности мог измениться скачком,
т.е. измениться на конечную величину за бесконечно
малый промежуток времени то это бы соответствовало
тому, что
, что невозможно.
di
UL  L L  
dt
Второй закон: напряжение на емкости
непосредственно после коммутации остается таким же,
каким оно было непосредственно перед коммутацией
(напряжение на емкости скачком измениться не
может):
U C (0)  U C (0) .
Если бы напряжение на емкости могло измениться
скачком, т.е. измениться на конечную величину за
бесконечно малый промежуток времени, то это
соответствовало тому, что ток в емкости был бы равен:
, что невозможно.
dU C
iC  C

dt
Скачком могут изменяться токи в емкостях и
резисторах, а напряжения – на индуктивностях и
резисторах.
Начальные условия.
Различают зависимые и независимые, нулевые и
ненулевые начальные условия.
Независимые начальные условия – это токи в
индуктивностях и напряжения на емкостях
i (0), U (0) . Эти величины определяются с
L
C
помощью законов коммутации.
Зависимые начальные условия – это все остальные
токи и напряжения (определяются с помощью законов
коммутации и законов Кирхгофа).
Нулевые начальные условия наблюдаются в цепи, если
токи и напряжения во всех элементах цепи до
коммутации были равны нулю.
i  i'i"  i y  iCB
i' i y , inp  - частное решение неоднородного
Здесь
линейного дифференциального уравнения или
установившаяся составляющая, возникающая в цепи
под действием источника. Установившаяся
составляющая наблюдается и во время переходного
процесса, и после его окончания.
- общее решение неоднородного линейного
CB
дифференциального уравнения или свободная
составляющая тока, возникающая без воздействия
источника питания. Эта составляющая определяется
параметрами электрической цепи и начальными
условиями. Свободная составляющая наблюдается
только во время переходного процесса.
Решение однородного линейного дифференциального
уравнения или, иначе свободная составляющая в
токах, возникающих без воздействия источника
питания. Эта составляющая определяется параметрами
электрической цепи и начальными условиями.
Свободная составляющая наблюдается в цепи только
во время переходного процесса.
Характер свободной составляющей в цепи первого
порядка.
Физические в электрической цепи первого порядка (с
одним реактивным элементом) описываются
дифференциальным уравнением первого порядка.
Характеристическое уравнение, соответствующее
дифференциальному, также будет первого порядка. И
свободная составляющая iСВ будет представлять
собой экспоненту:
i" i

iCB  Ae Pt  Ae
1

- постоянная времени (численно равна времени, за
которое свободная составляющая уменьшается в “e”
раз).
U R  U L  U (t )
iU R  L
diCB
0
dt
RL  R  0  p  

100 2 sin(t )  50 2 sin(3t )  10 2 sin(5t )
R  10(Ом)
Найти показания всех приборов.
Решение
UV 1  U ФГ  U12  U 32  U 5 2  1002  502  102  112( B)
UV 2  U Л  3 U12  U 5 2  3 1002  102  174( B)
UV 3  U ФН  U12  U 5 2  1002  102  100,5( B)
UV 4  U N  U 3  50( B )
U1
 10( A)
R
 0( A)
I1 A 
I3 A
I5 A 
Классический метод расчета переходных процессов.
Принужденная и свободная составляющие токов и
напряжений.
Физические процессы в электрических цепях
описываются дифференциальными уравнениями,
составленными по законам Кирхгофа. Классический
метод расчета переходных процессов заключается в
составлении и решении обыкновенных
неоднородных дифференциальных уравнений.
U R  U C  U (t )
C
dU CB
R  U CB  0
dt
1
;   RC
CR
Характер свободной составляющей в цепи второго
порядка.
L
di
i
d 2i
 R CB  CB  0
dt 2
dt
C
di 1

idt  U BX
dt C 
2
d i
di i dU BX
L
R  
dt
dt C
dt
iR  L
2
2
2
При включении второго амперметра имеем
UV 1  U ФГ  U12  U 32  U 5 2  1002  502  102  112( B )
UV 2  U Л  3 U12  U 5 2  3 1002  102  174( B)
UV 3  U ФН  U12  U 32  U 5 2  1002  502  102  112( B )
I A2  I1 A2  I 3 A2  I 5 A2  102  52  12  11, 2( A)
R 2
1
; 0 
L
LC
p1, 2     2   2
2 
1)
   0 ; iCB  A1e P t  A2 e P t
1
2
- функция
имеет апериодический характер.
2)
  0 ;
p1, 2    (1)(02   02 )    j ,
где
  02   2
- корни комплексно сопряженные.
Свободная составляющая будет носить колебательный
характер.
I A1  I1 A  I 3 A  I 5 A  10  1  10,5( A)
2
1
0
C
U R  U L  U C  U BX
U5
 1( A)
R
2
R
L
R
 t
L
 iCB  Ae L
R
Lp 2  Rp 
Дано
eA  U1m sin(t )  U 3m sin(3t )  U 5 m sin(5t ) 
t

А – постоянная интегрирования, определяемая
начальными условиями.
р – корень характеристического уравнения (всегда
отрицателен). [p] = c-1 .
RC p  1  0  p  
Ненулевые начальные условия наблюдаются в цепи,
если токи и (или) напряжения некоторых элементов до
коммутации не были равны нулю.

Порядок дифференциального уравнения,
описывающего физические процессы в электрической
цепи, определяется числом разнородных реактивных
элементов (индуктивностей и емкостей). Решение
этого дифференциального уравнения запишется в
следующем виде:
iCB  Ae  t sin( t   )  A1e  t sin t  A2 e  t cos t
iCB  Re[ A1e P1t  A2 e P2t ]  2 Re[ A1e P1t ]
3) Дискриминант равен нулю и корни будут
действительные равные (предельный случай
апериодического режима).
Последовательность расчета переходных процессов
классическим методом.
1) Записываем искомое решение в виде
установившейся и свободной составляющей. Для
цепи первого порядка решение имеет вид:
1) iL (t )  iLy  iLсв  iLy  A  e Pt
Um
L
sin(t  n   ) Z  R 2  ( L)2 ;   arctg ( )
Z
R
R
3) P  ? PL  R  0  P  
L
4) iL (0)  ? iL (0)  iL (0)  0
Um
U
L
L
sin(n  arctg ( ))  A  A   m sin(n  arctg ( ))
Z
R
Z
R
R

t
U
U
6) iL (t )  m sin(t  n   )  m sin(n   )  e L
Z
Z
5) A  ? t  0 0 

3)
1  et 
2) Находим
e j t 
  j . Тогда:
Основные законы и формулы.
1) Сумме оригиналов соответствует сумма
изображений.
 f t    F  p
Пример3:
Дано
2) Умножению оригинала на постоянное число
соответствует умножение изображения на то же число:
С  100( мкФ)
3) Дифференцированию оригинала соответствует
умножение изображения на “p” – значение функции в
момент времени “t=0”.
E  60( В)
R1  R2  R3  R  10(Ом)
A  f t   A  F  p 
df (t )
 pF ( p)  f (0)
dt
Найти i2 (t )  ?
4) Интегрированию оригинала соответствует деление
изображения на оператор “p”:
Решение
1) i2 (t )  i2 y  A  e Pt
 f (t )dt 
2) i2 y  ?
i 0   i y  Ae  A  i 0  i y
0
U L (t )  L
6) Подставляем все величины, найденные в пп. 2 – 6
в исходное уравнение.
Пример1:
Дано
Найти в общем виде i (t )  ?, u (t )  ?
L
L
Решение
1) iL (t )  iLy  A  e Pt
Напряжение на емкости:
3) P  ?
U C (t ) 

i1св  i2 св  i3св , (1)

i3св
1

(4)
i2 св  R2   i3св dt ,(2)  i2 св 
C
RCP

i3св
1

i1св R1  C  i3св dt  0;(3)  i1св   RCP (5)
Подставим уравнение (4) и (5) в уравнение (1)
i
i
2
2
2
 3св  3cd  i3св  
1 P  

 2000(c 1 )
RCP RCP
RCP
RC
10 100 106
б)
1
1
R2
R
1
2
jC
PC  0  1 
Z  R1 
 R
 0  RPC  1  1  0  P  
1
1
RPC  1
RC
R2 
R
jC
PC
P  2000(c 1 )
E
R
4) i2 (0)  ? U C (0)  U C ( 0) 
diLсв
R
 0  PL  R  0  P  
dt
L
R
б ) Z  R  j L  PL  R  0  P  
L
4) iL (0)  ? iL (0)  iL (0)  0
3) a) i Lсв  L
E
E
 A A 
R
R
E E  RL t
 e
R R
i2 (0) R2  U C (0)  i2 (0) 
E
R2  20( B)
R1  R2  R3
U C (0)
 2( A)
R2
u (t )  U m sin(t  n )
Найти в общем виде i (t )  ?
L
Решение
-
напряжение на емкости при нулевых начальных
условиях.
При ненулевых начальных условиях:
U C (t ) 
1
I ( p) U C (0)
i (t )dt  U C (0)  U C ( p) 

C
C p
p
Законы электрических цепей в операторной форме.
U C  U L  U C  U BX
iR  L
di 1

idt  U C (0)  U BX
dt C 
Перейдем от оригиналов к изображениям:
I ( p) R  LpI ( p)  LiL (o) 
I ( p) U C (0)

 U BX ( p)
Cp
p
5) Найдем А  ? при t  0
i2 (0)  i2 y  A  e0  2  3  A  A  1( A)
6) i2 (t )  3  e 2000t
Операторный метод расчета переходных процессов.
Функция f (t ) [i (t ); U (t )] называется
Метод расчета, основанный на замене оригиналов их
изображениями, называется операторным. Это
позволяет перейти от дифференциальных уравнений к
алгебраическим. Переход от оригиналов к
изображениям осуществляется с помощью прямого
преобразования Лапласа:

, где p  a  jb -
Пример2:
Дано
1
I ( p)
i (t )dt  U C ( p) 
C
C p
i2 (0)  2( A)
оригиналом.
Функция F ( p ) называется изображением.
di (t )
E R  Rt
uL (t )  L L  0  L ( )  e L
dt
R L
dU C (t )
 I C ( p)  C  pU C ( p)  CU C (0)
dt
E
i2 y 
 3( A)
R1  R2
a)
6) iL (t ) 
di (t )
 U L ( p )  LP I ( p )  Li L (0)
dt
Найдем ток и напряжение в емкости:
iC (t )  C
5) A  ? t  0 iL (0)  iLy  A  e0  0 
F ( p)
p
Найдем напряжение на индуктивности:
A?t  0
2) iLy 
1
1



p p   p( p   )
1
 cost  j sin t 
p  j
1
p  j
p




j 2
p  j p  j p 2   2
p  2
(установившуюся составляющую)
сопротивление приравнивается к нулю
б) Из дифференциального уравнения, составленного
по законам Кирхгофа для послекоммутационной
схемы.
Поскольку входное сопротивление записывается для
свободной составляющей, то можно считать, что
источник находится в ветви с любым реактивным
элементом и удобнее записывать комплексные
входные сопротивления для этого случая.
4) Определяем i в момент времени t=0 (зависимые и
независимые начальные условия, и, если необходимо,
их производные).
5) Определяем постоянные интегрирования:
0
f (t )  1  et тогда:
4) Пусть
iY

0
1
1
1
e  ( p  )t  
(0  1) 
p 
p 
p 
i(t )  iY  Ae Pt
для послекоммутационной схемы.
3) Найдем корень характеристического уравнения.
Составляем характеристическое уравнение для
послекоммутационной схемы, и, решая его, находим
корни характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение может быть
получено двумя способами:
а) Из комплексного входного сопротивления,
записанного для послекоммутационной схемы, где
“ i ”заменяется на “ p ”, причем входное

et  F ( p )   et  e  pt dt   e ( p  ) t dt 
2) iLy 
 f (t )e
 Pt
dt  L f (t )
0
комплексный оператор.
Переход от изображений к оригиналам
осуществляется с помощью обратного
преобразования Лапласа:
f (t ) 
1
j 2
Изображение тока равно:
I ( p) 
Здесь
U вх ( p)  Li L (0)  U C (0)
R  pL  1
pC
Z ( p)  R  pL  1
(1)
- операторное
pC
сопротивление цепи.
Оно может быть получено из комплексного
сопротивления путем замены “jω” на “p”. Это
соответствует переходу от преобразования Фурье к
преобразованию Лапласа:
E ( p ) - закон Ома при нулевых начальных
I ( p) 
Z ( p)
условиях.
Уравнению (1) соответствует следующая схема
замещения:
a  j
 F ( p )e
pt
dp  L1{F ( p)}
a  j
Найдем изображения некоторых простейших функций
1) f (t )  A , тогда:

A  F ( p )   Ae  pt dt 
0
1
A( )e  pt
p
2)

0
1
A
 A( )  (0  1) 
p
p
f (t )  e t , тогда:
В этой операторной схеме замещения ненулевые
начальные условия учитываются введением
дополнительных внутренних источников ЭДС, причем
источник Li (0) направлен по направлению
L
протекающего тока, а источник U (0) , учитывающий
C
p
напряжение на емкости, направляется навстречу
протекающему току.
Первый закон Кирхгофа в операторной форме
выглядит следующим образом:
n
I
K 1
K
Найдем переходную проводимость
y (t ) для
следующей схемы с помощью классического
метода.
Для получения точного значения тока необходимо
перейти в пределе от Δх к dx, а от ΔU - к
dUt при t  x
dU  U ( x)dx , где
U ( x) 
Второй закон Кирхгофа в операторной форме:
n
n
U (0)
I K ( p) Z K ( p)   [ E K ( p)  LK i LK (0)  CK
]

p
K 1
K 1
Для расчета операторных схем замещения
применяются все известные методы, основанные на
законах Кирхгофа.
Переход от изображений к оригиналам.
Формула разложения:
Переход от изображений к оригиналам осуществляется
двумя способами:
1) По таблице изображений и оригиналов.
2) По формуле разложения (основной способ):
a p m  a p m1  ...a
F ( p) , где n>m;
0
1
m
b0 p n  b1 p n 1  ...bn
F2 ( p)  0
X t
i (t )  U (0)  y (t )   U  y  t  x  x 
X 0
( p)  0
I ( p) 
включение на ΔU. При этом ΔU берется со знаком “+”
при возрастающей кривой, и со знаком “-” – при
убывающей. И тогда ток в цепи:

Tогда
1)
i (t )  i y  Ae
2)
iy  0
3)
4)
- не имеет кратных корней, и корней,
кратных корням уравнения
F1 ( p)  0 . В этом
производную от входного напряжения U(t) по времени
и переходим от t к x.
5) Подставляем все найденные величины в п.1-4 в
формулу интеграла Дюамеля .
A?
E
R
Расчет переходных процессов методом переменных
состояний.
Уравнения состояния – система уравнений,
описывающих рабочий режим электрической цепи.
Метод переменных состояний – метод анализа
(расчета) электрической цепи, основанный на
составлении и решении уравнений состояния,
записанных в нормальной форме Коши
(дифференциальное уравнение первого порядка). В
качестве переменных состояния удобно выбирать токи
t  0; i(0)  iy  Ae0
Число слагаемых в формуле разложения равно числу
слагаемых в уравнении F ( p)  0 .
E
E
 0 A A
R
R
2
F2( p)  0 - производная уравнения F2 ( p) .
В случае комплексных сопряженных корней формула
разложения примет следующий вид:
 F (p )

i(t )  2 Re  1 K e PK t 
 F2 ( p K )

Последовательность расчета переходных процессов
операторным методом.
1) Составляем операторную схему замещения, в
которой ненулевые начальные условия учитываются
введением дополнительных внутренних источников
ЭДС.
2) Рассчитываем операционную схему замещения
любым известным способом.
3) Переходим от изображений к оригиналам, как
правило, с помощью формулы разложения.
Пример1:
Дано
В общем виде найти ток
i (0)  ?
i (0) R  U C (0)  E  i (0) 
5)
F (p )
i(t )   1 K e PK t
K 1 F2 ( p K )
Последовательность расчета переходных процессов
с помощью интегарал Дюамеля.
1) Определяем переходную проводимость y(t)
классическим или операторным методом.
2) Находим y(t-x). Для этого в переходной
проводимости заменяем t на t-x.
3) Определяем U(0).
4) Определяем U (x ) . Для этого берем
p?
U C ( 0)  U C ( 0)  0
случае оригинал:
n
0
- основная форма записи интеграла Дюамеля.
Всего существует 5 форм записи интеграла Дюамеля.
Z  R  1 ;Z  0
pC
R  1 0 p   1
pC
RC
  1  RC
p
1
F2 ( p)
pt
6)
i  t   i y  Ae
pt
dt
t
i(t )  U (0)  y(t )   U ( x)  y(t  x)dx
;
t
E
i t   e  .
R
Переходная проводимость y(t), связывающая
искомый ток с напряжением, будет равна
t
i (t ) 1  RC
y (t ) 
 e
E
R
в индуктивностях
iL , а напряжение на емкостях
uc , то есть величин, опирающихся на законы
коммутации.
Число уравнений, составляемых по методу
переменных состояний, равно порядку электрической
цепи, то есть числу разнородных электрических
элементов.
Пример:
Переходная проводимость численно равна току в
цепи при единичном входном напряжении:
i (t )  ?
y (t  t1 ) 
1 
e
R
t t1

i(t )  U Bx y (t  t1 ) 
U Bx 
e
R
t t1

Найти уравнения состояния.
Решение
по 1-му и 2-му закону Кирхгофа:
Решение
1) Составим операторную схему замещения.
E
E ( P)
E
2) I ( P) 
 P 
Z ( P) R  PL P ( R  PL)
E R
R

E
E
L
3) a) I ( P) 
 L R 
P( R  PL) P( P  R ) R P( P  R )
L
L
Найдем оригинал полученного изображения.
u L  E  iL R1  uC ,

iC  iL  iR2 ;
Включение цепи на импульсное напряжение.
Пусть цепь RC включается на напряжение U
R
 t
E
i (t )  (1  e L )
R
F ( P)
E
б ) I ( P) 
 1
P( R  PL) F2 ( P)
F2 ( P)  P( R  PL)  0  P1  0; R  PL  0  P2  
R
L
F2 '( P1 )  R;
R
F2 '( P2 )  2( ) L  R   R
L
F (P )
F (P )
E
E  Rt
i  t   1 1 e Pt1  1 2 e P2t  e 0  e L
F2 '( P1 )
F2 '( P2 )
R
R
Переходные функции.
Переходная функция k(t) связывает искомую величину
с заданной. Переходные функции k(t) бывают:
1) По напряжению.
2) По току.
3) По сопротивлению.
4) По проводимости.
Переходная функция k(t) определяется классическим
или операционным методом.
Переходная функция, связывающая ток в цепи с
входным напряжением, имеет размерность
проводимости и называется переходной
проводимостью.
Разделим уравнение (1) на L, а уравнение (2) на C:
R1
1
1
 diL
 dt   L  iL  L  uC  L  E ,
 du
 C  1  iL  1  uC .
C
R2C
 dt
F1 ( P1 )  F1 ( P2 )  E
F2 '( P )  ( P 2 L  PR) '  2 PL  R;
 duC
 L dt   R1iL  uC  E , (1)
 du
C C  iL  uC ; (2)
R2
 dt
a)
t t
U t U  1
i (t )  U  y (t )  U  y(t  t )   e    e 
1 R
R
Расчет переходных процессов с помощью интеграла
Дюамеля.
Расчет переходных процессов с помощью интеграла
Дюамеля производится в тех случаях, когда
происходит включение цепи на напряжение сложной
формы.
Уравнения состояния обычно записываются в
матричной форме:
1 
 R1


1

d  iL   L
0  E 
L    iL   
 1
 


1  U   L
0
dt U C  
C




0 0 

 

 F 
R2C  
X 

C
X

B 
Матрица
X 
 A
- матрица – столбец переменных
состояния.
A - квадратная матрица параметров элементов в
цепи.
B - матрица параметров воздействия.
 
F  - матрица источников воздействия.
Разбиваем кривую U(t) на равные промежутки времени
Δх, тогда можно рассматривать включение цепи на
напряжение U(t) как включение цепи в момент
времени U(0) и затем, через промежутки времени Δх,
Эти уравнения состояния, записанные в матричной
форме, решаются численными методами с
использованием ЭВМ.
d
X   A  X   B  F   X 
dt
Рассмотрим решение уравнений состояния
простыми одношаговыми методами:
1) С помощью явного метода Эйлера:
X   X   hX   X 
 1  h A X   hBF 
K
K 1
K 1
K 1
“Z” – форма записи уравнения четырехполюсника:
YЭ   Yа   Yб 
4) Последовательно – параллельное соединение
четырехполюсников:
 h A   X K 1  hB   F  
K 1
1 

 R1

 

E
 iL   1 0  L
L   iL   h  
U    0 1  h  1
1   U C  K 1  L 
 
 C 


0 

R2C  
 C

iL (0)  iL (0) 
U 1  Z11  I 1  Z12  I 2

U 2  Z 21  I 1  Z 22  I 2
E
R1  R2  R3
U 1   Z11
U    Z
 2   21
U C (0)  U C (0)  iL (0) R2
Z12   I 1 
I1 
 Z    

Z 22   I 2 
I 2 
h  0.005 c
Найдём коэффициенты:
2) С помощью неявного метода Эйлера:
Z11 
X K  X K 1  hX K
3) Метод трапеций:
X K

A
1
; Z12  ; Z 21  1 ; Z 22  D .
C
C
C
C
“Y” – форма записи уравнения четырехполюсника:
h
h
 X K 1  X K 1  X K
2
2
 HЭ    Hа    Hб 
5) Параллельно – последовательное соединение
четырехполюсников:
Точность расчетов и их устойчивость явным методом
Эйлера зависит от величины шага

2 

h  2 min  h 
.
pmin 

p - корень XY.
min
Устойчивость (2) и (3) методов не зависит величины
шага. С уменьшением шага точность увеличивается.
В современных программах величина шага
регулируется автоматически в соответствии с
требуемой точностью расчета.
Четырехполюсники.
Основные уравнения четырехполюсников.
Многие устройства (трансформаторы, линии
электропередач, стабилизаторы, усилители и т.д.)
имеют два входных зажима и два выходных. Все эти
устройства в независимости от их структуры
зазываются четырехполюсниками. Его работу
описывают две входных величины U , i  и две
1
выходных

 I 1  Y11  U 1  Y12  U 2


 I 2  Y21  U1  Y22  U 2

U 1 
 I 1  Y11 Y12  U 1 
 I   Y Y   U   Y   U 
 2   21 22   2 
 2
Найдём коэффициенты:
D
1
1
A
Y11  ; Y12   ; Y21   ; Y22  .
B
B
B
B
“H” – форма записи уравнения четырехполюсника:
GЭ   Gа   Gб 
Схемы замещения четырёхполюсников.
Вне зависимости от сложной структуры любой
пассивный четырехполюсник может быть заменен
эквивалентной “T” или “П” – образной схемой.
1)“T ” – образная схема замещения (схема
соединения - звезда).
1
U 2 , i2  .
Теория четырехполюсников позволяет, зная две любые
величины, не рассчитывая сложную структуру, найти
две других.
Четырехполюсники бывают: линейные и нелинейные,
симметричные и несимметричные, пассивные (П),
активные (А).
Линейные – если все элементы четырехполюсников
линейные.
Нелинейные – если хотя бы один элемент
нелинейный.
Симметричные – если при замене входных зажимов
на выходные напряжения и токи во внешней цепи не
изменятся.
Пассивные – если внутри четырехполюсника не ни
источника энергии, ни электронных ламп, ни
транзисторов, ни операционных усилителей.

U 1  H11  I 1  H12  U 2


 I 2  H 21  I1  H 22  U 2
U 1   H11
I   H
 2   21

I 1  C U 2  D  I 2
четырехполюсника, где A,B,C,D –комплексные
величины четырехугольника.
AD  BC  1 - уравнение связи между
коэффициентами четырехугольника.
У симметричного четырехполюсника A  D .
Y0 
H12   I 1 
I1 
 H   

H 22  U 2 
U 2 
.
“G” – форма записи уравнения четырехполюсника:
U 1  A  U 2  B  I 2

I 1  C U 2  D  I 2
A  1  Z1  Y 0 ;
C  Y0 ; D  1  Z2  Y0 ;
 I 1   G11
U   G
 2   21

G12  U 1 
U 
 G    1 

G22   I 2 
I 2 
Y0  C  Z3 
Z2 
.
1
C
D 1 D 1

Y0
C
Z1 
 AЭ    Aа    Aб 
2) Последовательное соединение
четырехполюсников:
1
1
;Y 2 
;
Z1
Z2
U1  A  U 2  B  I 2



 I1  C  U 2  D  I 2
A  1  Y2  Z0 ;
B  Z0 ;
C  Y1  Y2  Y1  Y2  Z0

U 2  B11  U 1  B12  I 1


 I 2  B21  U 1  B22  I 1
Найдём коэффициенты:
B21  C; A22  A
B11  D; B12  B;
B21  C; A22  A
.
;
D  1  Y1  Z0 ;
 Z Э    Z а    Zб 
3) Параллельное соединение четырехполюсников:
;
2) “П” – образная схема замещения (схема
соединения - треугольник)
Y1 
A11  A; A12  B; A21  C; A22  D
A 1 A 1

Y0
C
.
Сложные четырехполюсники.
1) Каскадное соединение четырехполюсников:
“A” – форма записи уравнения четырехполюсника:
“В” – форма записи уравнения четырехполюсника:
1
;
Z3
B  Z1  Z 2  Z1  Z 2  Y 0 ;
 I 1  G11  U 1  G12  I 2

U 2  G21  U1  G22  I 2
1 – 1’ – входные параметры.
2 – 2’ – выходные параметры.
U 1  A  U 2  B  I 2 - основные уравнения

Z0  B
;
D 1
B
; Z1 
;
B
D 1
A 1
B
Y2 
; Z2 
.
B
A 1
Y1 
;
Определение коэффициентов четырехполюсника.
Коэффициенты четырехполюсника могут быть
определены следующими способами:
1) Составляются уравнения по законам Кирхгофа, в
которых первичные параметры U1
и I1 выражаются через вторичные U2 и I2.
Полученные уравнения сравниваются с
основными уравнениями четырёхполюсника.
2) Схема четырехполюсника преобразуется к “Т”- или
“П”- образной схеме замещения и затем по формулам
соответствия находим коэффициенты
четырехполюсника.
3) Определяем входные сопротивления
четырехполюсника для режимов холостого хода и
короткого замыкания со стороны первичных и
вторичных зажимов (основной способ).
3-ий способ нахождения коэффициентов
четырёхполюсника:
Передаточные функции четырёхполюсника.
Четырехполюсники с обратной связью.
KU – коэффициент передачи (усиления) по
напряжению.
KU 
U2
U1
KI - коэффициент передачи (усиления) по току.
KI 
I2
“П”-образная схема замещения низкочастотного
биполярного транзистора с переходом p-n-p
в) С помощью гибридных уравнений:
I1
KY - коэффициент передачи (усиления) по
проводимости.
KY 
I2
U1
KZ - коэффициент передачи (усиления) по
сопротивлению.
U
KZ 
2
I1
Четырехполюсники с обратной связью:
Z1x 
U1
A U2  B  I2

I1
C U2  D  I2

A U2  0
C U 2  0

A
;
C
- входное сопротивление схемы со стороны
Z1 X
первичных зажимов при холостом ходе вторичных
(зажимы 2 и 2’ - разомкнуты).
или
U1  h11  I 2  h12  U 2

 I1  h21  I1  h22  U 2
h11 – имеет размерность (Ом).
h12U2 – источник напряжения, управляемый
напряжением U2.
(h12 = KU)
h21I1 – источник тока, управляемый током I1.
(h21=KI)
h22U2 имеет размерность проводимости.
3) Схема замещения операционных усилителей.
Идеальный операционный усилитель представляет
собой источник напряжения, управляемый
напряжением, коэффициент усиления у которого
стремится к бесконечности,
Z вх   Z вых  0
Тогда результирующий коэффициент:
K рез 
U1
Z1k 
A U2  B  I2

I1
C U2  D  I2

0  B  I2
0  D  I2

Управляемые (зависимые) источники.
1) Источник напряжения, управляемый
напряжением (ИНУН).
При подаче напряжения на оба входа выходное
напряжение пропорционально разности входных:
Z вх  0
Вход 1 со знаком “+” – неинвертирующий вход – т.е.
при подаче напряжения на этот вход, напряжение на
выходе получается такой же полярности.
Вход 2 со знаком “-” – инвертирующий вход – т.е. при
подаче напряжения на этот вход, напряжение на
выходе получается обраьной полярности.
При подаче напряжения на оба входа, напряжение на
выходе будет пропорционально разности входных
напряжений.
B
;
D
- входное сопротивление четырехполюсника
Z1K
KU
1 KU  
со стороны первичных зажимов при коротком
замыкании вторичных. (зажимы 2 и 2’ – замкнуты).
I1  0
Z вых  0 U 2  KU U1
обозначение ИНУН в зарубежной литературе
2) Источник напряжения, управляемый током
(ИНУТ).
U ВЫХ  KU  (U1  U 2 )
У реального операционного усилителя,
выполненного в одном кристалле по линейной
технологии:
U2
Z2 x 

I2
D  U1  B  I1
C  U1  A  I1

D  U1  0
C  U1  0

D
;
C
Z 2 X - входное сопротивление четырёхполюсника
со стороны вторичных зажимов при холостом ходе
первичных (зажимы 1 и 1’ – разомкнуты).
Z вх  0 U1  0
RBX  100 кОм
Z вых  0 U 2  K Z  I1
KU  10
3) Источник тока, управляемый током (ИТУТ).
Z вых  
I 2  K I  I1
4) Источник тока, управляемый напряжением
(ИТУН).
Z вых  
U2
I2
D  U1  B  I1

C  U1  A  I1

0  B  I1
0  A  I1

B
;
A
- входное сопротивление четырехполюсника
Z 2K
со стороны вторичных зажимов при коротком
замыкании первичных (зажимы 1 и 1’ - закорочены ).
I1  0
I 2  KY  U1
Схемы замещения электронных ламп, транзисторов
и операционных усилителей.
В общем случае характеристики электронных ламп,
транзисторов и операционных усилителей нелинейны,
но в области слабых сигналов их можно считать
линейными.
1) Схема замещения электронных ламп.
Совмесное решение уравнений (1)-(4) не позволяет
найти коэффициенты, но позволяют найти
соотношение между
Z1X
Z 1K
Z1 X , Z 2 X , Z 2 X , Z 2 K :
Z2X

Z 2K
Для нахождения коэффициентов основных уравнений
четырёёхполючника необходимо дополнить уравнения
(1)-(4) уравнением связи между коэффициентами:
2) Схема замещения транзисторов.
а) Низкочастотных транзистор с общей базой.
C
Z1x
;
Z 2 x  Z 2k
A
Z1x
;
B  A  Z 2k
D  A
;
Z2x .
Z1x
Коэффициент A можно выразить следующим образом:
A
Z1x  Z1k
Z 2k  ( Z1x  Z1k )
5
RВЫХ  0
Электрические фильтры.
Электрический фильтр – это четырехполюсник,
беспрепятственно пропускающий токи одних частот и
не пропускающий или пропускающий с большими
затуханием токи других частот.
Полоса пропускания (полоса прозрачности) – это
диапазон частот, беспрепятственно пропускаемых
фильтром. (a=0), а – коэффициент затухания.
Полоса затухания (полоса задерживания) – это
диапазон частот, не пропускаемых фильтром или
пропускаемая с большими затуханиями. (a>>0).
Частота среза (ωС) – это граничная частота между
полосой пропускания и полосой задерживания.
Электрические фильтры, в зависимости от области
пропускаемых частот делятся на следующие:
I) Низкочастотные (фильтры нижних частот) ФНЧ
II) Высокочастотные (фильтры высоких частот) ФВЧ
III) Полосовые фильтры - ПФ
IV) Заграждающие фильтры – ЗФ.
В зависимости от схемы соединения элементов
фильтры делятся на:
1) Г – образные.
2) Т – образные.
3) П – образные.
4) Мостовые.
В зависимости от характеристики применяемых
элементов:
1) Реактивные
2) Безиндуктивные (RC - фильтры)
3) Пьезоэлектрические
4) Цифровые.
AD  BC  1
A
 10
Z вх  0 U1  0
Z вх  
Z2к 
4
“Т”-образная схема замещения низкочастотного
биполярного транзистора с переходом p-n-p
б) Схема замещения высокочастотного
транзистора с общим эмиттером.
Реактивные делятся на:
1) К – фильтры (или k - фильтры).
2) М – фильтры (или m - фильтры).
Реактивные фильтры.
К – фильтры – это фильтры, у которых отношение
продольного индуктивности к поперечной
проводимости не зависит от частоты.:
ZY  0

ZY  2
j L

L
j C C
Фильтры проектрируют для работы в согласованном
режиме, т.е. величина нагрузки должна быть равна
характеристическому сопротивлению Z  Z
H
Недостатки К - фильтров:
1) Характеристическое сопротивление
ZC
C
зависит от
частоты, поэтому согласованного режима удается
достигнуть в узком диапазоне частот.
2) Недостаточная крутизна кривой затухания в
области частоты среза.
Для устранения недостатков, присущих К – фильтрам,
создаются М – фильтры. Это достигается введением
последовательного или параллельного звена. У них
отношение продольного сопротивления к поперечной
проводимости зависит от частоты. Характеристическое
сопротивление М – фильтров практически не зависит
от частоты, поэтому согласованного режима удается
достигнуть по всей полосе пропускания.
Недостатки М – фильтров:
Некоторое изменение кривой затухания в некоторых
областях.
Мостовые фильтры.
Z вх 
- граничные условия для определения частоты
среза ( между
ними будет полоса
пропускания)
B
 ZX ZK
C
Характеристическое сопротивление фильтра в полосе
пропускания – чисто активное.
Полоса затухания:
B
 ZX ZK
C
ZC 
где
Характеристическое сопротивление фильтра в полосе
затухания – чисто реактивное.
ФНЧ – индуктивное.
ФВЧ – емкостное.
Электрические цепи с распределенными
параметрами
(длинные линии).
Длинные линии – линии связи, линии электропередач.
Данную линию разбивают на бесконечно большое
dx
и на каждом
dx линия заменяется схемой замещения:
x - расстояние от конца линии,
y - расстояние от начала линии.
Первичные параметры:
R0 – продольное сопротивление линии на единицу
длины.
Ом
 R0   1
 L0   1
км
км
G0 – поперечная проводимость линии на единицу
длины.
См
Схема Салена (на базе усилителей):
ФНЧ
ФВЧ
G0   1
км
C0 – поперечная емкость линии на единицу длины.
С0   1Ф
км

i
du  R0 dx  i  L0 dx t , (1)

di  G dx  u  C dx u ; (2)
0
0 t

du 
di 
Пьезоэлектрические фильтры.
На кварцевые пластины подается напряжение и она
начинает колебаться с частотой приложенного
напряжения.
При совпадении частоты приложенного напряжения и
собственной частоты наступает резонанс.
Цифровые фильтры.
Подаваемый сигналом (входное напряжение)
поступает на АЦП (аналого – цифровой
преобразователь), где он преобразовывается в
цифровой код, который подается на микропроцессор,
где происходит сравнение этого кода с заложенной
характеристикой.
Условия пропускания реактивных фильтров.
u
x
i
x
dx (3)
полученных уравнений на
dx .Получим:
i
 u
 x  R0 i  L0 t (5)

 i  G u  C u (6)
0
0
 x
t
уравнение длинной линии в
- дифференциальной форме
(телеграфные уравнения).
Уравнения длинной линии синусоидального тока в
комплексной форме.
ch ( jb ) 
e
sh ( jb ) 
e
jb
e
 jb
 cos b
2
jb
e
 jb
 j sin b
2
Тогда:
A  chg  ch( a  jb)  ch( a )  ch( jb)  sh( a )  sh( jb) 
 ch( a )  cos b  jsh( a )  sin b
Полоса пропускания:
В полосе пропускания а = 0. Тогда:
A  ch(0)  cos b  j sin(0)  sin b  cos b  b  arccos A
cos
Т.к. функция
изменяется в пределах от “-1” до
“1”, то “А” изменяется в тех же пределах. Но “A” – это
1  ZY
 1  1  Z Y  1 или  2  Z Y  0 , т.о.
 dU
 dx  R0 I  j  L0  I  Z 0  I (7)

 dI  G U  j  C  U  Y 0  U (8)
0
0
 dx
Стоячие волны в длинных линиях без потерь
Бегущая волна отсутствует (т.е. волна стоит).
Перемещения энергии нет.
Перемещение энергии будет отсутствовать в
следующих случаях:
- при холостом ходе
- при КЗ
- при чисто реактивной нагрузке.
Рассмотрим режим холостого хода:
Z н  , I 2  0.
2

x
U 2m
sin x  sin( wt  90 0 )  I m cos wt  sin x
ZB
I m cos wt
,
- амплитуда синусоиды.
Точки, в которых напряжение и ток все время остаются
равными 0, называются узлами. Точки, в которых
напряжение и ток достигают максимальных значений,
называются пучностями.
На любом расстоянии от конца линии U и I сдвинуты
на 900.
Переходные процессы в длинных линиях без
потерь.
d 2U
1 d 2U


0
dx 2 v2 dt 2
Решение этого уравнения было дано Д’Аламбером:
U
U
i   i0  0
ZB
ZB
Падающая волна доходит до конца линии и частично
проникает в нагрузку (преломленная волна) и
частично отражается (отраженная волна).
Лекция 16.
Последовательность расчета переходных процессов
в длинных линиях.
1) Рассчитываем падающие волны:
U   e; I  
U
ZB
2) Составляем схему замещения с сосредоточенными
параметрами и рассчитываем в ней
U ,I
(в конце
2
2
линии) классическим или операторным методом.
3) Рассчитываем отраженные волны с помощью (1), (2)
и (3).
4) Заменяя в полученных уравнениях “t” на
x ,
t
U
получаем зависимость интересующих нас величин от
расстояния “x” и времени “t”.
Нелинейные электрические цепи.
Нелинейный элемент – величина, которая зависит от
тока и напряжения.
а
)
в
Рб
)
и)
2) Нелинейные индуктивности (рис.1 б) - это катушка
индуктивности с сердечником из ферромагнитного
с
материала
i  f ( )
.
d
Различают:
1) Нелинейное активное сопротивление (рис.1 а)
i  f (U )
U  f (i )
U
dx (4)
Подставим уравнение (3) в уравнение (1), а уравнение
(4) в уравнение (2) и разделим правые и левые части
A  chg  ch( a  jb)  ch ( a )  ch( jb)  sh( a )  sh( jb)
С другой стороны:

i ( x, t ) 
b  
L0 – продольная индуктивность линии на единицу
длины.
Гн
Современные RC – фильтры создаются на базе:
1) Операционных усилителей.
2) Гираторов.
3) Частотнозависимых отрицательных
сопротивлений.
2
ФВЧ:
x y l
“Т”-образная

(1)
U2
sin x
ZB
Z в х   jZ В ctg
Вся длина линии:
“Г”-образная
“П”-образная
I j
b  
ФНЧ: b  
отрезке
ФНЧ
U  U 2 cos x,
ZC 
число бесконечно малых отрезков
RC – фильтры (безиндуктивные) .
Наличие индуктивности в ряде случаев нежелательно:
1) Большие массогабаритные показатели.
2) Необходимость экранирования.
U cos x
U
 ZC 2
 j Z B ctgx
U
I
j 2 sin x
ZB
dt
  WSB i  H
e
W
1
W – число витков.
S – сечение провода.
H – напряженность магнитного поля.
B – индукция.
L – средняя длина магнитного пути в проводе.
3) Нелинейная емкость(рис. 1 в) – это емкость с
нелинейным диэлектриком.
U  f (q ) i 
dq
dt
Нелинейные элементы делятся на управляемые и
неуправляемые, инерционные и безынерционные, с
симметричными характеристиками и
несимметричными характеристиками.
На основе нелинейных элементов создают следующие
устройства: стабилизаторы напряжения,
преобразователи частоты, преобразователи числа фаз.
Расчет нелинейных электрических цепей постоянного
тока.
Для расчета применяются следующие методы:
1) Графические.
2) Аналитические.
3) Численные.
Аналитические методы.
Для аналитического необходимо иметь
аппроксимацию (характеристику нелинейного
элемента)
Виды аппроксимаций:
1) Кусочно – линейная
2) Аппроксимация укороченным степенным
полиномом
а)
y  ax n
б)
y  ax  bx n
1) По магнитному потоку найти МДС
F  I (прямая задача).
W
3) Аппроксимация гиперболическим синусом:
y    sh ( x)
4) Аппроксимация степенным полиномом:
y  a0  a1 x  a2 x 2  ...an x n
5) Аппроксимация экспоненциальным полиномом
: y  a  a e b1x  a e b2 x  a e bn x
0
1
2
n
И т.д. и т.п.
Для определения коэффициентов аппроксимации
нелинейных элементов:
1) Метод выбранных точек.
2) Метод наименьших квадратов.
3) Метод усреднения.
Последовательность расчета нелинейных
электрических цепей аналитическим методом.
1) Аппроксимируем характеристики нелинейных
элементов.
2) Составляем систему уравнений либо методом
уравнений Кирхгофа, либо методом узловых
потенциалов.
3) Подставляем в уравнения аппроксимированные
выражения, и решая полученную систему уравнений,
находим напряжения и токи в нелинейных элементах.
Достоинства и недостатки аналитического метода:
Достоинства: позволяет анализировать задачу в общем
виде.
Недостатки: малая точность и малая пригодность для
расчета электрических цепей.
Численные методы.
Метод последовательных приближений .
Сущность метода заключается в том, что находят
приближенное решение, которое затем уточняется.
Существует много разновидностей этого метода.
Метод итераций
Метод Ньютона – Рафсона.
Сущность метода заключается в том, что каждое
следующее приближение равно предыдущему минус
поправка, равное отношению функции предыдущего
приближения к ее производной:
x( n1)  xn 
f ( xn )
f ' ( xn )
Для сходимости вычислительного процесса
необходимо:
1) Функция должна быть дифференцируема.
2) Значение производной не должно быть слишком
мало.\
Достоинства и недостатки численных методов:
Достоинства: позволяют рассчитывать сколь угодно
сложные цепи с любой точностью.
Недостатки: не позволяют анализировать задачу в
общем виде.
Магнитные цепи постоянного потока.
Многие электротехнические устройства и аппараты
работают на основе использования магнитного потока
(основной частью таких устройств является
магнитопровод).
Характеристики ферромагнитных материалов
определяются зависимостью между магнитной
индукцией (В) и напряженностью магнитного поля (Н).
Связь между В и Н характеризуется кривыми
намагничивания и петлями гистерезиса. Кривые
намагничивания делятся на : первоначальные,
основные и безгистерезисные.
2) Основная кривая намагничивания – вершины
симметричных петель гистерезиса.
3) Безгистерезисная кривая получается в том случае,
если при намагничивании образца производить либо
постукивание по сердечнику, либо пропускать по
катушке пакетов затухающих синусоидальных
колебаний, наложенных на постоянную
составляющую.
Петли гистерезиса делятся на:
1) Симметричные.
2) Предельные.
3) Несимметричные (частные циклы).
А). Симметричные
Вr – остаточная индукция.
НС – коэрцитивная сила.
Расчет магнитных цепей постоянного тока
производится, как правило графическим методом,
аналогичным методу в нелинейных цепях постоянного
тока. Аналогия наблюдается только в расчетах, но нет
аналогии в физических процессах.

I - закон магнитного потока
F
 W
RM RM
Первый закон Кирхгофа:
n

k 1
K
0
Второй закон Кирхгофа для магнитной цепи:
I W  H l
( F   R 
K
K
K
K K
MK
K
)
При расчете магнитных цепей обычно возникают две
задачи:
2) По известной МДС определить магнитный поток
(потоки) – обратная задача.
Расчет нелинейных электрических цепей
переменного тока.
Для расчета НЭЦПТ применяются методы:
1) Графические.
2) Аналитические.
3) Численные.
При этом используются виды характеристик:
1) Характеристики для мгновенных значений.
2) Характеристики для действующих значений.
3) Характеристики для первых гармоник.
Характеристики могут быть заданы в виде графиков,
таблиц, аппроксимирующих выражений (уравнений).
Графические методы.
Графический метод, использующий
характеристики мгновенных значений.
Последовательность расчета:
1) Определяем закон изменения одной из величин
нелинейного элемента.
2) С помощью графических построений находим закон
изменения другой величины нелинейного элемента.
3) С помощью расчетов или с помощью графических
построений определяем закон изменения выходной
величины.
Причина появления высоких гармоник – нелинейный
элемент.
Метод эквивалентных синусоид (графический
вариант).
Сущность метода: несинусоидальные токи и
напряжения заменяются эквивалентными
синусоидальными (эквивалентными в смысле
действующих значений).
Рассмотрим применение метода на примере
феррорезонанса напряжений и феррорезонанса токов.
Феррорезонанс напряжений.
Наблюдается в цепи из нелинейной индуктивности и
линейной емкости, последовательно соединенных. При
феррорезонансе напряжений первая гармоника тока
совпадает с входным напряжением.
Аналитические методы расчета нелинейных
электрических цепей.
Метод кусочно–линейной аппроксимации,
использующий характеристики для мгновенных
значений.
Сущность: характеристика нелинейных элементов
заменяется отрезками прямых. Это приводит к тому,
нелинейные дифференциальные уравнения становятся
линейными, а полученные решения согласовываются
друг с другом.
Последовательность расчета:
1) Заменяем характеристику нелинейного элемента
отрезками прямых.
2) Составляем нелинейные дифференциальные
уравнения – систему нелинейных дифференциальных –
и подставляем в нее уравнения отрезков прямых, в
результате чего нелинейное дифференциальные
уравнения становятся линейными, и решаем систему
линейных уравнений.
3) Определяем постоянные интегрирования,
согласовывая решение на одном участке с решением на
другом.
Метод гармонического баланса.
Сущность: искомое решение представляется в виде
нескольких гармоник. В результате нелинейные
дифференциальные уравнения становятся
алгебраическими, где число уравнений равно “2k”, где
“k” – число учитываемых гармоник.
Последовательность расчета:
1) Определяем характеристики нелинейных элементов.
2) Составляем систему нелинейных
дифференциальных уравнений и подставляем в эту
систему аппроксимированные выражения, а также
искомое решение в виде суммы нескольких гармоник.
В результате получаем систему из “2k” уравнений.
3) Решая полученную систему находим амплитуды а
начальные фазы соответствующих гармоник.
Метод эквивалентных синусоид (аналитический
вариант).
Сущность: несинусоидальные токи и напряжения
заменяются эквивалентными в смысле действующих
значений синусоидальными. Это позволяет
пользоваться методом, а также строить векторные
диаграммы.
Метод применяется тогда, когда форма кривых токов
нас не интересует или когда несинусоидальность
невелика.
Численные методы
Метод последовательных приближений.
Задаемся током или напряжением на одной из
наиболее удаленных ветвей. Используя законы
характеристик нелинейных элементов, Ома и
Кирхгофа, рассчитываем входную ЭДС. Поскольку она
отличается от действующей, то вводится коррекция.
1) Первое приближение:
I '1  1A; I '1  U '1 ; U '1  jU '1
I '2 
U '1
; I '3  I '1  I '2 ;
R2
I 3  U ' НЭ 3
1
U ' НЭ 3  U ' НЭ 3 e j I3
U BX  U ' НЭ 3  I '3  jX C   U '1
k' 
U BX g
U ' BX p
2) I "
1
 k ' I1 и т.д.
Переходные процессы в нелинейных электрических
цепях.
В нелинейных цепях и постоянного и переменного
тока возможны устойчивые и неустойчивые режимы.
Если после какого-либо возмущения нелинейная цепь
возвращается к исходному состоянию, то такой
процесс называется устойчивым. Иначе –
неустойчивым. Для анализа устойчивости режима
применяют метод малых отклонений.
Сущность: если после воздействия какого-либо
возмущения в цепи это возмущение уменьшается с
течением времени, то такой режим устойчив. Если с
течением времени возмущение нарастает, то такой
режим неустойчив.
Расчет переходных процессов в нелинейных цепях
Метод условной линеаризации.
Сущность: характеристику нелинейного элемента
заменяют эквивалентной линейной (в рабочем
режиме). Это приводит к тому, что нелинейное
дифференциальные уравнения становятся линейными,
а полученное решение уточняется с учетом
нелинейности нелинейного элемента.
Метод кусочно-линейной аппроксимации
Сущность метода: характеристика НЭ заменяется
отрезками прямых. Это приводит к тому, что
нелинейные уравнения становятся линейными, а
полученные решения на одном отрезке согласуются с
решениями на другом.
Постоянные интегрирования находятся из начальных
условий и законов коммутации:
1) при t = 0, i1(0) = 0, из решения (1) следует A1= Iy,
2) при t = t1, i2(t1) = I1, из решения (2) следует A2=
I1Iy,
3) при t = t2, i3(t2) = I2, из решения (3) следует A3=
I2Iy.
Моменты времени t1, t2, соответствующие переходу
процесса с одного участка характеристики на другой,
определяются из совместного решения уравнений для
смежных участков в точке стыка:
Некоторые вопросы теории электромагнитного
поля.
Основные понятия теории электромагнитного
поля.
Электромагнитное поле – совокупность
электрического и магнитного полей.
Пусть к двум проводам приложено постоянное
напряжение
и по ним протекает постоянный ток.
UH
+

-

Под воздействием приложенного к проводам
напряжения между проводами возникает
электрическое поле ( силовые линии напряженности
электрического поля Е – обозначены пунктиром).
Под воздействием протекающего по проводам
электрического тока вокруг проводов возникает
магнитное поле (силовые линии напряженности
магнитного поля H обозначены сплошными линиями).
Основными величинами, характеризующими
электромагнитное поле, являются:
Напряженность электрического поля Е.
Индукция магнитного поля В.
Вектор напряженности электрического поля Е
численно равен силе, действующей на электрические
заряды со стороны электрического поля.
Вектор магнитной индукции В численно равен силе,
действующей на движущиеся заряды со стороны
магнитного поля.
Вектор электрического смещения D   E диэлектрик.
Вектор плотности тока   j E - проводимость
среды.
Вектор магнитной индукции
B  H
магнитного поля.
D

- вектор электрического смещения.
- вектор плотности тока.
- для
B - вектор магнитной индукции.

- абсолютная диэлектрическая проницаемость
среды.
- удельная проводимость среды.
j
 - магнитная проницаемость среды.
E
- вектор напряженности электрического поля.
H - вектор напряженности магнитного поля.
Различают три вида тока:
   np   nep   см .
1)
 np  j E
- вектор плотности тока проводимости
пропорционален напряженности электрического поля.
Пример: ток в проводниках и полупроводниках в
проводящем направлении.
2)
 nep  
dt

Уравнения Максвелла.
Первое уравнение Максвелла (закон полного тока):
а)
- поток вектора напряженности
 Hd l  I
электрического поля вдоль любого замкнутого поля
равен току, протекающему внутри объема,
ограниченного этим контуром.
б) в дифференциальной форме
S 0
 H d l  lim
Второе уравнение Максвелла (закон
электромагнитной индукции Фарадея):
d - ЭДС, возникающая в контуре, равна
dt
скорости изменения магнитного потока, взятого со
знаком “-”:
а) интегральная форма:
- изменение
e   Edl  
d
dt
магнитного потока вызывает ЭДС, равную линейному
интегралу напряженности электрического поля для
любого контура.
б) дифференциальная форма:
 Edl  lim  d
lim
S 0 S
S 0 S dt
изменение магнитного поля вызывает вихревое
магнитное поле.
Третье уравнение Максвелла (обобщенная теорема
Гаусса или постулат Максвелла):
а) теорема Гаусса в интегральной форме:
- поток вектора напряженности
q электрического поля сквозь любую
Ed S 
замкнутую поверхность в однородной
 и изотропной среде равен отношению
S
заряда, заключенного внутри объема,
ограниченного данной поверхностью к абсолютной
диэлектрической проницаемости.
б) теорема Гаусса в дифференциальной форме:
 Ed S
q
lim S
 lim
V 0 V
V  
 - расхождения (дивергенция) вектора

div E 
E
напряженности электрического поля имеют начало и
конец. Они (силовые линии) начинаются на “+” заряде
(исток) и заканчиваются на “-” заряде (сток).
Оператор Гамильтона:
.

E 
E
- оператор пространственного
i
2).
3).
4).
5)
6)
7)
8)
rotE  



 j k
x
y
z
дифференцирования.
Постулат Максвелла.
а). В интегральной форме
- поток вектора электрического смещения
 Dd S  q
S
сквозь любую замкнутую поверхность в любой среде
равен заряду, заключенному внутри объема,
ограниченного данной поверхностью.
б) в дифференциальной форме:
div D   или D   .
q
 A    Edr   
dr 
2rl
 dr
q

   2l ln r  C 
2l 

q
1
ln  C
2l r
Или

q
l
  ;E 
2r

1
A 
ln  c
2 r
Электрическое поле и емкость коаксиального
кабеля.
Требуется рассчитать электрическое поле в точке А на
расстоянии “r” от центра.
dB
dt
divD  
divB  0
D E
B  H
1 – центральная жила
2 – обратная жила
dD
  j E   
dt
W
DE BH

2
2
Теорема Гаусса
Полной системы уравнений Максвелла и граничных
условий необходимо и достаточно для того, что бы
рассчитать электромагнитное поле в любой точке
пространства.
Электростатическое поле
Различают электростатическое поле – электрическое
поле неподвижных зарядов.
ES 
q

Emax 
Если
q


2rl 2r
;E
q
2R1l
E
 Eпробоя - то изоляция кабеля будет
div D   0
U  1   2 
D   E , то есть электростатическое поле –
Емкость:
безвихревое.
Закон Кулона:
F
Электрический потенциал

численно равен работе,
   Ed r    Ed r

Градиент потенциала численно равен скорости
изменения электрического потенциала в направлении,
в котором эта величина имеет наибольшее значение:
d
  E;
dn
E   grad  ; E  

dy 2

dz 2


Пуассона в декартовой системе координат.
Уравнение Лапласа:
Методы расчета электростатических полей.
1) Метод наложения (когда имеется несколько
зарядов).
2) Расчет с помощью теоремы Гаусса.
3) Расчет с помощью уравнений Лапласа и
Пуассона.
4) Метод зеркальных изображений.
Электрическое поле бесконечно заряженной оси.
Требуется рассчитать электрическое поле в точке А ,
находящейся на расстоянии “r” от заряженной оси.
Применяем теорему Гаусса, то есть окружаем ось
цилиндром, расположенным таким образом, что бы
точка “A” находилась на его поверхности.
q . Пренебрегая потоком вектора
S

напряженности Е, через торцевую поверхность:
ES 
q

или
E
q
2rl
q
2l

U ln R2
R1
q
1 q
1
ln 
ln 
2l r1 2l r2
r
q
1
q
q

ln 
ln r2 
ln 2
2l r1 2l
2l ê1
 A   ' A  " A 
q
d
ln
2l R
Пусть А расположена на поверхности второго
провода:
;
q
R
2 
2l
ln
d
 1
U  1   2  1   1   21 
Емкость:
C
2    0
d 2 d 2 d 2
 2  2  2  2  0
dx
dy
dz
 Ed S 
1
Электрическое поле и емкость в двухпроводной
линии.
1 
Уравнения Пуассона – Лапласа:
- уравнение Пуассона.


div E  ; div grad    ;



 2    

 - оператор Лапласа.
d 2 d 2 d 2
 - уравнение
dx 2
R2
Пусть А будет расположена на поверхности первого
провода:
grad  
 2 
q
 Edr  2l ln R
C
совершаемой полем по перемещению электрического
заряда из данной точки в бесконечность или в точку,
потенциал которой равен нулю.
.

r
r
R2
R1
q1q2
4r 2
   0 r  8.86  10 12
q
 Ed S  
S
max
пробита.
rot E  0
- электрический ток вызывает вихревое
магнитное поле.
e
расхождений силовых линий нет. Силовые линии не
имеют ни начала, ни конца (они непрерывны).
1). rotH  
  0; B  0; H  0
I
S 0 S
S
rot H  
S
магнитной индукции сквозь любую замкнутую
поверхность равен нулю.
б) в дифференциальной форме div B  0 -
dt
смещения пропорциональна скорости изменения
напряженности электрического поля .
lim
 Bd S  0
- плотность тока переноса
пропорциональна скорости перемещения
электрических зарядов.
3)
dD
d E - плотность тока электрического
 см 
Четвертое уравнение Максвелла (принцип
непрерывности магнитного потока):
а) в интегральной форме
- поток вектора
q
l
ln
d
R
q
l

U ln d
R
Метод зеркальных изображений.
Пусть есть заряд “q”, расположенный на высоте “h” на
бесконечной проводящей поверхности. Под
воздействием заряда на поверхности будут находиться
заряди противоположного знака.
Для расчета таких задач применяется метод
зеркальных изображений, согласно которому
проводящая поверхность (плоскость) заменяется
диэлектрической, под которой располагается
фиктивный заряд (q’), величина которого выбирается
таким образом, что бы
случае, когда
 '  0 . Это будет в том
q'  q . Таким образом, исходная и
эквивалентная задачи имеют одинаковые условия, и
тогда и поля исходной и эквивалентной задачи,
согласно теореме единственности, будут одинаковы.
Методы расчета электростатической аналогии.
Существует формальная аналогия между
электростатическим полем и электромагнитным
полем постоянного тока:
Электрос
Эл. поле
татическ
постоянн
ое поле
ого тока.
Потенциальные и емкостные коэффициенты.
Частичные емкости. Группы формул Максвелла.
Пусть двухпроводная линия расположена на высоте
“h” над бесконечной проводящей поверхностью.
Рассчитаем электрическое поле в точке “A”. Для этого
применяем метод зеркальных изображений. Тогда:
11 , 12 ,  21 ,  22 - потенциальные
коэффициенты.
1) Первая группа формул Максвелла позволяет
определить потенциалы проводов по известным
зарядам:
rot E  0
rot E  0
div D  0
div   0
1)
GI
U
U
Если в уравнениях электромагнитного поля заменить
D   ,    , C  G, q  I , то мы получим
Cq
уравнения эл. поля постоянного тока. В этом и
заключается метод электростатической аналогии,
который позволяет перейти от легко получаемого
уравнения электростатического поля к уравнениям Эл.
поля постоянного тока.
Пример:
Требуется рассчитать
сопротивление изоляции
коаксиального кабеля:
1   11q1   12 q2

 2   21q1   22 q2
C
11 
 22

; 12   12 ;




 21   21 ;  22  11


- емкостные
коэффициенты.
3) Третья группа формул Максвелла позволяет по
известным напряжениям найти заряды на
проводах:
 22   12  - частичные емкости.
C11   11   12 



C12  C 21    12 



 11   12 
C 22   22   21 



R
ln 2
1
R1
R 
G 2l
q1  C11U 11  C12U 12 ;

q2  C 21U 21  C 22U 22
коаксиального кабеля.
Пример:
Определить сопротивление шарового заземлителя
(Шар находится глубоко и влиянием поверхности
земли можно пренебречь).
C  2r R  1 
G
3)
4)
5)
6)
7)
rot H  
rot E  
E1 sin 1  E2 sin  2
1)
E 1t  E 2 t
dB
dt
1
2r 
Граничные условия на границе раздела двух
проводящих сред.
Электромагнитное поле постоянного тока.
Протекающий электрический ток создает магнитное
поле, но при этом “B” и
“H” – постоянны, и поэтому магнитное поле будет
влиять на электрическое. Следовательно, можно
отдельно, независимо друг от друга, рассматривать
электрическое и магнитное поле.
2)
- сопротивление изоляции

 12
1)
2l
2l
G
R2
R
ln 2
R1
R1
ln
2) Вторая группа формул Максвелла позволяет по
известным потенциалам определить заряды:
q1  111  12 2

q2   211   22 2
- тангенциальные составляющие
div D  
электрического поля на границе раздела двух сред
равны.
2)  sin    sin 
div B  0
 1n   2 n - нормальные составляющие
D E
B  H
электрического поля на границе раздела двух сред
равны.
3) Разделим второе уравнение на первое и в результате
получим:

tg - закон преломления вектора плотности
   E   
1
dD
dt
Электрическое поле постоянного тока.
1) В диэлектрике:
rot E  0 (*) (не заряд, а протекание электрического тока)
div D  0
D E
Из уравнения (*) видно, что электрическое поле
постоянного тока в диэлектрике – безвихревое, то есть
потенциальное и тогда E   grad  .
2) В проводящей среде:
Закон Ома в дифференциальной форме для
проводящей среды:
 E.
Поток вектора плотности электрического тока,
входящий в любой объем, равен выходящему, иначе:
- первый закон Кирхгофа. Поток
d S  0
S
вектора плотности электрического тока в любом
объеме равен нулю.

1
2
1
2
2
1
tg 2
электрического тока на границе раздела двух сред.
Магнитное поле постоянного тока.
rot H  
- (там, где есть ток, магнитное поле –
вихревое, то есть непотенциальное).
div B  0 - (но там, где ток равен нулю, там
rot H  0 , то есть там магнитное поле –
безвихревое, то есть потенциальное).
Для расчета таких полей вводится вспомогательный
потенциал
A , для которого rot A  B . Для таких
полей уравнение Пуассона будет выглядеть
следующим образом:
2 A   (применяется для расчета
электромагнитного поля внутри проводников с током).
 A  0 - уравнение Лапласа (применяется для
расчета полей вне проводников с током).
2
H 1 sin 1  H 2 sin  2
H 1t  H 2 t
 E
D E
Граничные условия на границе раздела двух
магнитных сред.
- тангенциальные направляющие
магнитного поля на границе раздела двух сред равны.
2) B1 cos  B 2 cos
1
2
B1n  B 2 n - нормальные составляющие индукции
магнитного поля на границе раздела двух сред равны.
3)
- закон преломления магнитной
1 tg1

 2 tg 2
индукции на границе раздела двух сред.