Билет №1 Билет №6 числовых последовательностей:

Билет №1
1. Числовая последовательность: определение,
примеры, предел числовой последовательности,
его геометрическая интерпретация. Сходящиеся
и расходящиеся числовые последовательности.
Теорема о единственности предела числовой
последовательности.
2. Чему равен предел суммы сходящейся и бесконечно большой последовательностей? Ответ
обосновать.
Билет №2
1. Сходимость и ограниченность числовой последовательности. Примеры. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности,
контрпример.
2. Доказать, что lim n a  ... , где a > 0.
n 
Билет №3
1. Бесконечно малые числовые последовательности: определение, примеры. Свойства бесконечно малых последовательностей.
2. Пусть lim x n  lim y n  . Чему равен преn 
n 
дел их суммы? Ответ обосновать.
Билет №4
1. Сумма
числовых
последовательностей:
определение, примеры. Теорема о пределе суммы двух сходящихся последовательностей.
Обобщение ее на случай любого конечного числа слагаемых.
2. Чему равен предел произведения двух бесконечно больших последовательностей? Ответ
обосновать.
Билет №5
1. Произведение числовых последовательностей: определение, примеры. Теорема о пределе
произведения двух сходящихся последовательностей и следствия из нее. Обобщение теоремы
на случай любого конечного числа множителей.
2. Пусть {an} – бесконечно большая последовательность. Что можно сказать про последовательность {1/an}? Ответ обосновать.
Билет №6
1. Частное числовых последовательностей:
определение, примеры. Теорема о пределе частного двух сходящихся последовательностей.
2. Пусть lim x n  lim y n  . Чему равен преn 
n 
дел их суммы? Ответ обосновать.
Билет №7
1. Предел числовой последовательности. Сходимость и расходимость числовой последовательности.
Доказать
теорему:
если
lim a n  a, lim bn  b, a  b , то… Следствия из
n 
n 
теоремы.
2. Чему равен предел произведения сходящейся последовательности на бесконечно большую,
если сходящаяся последовательность не является бесконечно малой? Ответ обосновать.
Билет №8
1. Предел числовой последовательности. Сходимость и расходимость числовой последовательности. Теорема о трех последовательностях,
таких что n an  bn  cn . Примеры.
2. Пусть {an} – бесконечно малая последовательность, члены которой отличны от нуля. Что
можно сказать про последовательность {1/an}?
Ответ обосновать.
Билет №9
1. Система вложенных отрезков. Принцип
вложенных отрезков и принцип стягивающихся
вложенных отрезков.
2. Доказать, что lim n n!  ... .
n 
Билет №10
1. Монотонность и ограниченность числовой
последовательности. Теорема Вейерштрасса о
пределе монотонной ограниченной последовательности.
2. Чему равен предел отношения сходящейся
последовательности к бесконечно большой?
Билет №11
1. Подпоследовательность числовой последовательности: определение, примеры. Связь между пределами числовой последовательности и ее
подпоследовательностей.
1
 1 1
2. Доказать, что lim 1    ...    ... .
n 
n! 
 1! 2!
Билет №12
1. Сходимость и ограниченность числовой последовательности. Теорема Больцано-Вейрштрасса.
2. Будет ли произведение ограниченной последовательности на бесконечно большую бесконечно большой последовательностью? Ответ
обосновать.
Билет №13
1. Предел числовой последовательности. Сходимость и расходимость числовой последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
2. Пусть lim x n   и n0 n  n0 y n  x n . Чеn 
му равен lim y n ? Ответ обосновать.
n
Билет №16
1. Свойства бесконечных пределов, выраженные равенствами. Доказательство одного из них
по выбору. Неопределенности: понятие, виды,
примеры.
2. Чему равен предел разности двух сходящихся последовательностей? Ответ обосновать, используя определение предела последовательности.
Билет №17
1. Верхний и нижний пределы числовой последовательности. Теорема о существовании предела последовательности.
2. Чему равен предел последовательности {qn},
где qR? Ответ обосновать.
Билет №18
1. Монотонность и ограниченность числовой
последовательности. Монотонность и ограни 1  n 
ченность последовательности 1    .
 n  
Определение числа e.
2. Пусть lim x n   и n0 n  n0 y n  x n . Чеn 
му равен lim y n ? Ответ обосновать.
n
Билет №14
1. Бесконечно большие последовательности:
определение, примеры. Связь между бесконечно
большими и неограниченными последовательностями.
an
2. Доказать, что lim
 ... , где a > 0.
n  n!
Билет №15
1. Бесконечно большие последовательности:
определение, примеры. Теорема о пределе монотонной неограниченной последовательности.
2. Чему равен предел произведения двух бесконечно малых последовательностей? Ответ
обосновать, используя определение предела последовательности.