Нетрадиционные методы построения

Алтухова Е.В.,
учитель математики
лицея №8 «Олимпия»
Программа
элективного курса
«Нетрадиционные методы построения графиков сложных функций»
(Экспертное заключение Комитета по образованию Администрации Волгоградской области №290 от 13.02.2008 г.)
Пояснительная записка
Программа элективного курса «Нетрадиционные методы построения
графиков сложных функций» рассчитана на учащихся 11 класса физикоматематического профиля, а также может быть использована для проведения
факультативных занятий для учащихся 11 классов других профилей и направлена
на обеспечение углублённой подготовки по математике.
Содержание данного спецкурса нацелено на формирование практических
навыков построения графиков сложных функций, применения свойств сложных
функций при решении конкретно-практических задач, на развитие у учащихся
алгоритмической культуры и овладение математическими знаниями и умениями,
необходимыми в повседневной жизни. Содержание программы расширяет
представления учащихся о математике как универсальном языке науки, средстве
моделирования явлений и процессов, знакомит с методами построения графиков
функций, основанными на рассмотрении влияния свойств функций, входящих в
состав сложной функции, способствует развитию логического мышления и
математической интуиции.
Изучение курса актуально в связи с тем, Функционально-графическая линия
является одной из основных линий математического образования. Функции, их
свойства и графики рассматриваются, начиная с 7 класса. В школьном курсе
изучаются следующие элементарные функции: линейная функция, обратная
пропорциональность,
квадратичная
функция,
степенная
функция,
тригонометрические функции, показательная и логарифмическая функции. Вопрос,
касающийся рассмотрения сложной функции является не обязательным в
общеобразовательном классе и рассматривается в ознакомительном порядке в
классах с углубленным изучением математики. Однако, при использовании
графического метода решения уравнений и систем часто приходится строить
графики функций, которые представляют собой комбинации элементарных
функций. На уроках учащиеся знакомятся с двумя способами построения графиков:
построение по точкам и проводя полное исследование функции с применением
производной. Понятно, что первый способ может привести к неточному (иногда
ошибочному) построению. Второй способ является достаточно трудоемким и
длительным. Более того, иногда бывает необходимо построение эскиза графика или
рассмотрения отдельных свойств функции. Поэтому, освоение рациональных
способов построения графиков является значимым вопросом в изучении
математики.
Актуальность данной программы обусловлена также ее практической
значимостью. Учащиеся могут применить полученные знания и практический опыт
при решении практических задач из других естественнонаучных дисциплин.
В основе формирования практических навыков выявления свойств сложных
функций лежат два главных вида деятельности учащихся: это изучение теории
вопроса и отработка умений и навыков при выполнении конкретных заданий и
проведении исследования функций.
В соответствии с концепцией учебного плана, принятой в лицее, целью данного
курса является овладение основными методами построения графиков сложных
функций как один из факторов развития логического мышления,
исследовательской культуры, математического мышления и интуиции,
необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в
области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности,
а также расширение представления учащихся о возможном использовании
известных сведений (свойств объектов) в новых ситуациях
Структура программы состоит из 11 тематических модулей: графики элементарных
функций, операции над графиками, преобразование графиков, графики функций и
уравнений, содержащих знак модуля, графики обратных функций, графики дробнолинейных и дробно-рациональных функций, графики сложно-показательных,
сложно-логарифмических, сложно-тригонометрических функций, сложно-обратнотригонометрических функций, целая и дробная части числа.
Программа курса рассчитана на 30 часов (лучше, если это будет второе полугодие,
так как учащиеся должны обладать теоретической подготовкой по основным
вопросам, касающимся изучения функций в школьном курсе)
Логика освоения тем определяется задачами:
 формирование представления о том, как используя свойства известных
элементарных функций, строить графики сложных функций, комбинаций
функций.
 овладение основными методами построения графиков сложных функций;
 изучение теоретических сведений, необходимых для решения практических
задач;
 развитие исследовательских навыков при выполнении заданий связанных с
изучением свойств сложных функций;
 повышение интереса к изучению различных функций ;
 воспитание математической культуры
 развитие культур построения графических образов.
Все образовательные блоки не предусматривают сугубо теоретических знаний,
а имеют деятельностно-практический характер.
Практические задания способствуют развитию у детей творческих
способностей, умения создавать собственные алгоритмы решения и производить
поиск рационального способа.
Результаты обучения по данному курсу достигаются в каждом образовательном
блоке. В планирование содержания включены контрольные уроки, которые
проводятся по окончанию каждого тематического блока.
Освоение содержания предполагает два уровня учебных достижений: базовый и
повышенный. Требования к этим уровням определяются в соответствии с со
стандартом среднего (полного) общего образования по математике (базовый и профильный
уровни).
В результате работы по программе элективного курса «Нетрадиционные
методы построения графиков сложных функций» учащиеся
должны знать:
 понятие сложной функции;
 свойства элементарных функций и их влияние на свойства сложных функций;
 виды графиков элементарных функций;
 действия и операции, производимые над графиками функций;
должны уметь:
 выполнять арифметические действия над графиками функций и использовать
их для более рациональных способов построения графиков;
 строить графики сложных функций на основе исследования свойств
компонентов, входящих в их состав;
 определять основные свойства сложных функций, учитывая свойсва входящих
компонентов;
 применять построенные графики для исследования и решения уравнений,
систем уравнений, задач;
 использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и
повседневной жизни для построения и исследования простейших математических
моделей.
Учебный план
№
п/п
1.
2.
3.
4.
Наименование разделов плана
Графики элементарных функций.
Арифметические операции над
графиками функций
Параллельный перенос и сжатие
при построении графиков функций
y=cf(kx+a)+b
Графики уравнений и функций,
содержащих знак модуля
Графики функций y= f( x ) и
y=
В том числе
теория
практика
2
1
1
2
1
1
4
1
3
2
1
1
2
1
1
3
1
2
3
1
2
3
1
2
2
1
1
2
3
1
1
3
1
f ( x)
Графики
дробно-линейных
функций
6. Графики
сложно-показательных
функций
7.
Графики сложно-логарифмических
функций
8.
Графики
сложнотригонометрических функций
9.
Графики
сложных
обратнотригонометричеких функций
10. Целая и дробная части числа.
11. Построение графиков различных
функций. (Урок – практикум)
Резерв времени
Итого
5.
Общее количество часов
2
30
10
2
20
Учебно-тематический план
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Общее
В том числе
количество теория практика
часов
Графики
элементарных
функций.
2
1
1
Арифметическиеперенос
операцииинад
графиками
Параллельный
сжатие
при
2
1
1
функций
построении
графиков
функций
y=cf(kx+a)+b
Графики
уравнений
и
функций,
4
1
3
содержащих знак модуля
Содержание учебных разделов
3.1
Построение графиков функций
y=/f(x)/, y= f(/ x / )
3.2 Построение графиков функций y=/ f(/
x/ ), y= / x-x1 /+/ x-x2/+/ x-xn /
3.3 Построение графиков уравнений /y/ =
f(x ), / y/ = /f( x )/
3.4 Построение графиков функций,
аналитическое
выражение
которых
содержит знак модуля, выраженных
неявно
Графики функций y= f( x ) и y= 1 / f( x )
Графики дробно-линейных функций
5.1 Графики простых дробей
5.2 Графики дробно-линейных функций
Графики сложно-показательных функций
Графики
сложно-логарифмических
функций
Графики
сложно-тригонометрических
функций
Графики
сложных
обратнотригонометричеких функций
Целая и дробная части числа.
10.1 Графики функций y= [f( x)], y= f( [x]
)
10.2 Графики функций y= {f( x)}, y= f( {x})
Построение графиков различных функций.
(Урок – практикум)
Резерв времени
1
1
0,5
0,5
2
2
1
1
1
1
3
3
1
1
2
2
3
1
2
2
1
1
2
1
1
3
3
2
2
Содержание учебных тем
Графики элементарных функций. Арифметические операции над
графиками функций (2 ч)
Цели и задачи курса. Основные теоретические модули. Линейная функция,
обратная пропорциональность, квадратичная функция, степенная функция,
тригонометрические функции, показательная и логарифмическая функции, их
свойства и графики. Сложение, вычитание, умножение и деление графиков
функций.
2.
Параллельный перенос и сжатие при построении графиков функций
y=cf(kx+a)+b (2 ч)
Понятие сложной функции. Графики функций y=f(x) и y=f(x+a), y=f(x)+b, y=f(kx),
y=cf(x), y=cf(kx+a)+b. Использование параллельного переноса вдоль осей
координат и сжатие при построении графиков указанных функций.
3.
Графики уравнений и функций, содержащих знак модуля (4 ч)
Понятие модуля числа. Влияние знака модуля на изменение графика функции.
Построение графиков функция вида y=/f(x)/, y= f(/ x / ), y=/ f(/ x/ ), y= / x-x1 /+/ xx2/+/ x-xn /, графиков уравнений /y/ = f(x ), / y/ = /f( x )/. Построение графиков
функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля, выраженных
неявно.
1.
4.
Графики функций y= f( x ) и y=
Свойства функций y=
f( x ) и
y=
1
(2 ч)
f ( x)
1
. Особенности построения графиков
f ( x)
указанных функций.
5.
Графики дробно-линейных функций (3 ч)
Понятие дробно-линейных функций. Свойства дробно-линейных функций.
Графики простых дробей. Графики дробно-линейных функций. Особенности
построения графиков дробно-рациональных функций.
6.
Графики сложно-показательных функций (3 ч)
Понятие сложно-показательных функций. Свойства сложно-показательных
функций. Особенности построения графиков.
7.
Графики сложно-логарифмических функций (3 ч)
Понятие сложно-логарифмических функций. Свойства сложно-логарифмических
функций Особенности построения графиков.
8.
Графики сложно-тригонометрических функций (3 ч)
Понятие
сложнотригонометрических
функций.
Свойства
сложнотригонометрических функций Особенности построения графиков
9.
Графики сложных обратно-тригонометричеких функций (2 ч)
Понятие сложных обратно - тригонометрических функций. Свойства сложных
обратно- тригонометрических функций Особенности построения графиков
10. Целая и дробная части числа. (2 ч)
Понятие целой части числа. Понятие дробной части числа. Графики функций
y= [f( x)], y= f( [x] ), y= {f( x)}, y= f( {x})
11. Построение графиков различных функций. (3 ч)
Построение графиков различных композиций функций. Решение уравнений,
неравенств, систем уравнений функционально-графическим методом.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Литература
Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э. Функции и графики.- М.:
Наука, 1965
Гончаров В.Л. Элементарные функции действительного переменного /
Энциклопедия элементарной математики. Т.3- М.-Л.: Гостехиздат, 1952
Доморяд А.И. Математические игры и развлечения.-М.: Издательство
физико-математической литературы, 1961
Математика: Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: учебник для
общеобразовательных заведений / Под редакцией Г.В. Дорофеева.М.:Дрофа, 1999
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное
изучение курса алгебры и математического анализа (методические
рекомендации и дидактические материалы). М., 1986
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и
началам анализа для 10-11 классов (библиотека учителя математики).
М., 1990
Беликов С.Н. Построение графиков тригонометрических функций,
содержащих модуль / Математика в школе №1-1997
Коржуев А.В., Арестова Л.Д. Построение графиков некоторых
функций / Математика в школе №3 – 1995
Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков Ю.А. и др. Готовимся к
единому государственному экзамену. Математика.- М.:Дрофа, 2004
Методическое обеспечение
Занятия по данной программе состоят из теоретической и практической
частей, причем большее количество времени занимает практическая часть. Форму
занятий можно определить как частично-поисковая деятельность детей.
На занятиях учащиеся систематизируют знания об элементарных функциях,
их свойствах и графиках, знакомятся с понятием сложной функции, исследуют
влияния свойств компонентов сложных функций и возможные способы построения
графиков сложных функций. Закономерности использования тех или иных свойств
функций могут быть представлены в виде правил и схем для усвоения детьми. Так,
учитывая влияние характера монотонности внутренней и внешней функции,
учащиеся могут безошибочно делать вывод о характере монотонности сложной
функции. Вместе с тем применение правил ни в коем случае не должно носить
характер навязанных педагогом догматических предписаний. Ценными знания для
данной практики становятся лишь в случае косвенного воздействия знаний на
практику, знания никак не могут подменить собой творчество ребенка.
Эффективным для развития логического мышления обучаемых является
такое введение нового теоретического материала, которое вызвано требованиями
творческой практики. Ученик должен уметь сам сформулировать задачу, и новые
знания теории помогут ему в процессе решения этой задачи. Данный метод
позволяет на занятии сохранить высокий творческий тонус при обращении к
теории и ведет к более глубокому ее усвоению.
Важным условием придания обучению проблемного характера является
подбор изучаемого материала. Каждый последующий этап должен включать в себя
какие-то новые, более сложные задания, требующие теоретического осмысления.
Прохождение каждой новой теоретической темы предполагает постоянное
повторение пройденных тем, обращение к которым диктует практика. Такие
методические приемы, как «забегание вперед», «возвращения к пройденному»
придают объемность «линейному», последовательному и систематическому
изложению материала в данной программе, что способствует лучшему ее
усвоению.
При всей важности освоения теоретических знаний следует учитывать, что
они являются средством для достижения главной цели обучения, основой для
практических занятий. Главным методическим принципом организации творческой
практики детей выступает опора на систему усложняющихся творческих заданий.
Основным видом таких заданий является применение свойств сложных функций
для решения уравнений, неравенств и их систем, а также задач на оптимизацию.
Исследование сложных функций представляет собой сложную поисковую
деятельность, состоящую из четырех основных действий: это анализ формулы,
задающей функцию, выделение структурных компонентов, т.е функций, входящих
в состав данной, нахождение свойств всех структурных компонентов и выяснение
их взаимовлияний, непосредственная реализация плана построения графика.
Каждое из этих действий, в свою очередь, делится на ряд операций, поэтому
успешное проведение исследования возможно лишь с опорой на дидактический
принцип расчленения сложной задачи на простые составляющие.
Прием объяснения ребенком собственных действий, а также прием
совместного обсуждения вопросов, возникающих по ходу работы, с педагогом или
другими детьми (при индивидуально-групповой форме занятий) помогают
расширить представления о средствах, способах, возможностях данной творческой
деятельности и тем самым способствуют развитию математической культуры.
Для преодоления трудностей, возникающих по ходу выполнения задания,
ребенку может быть предложен ряд упражнений, направленных на формирование
необходимых навыков.
Так, например, при построении графиков сложных функций, содержащих знак
модуля полезно вспомнить понятие модуля и отработать его при исследовании
функции y=/x/, лишь после этого переходить исследованию функций y=/f(x)/, y= f(/
x / ) и др.
Среди методов, направленных на стимулирование творческой деятельности,
можно выделить методы, связанные непосредственно с содержанием этой
деятельности, а также методы, воздействующие на нее извне путем создания на
занятиях обстановки, располагающей к творчеству: подбор увлекательных и
посильных ребенку творческих заданий, проблемная ситуация, разнообразие форм
урочной деятельности, использование эвристических приемов, создание на
занятиях доброжелательного психологического климата, внимательное и бережное
отношение к детскому творчеству, индивидуальный подход.
Важной задачей педагога остается консультирование учащихся при
возникновении затруднений в выполнении домашних работ.
Подведение итогов по результатам освоения материала программы данного
элективного курса может быть в форме общественного смотра знаний, защиты
исследовательских работ, связанных с разбором и поиском нескольких способов
построения графиков функций, выбор наиболее рационального.
Методика реализации курса основывается на практико-ориентированном
подходе к изучению математики. Реализацию содержания предпочтительно
осуществлять на основе лекционно-семинарской технологии и (или)
технологии проблемного обучения.
Приложение
Примерные задания, которые можно рассмотреть на занятиях или предложить для
самостоятельного выполнения.
Тема 1.
Тема 2
1) y=x+sin x
2) y= 1 - x2
1) y= 8x+2x2
x2
3) y=e-x sin x
4) y= sin x
x
x 1
x
4
5) y=
2) y=3  2( x  2) -1
3) y=2x+1-1
4) y=3 sin(x+П/3)-2
5) y=2log22x+2
Тема 3
Тема 4
1) y= x2-4x+3
2) y=x2-4 / x/ +3
1) y= 1
.
2
3) y= x -4 / x / +3
x2-5x+4
4) y= / x+3/ + / 2x+1/ + / x-1/ -2x+1
2) y= log x 2
5) y= ( x 2  4) 2  ( x 2  2) 2
6) y= 2-(1/3) / x/
3) y= 1/ cos x
7) y= log2 / x/
4) y= 1
.
8) y= / 1-sin2x/ + / 1-cos2x/
9) / x/ -2 + / y/ -2 =2
/ x+2/ + / x-2/
10)
y= / / / x-2/ -1/ -2/
5) y= 1
.
11)
y = / lg x/
12)
y= sin x cos2x + cos x sin2x
1+sin x
Тема 5
2x  1
x 1
x2  4
y= 2
x  2x  3
2x  1
y= 2
x  x 1
x3  4x 2  2x  1
y=
x( x 3  1)
3x
y= 3
x 1
1) y=
2)
3)
4)
5)
Тема 6
1) y= 2 x 4 x3
2) y= 3tgx
3) y=(1/3)1/x
4) y=(1/2)sin x
2
Тема 7
1) y= log2(x2-5x+4)
2) y=log6 sin x
3) y= log x
2
3 x  2
2
4) y= log3 ( 9-x2 )
5) y= lg x+1
x-1
5) y=41-x
Тема 8
1) y=sin x2
2) y=tg (x/(2+x2))
3) y= cos 2x
4) y= sin / x/
5) y= cos(cos x)
Тема 9
1) y= arcsin (1/(x-1))
2) y= arccos 1/x2
3) y= arctg (log2 x)
4) y= arcctg ((x+1)/(x-1))
5) y= arcsin (log 3 x)
6) y= arcos (cos x)
Тема 10
1) y=[x2]
2) y=[sin x]
3) y= 1/[x]
4) y={x2}
5) y=log 3 [x]
6) y=2{x}2+3{x}+1
7) y={log2 x}
8) y= 1-{x}
1+{x}
Тема 11
1) Найдите множество значений функции y= 2sinx+4
2) Найдите область определения функции y= lg(arcsin(1-3x))
3) Найдите все значения параметра а, при которых в области определения
функции y=ln(aax –4- ax) лежат числа 20, 50, 70, но не лежат числа 2, 5, 7
4) Найдите точки максимума и минимума функции (без применения
производной) y= (x-2)2 (x-4)2