Задания по Алгебре и геометрии

Задания по Алгебре и геометрии
Задание №1
Даны вершины A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y 2 ) , C ( x3 ; y 3 ) треугольника.
Найти:
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину С;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину С;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины С;
7) систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника. Сделать
чертеж.
1. А ( 1; 1),
В ( 7; 4),
С ( 4; 5).
2. А ( 1; 1),
В (-5; 4),
С (-2; 5).
3. А (-1; 1),
В ( 5; 4),
С ( 2; 5).
4. А (1; -1),
В ( 7; 2),
С ( 4; 5).
5. А (-1; 1),
В ( 5; 4),
С ( 2; 5).
6. А (1; -1),
В (-5; 4),
С ( -2; 3).
7. А (-1; -1),
В ( 5; 2),
С ( 2; 3).
8. А (-1; -1),
В (-7; 2),
С ( -4; 3).
9. А (0; 1),
В ( 6; 4),
С ( 3; 5).
10. А (1; 0),
В ( 7; 3),
С ( 4; 4).
Задание № 2
Даны четыре вектора a  a1 ; a2 ; a3 , b  b1 ; b2 ; b3  , c  c1 ; c 2 ; c 3 , d  d1 ; d 2 ; d 3 .
1. a  4; 3; 2,
b   3; 2; - 1,
c  2;3; 1,
d  16; 8; 7 .
2. a   1; 2; 0,
b  2; 4; 2,
c   3;1; 3,
d   8; 0; - 4.
3. a  0; 1; 2,
b  3; - 1; - 5,
c  2; 1; - 1,
d   1; 9; 15.
4. a  1; 2; 3,
b  0; 5; - 2 ,
c  3; - 2; - 8,
d   3; 17; 2 .
5. a  3; 0; 7 ,
b   1; 4; - 3,
c   2;  1; 2,
d  7; 2; 3.
6. a  2; - 3; 4,
b  3; 2; 3,
c  1;  1; 2,
d  1; - 14; 8.
7. a   3; 2; - 1, b   1; 4; 2,
c  3; 2; 0,
d  14; 0; - 4.
8. a  2; 3; 0,
b  1; - 1; 1,
c  1;  5; 2 ,
d  3; 5; 1.
9. a  3; 0; 1,
b   2; 3; 2 ,
c   8;  2; 3,
d   9; 15; 5.
10. a  2; 1; 3,
b  1; - 4; 0,
c   2; 3; 7,
d   6; 1; 1.
Задание № 3
Найти матрицу, обратную матрице А. Проверить результат, вычислив произведение
данной и полученной матриц.
4 
 6 7 3
 2 3




1. A   3 1 0  .
3. A   3  1  3  .
 2 2 1
 1 2
2 



5 
 3 3 1
9 9




2. A   4  1  2  .
4. A   7 6 2  .
 7 9 2
14 13 7 




 9 7 3


5. A  14 9 4  .
 0 3 2


 6 5 2


6. A  11 9 2  .
 4 5 2


12 6 1 


7. A  19 16 7  .
 0 1 1


 4 3 2


8. A   4 5 2  .
 3 2 3


 6 9 4


9. A    1  1 1  .
 10 16 7 


1 1 1


10. A   3 4 3  .
 9 8 5


Задание № 4
Дана система линейных уравнений.
a11 x1  a12 x 2  a13 x3  b1

a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3  b2
a x  a x  a x  b
32 2
33 3
3
 31 1
Доказать ее совместность и решить тремя способами:
1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) правилом Крамера.
 x1  2 x 2  3x3  6
3x1  2 x2  x3  5


1. 2 x1  3x2  x3  1
6. 2 x1  3x2  4 x3  20
3x  2 x  x  6
2 x  x  3x  11
2
3
2
3
 1
 1
4 x1  3x2  2 x3  9
 x1  x2  2 x3  1


2. 2 x1  5 x2  x3  4
7. 2 x1  x2  2 x3  4
5 x  6 x  2 x  18
4 x  x  4 x  2
2
3
2
3
 1
 1
2 x1  x2  x3  4
3x1  4 x2  2 x3  8


3. 3x1  4 x2  2 x3  11
8. 2 x1  x2  3x3  4
3x  2 x  4 x  11
x  5x  x  0
2
3
2
3
 1
 1
 x1  x 2  x3  1
 x1  4 x 2  2 x3  3


4. 8 x1  3x 2  6 x3  2
9. 3x1  x 2  x3  5
4 x  x  3 x  3
3x  5 x  6 x  9
2
3
2
3
 1
 1
 31
 x1  2 x 2  4 x3  31
7 x1  5 x 2


5. 5 x1  x 2  2 x3  20
10. 4 x1
 11x3  43
3x  x  x  9
2 x  3x  4 x  20
2
3
2
3
 1
 1
Задание № 5
Найти общее решение для каждой из данных систем и проанализировать его структуру (
указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность
пространства, выделить частное решение неоднородной системы).
3x1  x2  4 x3  2 x4  x5  0
 x1  2 x 2  2 x3  3x 4  4


1. 2 x1  2 x2  3x3  7 x 4  2 x5  0
2. 2 x1  5 x 2  x3  4 x 4  9
 x  11x  34 x  5 x  0
 x  3x  x  x  5
2
4
5
2
3
4
 1
 1
7 x1  2 x2  x3  2 x4  2 x5  0

3.  x1  3x2  x3  x4  x5  0
2 x  3x  2 x  x  x  0
2
3
4
5
 1
 x1  4 x 2  2 x3  3x5  5

4. 2 x1  7 x2  4 x3  x 4  9
 x  3x  2 x  x  3x  4
2
3
4
5
 1
6 x1  9 x2  21x3  3x 4  12 x5  0

7.  4 x1  6 x2  14 x3  2 x 4  8 x5  0
2 x  3x  7 x  x  4 x  0
2
3
4
5
 1
 x1  5 x2  3x3  4 x4  4

8. 2 x1  9 x2  2 x3  x5  7
x  4x  x  4x  x  3
2
3
4
5
 1
 x1  x2  10 x3  x4  x5  0

5. 5 x1  x2  8 x3  2 x4  2 x5  0
3x  3x  12 x  4 x  4 x  0
2
3
4
5
 1
 x1  2 x 2  3x3  4 x 4  1

6. 3x1  7 x 2  2 x3  x 4  4
2 x  5 x  x  3x  3
2
3
4
 1
2 x1  x 2  2 x3  x 4  x5  0

9.  x1  10 x 2  3x3  2 x 4  x5  0
4 x  19 x  4 x  5 x  x  0
2
3
4
5
 1
 x1  3x2  x3  2 x4  1

10. 2 x1  7 x2  4 x3  3x4  3
 x  4 x  3x  x  0
2
3
4
 1