Теория обобщенных функций - Учебно

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по учебной работе
_______________________ /Л.М. Волосникова/
__________ _____________ 2011 г.
Теория обобщенных функций
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа
для студентов направления 010200.62 Математика
и компьютерные науки.
Профиль подготовки «Математический анализ и приложения».
Форма обучения очная
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы____________________________/С.Д.
« 6 »апреля 2011г.
Шалагинов./
Рассмотрено на заседании кафедры математического анализа и теории функций 12.04.2011г.
протокол №8. Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 13 стр.
И.О. зав. кафедрой ______________________________/А.Г. Хохлов./
«______»___________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК Института математики, естественных наук и
информационных технологий 18.04.2011, протокол №1
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК ________________________/И.Н. Глухих/
«______»_____________2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ_____________/С.А. Федорова/
«______»_____________2011 г.
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных
технологий
Кафедра математического анализа и теории функций
Шалагинов С.Д.
ТЕОРИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа
для студентов направления 010200.62 Математика
и компьютерные науки.
Профиль подготовки «Математический анализ и приложения».
Форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2011
Шалагинов С.Д. Теория обобщенных функций. Учебнометодический комплекс.Рабочая программа для студентов направления
010200.62 Математика и компьютерные науки.Профиль подготовки
«Математический анализ и приложения».Форма обучения очная,
Тюмень, 2011, 13 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями
ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и
профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
Теория обобщенных функций [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и
теории функций. Утверждено проректором по учебной работе
Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: А.Г. Хохлов, заведующий кафедрой
математического анализа и теории функций, к.ф.-м.н., доцент.
© Тюменский государственный университет, 2010.
© Шалагинов С.Д., 2011.
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Целями освоения дисциплины «Теория обобщенных функций» являются:
1) специальная подготовка в области теории обобщенных функций;
2) овладение аналитическими методами теории обобщенных функций;
3) овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего
использования в научных исследованиях и приложениях.
Задачами освоения дисциплины «Теория обобщенных функций» являются:
1) Обеспечение усвоения студентами данной дисциплины;
2) создание базы для изучения завершающих разделов курса и специальных
дисциплин;
3) формирование способностей будущих специалистов-математиков к ведению
исследовательской работы и решению практических задач.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Для успешного усвоения дисциплины «Теория обобщенных функций» студент
обязан свободно владеть методами математического анализа, линейной алгебры,
теорией функций комплексного переменного, теорией меры и интеграла Лебега и
особенно методами функционального анализа.
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать
следующими общекультурными компетенциями (ОК):
должен демонстрировать:
исследовательские навыки (ОК 6);
способность адаптироваться к новым ситуациям (ОК 8);
способность понимать сущность и значение информации в развитии современного
информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом
процессе; соблюдение основных требований информационной безопасности, в том
числе защиты государственной тайны (ОК 11);
владение основными методами, способами и средствами получения, хранения,
переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством
управления информацией (ОК 12);
базовые знания в различных областях (ОК 13);
способность к анализу и синтезу (ОК 14);
Выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями
(ПК):
должен демонстрировать:
умение понять поставленную задачу (ПК 2);
умение формулировать результат (ПК 3);
умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК 6);
умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК 7);
умение ориентироваться в постановках задач (ПК 8);
знание корректных постановок классических задач (ПК 9);
понимание корректности постановок задач (ПК 10);
понимание того, что фундаментальное математическое знание является основой
компьютерных наук (ПК 12);
способность передавать результат проведенных физико-математических и
прикладных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженных в
терминах предметной области изучавшегося явления (ПК 15);
умение извлекать полезную научно-техническую информацию из электронных
библиотек, реферативных журналов, сети Интернет (ПК 17);
знание математических основ информатики как науки (ПК 19);
знание проблемы современной информатики, ее категории и связи с другими
научными дисциплинами (ПК 20);
знание содержания, основных этапов и тенденции развития программирования,
математического обеспечения и информационных технологий (ПК 21);
знание принципов обеспечения условий безопасности жизнедеятельности при
эксплуатации аппаратуры и систем различного назначения (ПК 22);
знание направления развития компьютеров с традиционной (нетрадиционной)
архитектурой; тенденции развития функций и архитектур проблемноориентированных программных систем и комплексов (ПК 25);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать: основные понятия, определения и свойства объектов теории
обобщенных функций, формулировки и доказательства утверждений, методы их
доказательства, возможные сферы их приложений в других областях
математического знания.
 Уметь: оперировать с обобщенными функциями во всех формах;
дифференцировать, интегрировать и находить прямые произведения и свертки
обобщенных функций; выполнять преобразования Фурье и Лапласа обобщенных
функций.
 Владеть: теоретическими и практическими навыками применения методов
теории обобщенных функций в научно-исследовательской и прикладной
деятельности.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 8. Форма промежуточной аттестации экзамен. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 3 зачетных единиц 108 часов.
3. Тематический план.
Таблица 1
Модуль 1
5
6
7
Из них в
интерактивной
форме
4
Итого часов по
теме
3
Самостоятельная
работа*
2
Семинарские
(практические)
занятия*
1
Тема
недели семестра
№
Лекции*
Тематический план
8
Итого
количество
баллов
9
1.
2.
3.
4.
1.
2.
1.
2.
Основные функции
Обобщенные функции
Дифференцирование
обобщенных функций
Прямое произведение
обобщенных функций
Всего
Модуль 2
Свертка обобщенных
функций
Обобщенные функции
медленного роста
Всего
Модуль 3
Преобразование Фурье
обобщенных функций
Преобразование
Лапласа обобщенных
функций
Всего
Итого (часов, баллов):
Из них часов в
интерактивной
форме
1
2-3
4
0
4
4
2
4
2
1
4
3
3
12
9
1
0-6
0-9
0-6
5-6
4
4
4
12
1
0-9
12
12
12
36
2
0-30
7-9
6
6
6
18
1
0-15
1012
6
6
6
18
1
0-15
12
12
12
36
2
0-30
6
6
6
18
6
6
6
18
1
0-20
12
36
0
12
36
5
12
36
36
108
1
5
0-40
0-100
1315
1618
0-20
Таблица 2
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
коллоквиумы
Модуль 1
1. Основные функции
2. Обобщенные
функции
3.
Дифференцирование
обобщенных функций
4. Прямое
произведение
письменные работы
Итого количество баллов
контрольная
работа
устный опрос
№ темы
0-6
0-9
0-6
0-9
0-6
0-6
0-9
0-9
обобщенных функций
Всего
Модуль 2
1. Свертка
обобщенных функций
2. Обобщенные
функции медленного
роста
Всего
Модуль 3
1. Преобразование
Фурье обобщенных
функций
2. Преобразование
Лапласа обобщенных
функций
Всего
Итого
-
0-30
0-30
0-5
0-5
0-15
0-10
0-25
0-15
0-15
0-30
0-10
0-10
0-20
0-10
0-10
0-20
0-20
0-35
0-20
0-65
0-40
0-100
Таблица 3
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Основные функции
1.2
Обобщенные функции
1.3
Дифференцирование
обобщенных функций
1.4
Прямое
произведение
обобщенных функций
Всего по модулю 1:
Модуль 2
Виды СРС
обязательные
дополнительн
ые
Работа
с
лекционным
материалом,подгото
вка к контрольной
работе.
работа
с
лекционным
материалом,подгото
вка к контрольной
работе.
работа
с
литературой,
источниками,подгот
овка к контрольной
работе.
работа
с
лекционным
материалом,
литературой,подгот
овка к контрольной
работе.
опытное
моделирование
опытное
моделирование
Неделя
семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
1
4
0-6
2-3
8
0-9
4
4
0-6
5-6
8
0-9
6
24
0-30
2.1
Свертка
функций
обобщенных
2.2
Обобщенные функции
медленного роста
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Преобразование Фурье
обобщенных функций
3.2
Преобразование Лапласа
обобщенных функций
работа
с
лекционным
материалом,
литературой,подгот
овка к контрольной
работе.
работа
с
лекционным
материалом,
литературой,
подготовка
к
контрольной работе
и коллоквиуму.
работа
с
лекционным
материалом,
литературой,
подготовка
к
контрольной работе
и коллоквиуму.
работа
с
лекционным
материалом,
литературой,
подготовка
к
контрольной работе
и коллоквиуму.
7-9
12
0-15
10-12
12
0-15
6
24
0-30
13-15
12
0-20
16-18
12
0-20
24
72
0-40
0-100
Всего по модулю 3:
6
ИТОГО:
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
Наименование
обеспечиваемых
дисциплин
Функциональный
анализ
Уравнения с частными
производными
5. Содержание дисциплины
Модуль 1
1.1 Основные функции
1.2
1.3
1.4
2.2
3.1
3.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Введение. Множества в пространстве
p
 .
C G
R
n
. Классы функций
Пространство непрерывных функций
основных функций
C T .
C
p
G 
и
Пространство
D.
1.2 Обобщенные функции
Пространство обобщенных функций
D . Полнота пространства обобщенных
функций D . Носитель обобщенной функции. Регулярные обобщенные
функции. Сингулярные обобщенные функции. Линейная замена переменных
в обобщенных функциях. Умножение обобщенных функций.
1.3 Дифференцирование обобщенных функций
Производные обобщенной функции. Свойства обобщенных производных.
Первообразная обобщенной функции. Примеры.
1.4 Прямое произведение обобщенных функций
Определение
прямого
произведения.
Коммутативность
произведения. Другие свойства прямого произведения.
прямого
Модуль 2
2.1 Свертка обобщенных функций
Свертка обобщенных функций. Свойства свертки. Существование свертки.
Примеры сверток.
2.2 Обобщенные функции медленного роста
Пространство основных функций. Пространство обобщенных функций
медленного роста. Структура обобщенных функций с точечным носителем.
Прямое произведение обобщенных функций медленного роста. Свертка
обобщенных функций медленного роста.
Модуль 3
3.1 Преобразование Фурье обобщенных функций
Преобразование Фурье основных функций. Преобразование Фурье
обобщенных функций. Свойства преобразования Фурье. Преобразование
Фурье обобщенных функций с компактным носителем. Преобразование
Фурье свертки. Примеры.
3.2 Преобразование Лапласа обобщенных функций
Преобразование Лапласа локально интегрируемых функций. Преобразование
Лапласа обобщенных функций. Свойства преобразования Лапласа. Обратное
Преобразование Лапласа. Примеры и применения.
6. Планы семинарских занятий
Модуль 1
1.1 Основные функции
Введение. Множества в пространстве
p
 .
C G
R
n
. Классы функций
Пространство непрерывных функций
основных функций
C T .
C
p
G 
и
Пространство
D.
1.2 Обобщенные функции
Пространство обобщенных функций
D . Полнота пространства обобщенных
функций D . Носитель обобщенной функции. Регулярные обобщенные
функции. Сингулярные обобщенные функции. Линейная замена переменных
в обобщенных функциях. Умножение обобщенных функций.
1.3 Дифференцирование обобщенных функций
Производные обобщенной функции. Свойства обобщенных производных.
Первообразная обобщенной функции. Примеры.
1.4 Прямое произведение обобщенных функций
Определение
прямого
произведения.
Коммутативность
произведения. Другие свойства прямого произведения.
прямого
Модуль 2
2.1 Свертка обобщенных функций
Свертка обобщенных функций. Свойства свертки. Существование свертки.
Примеры сверток.
2.2 Обобщенные функции медленного роста
Пространство основных функций. Пространство обобщенных функций
медленного роста. Структура обобщенных функций с точечным носителем.
Прямое произведение обобщенных функций медленного роста. Свертка
обобщенных функций медленного роста.
Модуль 3
3.1 Преобразование Фурье обобщенных функций
Преобразование Фурье основных функций. Преобразование Фурье
обобщенных функций. Свойства преобразования Фурье. Преобразование
Фурье обобщенных функций с компактным носителем. Преобразование
Фурье свертки. Примеры.
3.2 Преобразование Лапласа обобщенных функций
Преобразование Лапласа локально интегрируемых функций. Преобразование
Лапласа обобщенных функций. Свойства преобразования Лапласа. Обратное
преобразование Лапласа. Примеры и применения.
7. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Самостоятельная работа студента играет очень большую роль в
получении им высшего образования, отражаясь напрямую на качестве подготовки
будущего специалиста. Именно эта часть работы развивает навыки
самообразования, навыки самостоятельной работы в разных жизненных аспектах,
стремление к саморазвитию и познанию.
Закрепляя пройденный материал, в дополнение к конспектам
лекционных и практических занятий рекомендуется использовать литературу и
другие источники, примерный перечень которых имеется в разделе 11. Время,
систематичность, прилежность при подготовке к учебным занятиям и контрольным
мероприятиям различного характера напрямую влияют на достижения и успехи
студента, которые в дальнейшем при контроле знаний количественно выражаются
в баллах и отметках.
Самостоятельная работа студентов организуется в двух формах:
- аудиторной – на лекционных и практических занятиях при решении
поставленных индивидуальных задач;
- внеаудиторной – проработка лекций, изучение рекомендованной
литературы; контрольным работам, коллоквиуму.
Вопросы к коллоквиуму
D.
2. Пространство обобщенных функций D .
1. Пространство основных функций
3. Полнота пространства обобщенных функций D .
4. Регулярные обобщенные функции.
5. Сингулярные обобщенные функции.
6. Линейная замена переменных в обобщенных функциях.
7. Умножение обобщенных функций.
8. Производные обобщенной функции. Примеры.
9. Первообразная обобщенной функции. Примеры.
10. Прямое произведение обобщенных функций и его свойства.
11. Свертка обобщенных функций и ее свойства.
12. Существование свертки обобщенных функций.
13. Обобщенные функции медленного роста.
14. Прямое произведение обобщенных функций медленного роста.
15. Свертка обобщенных функций медленного роста.
16. Преобразование Фурье основных функций.
17. Преобразование Фурье обобщенных функций.
18. Преобразование Фурье обобщенных функций с компактным носителем.
19. Преобразование Фурье свертки. Примеры.
20. Преобразование Лапласа локально интегрируемых функций.
21. Преобразование Лапласа обобщенных функций.
22. Свойства преобразования Лапласа.
23. Обратное преобразование Лапласа.
24. Примеры преобразования Лапласа.
25. Применения преобразования Лапласа.
Контрольная работа
1. Вычислить предел в
f  x   sin
1
x
2. Вычислить в
3. Вычислить
x
 
1
D R
при
  0 функции
.

1
2
D R   x     x x
 
 x sign x  .
4. Вычислить преобразование Фурье функции
x.
Зачетные и дополнительные задачи
Вопросы к зачету
D.
2. Пространство обобщенных функций D .
1. Пространство основных функций
3. Полнота пространства обобщенных функций D .
4. Регулярные обобщенные функции.
5. Сингулярные обобщенные функции.
6. Линейная замена переменных в обобщенных функциях.
7. Умножение обобщенных функций.
8. Производные обобщенной функции. Примеры.
9. Первообразная обобщенной функции. Примеры.
10. Прямое произведение обобщенных функций и его свойства.
11. Свертка обобщенных функций и ее свойства.
12. Существование свертки обобщенных функций.
13. Обобщенные функции медленного роста.
14. Прямое произведение обобщенных функций медленного роста.
15. Свертка обобщенных функций медленного роста.
16. Преобразование Фурье основных функций.
17. Преобразование Фурье обобщенных функций.
18. Преобразование Фурье обобщенных функций с компактным носителем.
19. Преобразование Фурье свертки. Примеры.
20. Преобразование Лапласа локально интегрируемых функций.
21. Преобразование Лапласа обобщенных функций.
22. Свойства преобразования Лапласа.
23. Обратное преобразование Лапласа.
24. Примеры преобразования Лапласа.
25. Применения преобразования Лапласа.
8. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с
методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для
достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных
компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и
раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического
материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим
положениям сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам
математики, а также экономике, физике, программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и
групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре;
взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется
активный диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие
слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих
приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров
применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим
ситуациям.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
9.1. Основная литература:
1. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – М.:
Наука, 1979.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1988.
3. Сборник задач по уравнениям математической физики. – Под ред.
Владимирова В.С. М.: Наука, 1974.
9.2. Дополнительная литература:
4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.:
Наука, 1984.
10. Технические
средства
дисциплины (модуля).
и
материально-техническое
обеспечение
В организации учебного процесса необходимыми являются средства,
обеспечивающие
аудиовизуальное
восприятие
учебного
материала
(специализированное демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),

компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля
знаний и др.)