1 УДК 539.3 Вовк Л.П., Турчина Н.А. ДВУМЕРНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГИХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ Работа посвящена обобщению метода И.Н. Векуа на упругие оболочки переменной толщины и формулировке двумерной краевой задачи, описывающей колебания упругих оболочек и пластин переменной толщины в общем случае механического нагружения. Актуальность предъявляемых данной к проблематики современным связана с возрастанием конструкциям прочностных требований и расширяющимся внедрением в различных областях техники пластин и оболочек переменной толщины. Использование в деталях машин и элементах сооружений новых композиционных материалов приводит к необходимости построения уточненных математических моделей анизотропных оболочек сложной внутренней структуры. Проблемам сведения трехмерных краевых задач теории оболочек к двумерным посвящено большое количество научных публикаций. В этом направлении выделяются работы, связанные с разложением искомых величин в ряды по ортогональным системам функций, зависящих от толщинной координаты. Подробные обзоры работ, связанных с этим способом приведения, представлены, например, в [3]. Большое распространение в теории упругих оболочек и пластин получил метод разложения неизвестных функций в ряды по полиномам Лежандра [1,2], что позволяет отказаться от упрощающих гипотез типа гипотезы прямой нормали и построить двумерные теории упругих оболочек произвольного порядка. Анализ научных публикаций, посвященных данной тематике, позволяет утверждать, что недостаточно исследованы вопросы применения указанной методики на оболочки переменной толщины. Открытыми остаются 2 вопросы учета анизотропии и неоднородности материала оболочек и пластин. В данной работе методом И.Н. Векуа трехмерные уравнения анизотропных оболочек переменной толщины сведены к двумерным. Приведены уравнения различных приближений, характеризующиеся различным числом удерживаемых членов разложений механических характеристик в ряды по полиномам Лежандра. Как частные случаи получены уравнения теории оболочек и пластин типа Тимошенко и Кирхгофа-Лява. 1. Формулировка вариационного принципа и построение двумерного функционала для упругих оболочек. Пусть в трехмерном пространстве R задана гладкая поверхность , ограниченная контуром Г. Обозначим через V трехмерную область, заметаемую векторами hB n, hH n, где n – вектор единичной нормали к . Упругой оболочкой с толщиной 2h hB hH назовём упругое тело, занимающее в недеформированном состоянии область V. Введём в области V криволинейную систему координат 1 , 2 , 3 по формулам [5] xi ri ( ) 3 ni , где xi декартовы координаты в R; xi ri ( ) уравнения поверхности . Координаты , 3 изменяются в цилиндре высоты 2h hВ hН ; hВ 3 hН , . Предполагается, что координатные линии const представляют собой линии главных кривизн поверхности . Везде в дальнейшем считаем, если это не оговорено заранее, что малые латинские индексы пробегают значения 1,2,3, а малые греческие индексы – значения 1,2. В общем случае считаем, что hB hB (1 , 2 ), hH hH (1 , 2 ) – непрерывные функции двух аргументов, 3 имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно. Будем считать, что на цилиндрической поверхности F = Г [hH , hB ] , образующие которой перпендикулярны поверхности и проходят через контур Г, заданы вектор перемещений U на FU и вектор напряжений l на F (F FU = F). На лицевых поверхностях SB ( 3 hB (1 , 2 ) ) и SH ( 3 hH (1 , 2 ) ) заданы усилия B и H . Вариационное уравнение теории упругости эквивалентно условию экстремальности по перемещениям U i [7,8] следующего функционала I [ H (U ) U ]dV l U dF V F Здесь H (U ) – B U B dS B –– SB H U H dS H (1) SH внутренняя энергия, U B ,U H – значения вектора перемещений на поверхностях SB, SH; – вектор объемных сил. Функционал (1) в качестве функциональных аргументов содержит: компоненты вектора перемещений Ui , тензора механических напряжений ij , тензора деформаций S ij . Как известно [9], вариационное уравнение I 0 (2) содержит в качестве уравнений Эйлера уравнения теории упругости, а в качестве естественных (эйлеровых) граничных условий – силовые условия на границе тела. Действительно, используя соотношения ij 1 H , S ij ( gradU ( gradU ) T ) , 2 S ij приведем уравнение (2) к следующему виду I [( div ) U ]dV [( 1 nF ) U ]dF F V [( B nB ) U ]dS [( H nH ) U ]dS 0 SB Sн (3) (4) 4 Здесь nF , nB , nН – векторы единичных нормалей к поверхностям F, SB и SH соответственно. Так как вариации U i произвольны внутри объёма V, то из (4) получим уравнения движения упругой среды 1 ( H 2 11 ) 22 13 H 2 H 2 H 1 ( H 1 12 ) 12 ( H 1 H 2 13 ) 1 2 2 3 H 1 H 1 H 2 1 0; 3 (12) 3 ( H 1 H 2 33 ) 11 H 2 (5) H 1 H 2 22 H 1 ( H 2 13 ) ( H 1 13 ) H 1 H 2 3 0 3 3 1 2 Здесь H коэффициенты Ламе, а символ ( 1 2 ) означает, что второе уравнение получается из первого циклической заменой индексов 1 и 2. На поверхности F вариация U произвольна. На поверхностях SB и SH: а) либо U произвольно, а B nB 0, H nH 0, (6) б) либо вектор U заранее задан, тогда U 0 . Предполагая процесс деформирования адиабатическим и, не учитывая оболочки незначительные в области акустических колебаний магнитные эффекты, запишем уравнения состояния для материала оболочки в виде [4] E ij Сijls S ls , (7) E где Сijls упругие постоянные материала. Считаем также, что выполняются следующие соотношения симметрии E E E , а коэффициенты в уравнениях (7) могут зависеть Сijls Сijsl С Ejils Сlsij от координат 1 , 2 . Таким образом, полную систему уравнений равновесия упругой среды можно представить равенствами (5), (3) и (7). Краевую задачу, описывающую механические процессы в объёме 5 V, получим, если присоединим к этим равенствам граничные условия (6). Для построения двумерного функционала теории упругих оболочек применим метод 1,2. И.Н.Векуа Предположив равномерную сходимость рядов разложений перемещений U i и их производных по полиномам Лежандра от нормальной к координатной поверхности оболочки координаты, трехмерный функционал (1) можно свести к двумерному. При этом точность получаемых решений будет зависеть от числа удерживаемых слагаемых в разложениях искомых функций. Представим компоненты вектора перемещений U j ( , 3 ) в виде N U j ( , 3 ) (k 1 2 )h k Pk ( )u (jk ) ( ) , (8) k 0 где ( 3 h) / h, Pk ( ) полиномы Лежандра, 2 h hB hH , u (k ) j h k 1 hB U j ( , 3 ) Pk ( )d 3 , (9) hH Оставаясь в рамках геометрически линейной теории, выпишем зависимости компонентов тензора деформации S ij от компонентов вектора перемещений [5] k1U 3 , U 1 U 2 A2 U 2 U 1 A2 1 1 , S12 A2 (1 k 2 3 ) 2 A1 1 A1 (1 k1 3 ) 1 A2 1 U 3 U 1 U 3 1 S13 k1 A1U 1 , S 33 . A1 (1 k1 3 ) 1 3 3 S11 U 1 U2 A1 1 A1 (1 k 2 3 ) 1 A2 (1 k 2 3 ) 2 (10) Здесь A , k коэффициенты первой квадратичной формы и главные кривизны поверхности , а выражения для S 22 , S 23 можно 6 получить заменой в выражениях S11 , S13 соответственно индекса 1 на 2 и наоборот. Подставляя разложения (8) в выражения (10) и используя основное предположение метода И.Н.Векуа [1,2] 1 k 3 1 , (11) после интегрирования по 3 сводим функционал (1) к виду (k ) u 2( k ) A1 1 N ( k ) 1 u1 "( k ) ( k ) h h 1 I (k 2 ) { 11 ( k1u 3( k ) ) 11 u1 11'( k ) u1( k ) 2 k 0 A1 1 A1` A2 2 A1 1 (k ) (k ) u ( k ) A2 1 h h h ( k ) 1 u 2 "( k ) ( k ) h '( k ) u 2 + 22 ( 1 k 2 u3( k ) ) - 22 u2 22 A1 1 A2 2 A1 A2 1 A2 2 A2 2 A1 u1( k ) A u 2( k ) h h h h "( k ) ( ) 2 ( )] 12 (u1(`k ) u 2( k ) ) A2 2 A1 A1 1 A2 A1 2 A2 1 + 33( k ) u 3( k ) 12( k ) [ – '( k ) 12 2 u (k ) h u ( k ) h u 2( k ) h 1 u 3( k ) ( 1 ) [ ( k3) ( k u( k ) ) '(3k ) (u( k ) 3 ) A1 2 A2 1 A A1 1 – "(3k ) u3( k ) h h A N 3 2 [ (mk ) u m( k ) h k (u m( k ) ( mB (1) k mH )]} A1 A2 d1d 2 (12) m 1 3 - (k 1 2) [ u m( k ) ((lk,) ) ]dF k 0 F m 1 m Здесь mB , mH составляющие векторов B , H по осям m , ((lk,) ) заданные на F значения моментов компонент вектора l , m ij'( k ) (2k 1) ij( k 1) (2k 5)h 2 ij( k 3) ..., ij"( k ) (2k 3) ij( k 2) (2k 7)h 2 ij( k 4) ... f (k ) hB f ( , 3 ) Pk ( )d 3 . (13) hH Следует отметить, что предположение (11) сужает класс рассматриваемых оболочек. Всё сказанное ниже будет относиться либо к достаточно тонким, либо к пологим оболочкам. Приравнивая нулю первую вариацию функционала (12), находим систему уравнений, описывающих деформационные процессы в упругих оболочках 7 A2 11( k ) A1 12( k ) A2 ( k ) A1 ( k ) h "( k ) 22 12 A1 A2 (k1 13( k ) 13'( k ) ) A2 h( 11 1 2 1 2 1 h "( k ) h '( k ) h '( k ) 12 ) A2 ( 11 12 ) A1 A2 X 1( k ) 0; 2 1 2 (14) (1 2); (k ) A2 13( k ) A1 23 h "( k ) h "( k ) (k ) '( k ) A1 A2 (k1 11( k ) k 2 22 33 ) A2 h 13 A1h 23 1 2 1 2 h '( k ) h '( k ) A2 13 A1 23 A1 A2 X 3( k ) 0 1 2 и естественные граничные условия на боковой поверхности F 2 1 (k ) j cos(l , ) ((lk,) j ) (15) где X i( k ) i( k ) h k ( iB (1) k iH ), X 4( k ) qV( k ) h k (q B (1) k q H ), l внешняя нормаль к контуру Г. В случае, когда рассматриваются механические колебания оболочки, объёмный интеграл в (1) надо изменить, включив в него кинетическую энергию со знаком минус 2 2 2 1 U 1 U 2 U 3 . Здесь массовая плотность, t время. 2 t t t Тогда с помощью аналогичных преобразований приходим к системе уравнений вида (14), причем в правых частях уравнений для каждого k вместо A1 A2 h 2 k 1 нулей 2 u1( k ) , t 2 Далее будут A1 A2 h будет 2 k 1 стоять 2 u 2( k ) , t 2 соответственно A1 A2 h 2 k 1 рассматриваться выражения 2 u 3( k ) . t 2 только динамическое деформирование оболочки. Переходя в формулах (7) к моментам напряжений и перемещений, перепишем уравнения состояния в виде E ij( k ) h 2k 1Сijls S ls( k ) (16) Здесь S (k ) 11 1 u1( k ) u 2( k ) A1 h h '( k ) 1 h "( k ) k1u3( k ) u1 u1 , A1 1 A1 A2 2 A1 1 A1 1 8 (k ) 13 1 u3( k ) 1 h '( k ) h "( k ) (k ) u 3"( k ) , k1u1( k ) u1"( k ) (h u3 u3 ), S 33 A1 1 A1 1 1 (k ) 12 A u1( k ) A u 2( k ) 1 h '( k ) h "( k ) 1 h h "( k ) 1 ( ) 2 ( ) (h u1 u1 ) (h u 2 ). A2 2 A1 A1 1 A2 A2 2 2 A1 1 1 S (17) S Внося значения (16) и (17) в уравнения (14), получим для каждого значения k систему трёх уравнений относительно моментов компонент вектора перемещений u (kj ) 3 L m 1 (k ) sm m u где Lsm С1Es1m M s(k ) M (k ) s h 2 k 1 X 2 u s( k ) , k 0,1,2,...N , t 2 (k ) s (18) 1 2 1 2 1 2 E E E ( С С ) С , 1s 2 m 2 s1m 2s 2m A1 A2 1 2 A12 12 A22 22 (19) линейные дифференциальные выражения, содержащие искомые функции u (kj ) и их частные производные первого порядка по . Явный вид этих выражений будет выписан ниже при рассмотрении конкретных физических моделей. К системе уравнений (18) необходимо присоединить граничные условия, заданные на боковой поверхности оболочки, которые определяются равенствами (15), и начальные условия u (k ) j t 0 ( ), (k ) j1 u (jk ) t t 0 ( ), (k ) j2 (k ) j h k 1 hB ( , j 3 ) Pk ( )d 3 (20) hH Приведенные граничные и начальные условия совместно с уравнениями колебаний определяют начально-краевую задачу, описывающую упругие поля для общих случаев механического нагружения упругих оболочек. 2. Уравнения движения трансверсально-изотропных оболочек и пластин. Уравнения состояния (7) для трансверсально-изотропного материала оболочек имеют вид [4] 11 С11E S11 С12E S 22 С13E S 33 , 22 С11E S 22 С12E S11 С13E S 33 , 12 С 66E S12 , 9 3 С 44E S 3 , 33 С13E S11 S 22 С33E S 33 (21) При построении различных прикладных теорий возникают два вопроса. Первое – какое количество членов следует удерживать в разложениях (12), чтобы для данной толщины оболочки получить решение с достоверной степенью точности. Естественно, точность решения будет увеличиваться с ростом N, однако аналитический анализ получаемых краевых значений даже в случае оболочек постоянной толщины крайне затруднён ввиду их сложности. Поэтому при больших N целесообразно применять численные методы. Здесь ограничимся случаем N2, основываясь на том, что при решении большинства задач теории упругих оболочек и пластин упрощённые уравнения – уравнения теории оболочек типа Тимошенко [6], либо классической теории [5] описывают напряжённое состояние с большой степенью точности. Эта точность будет тем выше, чем меньше будут возникающие при деформировании оболочки нормальные напряжения и деформации. Второй вопрос – о том, сколько слагаемых учитывать в разложении каждой компоненты вектора перемещения для того, чтобы получить асимптотически непротиворечивые теории. В теории упругих оболочек Тимошенко и в классической теории учитываются только нулевой и первый моменты компонент U , 3 и нулевой момент компоненты U 3 , 3 . По аналогии с этим в работе [7] строится приближение теории анизотропных оболочек порядка N. Оно определятся следующим образом: в разложении нормальной компоненты перемещения выделяется n N 1 членов, а в разложениях тангенциальных компонент – n 1 N членов. Учитывая вышесказанное, построим приближённую теорию упругих оболочек, основываясь на следующих приближениях 10 U j , з , t k 1 2 h k u (jk ) , t Pk ( ), 1 (22) k 0 Учет функции u 3(1) позволяет исследовать влияние деформации (0) S33 3u3(1) на напряженное состояние оболочки. Этим предлагаемая теория отличается от теории оболочек типа Тимошенко, где предполагается недеформируемость нормального к координатной поверхности оболочки элемента. С учетом уравнений состояния (21) и гипотезы (22) приведем уравнения колебаний (18) к системе шести дифференциальных уравнений относительно функций u (j0) , u (j1) . Явный вид этой системы выпишем для частного случая плиты, симметричной по отношению к средней плоскости , у которой толщина зависит только от одной координаты h h1 . В этом случае h 0 , A1 A2 1 , k 2 0 . (0) ( 0) 2 u1( 0) 2 u1( 0) 2 u 2( 0) E E E E h u1 E h u 2 C h C 66 h (C12 C 66 )h C11 C12 1 2 1 1 1 2 12 22 E 11 u 3(1) 2 u1( 0) h (1) (0) 3C (h u 3 ) X 1 h ; 1 1 t 2 E 13 (23) 1 2 С h u E 11 3 (1) 3 С h u E 44 3 (0) 3 (1) 2 (1) u1( 0) u 2( 0) E 2 h u 3 E (1) (1) 3 u3 С h( ) 3С 44 h 3С33 hu 3 X 3 h , 1 2 1 1 t 2 E 13 2 u 3( 0) u1(1) u 2(1) h u 3( 0) ( 0) E E h (1) , С 3С 44 h( ) 3С 44 u1 X 3 h 1 1 1 2 1 t 2 E 44 2 (1) 2 (1) ( 0) ( 0) 2 u1(1) E 3 u1 E E 3 u2 2 h E u1 E u2 C h C66h (C12 C66 )h 3h [C11 C12 ] 12 22 1 2 1 1 2 E 3 11 2 (1) u3( 0) E (1) (1) 3 u1 С h 3С 44 hu1 X 1 h ; 1 t 2 E 44 (24) 1 2; В случае пластины задача разделяется на симметричную (23) и антисимметричную (24) по 3 задачи. Первая определяет функции u10 , u20 , u31 , вторая – функции u30 , u11 , u 21 . Аналогично разделяются 11 граничные и начальные условия. У симметричной задачи граничные условия задаются тремя величинами, взятыми по одной из трех пар (на контуре Г) l0, , u10 ; l0, , u20 l1, , u31 . У кососимметричной 1 2 3 задачи требуется задание трех величин на контуре Г, взятых по одной из трех пар l0, , u30 ; l1, , u11 ; l1, , u21 . 1 2 2 Выводы. Предлагаемая двумерная теория неоднородных упругих оболочек и пластин переменной толщины носит обобщенный характер и содержит в качестве частных случаев известные приближенные теории. Например, если в формулах (22) положить u31 0 , то получим уравнения первого приближения, как они названы в [7], записанные для трансверсально-изотропных оболочек. Из выведенных уравнений можно получить уравнения теории оболочек и пластин постоянной толщины типа Тимошенко. Для этого следует положить u31 0 , C44E и, следовательно, на основании (21) C13E 0 . После этого необходимо упростить формулы для ij( k ) k 0,1 . Уравнения классической теории оболочек, основанной на известных гипотезах Кирхгофа-Лява, получаются, если, кроме этого, принять равной бесконечности сдвиговую жесткость оболочки C44E 0 . С учетом этой гипотезы и ввиду того, что перерезывающие усилия принимают u1 1 3 A конечные значения, определяем углы поворота u 30 A k u0 и тем самым сводим число независимых функций в функционале (12) к трем u0 , u30 . В качестве перспектив дальнейших исследований можно предложить решение полученных краевых задач с целью учета локальных динамических эффектов, традиционных упрощающих гипотез. связанных с отказом от 12 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Векуа И.Н. Теория тонких пологих оболочек переменной 1. толщины // Тр. Тбилисского мат. ин-та. – Т. 30 – 1965. – 103 с. Векуа И.Н. Вариационные принципы построения теории 2. оболочек. –Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1970. – 55 с. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Решение задач и анализ 3. напряженно-деформированного состояния анизотропных неоднородных оболочек (обзор) // Прикладная механика. – 1997. – Т. 33. – № 11. – С. 3-37. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при 4. помощи тензоров и матриц. – М.: Мир, 1967. – 385 с. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - Л.: Судопромгиз, 5. 1951.– 431 с. Пелех Б.Л. Обобщенная теория оболочек. – Львов: Вища школа, 6. 1978. – 159 с. Пелех Б.Л., Сухорольский М.А. Контактные задачи теории 7. упругих анизотропных оболочек. – Киев: Наукова думка, 1980. – 216 с. 8. Семенюк Н.П. Об уравнениях геометрически нелинейной теории оболочек типа Тимошенко // Прикладная механика. – 1978. – Т. 14. – №2. – С. 128-132. 9. Mildlin R.D. High frequency vibrations of piezoelectric crystal plate. – Int. J. Solids and Struct., 1972, vol. 8, N 4, p. 895-906.