8 -

Ваш регистрационный номер 8 - (указывайте его в левом верхнем углу конверта).
Письма высылать по адресу: 603950, ГСП-20, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6,
комн. 504, ННГУ, мехмат, ЗМШ. Вместе с решенным заданием не забудьте выслать
конверт с заполненным на Ваше имя адресом. Сроки выполнения заданий: Задание 1декабрь; Задание 2 - январь; Задание 3 - февраль; Задание 4 – март; Задание 5 – апрель.
Телефоны для справок: 465-80-25;462-33-20 ( с 1100 до 1500 ).
Задания и решения смотрите на сайте: http//mmf.unn.ru (Математическая школа)
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 8-го КЛАССА
(2014-2015 учебный год)
Задание 1
1) Доказать, что ни при каком целом n число n 2  1 не делится на 3.
2) Не раскрывая скобок, представить в виде многочлена стандартного вида
произведение x  1x  3x  5.
3) Доказать, что для любого k, принадлежащего области действительных чисел, верно
1
 2.
неравенство k 2  1  2
k 1
4) Цена на товар была повышена на 25 %. На сколько процентов ее надо снизить, чтобы
получить первоначальную цену товара?
5) Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раза больше проведенной к ней
высоты. Найти острые углы треугольника.
Задание 2
1) Вкладчику на его сбережения через год сберкасса начислила 6 рублей процентных
денег. Добавив 44 рубля, вкладчик оставил денег еще на год. По истечении года вновь
было произведено начисление процентов, и теперь вклад вместе с процентами составил
257,5 рублей. Какая сумма была положена на сберкнижку первоначально и сколько
процентов начисляет сберкасса?
2) Построить график функции y  x  2  x  3 .
3) Решить уравнение x  a  x.
ab
a2  b2

.
2
2
5) Периметр треугольника, отсекаемого от параллелограмма диагональю, равен 25 см, а
периметр параллелограмма – 30 см. Найти диагонали.
Задание 3
4) Доказать неравенство
1) Используя шесть раз число 3 и знаки действий, получить число 6.
2) Выйдя со станции с опозданием в 20 мин, поезд покрыл перегон в 160 км со
скоростью, превышающей скорость по расписанию на 16 км/час и пришел к концу
перегона вовремя. Какова по расписанию скорость поезда на этом перегоне?
3) Найти все значения a, для которых разность корней уравнения 2 x 2  a  1x  a  3
равна 1.
4) Решить уравнение 14 x  2 x 2  x  7 .
5) Найти расстояние между пунктами А и В, разделенными препятствиями.
A
B
Задание 4
1) Дана функция f x   x 2  x  7. Найти c, если f c  1  f c  1.
2) Упростить выражение x 2  6 x  9  2  x  x  3.
3) При каких значениях параметра a уравнение x a  x  a имеет корни меньше – 1?
24
15
 2
 2.
x  2x  8 x  2x  3
5) Найти углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого
угла, делит сторону ромба пополам.
4) Решить уравнение
2
Задание 5
1) Найти параболу y  ax 2  bx  c, которая пересекает ось абсцисс в точках x  3 и
x  5 , а ось oy в точке y  30.
2) Решить неравенство x  1  x 2  5 x  4 .
3) При каких значениях параметра m корни уравнения равны по модулю, но
противоположны по знаку.
4) Одному рабочему на изготовление деталей требуется на 12 часов больше, чем
другому. Если 25 % всех деталей сделает первый рабочий, а затем к нему
присоединится второй рабочий, то на изготовление деталей им понадобится 35 часов,
считая от момента начала работы первого рабочего. За сколько часов мог бы
изготовить все детали каждый рабочий, работая отдельно?
5) Доказать, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба его
гипотенузы.