10. Теория функций комплексного переменного

Ивановский государственный университет
Утверждаю
Декан физического факультета,
______________Е.В. Сметанин
«___»_______________2003 г.
Рабочая программа
учебной дисциплины «Теория функций комплексной переменной»
Специальность – 010400 (Физика), направление 510400 - Физика
Факультет – Физический
Курс – 2
Семестр – 3
Кафедра – Теоретическая физика, математическое и компьютерное моделирование
Общая трудоёмкость дисциплины – 100 час.
В том числе:
Лекции – 22 час.
Практические занятия – 32 час.
Самостоятельная работа – 46 час.
Рабочая программа принята на заседании кафедры
«___»________________2003 г.
Заведующий кафедрой __________________ (Е.В. Сметанин).
Рабочая программа курса
«Теория функций комплексной переменной»
I.
Объяснительная записка
В настоящем курсе излагаются основные понятия теории функций комплексной переменной. Понятие комплексного числа возникло в первую очередь
в результате потребностей автоматизации вычислений. Даже простейшие алгебраические операции над действительными числами выводят за пределы области
действительных чисел. Как известно, не всякое алгебраическое уравнений может быть разрешено в действительных числах. Тем самым надо или отказаться
от автоматического применения установленных методов решения и каждый раз
проводить подробное исследование возможности их применения, или расширить область действительных чисел с тем, чтобы основные алгебраические операции всегда были выполнимы. Таким расширением области действительных
чисел являются комплексные числа. Замечательным свойством комплексных
чисел является тот факт, что основные математические операции над комплексными числами не выводят из области комплексных чисел.
Введение комплексных чисел и функций комплексной переменной удобно также при интегрировании элементарных функций, при решении дифференциальных уравнений и т.д., где часто приходится входить в область комплексных чисел. Комплексная форма записи оказывается удобной и при математической формулировке многих физических положений (например, в электродинамике, в радиотехнике и т.д.).
Один из основных классов функций комплексной переменной – аналитические функции – находятся в тесной связи с решениями уравнения Лапласа, к
которому приводятся многие задачи физики. Поэтому методы теории функций
комплексной переменной находят весьма широкое и эффективное применение
при решении большого круга задач гидродинамики, аэродинамики, теории
упругости, электродинамики, квантовой теории поля и других естественных
наук.
Таким образом, указанный курс является одним из основных математических курсов изучаемых на физическом факультете. Студенты, прослушавшие
настоящий курс, должны овладеть основами теории функций комплексной переменной и методами теории функций комплексной переменной, которые применяются при решении прикладных задач.
II.
Содержание учебного материала
2.1.
Разделы курса:
Раздел 1. Функции комплексной переменной
Раздел 2. Интеграл Коши
Раздел 3. Ряды аналитических функций
Раздел 4. Теория вычетов
2.2.
Краткое содержание разделов (по темам):
1. Функции комплексной переменной.
Комплексные числа. Понятие функции комплексной переменной. Элементарные функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функции комплексной переменной. Аналитические функции. Условия Коши-Римана. Гармонические функции.
2. Интеграл Коши.
Интеграл по комплексной переменной. Теорема Коши. Формула Коши. Интеграл типа Коши. Теорема Морера и различные точки зрения на построение теории аналитических функций.
3. Ряды аналитических функций.
Теоремы Вейерштрасса. Степенные ряды. Теорема единственности аналитической функции. Понятие аналитического продолжения. Ряд Лорана. Изолированные особые точки аналитических функций.
4. Теория вычетов.
Вычет функции. Основная теорема о вычетах. Применение теории вычетов к
вычислению контурных и определённых интегралов.
III.
Тематическое планирование
№
п/п
Наименование разделов, тем
Всего часов
Аудиторные занятия
Лекции
Семинары
1.
Функции комплексной
переменной
Интеграл Коши
Ряды аналитических
функций
Теория вычетов
Итого
26
6
8
Самостоятельная
работа
12
26
26
6
6
8
8
12
12
22
100
4
22
8
32
10
46
2.
3.
4.
IV.
Формы промежуточного и итогового контроля
Экзамен.
V.
Учебно-методическое обеспечение
5.1.
Рекомендуемая литература (основная):
1. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
М.: Наука, 1984.
2. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории
функций комплексного переменного. М.: Наука, 1975.
Рекомендуемая литература (дополнительная):
5.2.
1. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. теория функций комплексной переменной.
М.: Наука, 1974.
2. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций
комплексного переменного. М.: Наука, 1976.
5.4.
Примерный перечень вопросов к экзамену:
БИЛЕТ № 1
1.
Выделить действительную и мнимую часть комплексного числа
(31/2+i)1-i.
2.
Проверить гармоничность функции u(x,y)=x2 –y2+xy в области
0|z|< и найти аналитическую функцию f(z) по данной
её действительной части u(x,y).
3.
Вычислить интеграл Int{Re(cos z)sin z}dz по контуру
l={z|Re z=/3,|Im z|1/2}.
4.
Вычислить интеграл Int|z|=1{sh2z/z3}dz.
5.
Найти вычеты функции 1/z(1-e2z) относительно каждого из её полюсов.
6.
Вычислить определённый интеграл Int02{1/(a+bcos x)2}dx, где a>b>0.
5.7.
Необходимый минимум для положительной оценки:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Элементарные функции комплексной переменной.
Аналитические функции. Условия Коши-Римана.
Интеграл по кривой в комплексной плоскости и его вычисление.
Теорема Коши. Интегральная формула Коши.
Ряд Лорана. Разложение функции в ряд Лорана.
Изолированные особые точки. Полюс функции.
Вычет функции. Вычисление вычета функции в полюсе.
Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов.
Вычисление определённых интегралов с помощью вычетов.
Автор (автор – составитель) программы _______________ Логинов Е.К.