Урок 21 - Licey

Интернет-курс “ПРОФИЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА”
(Латышев В.В.)
Урок 21
Линейные уравнения и системы линейных уравнений. Условие
разрешимости
Цель урока: напомнить основные положения теории линейных уравнений и систем
линейных уравнений, показать наиболее распространенные методы их решения и ввести
новый для школьников, но эффективный и сравнительно простой метод определителей.
Показать, как, не решая систему уравнений, определить, имеет ли она решение и
является ли оно единственным.
1. Линейные уравнения с одной переменной
Линейные уравнения наиболее простой тип уравнений, с которыми
приходится иметь дело школьникам и абитуриентам. Наиболее общий вид
f x    x 
где левая f  x  и правая   x  части представляют собой линейные функции,
т.е. функции, в которых неизвестная переменная входит в первой степени.
Следующие выражения дают представление о линейных уравнениях:
x 8
14 x  124 , 2 x  3  8x  4 , 23  x   5  2  3x ,
 3x  42  x  .
12
Не обязательно обе функции f  x ,   x  содержат неизвестную, но хотя бы в
одной из них она должна присутствовать.
Решить уравнение – значит, найти множество корней, обращающих
уравнение, в верное числовое равенство, или доказать, что их нет. Линейное
уравнение может иметь только один корень или вообще не иметь решения.
При решении любых уравнений, в том числе и линейных обычно
выполняют различные преобразования, которые обычно сводятся к переносу
одночленов, содержащих переменную, в одну часть уравнения и всех
остальных – в другую. При таких преобразованиях нельзя приобрести или
потерять корни уравнения. В связи с этим необходимо иметь представление о
таком понятии, как равносильность уравнений.
Два уравнения называются равносильными на данном числовом
множестве, если каждое решение (корень) одного уравнения является
решением (корнем) другого.
Заметим, что если оба уравнения не имеют решений на данном
множестве, то они также считаются равносильными. Для линейных
уравнений обе функции f  x ,   x  обычно определены на всей числовой
оси, следовательно, под упомянутым множеством подразумевается
множество действительных чисел (вся числовая ось).
Выполняя преобразования линейных уравнений, можно не заботится о
равносильности при переходе от одного уравнения к другому, если при этом
пользоваться следующими правилами.
- уравнение не нарушится, если к обеим его частям прибавить или
отнять одно и то же число;
- любое слагаемое можно переносить из одной части уравнения в
другую с противоположным знаком;
- уравнение не нарушится, если обе его части умножить или
разделить на одно и то же, отличное от нуля число.
Пример 1. Решить уравнение 23  x   5  2  3x .
Решение. Прежде всего, раскроем скобки в левой части
6  2 x  5  2  3x .
Перенесем слагаемое  3x в левую часть, а 6  5  11 в правую,
изменив при этом их знаки:
3x  2 x  2  11 или x  9 .
Ответ:  9 .
x 8
Пример 2. Решить уравнение
 3x  42  x  .
12
Решение. Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от
дробей:
x  8  36 x  482  x  .
Теперь раскроем скобки в правой части:
x  8  36 x  96  48 x .
Перенесем все слагаемые, содержащие неизвестную, в левую часть, а
все остальные соберем в правой части, изменив при этом знаки переносимых
одночленов:
x  36 x  48 x  96  8 или 13 x  104 .
Разделим теперь обе части уравнения на коэффициент при x , тем
104
самым найдем решение уравнения: x 
или x  8 .
13
Ответ: 8.
Пример 3. Решить уравнение 33  x   5  2  3x .
Решение. Раскроем скобки в левой части
9  3x  5  2  3x .
Перенесем слагаемое  3x в левую часть, а 9  5  14 в правую,
изменив при этом их знаки:
3x  3x  2  14 или 0  12 .
Последнее уравнение не содержит переменной и является неверным
числовым равенством, следовательно, заданное уравнение не имеет решения.
Ответ:  9 .
Заметим, что часто уравнение, не являющееся на первый взгляд
линейным, сводится к нему после выполнения простейших преобразований.
x5
x5
x  25
.
 2
 2
2
x  5 x 2 x  10 x 2 x  50
Решение. Раскроем скобки в левой части и разложим на сомножители
все знаменатели:
x5
x5
x  25


 0.
x  x  5 2 x  x  10  2 x x  5 x  5
После приведения к общему знаменателю получим:
x  15
 0.
2 xx  5x  5
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от
нуля. Это можно записать в виде следующей системы:
 x  15  0,

2 xx  5x  5  0.
Таким образом, мы пришли к линейному уравнению. Из него следует x  15 .
Подстановкой убеждаемся, что это число не обращает в нуль знаменатель,
следовательно, оно является корнем уравнения.
Ответ: 15.
Пример 4. Решить уравнение
2. Системы линейных уравнений
Если ставиться задача найти множество общих решений двух или
нескольких уравнений с двумя (или более) переменными, то говорят, что
надо решить систему уравнений.
Общий вид системы двух уравнений с двумя неизвестными x, y можно
записать так:
 f1  x, y   1  x, y ,

 f 2  x, y    2  x, y .
В случае, когда все функции в этих уравнениях являются линейными,
имеем дело с системой линейных из двух уравнений с двумя переменными.
Число уравнений и неизвестных в системе может быть больше двух.
Решением системы уравнений с k неизвестными называется упорядоченный
набор из k чисел, являющийся решением каждого из уравнений системы.
Заметим, что число переменных, вообще говоря, может не равняться числу
уравнений.
Решить систему – значит найти все ее решения.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно
решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Система называется определенной, если она имеет конечное число
решений, и неопределенной, если она имеет бесконечное множество
решений.
3. Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя
неизвестными
Рассмотрим наиболее распространенные методы решения систем
линейных уравнений на конкретных примерах.
Метод подстановки
При решении методом подстановки сначала из какого-нибудь
уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное
выражение подставляют в другое, в результате чего приходят к уравнению с
одной переменной. Решают это уравнение. Затем находят соответствующее
значение второй переменной.
2 x  3 y  4,
Пример 5. Решить систему уравнений 
3x  8 y  1.
Решение. Выразим переменную y из первого уравнения
2x  4
.
y
3
Подставив правую часть этого выражения вместо переменной y во
второе уравнение, получим
2x  4
3x  8 
 1.
3
Это уравнение содержит только одну переменную. После умножения
на 3 обеих его частей имеем
9 x  16 x  32  3 .
Последнее уравнение имеет решением x  5 . Соответствующее
2x  4
значение y найдем, подставив x  5 в выражение y  
. Этот дает
3
y  2 . Упорядоченная пара (-5; 2) является решением заданной системы
уравнений.
Ответ: (-5; 2).
Заметим, что решение можно было начать с выражения x через y из
первого уравнения. Это не имеет принципиального значения. Обычно
исходят из простоты решения.
Метод сложения уравнений
Этот метод обеспечивает исключение одной из переменных путем
сложения (или вычитания) уравнений системы при условии, что какая-либо
из неизвестных в оба уравнения входит с одинаковыми числовыми
коэффициентами. В результате сложения или вычитания эта переменная
исчезает, решается уравнение относительно оставшейся переменной, затем
находится соответствующее значение второй переменной.
 x  y  5,
Пример 6. Решить систему уравнений 
 x  y  37.
Решение. Переменная y в обоих уравнениях имеет единичные
коэффициенты, но разные знаки. Сложим оба уравнения. При этом отдельно
складываются левые и правые части:
2 x  42  x  21 .
Это уравнение содержит только одну переменную, откуда сразу
получаем x  21 . Соответствующее значение второй переменной получаем из
первого или второго уравнения подстановкой туда найденного значения x .
Это дает y  16 . Упорядоченная пара (21; 16) является решением.
Ответ: (21; 16).
4 x  7 y  12,
Пример 7. Решить систему уравнений 
6 x  3 y  18.
Решение. Почленное сложение или вычитание уравнений не приводит
к исключению одной из переменных. Но если все члены первого уравнения
умножить на –3, а второго - на 2, то коэффициенты при x в полученных
уравнениях будут противоположными числами:
 12 x  21 y  36,

12 x  6 y  36.
Почленное сложение уравнений дает 27 y  0 . Отсюда y  0 . Из любого
уравнения исходной системы находим x  3 .
Ответ: (-3; 0).
Метод определителей
Пусть дана система уравнений
a1 x  b1 y  c1 ,

a2 x  b2 y  c2 .
Индексы у коэффициентов при неизвестных показывают, к какому
уравнению они относятся. Для такой системы вводят понятие определителя
 (дельта), который условно изображается в виде таблицы в вертикальных
прямых скобках с упорядоченным расположением коэффициентов при
неизвестных.
a b
 1 1 .
a2 b2
В первой строке таблицы расположены коэффициенты первого
уравнения, а во второй, соответственно, второго. Поскольку таблица имеет
размер 2  2 , такой определитель называют определителем второго порядка.
Определитель имеет численное значение, которое равно разности
произведений чисел, расположенных на диагоналях:
  a1b2  a2b1 .
Диагональ с числами a1 ,b2 обычно называют главной, а с числами
a 2 ,b1 - побочной. Таким образом, определитель второго порядка равен
разности произведений чисел, стоящих на главной и побочной диагоналях.
Решение исходной системы уравнений методом определителей
заключается в следующем. Неизвестная x находится как отношение
определителей

x x ,

где определитель  x получается из  заменой первого столбца на столбец из
правых частей исходной системы уравнений:
c b
 x  1 1  c1b2  c2b1 .
c2 b2
Аналогично находится и значение второй переменной:
y
y
,

где определитель  y получается из  заменой второго столбца на столбец
из правых частей исходной системы уравнений:
a c
 y  1 1  a1c2  a2 c1 .
a2 c2
2 x  y  1,
Пример 8. Решить систему уравнений 
3 y  x  5.
Решение. Для использования метода определителя перепишем
заданную систему таким образом, чтобы первыми в левой части были
слагаемые, содержащие x :
2 x  y  1,

 x  3 y  5.
Определитель системы составим из коэффициентов при неизвестных:
2 1

 2  3   1   1  5 .
1 3
Определитель  x получим из  заменой первого столбца на столбец,
состоящих из чисел в правых частях уравнений:
1 1
x 
  1  3   1  5  2 .
5 3

2
Тогда x  x  .
 5
Определитель  y получим из  заменой второго столбца на столбец,
состоящих из чисел в правых частях уравнений:
x 
Следовательно, y 
2
1
1
5
 2  5   1   1  9 .
y
9
 .
 5
 2 9
Ответ:  ;  .
 5 5
4. Условие разрешимости системы линейных уравнений
Вернемся к системе
a1 x  b1 y  c1 ,

a2 x  b2 y  c2 .
Несмотря на простоту уравнений, не всегда эта система имеет решение,
кроме того, не всегда, если решение имеется, оно единственно. В связи с
этим рассмотрим условия существования решений. Наиболее просто их
описать, опираясь на метод определителей.
1. Решение системы существует и единственно.
В соответствии с методом определителей решение состоит из двух чисел
y

. Они определены, если знаменатели обеих дробей не равны
x x и y


нулю. Рассмотрим графическую иллюстрацию этого факта. Возьмем систему
из предыдущего примера
2 x  y  1,

3 y  x  5,
и перепишем уравнения, разрешив их
относительно неизвестной y :
 y  2 x  1,


1
5
y

x

.

3
3
Изобразим их на графике (см. рис.1).
Видно, что графики пересекаются и
координаты точки их пересечения являются решением системы.
2. Система уравнений не имеет решения
y

Числа x  x и y 
не определены, если знаменатели обеих дробей


равны нулю, а числители не равны нулю. Равенство нулю знаменателя дает
a1b2  a2 b1  0 ,
уравнение
откуда
следует
пропорциональность
коэффициентов при неизвестных
a1 b1
 .
a2 b2
Это и является условием неразрешимости системы уравнений.
 y  2 x  3,
Пример 9. Решить систему уравнений 
2 y  4 x  5.
Решение. Определитель этой системы
2 1

 2  2  1   4  0 .
4 2
Следовательно, система не имеет
решения. Для графической иллюстрации
перепишем эту систему, разрешив
относительно y :
 y  2 x  3,


5
 y  2 x  2 .
Две прямые, соответствующие этим
уравнениям, изображены на рис.2.
Видно, что прямые параллельны друг другу, следовательно они не
пересекаются и система не имеет решения.
3. Система уравнений имеет бесчисленное множество решений.
Эта ситуация соответствует случаю, когда   0 ,  x  0 и  y  0 . При
этом коэффициенты при неизвестных и свободные члены
a
b c
пропорциональны: 1  1  1 .
a2 b2 c2
 y  2 x  3,
Пример 10. Решить систему уравнений 
2 y  4 x  6.
Решение. Легко убедиться, что   0 ,  x  0 и  y  0 .
Перепишем эту систему, разрешив относительно y :
 y  2 x  3,

 y  2 x  3.
Видим, что оба уравнения совпадают, тогда одно из уравнений можно
отбросить и решение можно записать в следующем виде:
 x  любое действительное число,

 y  2 x  3.
Данная система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: x  R; y  2 x  3.
5. Итоги урока
В этом уроке мы вспомнили метод решения линейных уравнений. В
основном он сводится к упрощению записи уравнения и разделению
слагаемых с неизвестным и свободных членов по разные стороны знака
равенства. При решении систем линейных уравнений основными приемами
являются метод подстановки, метод сложения (вычитания) уравнений и
метод определителей. Кроме того, увидели, что даже простейшие линейные
уравнения и системы могут не иметь решений или иметь их бесконечное
множество.
6. Домашнее задание