МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ДЕПАРТАМЕНТ

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ
ФГБОУ ВПО КОСТРОМСКАЯ ГСХА
Кафедра высшей математики
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Учебно-методическое пособие по организации самостоятельной
работы для магистрантов 1 курса, обучающихся по направлению
подготовки «Строительство»
Караваево 2014
УДК 512(076)
ББК 22.1
М 34
Составители:
сотрудники кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО
Костромская ГСХА зав. кафедрой Л. Б. Рыбина и профессор,
доктор экономических наук В.И. Цуриков.
Рецензент: доцент кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО Костромской
ГСХА И. А. Батманова.
Рекомендовано к изданию
методической комиссией архитектурно-строительного факультета
ФГБОУ ВПО Костромская ГСХА, протокол № 4 от 14 мая 2014 г.
С
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ: учебнометодическое пособие по организации самостоятельной работы для
магистрантов 1 курса, обучающихся по направлению подготовки —
«Строительство» / сост. Л. Б. Рыбина, В. И. Цуриков. — Кострома : КГСХА,
2014. — 34 с.
Учебно-методическое пособие предназначено для магистрантов 1 курса,
обучающихся по направлению подготовки — «Строительство».
Издание содержит программу дисциплины «Специальные разделы высшей
математики», методические указания к организации самостоятельной работы,
рекомендуемую литературу, вопросы для самопроверки, контрольные вопросы
для проведения аттестации по итогам освоения дисциплины, задания для
индивидуального домашнего задания № 1, общие требования и методические
указания к его выполнению.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................
1. Содержание учебной дисциплины «Специальные разделы вышей
математики» ..........................................................................................................
2. Методические указания к организации самостоятельной работы
магистрантов .........................................................................................................
2.1. Теория функций комплексной переменной .........................................
2.2. Уравнения математической физики .....................................................
2.3. Основные понятия и методы математической статистики ................
3. Индивидуальное домашнее задание № 1«Функциональная
зависимость и регрессия»
4. Общие требования к выполнению индивидуального домашнего
задания № 1 ...........................................................................................................
5. Методические указания к индивидуальному домашнему заданию
№ 1«Функциональная зависимость и регрессия» .............................................
6. Контрольные вопросы для проведения аттестации по итогам
освоения дисциплины «Специальные разделы вышей математики» .............
7. Список рекомендуемых источников ......................................................
Используемая литература
Приложения
3
ВВЕДЕНИЕ
Учебно-методическое пособие по организации самостоятельной
работы предназначено для магистрантов 1 курса, обучающихся по
направлению подготовки — «Строительство».
Издание содержит программу дисциплины «Специальные
разделы высшей математики», методические указания к организации
самостоятельной работы, рекомендуемую литературу, вопросы для
самопроверки, контрольные вопросы для проведения аттестации по
итогам освоения дисциплины, задания для индивидуального
домашнего задания № 1, общие требования и методические указания
к его выполнению.
Целью освоения дисциплины «Специальные разделы высшей
математики» является: сформировать у будущего магистра
математические знания, необходимые для подготовки и осуществления
проектно-конструкторской деятельности.
В результате освоения учебной дисциплины выпускник должен
обладать следующими компетенциями:
–– способностью
совершенствовать
и
развивать
свой
интеллектуальный
и общекультурный уровень, добиваться
нравственного и физического совершенствования своей личности;
–– способностью к самостоятельному обучению новым методам
исследования, к изменению научного и научно-производственного
профиля своей профессиональной деятельности, к изменению
социокультурных и социальных условий деятельности;
–– способностью демонстрировать знания фундаментальных и
прикладных дисциплин ООП магистратуры;
–– способностью самостоятельно приобретать с помощью
информационных технологий и использовать в практической
деятельности новые знания и умения, в том числе в новых областях
знаний, непосредственно не связанных со сферой деятельности,
расширять и углублять свое научное мировоззрение;
–– способностью осознать основные проблемы своей предметной
области, при решении которых возникает необходимость в сложных
задачах выбора, требующих использования количественных и
качественных методов.
В результате изучения базовой части цикла дисциплины
«Специальные разделы высшей математики» обучающийся должен:
знать: основные виды уравнений математической физики, их
связь с инженерными задачами и методы решения, основные понятия
4
и методы теории функций комплексной переменной, методы теории
вероятностей и математической статистики.
уметь: использовать знание иностранного языка для решения
профессиональных задач; применять полученные знания к решению
инженерных
задач,
переводить
инженерную
задачу
на
математический язык, выбирать метод решения и анализировать
полученный результат.
владеть: иностранным языком; математическим аппаратом для
разработки математических моделей процессов и явлений и решения
практических задач профессиональной деятельности.
5
1. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»
1. Теория функций комплексной переменной
1.1. Понятие функций комплексной переменной.
1.2. Основные элементарные функции комплексной переменной.
1.3. Дифференцирование функции комплексной переменной.
Условия Коши-Римана. Аналитические и гармонические функции.
1.4. Интегрирование функций комплексной переменной.
1.5. Интегральные теоремы Коши. Интегральная формула Коши.
1.6. Теорема Лиувилля.
1.7. Функциональные ряды в комплексной области. Ряды
Тейлора. Ряды Лорана.
1.8. Нули и особые точки аналитической функции.
1.9. Вычеты, их вычисления. Основная теорема о вычетах.
1.10. Применение вычетов для вычисления интегралов.
2. Уравнения математической физики
2.1. Дифференциальные уравнения с частными производными.
Классификация дифференциальных уравнений с частными
производными.
2.2. Уравнения эллиптического типа. Задача о стационарном
распределении температуры.
2.4. Уравнение Лапласа.
2.5. Уравнение Пуассона.
2.6. Задачи Дирихле и Неймана. Решение задачи Дирихле для
круга методом Фурье.
2.7. Уравнения параболического типа. Задача о распределении
тепла в теле, приводящая к уравнению теплопроводности.
2.8. Решение краевых задач методом Фурье.
2.9. Задача Коши. Решение задачи Коши.
2.10. Уравнения гиперболического типа. Задачи о колебании тел,
приводящие к волновому уравнению.
2.11. Метод Фурье решения краевых задач.
2.12. Задача Коши для волнового уравнения, метод
характеристик (Даламбера).
3. Основные понятия и методы математической статистики
3.1. Статистические
данных.
методы
обработки
экспериментальных
6
3.2. Функциональная зависимость и регрессия.
3.3. Кривые регрессии, их свойства.
3.4. Коэффициент корреляции, корреляционное отношение, их
свойства и оценки.
3.5. Принцип максимального правдоподобия.
7
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ОРГАНИЗАЦИИ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ МАГИСТРАНТОВ
Изучение дисциплины «Специальные разделы высшей
математики» проходит во 2 семестре. Курс разбит на три модуля:
«Теория
функций
комплексной
переменной»,
«Уравнения
математической физики», «Основные понятия и методы
математической статистики»
Занятия проводятся в форме семинаров. Магистрант должен
подготовиться к занятию, на котором происходит обсуждение
вопросов темы, разбираются решения задач. Перед каждым занятием
обучающиеся получают рекомендации по самостоятельной работе.
Следует помнить, что самостоятельная работа является основной
формой обучения магистранта. Вначале рекомендуем изучить
теоретический материал по источникам, указанным преподавателям,
(можно использовать и другую литературу). Некоторые темы
дисциплины необходимо законспектировать. При чтении учебника
необходимо внимательно разобрать рассматриваемые примеры
решения задач. Затем самостоятельно решите указанные
преподавателем задачи и ответьте на вопросы для самоконтроля
знаний.
После прохождения модулей «Теория функций комплексной
переменной», «Уравнения математической физики» преподаватель
проводит контроль по его усвоению в форме коллоквиумов. По
материалу модуля «Основные понятия и методы математической
статистики» обучающийся выполняет индивидуальное домашнее
задание по теме «Функциональная зависимость и регрессия». В
данном пособии приведены примеры решения задач индивидуального
домашнего задания.
Если в процессе работы у студента возникают вопросы по
изучаемому материалу, то он может обратиться за консультацией к
преподавателю.
Завершающим этапом изучения дисциплины является сдача
зачета. В данном пособии приведены контрольные вопросы для
проведения аттестации по итогам освоения дисциплины
«Специальные разделы высшей математики».
8
2.1. Теория функций комплексной переменной
Литература:
1) [9]: Глава 5.
Задачи для самостоятельного решения:
№ 1. Выделить действительную и мнимую части функции
комплексного переменного:
1) w  z 2  1;
2) w  i z  z ;
3) w  z 3  2i ;
1
4) w  ;
z
z
5) w  .
z
№ 2. Дана функция w  z 2  iz . Найти значение функции в точке
z0 :
1) z0  1  i ;
2) z0  2  i ;
3) z0  3  2i .
№ 3. Дана функция w  f z . Найти значение производной
функции в точке z0  1  2i :
1) w  z 2  2 z  3i ;
2) w  iz 3  2 z 2  iz ;
2z  i
3) w 
.
z 1
№ 4. Дана функция f z   x 2  x  y 2   2 xy  y i . Проверить,
является ли данная функция дифференцируемой. В случае
положительного ответа найти ее производную.
№ 5. Дана
действительная
часть
ux; y   2 xy  y
дифференцируемой функции f z  , где z  x  yi . Найти функцию
f z  , если f 0  i .
9
№ 6. Дана мнимая часть vx; y   x 2  y 2  y дифференцируемой
функции f z  , где z  x  yi . Найти функцию f z  , если f 0  3 .
№ 7. Изобразить область, заданную неравенствами:
1) z  1  2 , Re z  0 ;
2) z  i  2 , Im z  2 ;
3) z  1  i  2 ,  2  Re z  0 ;
4) z  1  2i  3 , Re z  0 , Im z  3 ;
5) z  2i  1 , Re z  2 , 0  Im z  4 .
№ 8. С помощью функции w  f z  отобразить на плоскость uOv
треугольник ОАВ, если O 0; 0 , A2; 1, B 0; 1 .
1) f    2 z  1;
2) f z   z 2 ;
3) f  z   2 z 2  1.
№ 9. Вычислить интеграл  Re zdz , где Г ― отрезок прямой,
Г
соединяющий точки z A  0 и zB  1 2i .
№ 10. Вычислить интеграл  Im zdz , где Г ― часть окружности,
Г
заданная условиями: z  1 , 0  arg z 
№ 11. Вычислить интеграл

2
.
 f  z dz , где f z    y  2  xi , а Г ―
Г
отрезок прямой, соединяющий точки z A  0 и z B  2i .
№ 12. Вычислить интеграл
 f  z dz , где f z    y  x  1  3 yi , а
2
Г
Г ― часть параболы y  x , соединяющая точки z A  0 и z B  2  4i .
2
№ 13. Вычислить интеграл  3z 2  3i dz , где Г ― отрезок
Г
прямой, соединяющий точки z A  1  i и z B  2i .
10
№ 14. Вычислить интеграл  zdz , где Г ― окружность, заданная
Г
уравнением z  2 .
Составьте конспекты:
Конспект № 1 «Основные элементарные функции комплексной
переменной».
Конспект № 2 «Числовые, функциональные и степенные ряды в
комплексной области. Радиус и область сходимости степенного
ряда».
Конспект № 3 «Некоторые приложения вычетов к вычислению
интегралов».
Вопросы для самоконтроля
1. Дать определение функции комплексного переменного?
2. Приведите примеры однозначной и многозначной функций
комплексного переменного.
3. Дать определение производной функции комплексного
переменного f(z) в точке z0.
4. Сформулировать правила дифференцирования для функций
комплексного переменного.
5. Сформулировать условия Коши-Римана.
6. Сформулировать достаточное условие дифференцируемости
функции f z   ux, y   ivx, y  в точке z  x  iy .
7. Сформулировать необходимое условие дифференцируемости
функции f z   ux, y   ivx, y  в точке z  x  iy .
8. Является ли условие Коши-Римана достаточным условием
дифференцируемости функции комплексного переменного в точке?
9. Пусть f z   ux, y   ivx, y  . Выразить всеми возможными
способами f z  через частные производные от ux, y  и vx, y .
10. Дайте определение интеграла функции комплексного
переменного.
11. Опишите
процедуру
построения
последовательности
интегральных сумм.
12. Как вычислить интеграл  f  z dz , если f z  ― непрерывная
Г
функция?
13. Как вычислить интеграл
 f  z dz , если f z  ― аналитическая
Г
функция в односвязной области?
11
14. Дать определение нуля аналитической функции.
15. Дать определение нуля порядка n аналитической функции.
16. Сформулировать необходимое и достаточное условия нуля
порядка n аналитической функции f z  в точке z 0 .
17. Сформулировать необходимое и достаточное условия
простого нуля аналитической функции f z  в точке z 0 .
18. Дать определение устранимой особой точки.
19. Дать определение полюса.
20. Дать определение существенно особой точки.
21. Сформулировать необходимое и достаточное условие
устранимой особой точки, полюса, существенно особой точки.
22. Дать определение порядка полюса. Какой полюс называется
простым?
23. Сформулировать теорему Тейлора.
24. Выписать формулы для определения коэффициентов Cn ряда
Тейлора.
25. Выписать формулы для определения R (радиуса сходимости).
26. Дать определения ряда Лорана, его главной и правильной
частей.
27. Сформулировать теорему Лорана о разложении функции в ряд
по целым степеням.
28. Написать неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана.
29. Приведите определение вычета функции f z  в конечной
особой точке.
30. Как вычислить вычет функции f z  в устранимой особой
точке?
31. Как вычислить вычет функции f z  в простом полюсе?
32. Как вычислить вычет функции f z  в полюсе порядка n?
33. Как вычислить вычет в существенной особой точке?
34. Сформулировать интегральную теорему Коши.
35. Сформулировать основную теорему о вычетах.
36. Известно, что функция f z  имеет только устранимые особые
точки. Чему равен интеграл от этой функции по произвольному
контуру?
12
2.2. Уравнения математической физики
Литература:
1) [9]: Глава 11.
Задачи для самостоятельного решения:
№ 1. Указать название
математической физики:
1) ut  9uxx
и
тип
следующих
уравнений
2) utt  uxx ;
3) u yy  u xx .
№ 2. Дана струна, которая закреплена на концах в точках x  0 и
x  2 . В начальный момент времени она имеет форму, заданную
0,1x, при x  0; 1;
функцией u x; 0   x   
Начальные скорости




0,1
2

x
,
при
x

1
;
2
.

точек струны отсутствуют. Найти функцию u  u x; t , которая задает
отклонение точек струны от положения равновесия в момент времени t.
№ 3. Уравнение колебания струны имеет вид utt  a 2 u xx , где
a 2  16 . Струна закреплена на концах в точках x  0 и x  4 . В
начальный момент времени она совпадает с осью Ox, а начальная
скорость точек струны равна 1. Найти функцию u  u x; t , которая
задает отклонение точек струны от положения равновесия в момент
времени t.
№ 4. Дан тонкий однородный теплоизолированный стержень
длины 5. Уравнение теплопроводности имеет вид ut  a 2uxx , где
a 2  25 . Начальное распределение температуры в стержне задается
x
функцией u  x; 0   f  x   . На концах стержня в точках x  0 и x  5
5
поддерживается постоянная температура, равная нулю. Найти
функцию u  u  x; t , которая задает температуру в любой точке с
координатой x данного стержня в любой момент времени t.
13
№ 5. Дан тонкий однородный теплоизолированный стержень
длины 2. Уравнение теплопроводности имеет вид ut  a 2uxx , где a 2  1.
Начальное распределение температуры в стержне задается функцией
 x, при x  0; 1;
На концах стержня в точках x  0 и
u x; 0  f x   
2  x, при x  1; 2.
x  2 поддерживается постоянная температура, равная нулю. Найти
функцию u  u  x; t , которая задает температуру в любой точке с
координатой x данного стержня в любой момент времени t.
№ 6. Дан тонкий однородный теплоизолированный стержень
длины  . Уравнение теплопроводности имеет вид ut  a 2uxx , где
a 2  0,25 . Начальное распределение температуры в стержне задается
функцией ux; 0  f x   sin x . На концах стержня в точках x  0 и
x   не происходит теплообмен с внешней средой. Найти функцию
u  u  x; t  , которая задает температуру в любой точке с координатой x
данного стержня в любой момент времени t.
№ 7. Решить
задачу
Коши
2
u
 u

4
, t  0, x  R,
 t 2
x 2

u  x, 0  x 2 , u  x,    x  .

t t 0
для
бесконечной
струны
2
№ 8. Уравнение колебания струны имеет вид
 2u
t 2
9
 2u
x 2
и
u
 cos x . Найти уравнение, задающее форму струны в
t t 0
момент времени t   .
u t 0  sin x,
Составьте конспекты:
Конспект № 4 «Решение смешанной задачи для уравнений
колебаний струны методом Фурье».
Конспект № 5 «Решение задачи Дирихле для круга методом
Фурье».
14
Вопросы для самоконтроля
1. Дать понятие об уравнениях математической физики.
2. Дать определения граничных и начальных условий.
3. Привести классификацию линейных дифференциальных
уравнений в частных производных 2-го порядка.
4. Сформулировать
задачу
Коши
для
уравнений
гиперболического и параболического типов.
5. Сформулировать краевую граничную задачу для уравнений
эллиптического типа.
6. Сформулировать смешанную задачу для уравнений
гиперболического и параболического типов.
7. Объяснить процесс построения математической модели
задачи о распространении тепла.
8. Объяснить процесс построения математической модели
задачи о колебании струны.
9. Привести примеры задач, сводящихся к уравнениям Пуассона
и Лапласа.
10. Описать процедуру решения задачи Коши для бесконечной
струны методом Даламбера.
11. Описать процедуру решения смешанной задачи для
уравнений колебаний струны методом Фурье.
12. Описать процедуру решения смешанной задачи для
уравнения теплопроводности методом Фурье.
13. Описать процедуру решения задачи Дирихле в круге.
14. Описать процедуру решения смешанной задачи для
уравнения теплопроводности методом конечных разностей.
15
2.3. Основные понятия и методы математической статистики
Литература:
1) [9]: Глава 12;
Задачи для самостоятельного решения:
№ 1. Данные об оценках студентов на экзамене по математике
выбрали случайным образом из ведомостей студентов второго курса и
получили следующий ряд оценок:
5, 4, 3, 4, 5,
3, 4, 3, 2, 4,
3, 4, 4, 2, 5,
3, 4, 3, 4, 5,
4, 3, 5, 4, 4,
3, 3, 4, 4, 3,
4, 2, 4, 4, 5,
5, 3, 4, 5, 4,
3, 5, 4, 5, 4.
1) Построить полигон частот, полигон относительных частот;
2) Построить кумуляту частот, кумуляту относительных частот;
3) Найти размах вариации, выборочную среднюю, выборочную
дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, моду,
медиану.
№ 2. По данным наблюдения за процентом содержания
некоторой примеси в 50 образцах получены следующие результаты:
3,86
3,98
4,16
4,02
4,18
4,06
3,57
3,76
4,17
4,26
3,67
3,87
4,00
3,72
4,03
3,97
4,07
3,46
4,09
4,14
3,76
3,99
4,08
3,78
3,72
3,61
3,69
3,88
4,02
4,33
3,96
3,76
4,01
3,73
3,82
4,04
3,71
3,93
3,52
4,03
3,84
3,94
3,71
3,89
3,62
3,94
3,82
3,81
3,92
3,91
1) Построить равновеликий интервальный вариационный ряд с
первым интервалом 3,45—3,55;
2) Построить гистограмму частот, гистограмму относительных
частот;
16
3) Построить кумуляту частот, кумуляту относительных частот;
4) Найти размах вариации, выборочную среднюю, выборочную
дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, моду,
медиану.
№ 3. По условию задачи № 1 найти точечные оценки
генеральной средней, генеральной дисперсии и генерального
среднего квадратического отклонения. Вычислить дисперсию и
среднее квадратическое отклонение выборочной средней.
№ 4. По условию задачи № 2 найти точечные оценки
генеральной средней, генеральной дисперсии и генерального
среднего квадратического отклонения.
№ 5. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема
n  50 :
xi
2
5
7
10
ni
16
12
8
14
Найти несмещенную оценку генеральной средней.
№ 6. По выборке объема n  41 найдена смещенная оценка
Dв  3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку
дисперсии генеральной совокупности.
№ 7. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором
(без систематических ошибок) получены следующие результаты (в
мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти:
1) выборочную среднюю длину стержня;
2) выборочную и исправленную выборочную дисперсии ошибок
прибора.
№ 8. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью
0,95 неизвестного математического ожидания а нормально
распределенного признака X генеральной совокупности, если
генеральное среднее квадратическое отклонение   5 , а выборочная
средняя xв  14 и объем выборки n  25 .
17
№ 9. Проведено выборочное обследование 45 студентов
факультета. Случайный бесповторный отбор студентов проводился из
600 студентов. Средний балл по дисциплине «Математика» оказался в
выборке равен 3,82 балла, а среднее квадратическое отклонение
балла.
Считая
успеваемость
на
факультете
  0,85085
распределенной по нормальному закону, определите с вероятностью
0,95 доверительный интервал, в котором окажется средний балл среди
всех студентов факультета.
№ 10. По данным 16 независимых равноточных измерений
некоторой физической величины найдены выборочное среднее
xв  42,8 и исправленное среднее квадратическое отклонение S  8 ,
Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью
доверительного интервала с надежностью 0,999. Предполагается, что
результаты измерений распределены нормально.
№ 11. Произведено 12 измерений одним прибором некоторой
физической величины, причем исправленное среднее квадратическое
отклонение S случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6.
Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что
результаты измерений распределены нормально, а точность прибора
характеризуется средним квадратическим случайных ошибок
измерений.
№ 12. С помощью случайной выборки оценивается среднее
время, которое затрачивают студенты на выполнение тестового
задания. Каким должен быть объем повторной выборки в этом случае,
если в предыдущих выборочных обследованиях стандартное
отклонение времени выполнения теста составило 40 мин., а
отклонение выборочной средней от генеральной средней по
абсолютной величине не должно превышать 5 мин. с вероятностью
0,99?
№ 13. По установленной норме время, затрачиваемое рейсовым
автобусом на прохождение маршрута, предусматривает в среднем 40
минут. Водители автохозяйства, работающие на этом маршруте,
утверждают, что они в действительности затрачивают больше
времени на прохождение маршрута. Для проверки претензий
водителей произведены выборочные замеры времени, затрачиваемого
на прохождение этого маршрута, у 49 водителей. В результате
18
получено среднее время прохождения маршрута 45 минут.
Предположим, что время, затрачиваемое рейсовым автобусом на
прохождение
маршрута,
подчинено
нормальному
закону
распределения. Можно ли по имеющимся выборочным данным на
уровне значимости 0,001 принять гипотезу о том, что среднее время
прохождения этого маршрута соответствует норме, если известно, что
среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности
составляет 5 минут.
№ 14. В стоматологической поликлинике на лечение каждого
больного отводится 20 минут. Врачи подняли вопрос том, что в
действительности они затрачивают намного больше времени на
одного больного. Для проверки данной жалобы произведен контроль
времени обслуживания пациентов у 16 зубных врачей поликлиники, и
получено среднее время обслуживания 23 минуты. Можно ли по
имеющимся выборочным данным на уровне значимости 0,01
отклонить гипотезу о том, что что среднее время обслуживания
пациентов соответствует норме, если исправленное выборочное
среднее квадратическое отклонение составило 5 минут.
№ 15. Из нормальной генеральной совокупности извлечена
выборка объема n  21 и по ней найдена исправленная выборочная
дисперсия S 2  16,2 . Требуется при уровне значимости 0,01 проверить
2
нулевую гипотезу H 0 :  2   0  15 при конкурирующей гипотезе
H1 :  2  15 .
№ 16. По выборке объема n1  30 найден средний вес xв  130 г
изделий, изготовленных на первом станке; по выборке объема n2  40
найден средний вес y в  125 г изделий, изготовленных на втором
станке. Генеральные дисперсии известны: D X   60 г 2 , DY   80 г 2 .
Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу
H 0 : M  X   M Y  при конкурирующей гипотезе H1 : M  X   M Y .
Предполагается, что случайные величины X и Y распределены
нормально и выборки независимы.
№ 17. По двум независимым выборкам, объемы которых n1  11
и n2  14 , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X
и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии S X2  0,76 и
19
SY2  0,38 . При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу
H 0 : D X   DY  о равенстве генеральных дисперсий при
конкурирующей гипотезе H1 : D X   DY  .
№ 18. По двум независимым малым выборкам, объемы которых
n1  12 и n2  1 , извлеченным из нормальных генеральных
совокупностей X и Y, найдены выборочные средние xв  31,2 и
yв  29,2 и исправленные выборочные дисперсии S X2  0,84 и
SY2  0,40 . При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу
H 0 : M  X   M Y  при конкурирующей гипотезе H1 : M  X   M Y .
№ 19. Приводятся данные об измерении диаметра сосны в см (X)
и ее высоты в м (Y). Вычислить коэффициент корреляции и найти
выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.
X
Y
20
18
22
19
25
20
27
21
28
22
29
22
30
23
32
24
42
25
45
26
Составьте конспект:
Конспект № 6 «Статистический анализ уравнения регрессии».
Вопросы для самоконтроля
1. Определение средней арифметической (или выборочным
средним)
вариационного
ряда.
Как
находится
средняя
арифметическая для дискретного (интервального) вариационного
ряда?
2. Определение выборочной дисперсией. Формулы нахождения
выборочной дисперсии.
3. Формула нахождения выборочного среднего квадратического
отклонения.
4. Нахождение моды, медианы и размаха варьирования.
5. Определения точечной и интервальной оценок параметра.
6. Дать понятие несмещенной оценки параметра.
7. Дать понятие состоятельной оценки параметра.
8. Будет ли выборочное среднее несмещенной и состоятельной
оценкой для математического ожидания?
20
9. Понятие и формулы нахождения исправленной выборочной
оценки дисперсии. Какая из оценок дисперсии (выборочная или
исправленная выборочная) является несмещенной?
10. Понятия генеральной и выборочной доли признака. Какими
свойствами обладает выборочная доля в качестве оценки генеральной
доли?
11. Выборочно обследовали партию кирпича, поступившего на
стройку. Из 100 проб в 12 случаях кирпич оказался бракованным.
Найти оценку w доли бракованного кирпича.
12. Описать методы получения точечных оценок: метод
максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов, метод
моментов.
13. Нахождение доверительного интервала для генеральной
средней (в случае повторной и бесповторной выборки).
14. Нахождение доверительного интервала для генеральной доли
признака (в случае повторной и бесповторной выборки).
15. Нахождение необходимого объема выборки для достижения
требуемой надежности доверительного интервала.
16. Определения: статистическая гипотеза, основная гипотеза,
альтернативные гипотезы, ошибка первого рода или уровень
значимости, уровень доверия, ошибка второго рода, мощность
критерия, критические значения, область допустимых значений,
критическая область, правосторонняя, левосторонняя, двусторонняя
критические области.
17. Объяснить, как производится проверка гипотезы о численной
величине среднего значения.
18. Объяснить, как производится проверка гипотезы о числовом
значении дисперсии.
19. Определение и нахождение коэффициента корреляции.
20. Сформулировать свойства коэффициента корреляции и
объяснить, что он характеризует.
21. Нахождение параметров выборочного уравнения прямой
линии регрессии по несгруппированным и по сгруппированным
данным.
22. Записать уравнения линейной регрессии у на х и х на у.
Объяснить смысл параметров, входящих в эти уравнения.
21
3. ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 1
«ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И РЕГРЕССИЯ»
Даны значения переменных x и y.
Требуется:
1) найти коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и
направлении линейной корреляционной связи межу переменными x и
y;
2) составить уравнение прямой регрессии y на x;
3) нанести на чертеж исходные данные и построить прямую
регрессии.
№
№
1
2
вар. наблюдения
xi
97 104
1
yi
35 31
xi
93 101
2
yi
36 31
xi
104 98
3
yi
31 35
xi
95 90
4
yi
36 37
xi
102 95
5
yi
32 37
xi
91 86
6
yi
62 43
xi
82 101
7
yi
51 59
xi
103 96
8
yi
79 61
xi
85 94
9
yi
56 63
xi
97 89
10
yi
61 48
3
4
103
32
95
34
100
32
103
32
97
35
94
60
105
78
93
59
92
60
95
59
98
34
97
35
102
31
104
31
98
34
95
73
96
63
100
68
104
70
106
75
5
6
7
8
9
10
101 102 100 99 96 98
30 33 31 34 35 32
102 94 96 100 95 92
30 35 36 31 36 37
99 97 95 101 103 98
32 33 36 32 30 35
89 97 101 96 99 102
37 35 34 34 33 32
94 90 100 101 93 96
37 38 30 31 36 35
104 92 98 84 96 99
87 65 79 52 65 68
98 112 106 93 110 91
73 68 65 62 70 62
89 97 98 87 106 97
55 70 66 54 75 61
101 98 93 87 89 95
64 59 61 49 58 65
98 92 85 94 103 97
62 67 60 72 78 58
22
Вопросы по теоретическому материалу:
1. Различие между функциональной и стохастической
зависимостями.
2. Основная задача корреляционного анализа.
3. Представление данных в корреляционном анализе.
Корреляционная таблица.
4. Коэффициент корреляции, его свойства.
5. Выяснение значимости коэффициента корреляции.
6. Корреляционное отношение.
7. Основная задача регрессионного анализа.
8. Корреляционное поле.
9. Линейная регрессия.
10. Коэффициент регрессии.
11. Статистический анализ уравнения регрессии.
23
4. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ
К ВЫПОЛНЕНИЮ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ДОМАШНЕГО
ЗАДАНИЯ № 1
Индивидуальное домашнее задание должно выполняться
обучающимся самостоятельно и по своему варианту. Номер варианта
определяет преподаватель.
Работа должна быть выполнена в тетради в клетку, на внешней
обложке которой должен быть прикреплен титульный лист. На
внутренней стороне обложки размещается лист-задание, выданный
преподавателем. (См. приложения 1, 2.)
Задачи в работе следует располагать по порядку, полностью
переписывая условие. Решение задач следует излагать подробно. Все
записи, чертежи должны быть аккуратными, четкими и
разборчивыми.
На каждой странице тетради необходимо оставить поля шириной
3-5 см для замечаний рецензента.
Выполненная работа сдается преподавателю в указанный им срок.
Не зачтенные работы возвращаются обучающемуся для
исправления ошибок. Все исправления ошибок делаются в конце
работы. Исправления в тексте прорецензированной работы не
допускаются. Работу с выполненными исправлениями следует
сдать преподавателю для повторного рецензирования.
24
5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИНДИВИДУАЛЬНОМУ
ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ № 1
Решение типовой задачи
Даны значения переменных x и y:
№
наблюдения
xi
yi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
83
56
72
42
69
18
90
84
90
56
95
107
95
90
91
68
75
31
70
48
Требуется:
1) найти коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и
направлении линейной корреляционной связи межу переменными x и
y;
2) составить уравнение прямой регрессии y на x;
3) нанести на чертеж исходные данные и построить прямую
регрессии.
Решение.
1) В случае малых выборок расчет коэффициента корреляции
можно проводить по формуле
 xi  x yi  y
.
r
2
2
 xi  x  yi  y
Промежуточные вычисления удобно располагать в виде таблицы.
Вычисляем средние:
830
600
x
 83 , y 
 60 .
10
10
Теперь заполняем последние пять столбцов таблицы. Суммируя
элементы в соответствующих столбцах, находим
2
 xi  x  990 ,







 
 y  y   6854 ,
 x  x  y  y   2302 .
2
i
2
i
2
i
25
№
наблюдеия
Таблица «Промежуточные вычисления для расчета
коэффициента корреляции»
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

xi
yi
xi  x
x  x
yi  y
83
72
69
90
90
95
95
91
75
70
830
56
42
18
84
56
107
90
68
31
48
600
0
 11
 14
7
7
12
12
8
8
 13
0
0
121
186
49
49
144
144
64
64
169
990
4
 18
 42
24
4
47
30
8
 29
 12
0
2
i
y  y  x  x y  y 
2
i
2
i
16
324
1764
576
16
2209
900
64
841
144
6854
2
i
0
198
588
168
 28
564
360
64
232
156
2302
Подставляя вычисленные значения в выражение для r, получаем
2302
 0,88 .
990  6854
Вывод: между переменными x и y существует
положительная линейная корреляционная связь.
x  x yi  y
2) Коэффициент регрессии by x   i
2
 xi  x
Используя данные из таблицы, получим
2302
by x 
 2,32 .
990
Подставляя теперь в уравнение прямой регрессии
y  y  by x x  x
r





тесная


найденные значения x , y и by x , имеем
y  60  2,32x  83 .
Последнее уравнение преобразуем к виду
y  2,32 x  132,56 .
2) Нанесем исходные данные на координатную плоскость и
построим найденную прямую регрессии (рис. 1).
26
Для того чтобы провести прямую в системе координат,
достаточно иметь две точки. У нас одна из них ― точка M 1 с
y  60 . Координаты второй точки M 2
координатами x  83 ,
определим, подставив в уравнение регрессии y  0 и вычислив
132,56
x
 57 .
2,32
Рис. 1. Прямая регрессии.
Отметим, что полученная математическая модель (уравнение
прямой регрессии) обладает прогнозирующими свойствами лишь
при изменении переменной x от 69 до 95. Так, например, можно с
достаточной степенью достоверности считать, что при значении
x  80 переменная y будет равна
y  2,32  80  132,56  53 .
27
6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ
АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
«СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»
1. Теория функций комплексного переменного
1. Область на комплексной плоскости. Внутренние и граничные
точки области. Связность области.
2. Функция комплексной переменной. Предел функции в точке,
непрерывность функции.
3. Производная функции в точке, дифференциал функции в
точке.
4. Условия Коши-Римана.
5. Основные элементарные функции комплексной переменной.
6. Аналитические и гармонические функции.
7. Интеграл от функции комплексной переменной, его
вычисление.
8. Теорема Коши для односвязной и n-связной областей.
9. Независимость интеграла от аналитической функции от пути
интегрирования.
10. Интегральная формула Коши для односвязной и
многосвязной областей.
11. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций.
12. Теорема Лиувилля.
13. Числовые, функциональные и степенные ряды в комплексной
области. Радиус и область сходимости степенного ряда.
14. Ряд Лорана. Главная и правильная части ряда Лорана.
15. Нули аналитической функции, порядок нуля.
16. Полюсы аналитической функции, порядок полюса. Связь
нулей функции с ее полюсами.
17. Устранимая особая точка аналитической функции.
Существенно особая точка.
18. Бесконечно удаленная точка, ее окрестность. Характеристика
особенностей аналитической функции в бесконечно удаленной
точке.
19. Вычеты и их вычисление.
20. Основная теорема о вычетах.
21. Некоторые приложения вычетов к вычислению интегралов.
2. Уравнения математической физики.
1. Понятие об уравнениях математической физики.
28
2. Граничные и начальные условия.
3. Классификация линейных дифференциальных уравнений в
частных производных 2-го порядка.
4. Задача Коши для уравнений гиперболического и
параболического типов.
5. Краевая граничная задача для уравнений эллиптического
типа.
6. Смешанная задача для уравнений гиперболического и
параболического типов.
7. Построение
математической
модели
задачи
о
распространении тепла.
8. Построение математической модели задачи о колебании
струны.
9. Задачи, приводящие к уравнениям Пуассона и Лапласа.
10. Решение задачи Коши для бесконечной струны методом
Даламбера.
11. Решение смешанной задачи для уравнений колебаний струны
методом Фурье.
12. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности
методом Фурье.
13. Решение задачи Дирихле в круге.
14. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности
методом конечных разностей.
3. Основные понятия и методы математической статистики.
1. Различие между функциональной и стохастической
зависимостями.
2. Основная задача корреляционного анализа.
3. Представление данных в корреляционном анализе.
Корреляционная таблица.
4. Коэффициент корреляции, его свойства.
5. Выяснение значимости коэффициента корреляции.
6. Корреляционное отношение.
7. Основная задача регрессионного анализа.
8. Корреляционное поле.
9. Линейная регрессия.
10. Коэффициент регрессии.
11. Статистический анализ уравнения регрессии.
12. Принцип максимального правдоподобия.
29
7. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
Основная литература:
1. Боровков, А.А. Математическая статистика [Текст] : учебник
для вузов / А. А. Боровков. - 4-е изд., стер. - СПб : Лань, 2010. - 704 с.
2. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и
математической статистики [Текст] : учеб. пособие для вузов / А. Н.
Бородин. - 7-е изд., стер. - СПб : Лань, 2008. - 256 с.: ил.
3. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст] : учеб.
пособие для вузов / Данко П.Е. [и др.]. − 7-е изд., испр. − М : Оникс:
Мир и Образование, 2008. − 816 с. : ил.
4. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. [Текст] :
учеб. пособие для вузов. Ч. 2 / Данко П.Е. [и др.]. − 6-е изд. − М :
Оникс: Мир и Образование, 2006. − 416 с. : ил.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике [Текст] : учеб. пособие
для вузов / В. Е. Гмурман. - 6-е изд., доп. - М : Высшая школа, 2003. 405 с. : ил.
6. Емельянов Г.В. Задачник по теории вероятностей и
математической статистике [Текст] : учеб. пособие для вузов / Г. В.
Емельянов, В. П. Скитович. - 2-е изд., стер. - СПб : Лань, 2007. - 336 с
7. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая
статистика [Текст] : учебник для вузов / Н. Ш. Кремер. - 3-е изд.,
перераб. и доп. - М : ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 551 с.
8. Лисичкин, В.Т. Математика в задачах с решениями [Текст] :
учеб. пособие / В. Т. Лисичкин, И. Л. Соловейчик. - 3-е изд.,
стереотип. - СПб : Лань, 2011. - 464 с. : ил.
9. Математика [Текст] : учеб. пособие / Журбенко Л.Н., ред. ;
Данилов Ю.М., ред. - М : ИНФРА-М, 2013.
Дополнительная литература:
1. Владимирский Б.М. Математика. Общий курс [Текст] :
учебник / Б.М. Владимирский, А.Б. Горстко, Я.М. Ерусалимский. ―
3-е изд., стер. ― СПб : Лань, 2006. ― 960 с.
2. Старков С.Н. Справочник по математическим формулам и
графикам функций для студентов [Текст] / С.Н. Старков. ― СПб :
Питер, 2009. ― 235 с.: ил. ― (Учебное пособие).
3. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам
высшей математики. Типовые расчеты [Текст] : учеб. пособие для
30
вузов / В. Ф. Чудесенко. - 4-е изд., стер. - СПб : Лань, 2007. - 192 с.:
ил.
Используемая литература
1. Жуков В.М. Практические занятия по математике : теория,
задания, ответы / В.М. Жуков. ― Ростов н/Д : Феникс, 2012. ― 343,
[1] с. : ил. ― (Высшее образование).
2. Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н.,
Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах : учеб. пособие. ―
М. : ИНФРА-М, 2009. ― 373 с. ― (Высшее образование).
31
Приложение 1
Образец оформления титульного листа
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Департамент научно-технологической политики и образования
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Костромская государственная сельскохозяйственная академия»
Факультет: архитектурно-строительный
Направление: «Строительство»
Профиль подготовки: «Теория и проектирование зданий и сооружений»
Кафедра «Высшая математика»
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 1
по дисциплине «Специальные разделы высшей математики»
Функциональная зависимость и регрессия
Выполнил:
Магистрант
___________
________________________
группа
подпись
_______________________________________________________
Ф.И.О.
Проверил:
Преподаватель: __________________
подпись
__________________________________________________________________________________
Ф.И.О.
Караваево 2014 г.
32
Заметки
33
УДК 512(076)
ББК 22.1
 ФГБОУ ВПО Костромская ГСХА, 2014
Учебно-методическое издание
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ: учебнометодическое пособие по организации самостоятельной работы для
магистрантов 1 курса, обучающихся по направлению подготовки
«Строительство» / сост. Л. Б. Рыбина, В. И. Цуриков. — Кострома : КГСХА,
2014. — 34 с.
Гл. редактор Н.В. Киселева
Редактор выпуска Т.В. Тарбеева
Корректор
34